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(优选)二次函数根与系数的关系ppt讲解

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新人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》优质课课件(共30张PPT)

新人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》优质课课件(共30张PPT)

①本题中的a 是一次项系数，而不是二次项系数。
②使用根与系数关系来方程的系数时，要注意它
的重要条件 0 ，一定要检验。
总
（2）、在
结
c ． , x 1 x2 a
0 （1）、理解两根存在的前提是
b x1 x2 a
中,
是知三求二。
（3）、渗透数学转换 思想。
巩固练习
1、求下列方程两根的和与积：（教科书第43 页第7题） 两根的和 两根的积 3 2 （1） x 2 3x 2 0 1 －1 （2） 5x 2 x 5 0 5 （3） x 2 x 5x 6 －6 4 13 1 （4） 7 x 2 5 x 8 7 7
例1（教材中的例4） 根据一元二 次方程的根与系数的关系，求下 2 x x 15 x x 6 x 6 x 15 0 （ 1） 列方程两根的和与积： 7
1 2
1 2
（ 2）
（ 3）
3x 7 x 9 0
2
x1 x 2
5 4
3
x1 x2 3
1 4
5x 1 4 x
索发现——知识应用”的教学策略， 鼓励学生动脑、动口、动手，参与
教学活动，感悟知识的形成过程，
说教法学法
3、学 法
为了体现课标中“以学生为主体”的
教育理念，所以让学生采用了自主学习、
探究学习、合作学习的学习方式，帮助学
生思考，从而使学生长知识、长智慧，学
得生动、活泼，肯学、学会、会学。
说教法学法
交流展示
（1）得出 x1 x2 b 、 x1 x2 c
（2）获取知识过程，情感体验
学习主题
二次项系数不为1的一元二次方程根 与系数的探索

一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件

一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件

把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=

=1.

知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ， 且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠

【人教版】一元二次方程的根与系数的关系精讲课件 1

【人教版】一元二次方程的根与系数的关系精讲课件 1
（人教版）一元二次方程的根与系数 的关系P PT公开 课课件 1 （人教版）一元二次方程的根与系数 的关系P PT公开 课课件 1
（人教版）一元二版）一元二次方程的根与系数 的关系P PT公开 课课件 1
（人教版）一元二次方程的根与系数 的关系P PT公开 课课件 1 （人教版）一元二次方程的根与系数 的关系P PT公开 课课件 1
（人教版）一元二次方程的根与系数 的关系P PT公开 课课件 1 （人教版）一元二次方程的根与系数 的关系P PT公开 课课件 1
（人教版）一元二次方程的根与系数 的关系P PT公开 课课件 1 （人教版）一元二次方程的根与系数 的关系P PT公开 课课件 1

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册

求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1



1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.


;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1

《一元二次方程根与系数的关系》PPT课件 (共16张PPT)

《一元二次方程根与系数的关系》PPT课件 (共16张PPT)

一、知识要点：
1、一元二次方程的一般形
式
ax2＋bx＋c=0 (a≠0)
。
2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1 、x2 c b 则x1＋x2＝ ，x1x2＝ a 。 a
3、用根与系数关系解题的条件 是 （1）a≠0 （2）△≥0 。
二、典型例题
例题1：已知方程 x1,x2， （1）（x1－x2）2
（ 3）
1 2
x2＝2x＋1的两根为
不解方程，求下列各式的值。 （2）x13x2＋x1x23
x2 x1 x1 x2
提 高 练 习
3、已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD， AD⊥DC，AD=10cm， A B 以AD 为直径的⊙O切另 E 一腰于E，以AB、CD为 O 根的方程是X2-12X+m=0， 求m的值。
x,则
2
答：方程的另一个根是 k根的和与两根
的积各是多少?（不解方程）
（1）x2-3x+1=0
（2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用
根与系数的关系，求下列各式的值。 x2 x1 （1）（ x1+1）（x2+1）（2）— + — x1 x2
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
例题2：
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是 －2，求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－ 2，求它的另一个根及k的值。

一元二次方程的根与系数的关系ppt课件

一元二次方程的根与系数的关系ppt课件
2
2
3
1 13
2 ;
2
2 4
2.整体代入：运用韦
达定理.
【整体思想】
【类比学习】常见的变式求值
利用根与系数的关系，求一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的
相关代数式的值.
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
1
2
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之
和等于一次项系数与二次项系数
的比的相反数；
两根之积等于常数项与二次项系数
的比.
探究新知（二）
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两
根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
如：
9x2 6x 1 0
方法2 二次项系数化为1，得：
6
1
两根之积等于常数项.
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1
和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与
p，q之间的关系吗？
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 ·x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得 p＝3或p＝－1.
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；

