最新人教版高中数学选修1-1选修1-1模块综合测评二(附答案)

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单元质量评估(二)第二章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则k应满足的条件是( )A.k>3B.2<k<3C.k=2D.0<k<2【解析】选C. k>0,=,所以k=2.2.(2016·菏泽高二检测)若双曲线的顶点为椭圆x2+=1长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程为( )A.x2-y2=1B.y2-x2=1C.x2-y2=2D.y2-x2=2【解析】选D.由题意设双曲线方程为-=1,离心率为e,椭圆x2+=1长轴端点为(0,),所以a=,又椭圆的离心率为,所以双曲线的离心率为,所以c=2,b=,则双曲线的方程为y2-x2=2.3.(2016·浙江高考)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1D.m<n且e1e2<1【解题指南】根据椭圆与双曲线离心率的定义求解,注意a2,b2与c2的关系.【解析】选A.由题意知m2-1=n2+1,即m2=n2+2,(e1e2)2=·=,因为m2=n2+2,m>1,n>0,所以m>n,(e1e2)2>1,所以e1e2>1.4.(2016·潍坊高二检测)设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.因为y2=8x的焦点为(2,0),所以+=1的右焦点为(2,0),所以m>n且c=2.又e==,所以m=4.因为c2=m2-n2=4,所以n2=12.所以椭圆方程为+=1.【补偿训练】(2016·成都高二检测)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解题指南】先根据题意设出双曲线的方程-=1,然后与直线方程联立方程组,消元得二元一次方程,根据根与系数的关系及MN中点的横坐标建立a,b的一个方程,又双曲线中有c2=a2+b2,则另得a,b的一个方程,最后解a,b的方程组即得双曲线方程.【解析】选B.设双曲线方程为-=1,将y=x-1代入-=1,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由根与系数的关系得x1+x2=,则==-.又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5,所以双曲线的方程为-=1.5.P是长轴在x轴上的椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是( )A.1B.a2C.b2D. c2【解析】选D.由椭圆的几何性质得|PF1|∈,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|≤=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2≥-c2+a2=b2,所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2-b2=c2.6.(2016·天津高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p= ( )A.1B.C.2D.3【解析】选 C.因为e=2,所以b2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,不妨设A=,B,则AB=p,又三角形的高为,则S△AOB=××p=,即p2=4,又因为p>0,所以p=2.7.(2016·东营高二检测)已知点P是抛物线y2=-8x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+y-10=0的距离是d2,则d1+d2的最小值是( )A. B.2C.6D.3【解析】选C.抛物线y2=-8x的焦点F(-2,0),根据抛物线的定义知,d1+d2=|PF|+d2,显然当由点F向直线x+y-10=0作垂线与抛物线的交点为P时,d1+d2取到最小值,即=6.8.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k等于( )A.2或-1B.-1C.2D.1±【解析】选C.由消去y得,k2x2-4(k+2)x+4=0,故Δ=2-4k2×4=64(1+k)>0,解得k>-1,由x1+x2==4,解得k=-1或k=2,又因为k>-1,故k=2.【易错警示】本题易忽略Δ>0而错选A.9.(2016·邯郸高二检测)设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±2x【解析】选A.由题意得解得所以a==,因此双曲线的方程为-y2=1,所以渐近线方程为y=±x.10.(2015·福建高考)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形AFBF2为平行四边形,所以+=+=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=b≥⇒b≥1,所以e==≤=,又e∈(0,1),所以e∈.11.(2016·哈尔滨高二检测)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的标准方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),所以两式相减得,=,即=,因为x1+x2=2,y1+y2=-2,所以k==,又因为k==,所以=,又因为c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,所以b2=9,a2=18,即E的标准方程为+=1.12.(2016·宝鸡高二检测)设抛物线C:y2=3px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为( )A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由已知得F,A(0,2),M,因为AF⊥AM,所以k AF·k AM=-1,即×=-1,所以-8y0+16=0,所以y0=4,所以M,因为|MF|=5,所以5=,所以=9.所以-=3或-=-3,所以9p2-36p-64=0,①或9p2+36p-64=0,②由①得p=-(舍),p=.由②得p=,p=-,所以C的方程为y2=4x或y2=16x.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.椭圆mx2+ny2=1与直线l:x+y=1交于M,N两点,过原点与线段MN中点的直线斜率为,则= .【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2),所以m+n=1 ①m+n=1 ②又因为=-1,所以①-②得:m=n·,因为==,所以m=n,所以=.答案:14.直线y=kx+1(k∈R)与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围为.【解析】将y=kx+1代入椭圆方程,消去y并整理,得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0.由m>0,5k2≥0,知m+5k2>0,故Δ=100k2-4(m+5k2)(5-5m)≥0对k∈R恒成立.即5k2≥1-m对k∈R恒成立,故1-m≤0,所以m≥1.又因为m≠5,所以m的取值范围是m≥1且m≠5.答案:m≥1且m≠5【易错警示】本题易忽略隐含条件m≠5而出错.15.(2015·山东高考)过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P,若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.【解题指南】本题是双曲线性质的综合应用,应从焦点和渐近线出发构造a,b,c的关系,进而求出离心率e.【解析】将y=(x-c)代入-=1消去y得-=1,因为x P=2a<c,所以-=1,化简得3a2=(2a-c)2,即a=c-2a,所以e=2+.答案:2+【补偿训练】(2016·济宁高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤c,因为e=,0<e<1,所以≤e<1.16.(2015·浙江高考)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.【解题指南】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a,b,c的关系.【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e==.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交点为P,求抛物线方程和双曲线方程.【解析】依题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),因为点在抛物线上,所以6=2p×,所以p=2,所以所求抛物线方程为y2=4x.因为双曲线左焦点在抛物线的准线x=-1上,所以c=1,即a2+b2=1,又点在双曲线上,所以-=1,由解得a2=,b2=.所以所求双曲线方程为4x2-y2=1.【补偿训练】若已知椭圆+=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点P,求椭圆及双曲线的方程.【解析】由椭圆与双曲线有相同的焦点得10-m=1+b,即m=9-b,①又因为点P在椭圆、双曲线上,所以y2=m,②y2=.③解由①②③组成的方程组得m=1,b=8,所以椭圆方程为+y2=1,双曲线方程为x2-=1.18.(12分)求以直线x+2y=0为渐近线,且截直线x-y-3=0所得弦长为的双曲线的标准方程.【解析】由于双曲线的渐近线方程为x+2y=0,故可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).设直线x-y-3=0与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组消去y,整理得3x2-24x+36+λ=0.由Δ=(-24)2-3×4(36+λ)>0,解得λ<12.由根与系数关系可得代入弦长公式中,|AB|=|x1-x2|=·=·=,于是=,解得λ=4(与λ<12符合).故所求的双曲线的标准方程为-y2=1.19.(12分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程.(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.【解析】(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4,方程4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),又=8x3,即2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.20.(12分)已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求:(1)椭圆的方程.(2)△PF1F2的面积.【解析】(1)令F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),则b2=a2-c2.因为PF1⊥PF2,所以·=-1,即·=-1,解得c=5,所以设椭圆方程为+=1.因为点P(3,4)在椭圆上,所以+=1.解得a2=45或a2=5.又因为a>c,所以a2=5(舍去).故所求椭圆方程为+=1.(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,①又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,②①2-②得2|PF1|·|PF2|=80,所以=|PF1|·|PF2|=20.【补偿训练】已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA 与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.另一方面,由直线OA到l的距离d=,可得=,解得t=±1.因为-1∉,1∈,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.21.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若=m,=n,求m+n的值.【解析】(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).抛物线方程可化为x2=4y,其焦点为(0,1),则椭圆C的一个顶点为(0,1),即b=1.由e===.得a2=5,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2),代入方程+y2=1,得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.所以x1+x2=,x1x2=.又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).因为=m,=n,所以m=,n=,所以m+n=,又2x1x2-2(x1+x2)==-,4-2(x1+x2)+x1x2=4-+=,所以m+n=10.22.(12分)(2016·北京高考)已知椭圆C:+=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率.(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.【解题指南】(1)把A,B两点代入可求得a,b.(2)设P(x0,y0),表示出直线AP,BP方程,求出点M,N坐标,表示出面积.再利用点P在椭圆上化简整理为定值.【解析】(1)把A(2,0),B(0,1)分别代入椭圆方程得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1. 因为c==,所以离心率e==.(2)设P(x0,y0),其中x0<0,y0<0.则直线AP方程为y=(x-2),直线BP方程为y=x+1.所以M,N.所以|AN|=2+,|BM|=+1.所以四边形ABNM的面积为S=|AN||BM|==××==.因为点P在椭圆C上,所以=4-4.代入上式得S ===2.因此,四边形ABNM的面积为定值2.关闭Word文档返回原板块。

