根与系数关系ppt2

第二十一章 一元二次方程
一元二次方程的根与系数的关系
知识回顾
1.写出一元二次方程的一般式： ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式：
x1,2 b
b2 4ac 2a
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
1. 1 1 x1 x2 ; x1 x2 x1x2
2. x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2;
3. x1 x2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ;
x2 x1
x1x2
x1x2
4.( x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1;
使用条件
1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0； 2.方程有实数根，即 Δ≥0.
重要结论
1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，x1x2=q. 2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
对接中考
新知探究
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
.
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积
等于常数项与二次项系数的比．

x1+x2=-7， x1x2 = 6.
解：(2)这里 a = 2，b = -3，c = -2.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×2×(-2)
= 9+16 = 25 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=
3 2
， x1x2 = -1.
随堂练习
1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
2. 解下列方程： （1）12x2+7x+1=0；
（2）0.8x2+x=0.3；
解：（1）a=12，b=7，c=1.
∵b²-4ac=7²-4×12×1=1.
∴x=
7 1
.
24
∴x1=
1 4
，x2=

1 3
.
（2）原方程变形为8x²+10x-3=0.
这里a=8，b=10，c=-3.
∵b²-4ac=10²-4×8×(-3)=196，
(1) x2-3x-1=0；
(2) 3x2+2x-5=0.
解：(1)这里 a = 1，b = -3，c = -1. 解：(2)这里 a = 3，b = 2，c = -5.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×1×(-1)
Δ =b2-4ac = 22-4×3×(-5) = 4+60 = 64＞0，
= 9+4 = 13＞0，
新课引入 新课讲授 随堂练习 课堂小结
学习目标
01 探索一元二次方程的根与系数的关系. 02 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的 03 过程，体会从特殊到一般的思想.

汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
12
• 则x1+x2=-p，x1 x2=q
• ∴p=-(x1+x2) q= x1 x2 • ∴以x1和 x2为根的一元二次方程是
x2- (x1+x2) x+ x1 x2 =0
2020年10月2日
11
演讲完毕，谢谢观看！
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2020年10月2日
8
当堂训练（二）
• 3.已知方程2x2 ＋ 4x － 3 ＝ 0的的两个根 是 x1, x2 ，请完成下列问题：
（1）. x1 x2 ？（2）. x1 •x2 ？
（3）.
1 x1
1 x2
？
（4）.
x12 x22 ？
（5）. x1x22 ？（6）. x12 x22 ？
2020年10月2日
的两个根是 题：
x1, x2
，请完成下列问
x1 x2 ？ x1 •x2 ？
2020年10月2日
5
教师点评
• 若一个关于 x的一元二次方程
a2x b xc0(a0) 的两个根是 x1, x2 ，则有：
b x1 x2 a
x1 • x2
c a
2020年10月2日
6
当堂训练（一）——自学检测
•1.求下列方程的“两根之和”与“两 根之积”

x1 x2 x1x2
22
练习4、求一元二次方程，使它的两个根是
3
1 3
,
2
1 2
解：所求方程是
x2 (3 1 2 1)x (3 1) (2 1) 0
32
32
即
x2 5 x 25 0
63
或 6x2 5x 50 0
小结
本节通过探索得出一元二次方程的解与系数
存在的关系。并能灵活地用其解决方法解决一些
5
答：方程的另一个根是
3 5
，k的值是
7 。
想一想，还有其他方法吗？
（把 x 2 代入方程的两边，求出k）
练习2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？
(1)x2 2 2x10
(
x 1
21, x2
21)
(2)2x2 3x80
( x1 7 73 , x2 5 73 )
4
4
练习3、不解方程，求一元二次方程两个
引入问题
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发 现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
（1）x2－2x＝0；（2）x2＋3x－4＝0； （3）x2－5x＋6＝0
（1）x2－2x＝0
0
2
2
0
（2）x2＋3x－4＝0
1
-4
-3
-4
（3）x2－5x＋6＝0
2
3
5
6
观察上面的表格，你发现了什么？
c a
例1、不解方程，求方程两根的和 两根的积：
① x2 3x 1 0 ② 2x2 4x 1 0
解：①
x1 x2 3 x1 x2 1
②
x1 x2 2
x1

常见求值：
(1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1
(2)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2
(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
(3) 1 1 x1 x2
x1 x2
x1x2
x2 x1 (x1 x2 )2 2x1x2
x1 x2
x1x2
三、典型例题
总结： 1.求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之 和,两根之积的情势,再整体代入. 2.进行方程根倒数计算时，要注意根是否为0.
=2.5+0.5+1=4
三、典型例题
例1.已知x1、x2是方程2x2-5x+1=0的两个实数根，求下列各式的值：
(4)x12+x22
(5)1 1
x1 x2
(4)x12+x22=x12+2x1x2+x22-2x1x2
=(x1+x2)2-2x1x2
=2.52-2×0.5=5.25
(5) 1 1 x2 x1 x2 x1
(2)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2
(x1-x2)2 =(x1+x2)2-4x1x2
(3) 1 1 x1 x2
x1 x2
x1x2
x2 x1 (x1 x2 )2 2x1x2
x1 x2
x1x2
【当堂检测】
6.已知互不相等的实数m、n，且满足m23m50,n23n50,则m3-2n2+mn-
8m的值. 解：根据根的定义可知：m、n是方程x2+3x-5=0的两个根
∴m+n=-3，mn=-5