《根与系数的关系》课件

《根与系数的关系》课件

04
根的性质与判别式
根的性质
根的唯一性
对于给定的二次方程，其 解（根）是唯一的。
根的实数性
二次方程的解一定是实数 。
根的取值范围
根据判别式的值，可以确 定根的取值范围。
判别式的应用
判断方程的根的情况
通过判别式可以判断二次方程的根的 情况，如有两个实根、两个虚根、有 一个重根等。
求解方程
判断解的合理性
性质2
一元二次方程的根的和等于方 程的一次项系数的相反数除以
二次项系数所得的商。
性质3
一元二次方程的根的乘积等于 常数项除以二次项系数所得的
商。
求解方法
公式法
使用求根公式`x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)`求解一
元二次方程。
因式分解法
将一元二次方程化为两个一次 因式的乘积，然后令每个因式 等于0，分别求出x的值。
答案解析二
同样根据二次方程的性质，我们知道根与系数的关系为：$x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$。将 给定的方程的系数带入公式中，得到：$x_1 + x_2 = -frac{-4}{2} = 2$。
答案解析三
根据二次方程的性质，我们知道根与系数的关系为：$frac{x_1}{x_2} = frac{x_1}{x_2}$。 由于已知$x_1 < x_2$，我们可以利用根与系数的关系得到：$frac{x_1}{x_2} = frac{2}{5}$。
配方法
将一元二次方程化为一个完全 平方的形式，然后求解。
韦达定理法
利用韦达定理直接求出一元二 次方程的根，无需解方程。
03
根与系数的关系
韦达定理

人教版九年级上册一元二次方程根与系数的关系(11PPT)

人教版九年级上册一元二次方程根与系数的关系(11PPT)
应用韦达定理时要注意△≥0 的条件.
x2+5x-24=0
(4)(x+5)(x+2)=0 x2+7x+10=0
若方程 x2+px+q=0 的两根为 x1,x2, 则 x1+x2= -p, x1x2=q.
交流展示
若方程 x2+px+q=0 的两根为 x1,x2, 则 x1+x2= -p, x1x2=q.
问题2：若方程是 ax2+bx+c=0（a≠0）
交流展示 例3 已知方程x22(m-2)xm20,试问：
是否存在实数 m,使方程的两根的平方和等于56 ？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
解什么收获？
一元二次方程的求根是与系数的关系： 若方程 x2+px+q=0 的两根为 x1,x2, 则 x1+x2= -p, x1x2=q.
人教版九年级上册一元 二次方程根与系数的关
系（11PPT)
学习目标
（1）掌握一元二次方程的根与系数的关系． （2）会用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题．
阅读指导 阅读课本P40-41的内容.完成
（1）由一元二次方程的求根公式知： 确定的；
（2）理解并记住： 若方程 x2+px+q=0 的两根为 x1,x2, 则 x1+x2= -p, x1x2=q.
系数 ？ 根 交流展示 你能否发现 与
之间有什么关系
问题1：你能写出一个一元二次方程，使它的两个根分别
为下列各组数吗？ （1）2和3 （2）-4和7 （3）3和-8 （4）-5和-2
(1)(x-2)(x-3)=0 (2)(x+4)(x-7)=0