模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．(·北京高考)设，是实数，则“>”是“>”的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．既不充分也不必要条件．充要条件【解析】设＝，＝－，则有>，但<，故>⇒>；设＝－，＝，显然>，但<，即>⇒>.故“>”是“>”的既不充分也不必要条件．【答案】．过点(，－)的抛物线的标准方程为( )．＝或＝－．＝．＝－或＝．＝－或＝【解析】(，－)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为＝(＞)或＝－(＞)，代入(，－)得＝或＝－.故选.【答案】．(·南阳高二检测)下列命题中，正确命题的个数是( )①命题“若－＋＝，则＝”的逆否命题为“若≠，则－＋≠”；②“∨为真”是“∧为真”的充分不必要条件；③若∧为假命题，则，均为假命题；④对命题：∃∈，使得＋＋<，则¬：∀∈，均有＋＋≥.．．．．【解析】①正确；②由∨为真可知，，至少有一个是真命题即可，所以∧不一定是真命题；反之，∧是真命题，，均为真命题，所以∨一定是真命题，②不正确；③若∧为假命题，则，至少有一个假命题，③不正确；④正确．【答案】．函数()＝＋′()，则(－)与()的大小关系为( )．(－)<()．(－)＝()．无法确定．(－)>()【解析】′()＝＋′()，令＝，得′()＝＋′()，∴′()＝－.∴()＝＋·′()＝－，()＝－，(－)＝.∴(－)>()．【答案】．(·福建高考)命题“∀∈[，＋∞)，＋≥”的否定是( )．∀∈(－∞，)，＋<．∀∈(－∞，)，＋≥．∃∈[，＋∞)，＋<．∃∈[，＋∞)，＋≥【解析】故原命题的否定为：∃∈[，＋∞)，＋<.故选.【答案】．已知双曲线的离心率＝，且与椭圆＋＝有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )．＝±．＝±．＝±．＝±【解析】双曲线的焦点为(±)，＝＝，∴＝，＝＝，∴渐近线方程。

选修1－1综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出旳四个选项中，只有一项是符合题目规定旳)1．(·天津高考)命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”旳否认是( )A ．不存在x 0∈R,2x 0>0B ．存在x 0∈R,2x 0≥0C ．对任意旳x ∈R,2x ≤0D ．对任意旳x ∈R,2x >02．设p ：不小于90°旳角叫钝角，q ：三角形三边旳垂直平分线交于一点，则p 与q 旳复合命题旳真假是( )A ．“p ∨q ”假B ．“p ∧q ”真C ．“¬q ”真D ．“p ∨q ”真3．已知抛物线x 2＝4y 旳焦点F 和点A (－1,8)，点P 为抛物线上一点，则|P A |＋|PF |旳最小值为( ) A ．16 B ．6 C ．12D ．94．如果双曲线通过点(6，3)，且它旳两条渐近线方程是y ＝±13x ，那么双曲线方程是( )A.x 236－y 29＝1B.x 281－y 29＝1C.x 29－y 2＝1D.x 218－y 23＝1 5．设f (x )可导，且f ′(0)＝0，又lim x →0f ′(x )x＝－1，则f (0)＝( ) A ．也许不是f (x )旳极值 B ．一定是f (x )旳极值 C ．一定是f (x )旳极小值 D ．等于0 6．下列判断不对旳．．．旳是( ) A ．命题“若p 则q ”与“若¬q 则¬p ”互为逆否命题 B ．“am 2<bm 2”是“a <b ”旳充要条件C ．“矩形旳两条对角线相等”旳否认为假D ．命题“∅{1,2}或4∈{1,2}”为真7．(·广东文，8)“x ＞0”是“3x 2＞0”成立旳( )A ．充足非必要条件B ．必要非充足条件C ．非充足非必要条件D ．充要条件 8．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上旳最大值和最小值依次是( ) A ．12，－15B ．5，－15C ．5，－4D ．－4，－159．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x －1有极大值和极小值，则a 旳取值范畴是( ) A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >210．(·山东文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1旳直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 旳中点旳纵坐标为2，则该抛物线旳准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－211．设F 1、F 2是双曲线x 24a －y 2a ＝1旳两个焦点，点P 在双曲线上，∠F 1PF 2＝90°，若Rt △F 1PF 2旳面积是1，则a 旳值是( )A ．1 B.52C ．2D. 512．下列四图都是同一坐标中某三次函数及其导函数旳图象，其中一定不对旳旳序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 二、填空题(本大题共4个小题，每题4分，共16分，将对旳答案填在题中横线上)13．实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0旳两个实根一种比1大，一种比1小旳充要条件是________．14．使y ＝sin x ＋ax 为R 上旳增函数旳a 旳范畴为______．15．一座抛物线形拱桥，高水位时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，当水面下降1m 后，水面宽________m.16．如下四个有关圆锥曲线旳命题：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|P A →|－|PB →|＝k ，则动点P 旳轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆旳动弦AB ，O 为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB →)，则动点P旳轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0旳两根可分别作为椭圆和双曲线旳离心率； ④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相似旳焦点．其中真命题旳序号为________(写出所有真命题旳序号)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节) 17．(本题满分12分)已知P ：{x |a －4<x <a ＋4}，Q ：{x |x 2－4x ＋3<0}，且x ∈P 是x ∈Q旳必要条件，求实数a旳取值范畴．18．(本题满分12分)求与⊙C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切且与⊙C2：(x－1)2＋y2＝9相内切旳动圆圆心P旳轨迹方程．19．(本题满分12分)过抛物线y＝ax2(a>0)旳顶点O作两条互相垂直旳弦OP和OQ，求证：直线PQ恒过一种定点．20．(本题满分12分)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝log a(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同旳两点，如果p与q有且只有一种对旳，求a旳取值范畴．21．(本题满分12分)设a∈R，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)旳单调区间；(2)当x∈[0,2]时，若|f(x)|≤2恒成立，求a旳取值范畴．22．(本题满分14分)(·重庆文，19)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)旳体现式：(2)讨论g(x)旳单调性，并求g(x)在区间[1,2]上旳最大值与最小值．1[答案] D[解析]特称命题旳否认为全称命题，故选D.2[答案] D[解析]p假，q真，故“p∨q”真．3[答案] D[解析]如图，过点A作准线旳垂线，B为垂足，与抛物线交于一点P，则点P为所求旳点，|P A|＋|PF|旳最小值为|AB|旳长度．4[答案] C[解析] 设双曲线方程为⎝⎛⎭⎫13x ＋y ⎝⎛⎭⎫13x －y ＝λ将点(6，3)代入求出λ即可．答案C. 5[答案] B [解析] 由lim x →0f ′(x )x ＝－1，故存在具有0旳区间(a ，b )使当x ∈(a ，b )，x ≠0时，f ′(x )x<0，于是当x ∈(a,0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，b )时，f ′(x )<0，这样f (x )在(a,0)上单增，在(0，b )上单减．6[答案] B[解析] am 2<bm 2⇒a <b ，但a <b ⇒/ am 2<bm 2. 例如：m ＝0时． 7[答案] A[解析] 本题考察了充要条件旳鉴定问题，此类问题旳判断一般分两个方向进行，x >0显然能推出3x 2>0，而3x 2>0⇔|x |>0⇔x ≠0，不能推出x >0，故选A.8[答案] B[解析] y ′＝6x 2－6x －12＝6(x 2－x －2)＝6(x －2)(x ＋1)，令y ′＝0，得x ＝－1或x ＝2，∵x ∈[0,3]，∴x ＝－1舍去．列表如下：x 0 (0,2) 2 (2,3) 3 f ′(x ) －0 ＋f (x )5极小值－15－49[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，令f ′(x )＝0， 即3x 2＋2ax ＋a ＋6＝0，由题意，得Δ＝4a 2－12(a ＋6)＝4(a 2－3a －18)＝4(a －6)(a ＋3)>0， ∴a >6或a <－3，故选C. 10[答案] B[解析] 本题考察了抛物线旳方程及中点弦问题，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)， ∴y 1＋y 22＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.11[答案] A[解析] ∵||PF 1|－|PF 2||＝4a (a >0)， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝16a ，又∵∠F 1PF 2＝90°，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝20a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2a ，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝a ＝1.12[答案] B[解析] 二次函数为导函数，③中x <0时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，0)内应递增，故③为假，同理，知④也为假．13[答案] a ＋b ＋1<0[解析] 实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0旳两个实根一种比1大，一种比1小旳充要条件是f (1)＝a ＋b ＋1<0.14[答案] a ≥1[解析] y ′＝cos x ＋a ≥0在R 上恒成立， ∴a ≥－cos x 在R 上恒成立，又cos x ∈[－1,1]，∴－cos x ∈[－1,1]，∴a ≥1. 15[答案] 2 6[解析] 设抛物线方程为：x 2＝－2py (p >0)，点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1， 设水面下降1m 后，水面宽2x m ，则点(x ，－3)在抛物线上，∴x 2＝6，∴x ＝ 6. 16[答案] ③④[解析] ①中当k ＝|AB |时，点P 旳轨迹是一条射线．②中，点P 旳轨迹是以AC 中点为圆心，以定圆半径旳一半长为半径旳圆． 17[解析] 由于P ：{x |a －4<x <a ＋4}，Q ：{x |1<x <3}，又由于x ∈P 是x ∈Q 旳必要条件，因此Q ⊆P ，因此⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3⇒⎩⎨⎧a ≤5a ≥－1，即－1≤a ≤5.18[解析] 设动圆圆心P 旳坐标为(x ，y )，半径为r ， 由题意得|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝3－r ， ∴|PC 1|＋|PC 2|＝r ＋1＋3－r ＝4>|C 1C 2|＝2，由椭圆定义知，动圆圆心P 旳轨迹是以C 1、C 2为焦点，长轴长2a ＝4旳椭圆，椭圆方程为：x 24＋y 23＝1.19[解析] 证明：设P (x 1，ax 21)，Q (x 2，ax 22)，则直线PQ 旳斜率为k PQ ＝a (x 1＋x 2)∴其方程为y －ax 21＝a (x 1＋x 2)(x －x 1)， 即y －a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0，∵OP ⊥OQ ，∴k OP ·k OQ ＝－1⇒a 2x 1·x 2＝－1. ∴y －1a ＝a (x 1＋x 2)(x －0)．∴PQ 恒过定点⎝⎛⎭⎫0，1a . 20[解析] 当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减； 当a >1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同两点等价于(2a －3)2－4>0. 即a <12或a >52.(1)p 对旳，q 不对旳．则a ∈(0,1)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪12≤a ≤52且a ≠1，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1. (2)p 不对旳，q 对旳．则a ∈(1，＋∞)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a <12或a >52， 即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞.综上，a 取值范畴为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 21[解析] (1)对函数f (x )求导数， 得f ′(x )＝3x 2－2x －1.令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13；令f ′(x )<0，解得－13<x <1.因此，f (x )旳单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，f (x )旳单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－13，1.(2)由(1)知，f (x )在(0,1)上是递减旳，在(1,2)上是递增旳， 因此，f (x )在[0,2]上旳最小值为f (1)＝－1＋a ； 由f (0)＝a ，f (2)＝2＋a ，知f (0)<f (2)， 因此，f (x )在[0,2]上旳最大值为f (2)＝2＋a . 由于，当x ∈[0,2]时， |f (x )|≤2⇔－2≤f (x )≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a ≥－22＋a ≤2，解得－1≤a ≤0，即a 旳取值范畴是[－1,0]．22[解析] 本题重要考察函数旳奇偶性、单调性、最值等基本知识．考察导数在函数中旳应用，同步还考察综合分析问题和解决问题旳能力．解：(1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .由于函数g (x )是奇函数，因此g (－x )＝－g (x )，即对任意x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(ba ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0.因此f (x )旳解析体现式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，因此g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0.解得x 1＝2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0时，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间[－2，2]上是增函数，由单调性可知，在区间[1,2]上旳最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时获得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43. 因此g (x )在区间[1,2]上旳最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.。