2
3 6 2 x1 ∴ x1 5 5 3 3 k ∴ k 5[( ) 2] 7 又∵ ( ) 2 5 5 5 3 答：方程的另一个根是 ， k 的值是 7 。 5
还可以把 x
2 代入方程的两边，求出 k
我能行3
例3、不解方程，求一元二次方程 2 x 3 x 1 0 两个根的①平方和；②倒数和。
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴(
k 1 2
, x1x2=
k 3 2
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4 ( k 1) 2 4 k 2 0
即-8k+4≥0
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
2 b b 4ac 2a
(b2-4ac≥ 0)
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0

新课导入
试一试
求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0的两根 x1 和 x2，计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数 有什么关系？
x2 + 3x – 4 = 0 的两根为 x1 = 1 和 x2 = – 4，于
是 x1 + x2 = – 3， x1·x2 = – 4.
相反数
相等
x2 + 3x – 4 = 0
二次项系数为 1 一次项系数 常数项
对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都 有这样的结果呢？
探索
推进新课
我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）. 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根 分别为
p x1
p2 2
3.已知 α，β 是方程 x2 – 3x – 5 = 0的两根，不解 方程，求下列代数式的值.
（1）1 + 1 （2） α2 + β2 （3） α – β
解：（1）1 + 1 = + = 3 = 3；
5 5
（2）α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ = 32 – 2× (–5) = 19；
教学反思
本节课先由学生探究特殊一元二次方程的 根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的 根与系数的关系，并从理论上加以推导证明， 加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑 思维能力.
（3）(α – β)2 = (α + β)2 – 4αβ = 29，
= 29.
课堂小结
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系：

x1 b b2 4ac 2a
b b2 4ac x2
2a
b b2 4ac
X1+x2=
2a
2b
=
=
-b
2a
a
b b2 4ac
+
2a
X1x2= b
b2 4ac 2a
● b b2 4ac 2a
=
(b)2 ( b2 4ac)2 4a 2
=
4ac 4a 2
=
c a
2
,
x1 ·x2=
3 2
∴
(x1+1)(x2+1)
=
x1 x2
+
(x1+x2)+1
=-2+(
3 2
)+1=
5 2
一元二次方程根与系数的关系： (1)当二次项系数为1的时候关于x的方程
x2 +px+q=0两根为x1,x2(p,q为常数). 则：x1+x2=-p, x1x2=q
(2)关于x的方程 ax2 bx c 0a 0
x2 2
4x1x2
4 9
12
12
Hale Waihona Puke 4 9例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解法一：设方程的另一个根为x1. 由根与系数的关系，得 x1 ＋2= k+1 x1 ●2= 3k 解这方程组，得 x1 =－3 k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
两根为
x1, x2
,则,
x1
x2
b a , x1x2
c a
设方程ax2 bx c 0(a 0)的两根

求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1



1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.


;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1

推导 小竞赛
例1
例2
小结
小测验
结论
探究
知识小竞赛
设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表
一元二次方程 x1 + x2
x1 ·x2
x2 5x 6 0
5
6
2x2 5x 3 0
5 2
3 2
6x2 x 2 0
1 6
1 3
1、根据所填写的表格，你能发现x1 + x2 ， x1 ·x2与方 程 的系数有什么关系？
返回
结论
如果ax2 bx c 0, a 0的两个根是x1, x2
那么x1

x2


b a
,
x1
•
x2

c a
特例
如果x2 px q 0, a 0的两个根是x1, x2
那么x1 x2 p, x1 • x2 q
返回
公式的特例
如果x2 px q 0, a 0的两个根是x1, x2



3
2


2



1


13
2 2 4
2 1 1 x1 x2 3 1 3
x1 x2 x1x2 2 2
返回
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
3.2x2 3x 0
4.4x2 1 2x
2、已知方程 3x2 19x m 0 的一个根是 1，
求它的另一个根和m的值。
3、设 x1 、 x2是方程 2x2 4x 3 0 利用