一元二次方程的根与系数的关系(2)(实用资料)ppt

一元二次方程的根与系数的关系(2)(实用资料)ppt

* 一元二次方程的根与系数的关系
目标突破
目标一 探究一元二次方程的根与系数的关系
例 1 教材“实践与探索”针对训练 请大家完成下面的表格：
一元二次方程 ax2＋
bx＋c＝0
x1
x2
x1＋x2 x1x2
－ba
c a
x2－2x－3＝0 __3___ __－__1__ ____2__ __－__3_ ___2__ __ *2* ．通一一过元元自二二学次次阅方方读程程、的的讨根根论与 与，系系在数数理的的解关关12一系系元二次2方2 程根与系数的关系的1 基2础上，会用根与系数的关系求相应代数式或字母的值．
一元二次方程的根与系数的关系
∴x ＋x ＋x x ＝25－x x ＝25＋6＝31. 目标一 探究一元二次方程的根与2 系数的关2系
* 一元二次方程的根与系数的关系
已知关于 x 的方程 x2－(k－1)x＋k＋1＝0 的两个实数根的平方和 等于 4，求实数 k 的值．
解：第一步：设方程的两个根分别为 x1，x2. 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝k－1，x1·x2＝k＋1. 第二步：又∵x12＋x22＝4，即(x1＋x2)2－2x1x2＝4， ∴(k－1)2－2(k＋1)＝4，即 k2－4k－5＝0， 解得 k1＝5，k2＝－1.∴实数 k 的值为 5 或－1. 以上解法正确吗？若不正确，请指出错误，并写出正确答案．
* 一元二次方程的根与系数的关系
例 3 教材补充例题 已知关于 x 的方程 x2－2x－c＝0 的一 个根是 3，求它的另一个根和 c 的值．
解：设方程的另一个根为 x1. 根据题意，可知x31x＋1＝3＝－2c，，解得xc＝1＝3－，1， 所以方程的另一个根为－1，c＝3. (本题还可以直接将一元二次方程的一个根 x＝3 代入到原方程中，求出 c 的值，再解一元二次方程，求出另一个根)

一元二次方程的根与系数的关系(2)ppt

一元二次方程的根与系数的关系(2)ppt
例 2 教材补充例题 已知方程 x2－5x－6＝0 的两根是 x1， x2，求下列代数式的值．
(1)x12＋x22＋x1x2；(2)xx12＋xx21.
* 一元二次方程的根与系数的关系
解：(1)由题意可知xx11＋x2＝x2＝－56，， ∴(x1＋x2)2＝52，即 x12＋2x1x2＋x22＝25， ∴x12＋x22＝25－2x1x2， ∴x12＋x22＋x1x2＝25－x1x2＝25＋6＝31. (2)xx12＋xx21＝x1x2＋1xx2 22＝（x1＋xx2）1x22－2x1x2＝52－2×－（6 －6）＝－367.
* 一元二次方程的根与系数的关系
[答案] 不正确．一元二次方程的根与系数的关系是以一元二次方程有两 个实数根为前提条件的．此题忽略了原方程有两个根的条件：b2－4ac>0，未将 求出的 k 值代入判别式中检验而造成错误．
正解：第三步：当 k＝5 时，b2－4ac＝ －（k－1）2－4(k＋1)＝－8<0， 不符合题意，舍去．
第1章 一元二次方程
一元二次方程的根与系数 的关系
知识目标 目标突破 总结反思
* 一元二次方程的根与系数的关系
知识目标
1．经历一元二次方程的根与系数的关系的探究过程，了解一元二 次方程的根与系数的关系．
2．通过自学阅读、讨论，在理解一元二次方程根与系数的关系的 基础上，会用根与系数的关系求相应代数式或字母的值．
当 k＝－1 时，b2－4ac＝ －（k－1）2－4(k＋1)＝4>0，∴k 的值为－1.
* 一元二次方程的根与系数的关系
已知关于 x 的方程 x2－(k－1)x＋k＋1＝0 的两个实数根的平方和 等于 4，求实数 k 的值．
解：第一步：设方程的两个根分别为 x1，x2. 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝k－1，x1·x2＝k＋1. 第二步：又∵x12＋x22＝4，即(x1＋x2)2－2x1x2＝4， ∴(k－1)2－2(k＋1)＝4，即 k2－4k－5＝0， 解得 k1＝5，k2＝－1.∴实数 k 的值为 5 或－1. 以上解法正确吗？若不正确，请指出错误，并写出正确答案．

8.5一元二次方程的根与系数的关系 (共19张PPT)

8.5一元二次方程的根与系数的关系 (共19张PPT)