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综合质量评估第一至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的( )A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.非充分必要条件【解析】选A.解不等式x2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x2-2x>0”的充分不必要条件.2.(2016·临沂高二检测)命题:“∀x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是( )A.∀x∈R,都有x2-x+1≤0B.∃x0∈R,使-x0+1>0C.∃x0∈R,使-x0+1≤0D.∃x0∈R,使x2-x0+1<0【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f′(x)的图象可能是( )【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f′(x)<0.4.(2016·河南南阳高二期末)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-1时取得极值,则a等于( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知f′(-1)=0,解得a=3.5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为( )A.1B.C.-D.-1【解析】选A.y′=2ax,于是曲线y=ax2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.6.已知点P是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于( )A.7B.6C.5D.3【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF2|.【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x±ay=0,则a=2,双曲线中c=,b=3,由|PF1|=3知P为双曲线左支上一点,则|PF2|=|PF1|+4=7.7.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意知=,得a2=4b2,又a>b>0,所以a=2b.所以双曲线的离心率e===.【补偿训练】设双曲线-=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )A. B.5 C. D.【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得k=±2,即=2,故双曲线的离心率e====.8.(2016·青岛高二检测)设函数f(x)=x2-9lnx在区间上单调递减,则实数a的取值范围是( )A.(1,2]B. D.(0,3]【解析】选A.f′(x)=x-=(x>0),令f′(x)≤0得0<x≤3.所以f(x)在(0,3]上单调递减,所以解得1<a≤2.9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1.10.(2016·大连高二检测)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.因为△OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,又因为圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,所以+=6,p=8.11.(2015·济南二模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则的取值范围是( )A.(0,2)B.(1,3)C. D.【解析】选B.因为f(x)=x3+ax2+bx+c,所以f′(x)=x2+ax+b.因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,所以f′(x)=x2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,f′(0)<0,f′(-1)>0,f′(1)>0,即在aOb坐标系中画出其表示的区域,如图,=1+2×,令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,分析可得0<<1,则1<<3,所以的取值范围是(1,3).12.(2016·厦门模拟)若点O和点F(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )A.∪∪(3,+∞).18.(12分)(2016·衡水高二检测)已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围.(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.【解析】(1)f′(x)=3x2-x+b,f(x)的图象上有与x轴平行的切线,则f′(x)=0有实数解.即方程3x2-x+b=0有实数解.所以Δ=1-12b≥0,解得b≤.(2)由题意,得x=1是方程3x2-x+b=0的一个根,设另一个根为x0,则解得所以f(x)=x3-x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2.当x∈时,f′(x)<0;当x∈(1,2]∪时,f′(x)>0.所以当x=-时,f(x)有极大值+c,又f(-1)=+c,f(2)=2+c,所以当x∈时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.因为当x∈时,f(x)<c2恒成立.所以c2>2+c,解得c<-1或c>2,所以c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).19.(12分)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.(1)求此椭圆的方程.(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. 【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=,=,所以a=2,b2=a2-c2=1.所以所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得m2<5(*).设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|===2.解得m2=,满足(*),所以m=±.20.(12分)已知函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(a>0).(1)当f(x)的极小值为-,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.(2)若f(x)在区间上为增函数,在区间上是减函数,在上是增函数, 在上是减函数,在上是增函数,在上为增函数,在区间=-4,所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=1++1-4==1.解得k=±2.(2)因为y1>0,所以tan∠ATF===≤1.当且仅当y1=即y1=2时取等号.故∠ATF的最大值为.22.(12分)已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=3时,函数f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).所以当1<x<2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<1或x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(2)由f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+ax-2,因为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1).因为f′(x)=-+-2,其图象开口向下,对称轴为x=.①当≤1即a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f′(x)max=f′(1)=a-3,由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a≤2.②当>1即a>2时,f′(x)在上单调减增,在上单调递减,所以f′(x)max=f′=-2,由-2<2(a-1),得0<a<8,此时2<a<8,综上可得,实数a的取值范围为(-1,8).关闭Word文档返回原板块。

模块综合检测(一)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．(新课标全国卷Ⅱ)设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，＝＋，则＝()．．－．－－．－＋解析：选由题意可知＝－＋，所以＝(＋)·(－＋)＝－＝－.．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()．梯形．三角形．平行四边形．矩形解析：选只有平行四边形与平行六面体较为接近．．实数的结构图如图所示，其中三个方格中的内容分别为()．有理数、零、整数．有理数、整数、零．零、有理数、整数．整数、有理数、零解析：选由实数的包含关系知正确．．已知数列，＋，＋＋，＋＋＋，…，则数列的第项是()．＋＋＋…＋．－＋＋…＋－．－＋＋…＋．－＋＋…＋－解析：选利用归纳推理可知，第项中第一个数为－，且第项中有项，次数连续，故第项为－＋＋…＋－.．下列推理正确的是()．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖．因为>，>，所以－>－．若，均为正实数，则＋≥· )．若为正实数，<，则＋＝－＋≤－＝－解析：选中推理形式错误，故错；中，关系不确定，故错；中，正负不确定，故错．．已知复数＝＋，＝－.若为实数，则实数的值为()．－．－解析：选＝＝＝.∵为实数，∴＋＝，∴＝－.．观察下列等式：(＋)＝×(＋)(＋)＝××(＋)(＋)(＋)＝×××…照此规律，第个等式为()．(＋)(＋)…(＋)＝×××…×(－)．(＋)(＋)…(＋＋＋)＝×××…×(－)．(＋)(＋)…(＋)＝×××…×(＋)．(＋)(＋)…(＋＋)＝＋×××…×(－)解析：选观察规律，等号左侧为(＋)(＋)…(＋)，等号右侧分两部分，一部分是，另一部分是××…×(－)．．观察下列各式：＝＝＝，…，则的末四位数字为()．．．．解析：选∵＝＝＝，＝＝＝，…，∴(∈，且≥)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为.记(∈，且≥)的末四位数为()，则( )＝(×＋)＝()，∴与的末四位数相同，均为 .．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的的值是()。