3、 2x2 - 6x =0
x1+x2=3
4、 3x2 = 4
x1+x2=0
x1x2=-1
1
x1x2= 4
x1x2=0
x1x2=
-
4 3
根与系数关系小结
对于一元二次方程
的两根
1、已知方程的一个根求另一个根及未知数 （也可以用根的定义求解）
2、求关于两根的代数式的值 如:两根的平方和、两根的倒数和等
-
2
,
x1
·x2=
3 2
∴
(x1+1)(x2+1)
=
x1
x2
+
(x1+x2)+1
=-2+(
3 2
)+1=
5 2
练习1
已知关于x的方程 x2 (m 1)x 2m 1 0
当m= －1 时,此方程的两根互为相反数. 当m= 1 时,此方程的两根互为倒数.
分析:1. x1 x2 m 1 0
3、以x1、x2 为根的一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0，
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。
求：(1)
1 1 x1 x2
(2) x12+x22
解：由题意可知x1+x2=
-
2 3
, x1 ·x2=-3
(1) 1 1 = x1 x2
x1 x2
x1 x2
=
2 3
1
2
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程
的两根则: a2 a 2 0
求得 a1 2, a2 1 ∴两数为2,－１
练习4 已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根

求证：
x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
推导:
bb24a cbb24a c x1x2 2a 2a
b b24acb b24ac
2a
2b 2a
b a
x1x2b2 b a 24a cb2 b a 24ac
b2
b24ac 4a2
4 ac 4a2
c a
如果一元二次方程 a2xb xc0(a0) 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，那么：
分所即由得别以：于：是：kx =xx12-1 7•x 1xx2 、2 53x2 22 x，2(其5 3)56中xk 5 1 2
。
答：方程的另一个根是 3 ，k=-7
5
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2， 求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2， 求它的另一个根及k的值。
1.一元二次方程的一般形式是什么？
a2xb xc0(a0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
xbb24ac(b24a c0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 两个不相等的实数根
b24ac 0 两个相等的实数根
0 没有实数根
填写下表：
方程
两个根
x1 x2
x23x40 4 1
例6 方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时, 方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？ 方程的一根为零？
解:(m1)24(2m1)m26m5 ①∵两根互为相反数
∴两根之和m10,m1,且0 ∴m1时,方程的两根互为相反数.
②∵两根互为倒数 m26m5, ∴两根之积2m11 m1且0, ∴m1时,方程的两根互为倒数.

-5 2
(3) x1－x2. 41
2
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
巩固练习
练 习 8 关于x的一元二次方程x2+3x+m-
1=0的两个实数根分别为x1，x2.
(1)求m的取值范围；
Δ≥0，即32－4(m－1)≥0，解得m≤
x1x2
c a
自主探究
3.典型例题
例4 根据一元二次方程的根与系数的关系， 求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
（1） x 2 - 6x - 15 = 0 x1 + x2 = 6
7 （2）3x 2 + 7x - 9 = 0 x1 + x2 = 3
（3）5x - 1 = 4x 2
5 x1 + x2 = 4
m=8
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
师生小结
(1)通过本节课的学习，你有哪些收获？ (2)你还有什么疑惑？说给大家听听.
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
x1 x2 = -15 x1 x2 = -3
1 x1 x2 = 4
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
巩固练习
4.巩固练习
练习1 不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（1） x 2 - 3x = 15
x1 + x2 = 3
（2） 3x 2 + 2 = 1- 4x

我幸，今生在最美的时光遇见了你。张 爱玲说 ，因为 爱了， 所以慈 悲。因 为懂得 ，所以 宽容。 总有那 么一个 人，即 便全世 界都不 爱你， 也会为 你低眉 ，为你 垂泪， 为你留 一盏温 暖的灯 ，默默 守护在 你身旁 ，在清 浅的时 光里， 陪你看 草长莺 飞，陪 你数散 落星辰 ！
因为有缘，你我同住同修，同见同知， 相互依 靠，相 互取暖 。生死 契阔， 与子成 说;执子 之手， 与子携 老。爱 ，最长 情的告 白，不 是千万 句“我 爱你” ，也不 是春花 秋月前 的山盟 海誓， 天长地 久。而 是愿意 用其一 生的光 阴来陪 伴你， 来包容 你！即 便在寡 味的日 子里， 也会用 爱去 浇灌， 用心去 呵护， 为你种 出一朵 妖艳之 花，㶷 烂至极 。
“十年生死两茫茫，不思量，自难忘。 千里孤 坟，无 处话凄 凉。纵 使相逢 应不识 ，尘满 面，鬓 如霜“ 。如若 今生， 你我遇 到一个 愿意为 自己陪 伴一生 的人， 那么， 请握紧 现在手 中的幸 福，珍 惜彼此 ，别等 失去， 再话凄 凉……
可惜，世间不是所有的缘份都来得刚刚 好，在 合适的 季节里 你我相 遇相逢 。就如 徐志摩 遇到林 徵因， 写下“ 轻轻的 我走了 ，正如 我轻轻 的来； 我轻轻 的招手 ，作别 西天的 云彩… …”一 首再别 康桥道 出无尽 的思念 ，却因 是一场 三角之 恋，不 得不放 手。还 有张爱 玲遇见 文人汉 奸胡兰 成，在 信里写 道：“ 在你面 前我变 得很低 很低， 低到尘 埃里。 但我的 心里是 喜欢的 ，从尘 埃里开 出花来 。”
4.6 一元二次方程根与 系数的关系
1. 填表
方程
x1, x2 x1+ x2 x1. x2
① x2-3x+2=0