东平县初中数学
根与系数关系
如果关于x的方程 x2 pxq0
的两根是 x1 , x2 ,则:
如果方程二次项系数不为1呢?
东平县初中数学
数
方 程 x1,, x2 x1,+ x2 x1. x2
学
2x2-3x-2=0
活
3x2-4x+1=0
动 三 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
（３）（x1- x2）2
东平县初中数学
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一 个根是2 ,求它的另一个根及k的值。
东平县初中数学
1、已知方程3x2－19x+m=0的一 个根是1，求它的另一个根及m的 值。 2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0 的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
3.2x2 3x 0
4.4x2 1 2x
东平县初中数学
2.设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根， 利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（1） (x1 1)( x2 1)
（2）
x2 x1 x1 x2
=
4ac 4a 2
=
东平县初中数学
1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 - 3x + 12=0 3、 2x2 - 6x =0 4、 3x2 = 4
东平县初中数学
利用根与系数的关系,求下列方程的两根之 和、两根之积:
(1)x2+7x+6=0 (2)2x2-3x-2=0
东平县初中数学
1、下列方程中，两根的和与两根 的积各是多少？
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y
o
x
快速抢答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试 确定a、b、c、△的符号：
y
o
x
快速抢答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试 确定a、b、c、△的符号：
y
o
x
中考试题分析
(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图 像如图所示，则点M（b,c/a)在
( D)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
b
a、b异号时对称轴在y轴( )侧
b＝０时对称轴是( )轴
c决定抛物线与y轴的交点 c＞０时抛物线交于y轴的( )半轴
c
c＝０时抛物线过( )点
c＜０时抛物线交于y轴的（）半轴
△决定抛物线与x轴的交点△＞０时抛物线与x轴有（）个交点
△
△＝０时抛物线与x轴有（）个交点
△＜０时抛物线于x轴（）交点
小结：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c，
…………… ……………
练习：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如上图所示，
那么下列判断正确的有（填序号）
2-4ac<0, ③、2a+b>0, ④、
a+b+c<0,
⑤、a-b+c>0,⑥、4a+2b+c<0,⑦、4a-2b+c<0.
已知二次函数y=ax2+bx+c的
（优选）二次函 数根与系数的关
系ppt讲解
1、二次函数的定义：
形如“y=ax2+bx+c （a、b、c为常数
，≠a0 ）”的函数叫二次函数。注意：自 变量x的最高次项为2 次, 变量的关系 是 整 式。
2、抛物线 y ax2 bx c（a≠0）的顶点
坐标为_(_2_ba_, _4a_c4_a_b2 )， 对称轴为直线_x___2_ba
△与抛物线的关系
数
形
a a决定开口方向：a＞０时开口向上，
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧
b
a、b异号时对称轴在y轴右侧
b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
c
c＝０时抛物线过原点
c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点
全
课
通过这节课，你
总
学到了什么?
结
a <0,b >0,c >0
中考试题分析
(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图，则不等式bx+a>0
的解为
( D)
A.x > a/b B.x > -a/b
C.x < a/b D.x < -a/b
a <0,b <0
（上海） 已知：二次函数
y=ax2+bx+c的图象如下:
①abc＞0；
② b2－4ac ＞ 0
3.已知抛物线y=ax2+bx+c （a＜0)经过点（－1，0）， 且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞0；③
－a＋b＋c＞0；④b2-2ac>5a2．其中正确的个数有（
）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
口诀
❖ 二次函数抛物线 ❖ 选定需要三个点 ❖ a的正负开口判 ❖ C的大小y轴看 ❖ △的符号最简便 ❖ 在x轴上数交点， ❖ ab同号轴左边 ❖ 图像平移a不变 ❖ 顶点牵着图象转 ❖ 三种形式可变换 ❖ 配方作用最关键
图像如图所示，下列结论：
① a+b+c＜0，②a-b+c＞0；
③ abc＞0；④b=2a
中正确个数为 ( A)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
当x= 1时,y=a+b+c
a <0,b <0,c>0
当x=-1时,y=a-b+c x=- b/2a=-1
质疑再探
通过本节课的学习，你还有哪些不明 白的地方或者又产生了哪些新的疑问？请 提出来，大家一起解决。
二次函数图像与系数的关系
学习目标：
❖ 1.探索发现二次函数的系数a.b.c. △ 的符号 及图像之间的关系。
❖ 2.由抛物线确定a.b.c. △ 及相关代数式的符 号。
自学提示：结合左边图象完成右边表格 （5分钟）
a a决定开口( )：a＞０时开口向( )，
a＜０时开口向( )
a.b同时决定对称轴位置 a、b同号时对称轴在y轴( )侧
△
△＝０时抛物线与x轴有一个交点
△＜０时抛物线于x轴没有交点
快速抢答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试 确定a、b、c、△的符号：
y
o
x
快速抢答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试 确定a、b、c、△的符号：
y
o
x
快速抢答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试 确定a、b、c、△的符号：
编题练习：根据给出的函数图象，编题考考我们
大家。
-3
1
运用拓展：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个 交点，则a可取的值为 ；
y
③ b-2a =0
④b ＞a+c
5. 4a+2b+c ＞0 其中正确的结论有： -1 o 1 x
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：
1、当x=1 时， y=a+b+c
y
2、当x=-1时，y=a-b+c
3、当x=2时， y=4a+2b+c
●
x
4、当x=-2时，y=4a-2b+c
-2 -1 o 1 2