章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是( )A ．x ＝132B ．y ＝2C ．y ＝132D ．y ＝－2【解析】 将y ＝－18x 2化为标准形式为x 2＝－8y ，故准线方程为y ＝2.【答案】 B2．(2015·安徽高考)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1C ．x 2－y 22＝1D.x 22－y 2＝1 【解析】 法一 由渐近线方程为y ＝±2x ，可得y2＝±x ，所以双曲线的标准方程可以为x 2－y 24＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或y 24－x 2＝1，舍去.法二 A 中的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中的渐近线方程为y ＝±12x ；C 中的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中的渐近线方程为y ＝±22x .故选A.【答案】 A3．(2015·湖南高考)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53【解析】 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝169. 又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53. 【答案】 D4．抛物线y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )【导学号：26160065】A ．(1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116C ．(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 【解析】 ∵y 2＝14x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0，∴关于直线y ＝x 对称后抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，116.【答案】 B5．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF1→·PF 2→的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6【解析】 设P (x 0，y 0)，又F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴PF1→＝(－2－x 0，－y 0)，PF 2→＝(2－x 0，－y 0)．|F 1F 2|＝4. S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6，∴PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－4＝6＋1－4＝3.【答案】 B6．(2016·泰安高二检测)有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A ．23pB ．43pC ．63pD ．83p【解析】 设A 、B 在y 2＝2px 上，另一个顶点为O ，则A 、B 关于x 轴对称，则∠AOx ＝30°，则OA 的方程为y ＝33x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，y 2＝2px ，得y ＝23p ，∴△AOB 的边长为43p .【答案】 B7．已知|A B →|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，O P →＝13O A →＋23O B →，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 24＋y 2＝1B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1【解析】 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|A B →|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.【答案】 A8．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的中心的弦F 1为一个焦点，则△ABF 1的最大面积是(c 为半焦距)( )A ．acB ．abC ．bcD ．b 2【解析】 △ABF 1的面积为c ·|y A |，因此当|y A |最大， 即|y A |＝b 时，面积最大．故选C. 【答案】 C9．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7B.72C.74D.752【解析】 |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6， 则|AF 2|＝6－|AF 1|，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，即(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， 解得|AF 1|＝72，所以S ＝12×72×22×22＝72.【答案】 B10．(2015·重庆高考)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2【解析】 由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2ac ＋a ·－b 2ac －a＝－1，整理得a ＝b . ∵渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1.【答案】 C11．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积是( )A ．3 2B ．2 2 C. 2D.322【解析】 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x －1y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝32 2.【答案】 D12．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2【解析】 由题意，知a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，∴直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12，故选C. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.【解析】 由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2＝1.又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3.又b >0，所以b ＝ 3.【答案】314．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2.【答案】215.如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的右焦点F，且两条曲线的交点连线也经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________．图1【解析】 由条件知，c ＝p2，∴其中一个交点坐标为(c,2c )，∴c 2a 2＋4c 2b2＝1，∴e 4－6e 2＋1＝0， 解得e 2＝3±22，∴e ＝±(2±1)． 又0<e <1，故e ＝2－1. 【答案】2－116．(2015·上海高考)已知双曲线C 1、C 2的顶点重合，C 1的方程为x 24－y 2＝1，若C 2的一条渐近线的斜率是C 1的一条渐近线的斜率的2倍，则C 2的方程为________．【解析】 因为C 1的方程为x 24－y 2＝1，所以C 1的一条渐近线的斜率k 1＝12，所以C 2的一条渐近线的斜率k 2＝1，因为双曲线C 1、C 2的顶点重合，即焦点都在x 轴上，设C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以a ＝b ＝2，所以C 2的方程为x 24－y 24＝1.【答案】x 24－y 24＝1 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0,5)，点P (3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．【解】 由共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0,5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1，双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1(b >0)． 点P (3,4)在椭圆上，则16a2＋9a 2－25＝1，得a 2＝40， 双曲线过点P (3,4)的渐近线方程为y ＝b25－b2x ，即4＝b25－b 2×3，得b 2＝16.所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1，双曲线方程为y 216－x 29＝1.18．(本小题满分12分)(2016·厦门高二检测)已知直线l ：y ＝x＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，(1)若|AB |＝10，求m 的值； (2)若OA ⊥OB ，求m 的值． 【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x⇒x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ2m －82－4m 2＞0，x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2.|AB |＝2|x 1－x 2|＝ 2 x 1＋x 22－4x 1x 2＝10，得m ＝716，∵m ＜2，∴m ＝716.(2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0，2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0， 2m 2＋m (8－2m )＋m 2＝0，m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8.经检验m ＝－8.19．(本小题满分12分)已知双曲线过点P ()－32，4，它的渐近线方程为y ＝±43x .(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝41，求∠F 1PF 2的余弦值．【解】 (1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－32的点P ′的纵坐标的绝对值为4 2.∵42>4，∴双曲线的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵双曲线过点P (－32，4)， ∴18a 2－16b2＝1.①又b a ＝43，② 由①②，得a 2＝9，b 2＝16， ∴所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1·d 2＝41.又由双曲线的几何性质知，|d 1－d 2|＝2a ＝6.由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－|F 1F 2|22d 1d 2＝d 1－d 22＋2d 1d 2－|F 1F 2|22d 1d 2＝941.20．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .【导学号：26160066】【解】 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510.进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6. 又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 及点A (0，b )，原点O 到直线FA 的距离为22b .(1)求椭圆C 的离心率e ；(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．【解】 (1)由点F (－ae,0)，点A (0，b )，及b ＝1－e 2a ，得直线FA 的方程为x －ae ＋y 1－e 2a＝1，即1－e 2x －ey ＋ae 1－e 2＝0. 因为原点O 到直线FA 的距离为 22b ＝ae 1－e 2， 所以221－e 2·a ＝ae 1－e 2，解得e ＝22.(2)设椭圆C 的左焦点F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22a ，0关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋22a＝12，2·x 0－22a 2＋y2＝0，解得x 0＝3210a ，y 0＝225a .因为P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3210a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫225a 2＝4. 所以a 2＝8，b 2＝(1－e 2)a 2＝4. 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.22．(本小题满分12分)(2016·郑州高二检测)已知经过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C ，当直线l 的斜率是12时，A C →＝14A B →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 【解】 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由已知，当k l ＝12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝8＋p2，又因为A C →＝14A B →，所以y 2＝14y 1或y 1＝4y 2.由p >0得：y 1＝4，y 2＝1，p ＝2，即抛物线方程为x 2＝4y . (2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋4得x 2－4kx －16k ＝0.① 所以x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .所以BC 的中垂线方程为 y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，所以BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 对于方程①由Δ＝16k 2＋64k >0得k >0或k <－4.所以b ∈(2，＋∞)．。

高中数学选修1-1模块检测题考试时间：120分钟，满分：150分一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. “0<mn ”是“方程122=+ny mx 表示焦点在y 轴上的双曲线”的 （ ）A ．充分而不必要条件．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件．必要而不充分条件C ．充分必要条件．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件．既不充分也不必要条件2. 命题“若090=ÐC ，则A B C D 是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 （ ）A ． 0 B ．1 C ． 2 D ． 3 3. 一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，切动圆恒与直线02=+x 相切，则动圆必定过点相切，则动圆必定过点 （ ）A ．（4，0）B ．（2，0）C ．（0，2）D ．（0，-2） 4. 抛物线pxy 222=上一点Q ),6(0y ，且知Q 点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是，则焦点到准线的距离是 （ ）A ． 4 B ．8 C ．12 D ．16 5. 中心点在原点，准线方程为4±=x ，离心率为21的椭圆方程是的椭圆方程是 （ ） A ． 13422=+yx B ．14322=+y xC ．1422=+y x D ．1422=+y x 6. 设过抛物线的焦点F 的弦为PQ ，则以PQ 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系为直径的圆与抛物线的准线的位置关系 （ ）A ． 相交相交B ．相切．相切C ．相离．相离D ．以上答案均有可能．以上答案均有可能 7．双曲线19422-=-yx 的渐近线方程是的渐近线方程是（ ） A ．x y 32±= B ．x y 4±=C ．x y 23±=D ．x y 49±=8. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 9．已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是的轨迹方程是 （ ） A ．191622=+y x B ．1121622=+yx C ．13422=+y x D ．14322=+y x10．已知对任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=，且0>x 时'()0,'()0f x g x >>，则0<x 时 （ ）A ．'()0,'()0f x g x >>B ．'()0,'()0f x g x ><C ．'()0,'()0f x g x <>D ．'()0,'()0f x g x << 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．函数1)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则m 的取值范围为的取值范围为 . 12. 已知F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB = . 13．已知双曲线11222-=-+ny nx 的离心率是3，则n ＝ . 14. 过双曲线122=-y x 的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是 . 15．命题p ：若10<<a ，则不等式0122>+-ax ax 在R 上恒成立；上恒成立；命题q ：1³a 是函数xax x f 1)(-=在),0(+¥上单调递增的充要条件；上单调递增的充要条件；在命题①“p 且q ”、②“p 或q ”、③“非p ”、④“非q ”中，假命题是中，假命题是 ，真命题是，真命题是 . 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本小题12分）已知函数8332)(23+++=bx ax x x f 在1x =及2x =处取得极值．处取得极值．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 的单调区间. 17. （本小题12分）分） 已知椭圆193622=+y x ，求以点)2,4(P 为中点的弦所在的直线方程. 18. （本小题12分）已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，切此焦点和x 轴上的较近端点的距离为)12(4-，求椭圆方程. 19．（本小题12分）讨论直线1:+=kx y l 与双曲线1:22=-y x C 的公共点的个数. 20. （本小题13分）在直线09:=+-y x l 上任取一点M ，过M 作以)0,3(),0,3(21F F -为焦点的椭圆，当M 在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程. 21. （本小题14分）如图，由2,8,0x y x y ===围城的曲边三角形，在曲线OB 弧上求一点M ，使得过M 所作所作的2x y =的切线PQ 与AB OA ,围城的三角形PQA 的面积最大. 参考答案 一、选择题1—5 BBBBC 6—10 BCDCB 二、填空题11． ),31[+¥ 12． 8 13. 12-或24 14. )43,4(p p 15. ①③；②④．①③；②④．三、解答题16. 解：（1）由已知b ax x x f 366)(2++=¢因为)(x f 在1=x 及2=x 处取得极值，所以1和2是方程0366)(2=++=¢b ax x x f 的两根的两根 故3-=a 、4=b（2）由（1）可得81292)(23++-=x x x x f )2)(1(612186)(2--=+-=¢x x x x x f当1<x 或2>x 时，0)(>¢x f ，)(x f 是增加的；是增加的；X Y O M B Q P A 当21<<x 时，0)(<¢x f ，)(x f 是减少的. 所以，)(x f 的单调增区间为)1,(-¥和),2(+¥，)(x f 的单调减区间为)2,1(. 17. 解：设以点)2,4(P 为中点的弦的两端点分别为),(11y x A 、),(22y x B ，由点A 、B 在椭圆193622=+y x 上得19362121=+y x ，19362222=+y x两式相减得：093622212221=-+-y y x x 即)()(422212221x x y y --=-))(())((421212121x x x x y y y y-+-=-+\显然21x x =不合题意，21x x ¹\由4,82121=+=+y yx x21448)(421212121-=´-=++-=--=\y y x x x x y y k AB 所以直线AB 的方程为)4(212--=-x y即所求的以点)2,4(P 为中点的弦所在的直线方程为082=-+y x .18．解：设椭圆的方程为12222=+by a x ，)0(>>b a根据题意ïîïíì==-=-2245cos )12(40a c c a 解得îíì==424c a 16222=-=c a b 椭圆的方程为1163222=+y x19. 解：解方程组îíì=-+=1122y x kx y ，消去y 得 022)1(22=---kx x k 当012=-k ，1±=k 时，1±=x当1,012±¹¹-k k 时，22248)1(24)2(k k k -=-×+-=D由0>D ，即0482>-k ，得，得 22<<-k ；由0=D ，即0482=-k ，得2±=k ；由0<D ，即0482<-k ，得2-<k 或2>k ；综上知：)2,1()1,1()1,2(È-È--Îk 时，直线l 与曲线C 有两个交点，有两个交点， 2±=k 时，直线l 与曲线C 切于一点，1±=k 时，直线l 与曲线C 交于一点. 20. 分析：因为aMF MF 2||||21=+，即问题转化为在直线上求一点M ，使M 到 21,F F 的距离的和最小，求出1F 关于l 的对称点F ，即求M 到F 、2F 的和最小，2FF 的长就是所求的最小值. 20. 解：设)0,3(1-F 关于09:=+-y x l 的对称点的对称点 ),(y x F则ïîïíì-=+-=+--13009223x y yx îíì=-=Þ69y x )6,9(-F ，连FF 2交l 于M ，点M 即为所求. F F 2：)3(21--=x y即032=-+y x 解方程组îíìîíì=-=Þ=+-=-+459032y x y x y x ，)4,5(-M 当点'M 取异于M 的点时，||||||22''FF F M FM >+. 满足题意的椭圆的长轴566)39(||2222=+--==FF a所以所以 53=a ，3=c ，36945222=-=-=c a b ；椭圆的方程为：1364522=+y x21. 解：解： 设 ),(00y x M 00)(:y x x k y PQ +-= 则200x y =，02|2'xx y x x ===即02x k = 所以000)(2y x x x y +-= 令0=y ，则000022x x y x x =-=，)0,2(0x P令8=x ，则20016x x y -=，)16,8(200x x Q -=S )16)(28(212000x x x S PAQ --=D3020041864x x x +-= X y F F 1 F 2 L M O M ’200431664'x x S +-=令0'=S ，则160=x （舍去）或3160=x 即当3160=x 时，274096max =S9256)316(20==y ，)9256,316(M。

学期综合测评(二）本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分１50分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共6０分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共6０分)1．命题“若a>b，则a+１>b”的逆否命题是( )A.若a＋1≤ｂ,则a＞b B．若a+1<b，则ａ>bC.若ａ＋1≤ｂ,则ａ≤ｂﻩD.若a＋1＜ｂ，则ａ〈ｂ答案Ｃ解析“若ａ〉b,则a+１>b”的逆否命题为“若ａ+1≤ｂ,则a≤b”，故选C。

2.命题：“存在数列{a n}，｛b n｝既是等差数列又是等比数列"（）A.是特称命题并且是真命题B.是全称命题并且是假命题C.是特称命题并且是假命题D．是全称命题并且是真命题答案A解析存在非零常数数列既是等差数列又是等比数列，因此该命题是特称命题并且是真命题.故选A。

3．设f（x)=１0x+lg ｘ，则f′(1)等于(）A．10 ﻩB．10ln10＋ｌｇeC.错误!＋ln １０D．11ｌn10答案B解析∵f′（x)=１0ｘｌn 10+错误!未定义书签。

,∴f′(１)=1０ln 10＋lg e,故选B。

4.已知ａ、b∈Ｒ,那么“０〈a＜１且0〈b<1”是“aｂ+1〉ａ＋b"的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件Ｃ．充要条件D．既不充分也不必要条件答案Ａ解析将ａb＋1>a＋ｂ整理得,(ａ-1)(ｂ-1）〉０,即判断“０<a〈1且0<b<1”是“(a－1)(ｂ－1)〉0”的什么条件．由0〈a〈1且0〈ｂ<１可推知(a-1)（ｂ-１)〉0,由(a-1）(b-1)〉0⇒错误!未定义书签。

或错误!故“0〈ａ<１且0〈b〈1”是“ab+１＞a+ｂ”的充分不必要条件.5.已知点(ｍ,n)在椭圆8x2＋3ｙ2＝２４上,则２ｍ+４的取值范围是( )A.[４-2错误!未定义书签。

，4＋2错误!未定义书签。

模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≥0 C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1＞0D ．对任意的x 0∈R ，x 3－x 2＋1＞0解析：已知命题为全称命题，其否定为特称命题． 答案：C2．“sin A ＝12” 是“A ＝30°”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为sin 30°＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝30°”的必要条件，又150°，390°等角的正弦值也是12，故“sin A ＝12”不是“A ＝30°”的充分条件．答案：B3．已知f (x )＝sin x ＋cos x ＋π2，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2等于( )A ．－1＋π2 B.π2＋1 C ．1 D ．－1解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，所以 f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝cos π2－sin π2＝－1.答案：D4．关于命题p ：若a·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32.下列说法中正确的是( )A ．“p ∨q ”是真命题B ．“p ∧q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：本题考查含有逻辑联结词的命题真假的判断．当a·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或0°，所以 命题p 是假命题；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2＜32，所以 命题q 是假命题．答案：B5．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( )A ．5B ．5或8C ．5或3D ．20解析：由焦距为2，得c ＝1，讨论焦点在x 轴上，还是在y 轴上．当4＞m 时，由1＝4－m ，得m ＝3；当4＜m 时，由1＝m －4，得m ＝5. 故m 的值为5或3. 答案：C6.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析：由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．答案：B7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1，0)，则f (x )的( )A ．极大值为427，极小值为0 B ．极大值为0，极小值为427C ．极小值为－427，极大值为0D ．极小值为0，极大值为－427解析：由题意可知⎩⎨⎧f ′（1）＝0，f （1）＝0，所以⎩⎨⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝2，q ＝－1，所以f (x )＝x 3－px 2－qx ＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得f (1)＝0是极小值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427是极大值．答案：A8．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.83解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，故双曲线x 2m －y2n＝1中，m ＞0，n ＞0且m ＋n ＝c 2＝1.①又双曲线的离心率e ＝cm＝m ＋nm＝2，② 联立方程①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34，故mn ＝316.答案：A9．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(5，＋∞)C ．(1，5]D ．[5，＋∞)解析：双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝ba x .由条件知，应有b a ＞2，故e ＝ca＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞ 5. 答案：B10．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1B ．b ＜1C ．b ＞0D ．b ＜12解析：设f ′(x )＝3(x 2－b )因为函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，所以 ⎩⎨⎧f ′（0）＜0，f ′（1）＞0，解得0＜b ＜1.答案：A11．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能解析：本题考查椭圆的性质、点和圆的位置关系．不妨设a ＝2，则c ＝1，b ＝3，方程为2x 2＋3x －1＝0，则x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，所以 x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＜2. 答案：A12．定义在R 上的函数f (x )满足(x ＋2)f ′(x )＜0，又a ＝f (log 123)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3，c ＝f (ln 3)，则( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：本题考查导函数的性质及比较大小．因为当x ＞－2时，f ′(x )＜0，所以 函数f (x )在(－2，＋∞)上单调递减．因为－2＝log 12 4＜log 12 3＜log 122＝－1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＜1，ln 3＞ln e＝1，所以 f (ln 3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＜f (log 123)，即c ＜b ＜a .答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．綈A 是命题A 的否定，如果B 是綈A 的必要不充分条件，那么綈B 是A 的________条件．解析：B ⇐綈A 且綈AB .所以 ⎩⎨⎧綈B ⇒A ，A 綈B ，则綈B 是A 的充分不必要条件．答案：充分不必要14．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则右焦点坐标为________．解析：由x 24－y 2b 2＝1得渐近线方程为y ＝±b2x ，所以 b 2＝12，b ＝1，所以 c 2＝a 2＋b 2＝4＋1＝5，所以 右焦点坐标为(5，0)． 答案：(5，0)15．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .由题意知⎩⎨⎧k ≥0，f ′（4）≤0或⎩⎨⎧k ＜0，f ′（0）≤0，解得k ≤13.答案：k ≤1316．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A ，B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2，2)，则△ABF 的面积等于________．解析：根据图形综合分析(草图略)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 所在的直线方程为y ＝k (x －2)＋2，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －2）＋2得y 2－4y k ＋8k－8＝0， 所以 y 1＋y 2＝4k＝2×2.所以 k ＝1.所以 线段AB 所在的直线方程为y ＝x .所以 线段AB 的两端点坐标分别为(0，0)，(4，4)，不妨令A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，4)，则S △ABF ＝12|OF |·y B ＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝e x －x －2 (1)求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[－3，2]时，求函数的最值． 解：(1)f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝e x －1＞0，e x ＞1，x ＞0； 令f ′(x )＝e x －1＜0，e x ＜1，x ＜0.所以 f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)． (2)x ＞0，f ′(x )＞0，x ＜0，f ′(x )＜0，所以 f (0)＝e 0－0－2＝－1，为函数的极小值．所以 f (－3)＝e －3＋3－2＝e －3＋1，f (2)＝e 2－2－2＝e 2－4. 比较可知，当x ∈[－3，2]时，f (x )最大值为e 2－4，最小值为 e －3＋1.18．(本小题满分12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数；命题q ：当x ∈[1，2]时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立，如果p ∨q为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围．解：因为指数函数y ＝c x 数为减函数， 所以 0＜c ＜1，即p 真时，0＜c ＜1.函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 对∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，所以 c ＞12，即q 真时，c ＞12，因为p∨q为真，p∧q为假，所以p、q一真一假．(1)p真q假时，0＜c≤1 2；(2)p假q真时，c≥1.故c的取值范围为0＜c≤12或c≥1.19．(本小题满分12分)河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽为4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．将B(4，－5)代入得p ＝1.6.所以x2＝－3.2 y船两侧与抛物线接触时不能通过．则A(2，y A)，由22＝－3.2y A，得y A＝－1.25.因为船露出水面的部分高0.75米，所以h＝|y A|＋0.75＝2(米)，即当水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1，x＝－1处有极值且f (1)＝－1，求a 、b 、c 的值及函数f (x )的极值．解：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为在x ＝1，x ＝－1处有极值且f (1)＝－1， 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f ′（－1）＝0，f （1）＝－1，所以 a ＝12，b ＝0，c ＝－32，所以 f ′(x )＝32x 2－32.令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表： ↗↘↗所以 y 极大值＝f (－1)＝1，y 极小值＝f (1)＝－1.21．(本小题满分12分)已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1，0)、(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．(1)解：由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝ －34(舍去)，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1.得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k2，y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k ，所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y Ex F －x E ＝－k （x E ＋x F ）＋2k x F －x E＝12， 即直线EF 的斜率为定值，其值为12.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b (x ∈R)，其中a ，b ∈R.(1)当a ＝－103时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围； (3)若对于任意的a ∈[－2，2]，不等式f (x )≤1在[－1，0]上恒成立，求b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4)．当a ＝－103时，f ′(x )＝x (4x 2－10x ＋4)＝2x (2x －1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝12，x 3＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘↗所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上是减函数．(2)f ′(x )＝x (4x 2＋3ax ＋4)，显然x ＝0不是方程4x 2＋3ax ＋4＝0的根．由于f (x )仅在x ＝0处有极值，则方程4x 2＋3ax ＋4＝0有两个相等的实根或无实根，Δ＝9a 2－64≤0，解此不等式，得－83≤a≤83.这时，f(0)＝b是唯一极值．因此满足条件的a的取值范围是.(3)由(2)知，当a∈[－2，2]时，4x2＋3ax＋4＞0恒成立．所以当x＜0时，f′(x)＜0，f(x)在区间(－∞，0]上是减函数．因此函数f(x)在[－1，0]上的最大值是f(－1)．又因为对任意的a∈[－2，2]，不等式f(x)≤1在[－1，0]上恒成立，所以f(－1)≤1，即3－a＋b≤1.于是b≤a－2在a∈[－2，2]上恒成立．所以b≤－2－2，即b≤－4.因此满足条件的b的取值范围是(－∞，－4]．。

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单元质量评估(二)第二章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则k应满足的条件是( )A.k>3B.2<k<3C.k=2D.0<k<2【解析】选C. k>0,=,所以k=2.2.(2016·菏泽高二检测)若双曲线的顶点为椭圆x2+=1长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程为( )A.x2-y2=1B.y2-x2=1C.x2-y2=2D.y2-x2=2【解析】选D.由题意设双曲线方程为-=1,离心率为e,椭圆x2+=1长轴端点为(0,),所以a=,又椭圆的离心率为,所以双曲线的离心率为,所以c=2,b=,则双曲线的方程为y2-x2=2.3.(2016·浙江高考)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1D.m<n且e1e2<1【解题指南】根据椭圆与双曲线离心率的定义求解,注意a2,b2与c2的关系.【解析】选A.由题意知m2-1=n2+1,即m2=n2+2,(e1e2)2=·=,因为m2=n2+2,m>1,n>0,所以m>n,(e1e2)2>1,所以e1e2>1.4.(2016·潍坊高二检测)设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.因为y2=8x的焦点为(2,0),所以+=1的右焦点为(2,0),所以m>n且c=2.又e==,所以m=4.因为c2=m2-n2=4,所以n2=12.所以椭圆方程为+=1.【补偿训练】(2016·成都高二检测)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解题指南】先根据题意设出双曲线的方程-=1,然后与直线方程联立方程组,消元得二元一次方程,根据根与系数的关系及MN中点的横坐标建立a,b的一个方程,又双曲线中有c2=a2+b2,则另得a,b的一个方程,最后解a,b的方程组即得双曲线方程.【解析】选B.设双曲线方程为-=1,将y=x-1代入-=1,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由根与系数的关系得x1+x2=,则==-.又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5,所以双曲线的方程为-=1.5.P是长轴在x轴上的椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是( )A.1B.a2C.b2D. c2【解析】选D.由椭圆的几何性质得|PF1|∈,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|≤=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2≥-c2+a2=b2,所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2-b2=c2.6.(2016·天津高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p= ( )A.1B.C.2D.3【解析】选 C.因为e=2,所以b2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,不妨设A=,B,则AB=p,又三角形的高为,则S△AOB=××p=,即p2=4,又因为p>0,所以p=2.7.(2016·东营高二检测)已知点P是抛物线y2=-8x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+y-10=0的距离是d2,则d1+d2的最小值是( )A. B.2C.6D.3【解析】选C.抛物线y2=-8x的焦点F(-2,0),根据抛物线的定义知,d1+d2=|PF|+d2,显然当由点F向直线x+y-10=0作垂线与抛物线的交点为P时,d1+d2取到最小值,即=6.8.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k等于( )A.2或-1B.-1C.2D.1±【解析】选C.由消去y得,k2x2-4(k+2)x+4=0,故Δ=2-4k2×4=64(1+k)>0,解得k>-1,由x1+x2==4,解得k=-1或k=2,又因为k>-1,故k=2.【易错警示】本题易忽略Δ>0而错选A.9.(2016·邯郸高二检测)设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±2x【解析】选A.由题意得解得所以a==,因此双曲线的方程为-y2=1,所以渐近线方程为y=±x.10.(2015·福建高考)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形AFBF2为平行四边形,所以+=+=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=b≥⇒b≥1,所以e==≤=,又e∈(0,1),所以e∈.11.(2016·哈尔滨高二检测)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的标准方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),所以两式相减得,=,即=,因为x1+x2=2,y1+y2=-2,所以k==,又因为k==,所以=,又因为c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,所以b2=9,a2=18,即E的标准方程为+=1.12.(2016·宝鸡高二检测)设抛物线C:y2=3px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为( )A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由已知得F,A(0,2),M,因为AF⊥AM,所以k AF·k AM=-1,即×=-1,所以-8y0+16=0,所以y0=4,所以M,因为|MF|=5,所以5=,所以=9.所以-=3或-=-3,所以9p2-36p-64=0,①或9p2+36p-64=0,②由①得p=-(舍),p=.由②得p=,p=-,所以C的方程为y2=4x或y2=16x.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.椭圆mx2+ny2=1与直线l:x+y=1交于M,N两点,过原点与线段MN中点的直线斜率为,则= .【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2),所以m+n=1 ①m+n=1 ②又因为=-1,所以①-②得:m=n·,因为==,所以m=n,所以=.答案:14.直线y=kx+1(k∈R)与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围为.【解析】将y=kx+1代入椭圆方程,消去y并整理,得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0.由m>0,5k2≥0,知m+5k2>0,故Δ=100k2-4(m+5k2)(5-5m)≥0对k∈R恒成立.即5k2≥1-m对k∈R恒成立,故1-m≤0,所以m≥1.又因为m≠5,所以m的取值范围是m≥1且m≠5.答案:m≥1且m≠5【易错警示】本题易忽略隐含条件m≠5而出错.15.(2015·山东高考)过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P,若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.【解题指南】本题是双曲线性质的综合应用,应从焦点和渐近线出发构造a,b,c的关系,进而求出离心率e.【解析】将y=(x-c)代入-=1消去y得-=1,因为x P=2a<c,所以-=1,化简得3a2=(2a-c)2,即a=c-2a,所以e=2+.答案:2+【补偿训练】(2016·济宁高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤c,因为e=,0<e<1,所以≤e<1.16.(2015·浙江高考)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.【解题指南】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a,b,c的关系.【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e==.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交点为P,求抛物线方程和双曲线方程.【解析】依题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),因为点在抛物线上,所以6=2p×,所以p=2,所以所求抛物线方程为y2=4x.因为双曲线左焦点在抛物线的准线x=-1上,所以c=1,即a2+b2=1,又点在双曲线上,所以-=1,由解得a2=,b2=.所以所求双曲线方程为4x2-y2=1.【补偿训练】若已知椭圆+=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点P,求椭圆及双曲线的方程.【解析】由椭圆与双曲线有相同的焦点得10-m=1+b,即m=9-b,①又因为点P在椭圆、双曲线上,所以y2=m,②y2=.③解由①②③组成的方程组得m=1,b=8,所以椭圆方程为+y2=1,双曲线方程为x2-=1.18.(12分)求以直线x+2y=0为渐近线,且截直线x-y-3=0所得弦长为的双曲线的标准方程.【解析】由于双曲线的渐近线方程为x+2y=0,故可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).设直线x-y-3=0与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组消去y,整理得3x2-24x+36+λ=0.由Δ=(-24)2-3×4(36+λ)>0,解得λ<12.由根与系数关系可得代入弦长公式中,|AB|=|x1-x2|=·=·=,于是=,解得λ=4(与λ<12符合).故所求的双曲线的标准方程为-y2=1.19.(12分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程.(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.【解析】(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4,方程4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),又=8x3,即2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.20.(12分)已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求:(1)椭圆的方程.(2)△PF1F2的面积.【解析】(1)令F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),则b2=a2-c2.因为PF1⊥PF2,所以·=-1,即·=-1,解得c=5,所以设椭圆方程为+=1.因为点P(3,4)在椭圆上,所以+=1.解得a2=45或a2=5.又因为a>c,所以a2=5(舍去).故所求椭圆方程为+=1.(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,①又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,②①2-②得2|PF1|·|PF2|=80,所以=|PF1|·|PF2|=20.【补偿训练】已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA 与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.另一方面,由直线OA到l的距离d=,可得=,解得t=±1.因为-1∉,1∈,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.21.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若=m,=n,求m+n的值.【解析】(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).抛物线方程可化为x2=4y,其焦点为(0,1),则椭圆C的一个顶点为(0,1),即b=1.由e===.得a2=5,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2),代入方程+y2=1,得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.所以x1+x2=,x1x2=.又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).因为=m,=n,所以m=,n=,所以m+n=,又2x1x2-2(x1+x2)==-,4-2(x1+x2)+x1x2=4-+=,所以m+n=10.22.(12分)(2016·北京高考)已知椭圆C:+=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率.(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.【解题指南】(1)把A,B两点代入可求得a,b.(2)设P(x0,y0),表示出直线AP,BP方程,求出点M,N坐标,表示出面积.再利用点P在椭圆上化简整理为定值.【解析】(1)把A(2,0),B(0,1)分别代入椭圆方程得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1. 因为c==,所以离心率e==.(2)设P(x0,y0),其中x0<0,y0<0.则直线AP方程为y=(x-2),直线BP方程为y=x+1.所以M,N.所以|AN|=2+,|BM|=+1.所以四边形ABNM的面积为S=|AN||BM|==××==.因为点P在椭圆C上,所以=4-4.代入上式得S ===2.因此,四边形ABNM的面积为定值2.关闭Word文档返回原板块高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

模块综合试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0 [[答案]] C[[解析]] ∵命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”， ∴命题的否定∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0，故选C. 2．x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的( ) A ．充分不必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．充要条件 [[答案]] A[[解析]] 若x ＝1，则x 2－3x ＋2＝1－3＋2＝0成立，即充分性成立， 若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2，此时x ＝1不一定成立，即必要性不成立， 故x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件． 3．函数f (x )＝e x ln x 在点(1，f (1))处的切线方程是( ) A ．y ＝2e(x －1) B ．y ＝e x －1 C ．y ＝x －e D ．y ＝e(x －1)[[答案]] D[[解析]] 因为f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ，所以f ′(1)＝e.又f (1)＝0，所以所求的切线方程为y ＝e(x －1)． 4．有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①④[[答案]] C[[解析]] ①的逆命题“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m >1”． 因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1.所以③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．5．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x[[答案]] A[[解析]] 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以b a ＝12，故双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±12x .6．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)>f (1) C ．f (－1)<f (1)D ．不确定[[答案]] B[[解析]]因为f(x)＝x2f′(2)－3x，所以f′(x)＝2xf′(2)－3，则f′(2)＝4f′(2)－3，解得f′(2)＝1，所以f(x)＝x2－3x，所以f(1)＝－2，f(－1)＝4，故f(－1)>f(1)．7．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()[[答案]] D[[解析]]由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.8．点F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为() A.3B．2C.7D．3[[答案]] C[[解析]]∵△ABF2是等边三角形，∴|BF2|＝|AB|，根据双曲线的定义，可得|BF1|－|BF2|＝2a，∴|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，又∵|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a.∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|·cos120°， 即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×⎝⎛⎭⎫－12＝28a 2， 解得c ＝7a ，由此可得双曲线C 的离心率e ＝ca＝7.9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 [[答案]] D[[解析]] 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109， ∴b 2a 2＝32.① 又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＋2b 2＝16，②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D.10．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足xf ′(x )－f (x )<0，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数．若2f (m －2019)>(m －2019)f (2)，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,2019) B ．(2019，＋∞) C ．(2021，＋∞) D ．(2019,2021)[[答案]] D[[解析]] 令h (x )＝f (x )x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2.∵xf ′(x )－f (x )<0，∴h ′(x )<0， ∴函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∵2f (m －2 019)>(m －2 019)f (2)，m －2 019>0， ∴f (m －2 019)m －2 019>f (2)2，即h (m －2 019)>h (2)． ∴m －2 019<2且m －2 019>0，解得2 019<m <2 021. ∴实数m 的取值范围为(2 019,2 021)．11．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5,0)B ．(－5,0)C ．[－3,0)D ．(－3,0)[[答案]] C[[解析]] 由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)， 故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数， 在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23，得 x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a <0，a ＋5>0，解得a ∈[－3,0)． 12．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B 交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6C.163D.203[[答案]] C[[解析]] 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，解得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得，3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________．[[答案]] (－∞，－2)∪(2，＋∞)[[解析]] 由题意知原命题为真，∴Δ＝a 2－4>0， ∴a >2或a <－2.14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x 2＝2py (p >0)上纵坐标为1的点到其焦点的距离为2，则p ＝________. [[答案]] 2[[解析]] 由抛物线上一点到其焦点的距离等于该点到准线的距离，得1＋p2＝2，即p ＝2.15．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是________． [[答案]] ⎝⎛⎦⎤－∞，13 [[解析]] f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .当k <0时，f ′(x )<0在区间(0,4)上恒成立， 即f (x )在区间(0,4)上是减函数，故k <0满足题意．当k ≥0时，则由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，f ′(4)≤0，解得0≤k ≤13.综上，k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，13. 16．若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最小值为__________． [[答案]] 6[[解析]] 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)， 由题意得左焦点F (－1,0)， ∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )， ∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19·⎝⎛⎭⎫x ＋922＋234. ∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝⎛⎭⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝⎛⎭⎫x ＋922≤254， ∴6≤19·⎝⎛⎭⎫x ＋922＋234≤12， 即6≤OP →·FP →≤12.故最小值为6. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数．(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除． (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x ≥2.(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.考点 全称量词及全称命题的真假判断 题点 识别全称命题解 (1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．18．(12分)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围．解 ∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，即m <2x x 2＋1＝2x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤14，12上恒成立，当x ＝14时，⎝⎛⎭⎫x ＋1x max＝174，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1min ＝817， ∴由p 真得m <817.设t ＝2x ，则t ∈(0，＋∞)，则函数f (x )化为g (t )＝t 2＋2t ＋m －1，由题意知g (t )在(0，＋∞)上存在零点，令g (t )＝0，得m ＝－(t ＋1)2＋2，又t >0，所以由q 真得m <1. 又“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p ，q 一真一假， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥817，m <1或⎩⎪⎨⎪⎧m <817，m ≥1，解得817≤m <1.故所求实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫817，1. 19．(12分)已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x (a >0)，讨论函数f (x )的单调性．解 f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝(ax －1)(x －1)x(x >0)，①当0<a <1时，1a >1，由f ′(x )>0，解得x >1a 或0<x <1，由f ′(x )<0，解得1<x <1a.②当a ＝1时，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立． ③当a >1时，0<1a<1，由f ′(x )>0，解得x >1或0<x <1a， 由f ′(x )<0，解得1a<x <1. 综上，当0<a <1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞和(0,1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； 当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >1时，f (x )在(1，＋∞)和⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 20．(12分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解 (1)由已知|AB |＝52|BF |， 即a 2＋b 2＝52a ， 4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝c a ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ， 得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717. x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217. ∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0，5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0.从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0， 解得b ＝1，满足b >21717. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 21．(12分)已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x 2. ①若a ≤2，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②若a >2，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )>0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．(2)证明 由(1)知，f (x )存在两个极值点当且仅当a >2.由于f (x )的两个极值点x 1，x 2满足x 2－ax ＋1＝0，所以x 1x 2＝1，不妨设x 1<x 2，则x 2>1.由于f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a －2ln x 21x 2－x 2， 所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2等价于1x 2－x 2＋2ln x 2<0. 设函数g (x )＝1x－x ＋2ln x ，由(1)知，g (x )在(0，＋∞)上单调递减． 又g (1)＝0，从而当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0.所以1x 2－x 2＋2ln x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2. 22．(12分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB→＋AD →·CB →＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．解 (1)过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为433， 所以2b 2a ＝433. 因为椭圆的离心率为33，所以c a ＝33， 又a 2＝b 2＋c 2，可解得b ＝2，c ＝1，a ＝ 3.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)可知F (－1,0)，则直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1， 消去y 得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2. 又A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB → ＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2＝8， 解得k ＝±2.从而x 1＋x 2＝－6×22＋3×2＝－32，x 1x 2＝3×2－62＋3×2＝0. 所以|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎫－322－4×0＝32， |CD |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋2×32＝332. 而原点O 到直线CD 的距离为 d ＝|k |1＋k 2＝21＋2＝63， 所以△OCD 的面积为S ＝12|CD |×d ＝12×332×63＝324.。

模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R ，2x 0>0 B ．存在x 0∈R ，2x 0≥0 C ．对任意的x ∈R ，2x ≤0 D ．对任意的x ∈R ，2x >0 解析：特称命题的否定是把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定．答案：D2．“sin A ＝12” 是“A ＝30°”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为sin 30°＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝30°”的必要条件，又150°，390°等角的正弦值也是12，故“sin A ＝12”不是“A＝30°”的充分条件．答案：B3．已知f (x )＝sin x ＋cos x ＋π2，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2等于( )A ．－1＋π2 B.π2＋1 C ．1 D ．－1解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，所以 f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝cos π2－sin π2＝－1.答案：D4．关于命题p ：若a·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32.下列说法中正确的是( )A ．“p ∨q ”是真命题B ．“p ∧q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：本题考查含有逻辑联结词的命题真假的判断．当a·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或0°，所以 命题p 是假命题；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2＜32，所以 命题q 是假命题．答案：B5．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( )A ．5B ．5或8C ．5或3D ．20解析：由焦距为2，得c ＝1，讨论焦点在x 轴上，还是在y 轴上．当4＞m 时，由1＝4－m ，得m ＝3；当4＜m 时，由1＝m －4，得m ＝5. 故m 的值为5或3. 答案：C6.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析：由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．答案：B7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1，0)，则f (x )的( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极小值为－427，极大值为0D ．极小值为0，极大值为－427解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f （1）＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f (x )＝x 3－px 2－qx ＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得f (1)＝0是极小值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427是极大值．答案：A8．已知椭圆E ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P为椭圆上一点，若以(1，0)为圆心的圆C 与直线PF 1，PF 2均相切，则点P 的横坐标为( )A. 5 B ．2 C. 3D ．1解析：由已知得，PC 为∠F 1PF 2的平分线，因此|PF 1|∶|PF 2|＝|F 1C |∶|F 2C |＝3∶1，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，所以|PF 2|＝2，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝2，与椭圆方程联立可解得x＝2或x＝6(舍去)，故点P的横坐标2，选B.答案：B9．若直线y＝2x与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为()A．(1，5) B．(5，＋∞)C．(1，5] D．[5，＋∞)解析：双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y＝ba x.由条件知，应有ba＞2，故e＝ca＝a2＋b2a＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫ba2＞ 5.答案：B10．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>(a) D．f(c)>f(e)>f(d)解析：依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，选C.答案：C11．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z)时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，因为x >0，所以不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2；对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2.综上所述，选A. 答案：A12．已知点O 为坐标原点，点F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，点A ，B 分别为C 的左、右顶点．点P 为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：如图所示，设OE 的中点为N ，在△AOE 中，因为MF ∥OE ， 所以|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －ca.① 在△MFB 中，因为ON ∥MF ， 所以|ON ||MF |＝|BO ||BF |＝aa ＋c ＝12|OE ||MF |，所以2a a ＋c ＝|OE ||MF |，即|MF ||OE |＝a ＋c 2a .②由①②可得a －c a ＝a ＋c2a ，解得a ＝3c ，从而得e ＝c a ＝13.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．綈A 是命题A 的否定，如果B 是綈A 的必要不充分条件，那么綈B 是A 的________条件．解析：B ⇐綈A 且綈AB .所以 ⎩⎨⎧綈B ⇒A ，A 綈B ，则綈B 是A 的充分不必要条件．答案：充分不必要14．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为双曲线E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则双曲线E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b 2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，所以2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，所以2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2， 整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 答案：215．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，f ′（4）≤0或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，f ′（0）≤0，解得k ≤13.答案：k ≤1316．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A ，B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2，2)，则△ABF 的面积等于________．解析：根据图形综合分析(草图略)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 所在的直线方程为y ＝k (x －2)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －2）＋2得y 2－4y k ＋8k－8＝0， 所以 y 1＋y 2＝4k＝2×2.所以 k ＝1.所以 线段AB 所在的直线方程为y ＝x .所以 线段AB 的两端点坐标分别为(0，0)，(4，4)，不妨令A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，4)，则S △ABF ＝12|OF |·y B ＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0，命题q ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x 2<1.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．解：由p 是真命题，知lg(x 2－2x －2)≥0， 所以x 2－2x －2≥1⇔x 2－2x －3≥0， 解得x ≤－1或x ≥3. 由q 是假命题知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x 2≥1，故1－x 2≤－1或1－x2≥1，解得x ≥4或x ≤0.所以x 的取值范围是{x |x ≤－1或x ≥4}． 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e x －x －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[－3，2]时，求函数的最值． 解：(1)f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝e x －1＞0，e x ＞1，x ＞0； 令f ′(x )＝e x －1＜0，e x ＜1，x ＜0.所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．(2)x＞0，f′(x)＞0，x＜0，f′(x)＜0，所以f(0)＝e0－0－2＝－1，为函数的极小值．所以f(－3)＝e－3＋3－2＝e－3＋1，f(2)＝e2－2－2＝e2－4.比较可知，当x∈[－3，2]时，f(x)最大值为e2－4，最小值为－1.19．(本小题满分12分)河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽为4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．将B(4，－5)代入得p ＝1.6.所以x2＝－3.2 y船两侧与抛物线接触时不能通过．则A(2，y A)，由22＝－3.2y A，得y A＝－1.25.因为船露出水面的部分高0.75米，所以h＝|y A|＋0.75＝2(米)，即当水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1，x ＝－1处有极值且f(1)＝－1，求a、b、c的值及函数f(x)的极值．解：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，因为在x＝1，x＝－1处有极值且f(1)＝－1，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f ′（－1）＝0，f （1）＝－1，所以 a ＝12，b ＝0，c ＝－32，所以 f ′(x )＝32x 2－32.令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表： ↗↘↗极大值极小值21．(本小题满分12分)已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1，0)、(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．(1)解：由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b2＝1，解得b 2＝3，b 2＝ －34(舍去)，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1.得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k ，所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y Ex F －x E ＝－k （x E ＋x F ）＋2k x F －x E＝12， 即直线EF 的斜率为定值，其值为12.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b (x ∈R)，其中a ，b ∈R.(1)当a ＝－103时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围； (3)若对于任意的a ∈[－2，2]，不等式f (x )≤1在[－1，0]上恒成立，求b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4)． 当a ＝－103时，f ′(x )＝x (4x 2－10x ＋4)＝2x (2x －1)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝12，x 3＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞， 0) 0 ⎝⎛⎭⎪⎫0，1212 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 2 (2， ＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↘极小值↗极大值↘极小值↗所以f (x )在⎝ ⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪12，2上是减函数．(2)f ′(x )＝x (4x 2＋3ax ＋4)，显然x ＝0不是方程4x 2＋3ax ＋4＝0的根．由于f (x )仅在x ＝0处有极值，则方程4x 2＋3ax ＋4＝0有两个相等的实根或无实根，Δ＝9a 2－64≤0，解此不等式，得－83≤a ≤83.这时，f (0)＝b 是唯一极值．因此满足条件的a 的取值范围是.(3)由(2)知，当a ∈[－2，2]时，4x 2＋3ax ＋4＞0恒成立． 所以 当x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(－∞，0]上是减函数．因此函数f (x )在[－1，0]上的最大值是f (－1)．又因为对任意的a ∈[－2，2]，不等式f (x )≤1在[－1，0]上恒成立，所以 f (－1)≤1，即3－a ＋b ≤1.于是b ≤a －2在a ∈[－2，2]上恒成立．所以 b ≤－2－2， 即b ≤－4.因此满足条件的b 的取值范围是(－∞，－4]．。

数学必修1-1测试题（1）参考答案一．选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)1-6 BBCDBD 7-12 ACABCB二．填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13． ),31[+∞ 14． 8 15. 12-或24 16． ①、③, ②、④．三．解答题（本大题共5小题，共48分） 17（本小题满分8分）解：（1）由已知b ax x x f 366)(2++='因为)(x f 在1=x 及2=x 处取得极值，所以1和2是方程0366)(2=++='b ax x x f 的两根 故3-=a 、4=b（2）由（1）可得81292)(23++-=x x x x f)2)(1(612186)(2--=+-='x x x x x f当1<x 或2>x 时，0)(>'x f ，)(x f 是增加的； 当21<<x 时，0)(<'x f ，)(x f 是减少的。

所以，)(x f 的单调增区间为)1,(-∞和),2(+∞，)(x f 的单调减区间为)2,1(. 18 (本小题满分10分)解：（1）设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知，122=a ，32==a c e 20,4,6222=-===∴c abc a所以椭圆的标准方程为1203622=+y x . （2）由已知，双曲线的标准方程为116922=-y x ，其左顶点为)0,3(- 设抛物线的标准方程为)0(22>-=p px y ， 其焦点坐标为)0,2(p-， 则32=p即6=p 所以抛物线的标准方程为x y 122-=. 19（本题满分10分）解：设以点)2,4(P 为中点的弦的两端点分别为),(11y x A 、),(22y x B ，由点A 、B 在椭圆193622=+y x 上得 19362121=+y x 19362222=+y x 两式相减得：093622212221=-+-y y x x 即)()(422212221x x y y --=- ))(())((421212121x x x x y y y y -+-=-+∴显然21x x =不合题意，21x x ≠∴ 由4,82121=+=+y y x x21448)(421212121-=⨯-=++-=--=∴y y x x x x y y k AB所以，直线AB 的方程为)4(212--=-x y即所求的以点)2,4(P 为中点的弦所在的直线方程为082=-+y x . 20（本小题满分10分）（I ）当40=x 时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=小时，耗油5.175.2)840803401280001(3=⨯+⨯-⨯（升） 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油5.17升. （2）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x100小时，设耗油量为)(x h 升，依题意得)1200(41580012801100)88031280001()(3≤<-+=⋅+-=x x x x x x h 则 )1200(64080800640)(2332≤<-=-='x xx x x x h 令0)(='x h 得 80=x当)80,0(∈x 时，0)(<'x h ，)(x h 是减函数； 当)120,80(∈x 时，0)(>'x h ，)(x h 是增函数. 故当80=x 时，)(x h 取到极小值25.11)80(=h因为)(x h 在]120,0(上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为25.11升.21（本小题满分10分）解：(Ⅰ)由已知2=c 及点)7,3(P 在双曲线C 上得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1)7(34222222b a b a 解得2,222==b a 所以，双曲线C 的方程为12222=-y x .(Ⅱ)由题意直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为2+=kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=122222y x kx y 得 064)1(22=---kx x k设直线l 与双曲线C 交于),(11y x E 、),(22y x F ，则1x 、2x 是上方程的两不等实根，012≠-∴k 且0)1(241622>-+=∆k k 即32<k 且12≠k ①这时 22114k k x x -=+，22116kx x --=⋅ 又2222121212121=-=-⨯⨯⨯=-⋅=∆x x x x x OQ S OEF 即 84)(21221=-+x x x x 8124)14(222=-+-∴k k k 所以 222)1(3-=-∴k k 即0224=--k k0)2)(1(22=-+∴k k又012>+k 022=-∴k 2±=∴k 适合①式 所以，直线l 的方程为22+=x y 与22+-=x y .另解：求出EF 及原点O 到直线l 的距离212kd +=,利用2221=⋅=∆d EF S OEF 求解. 或求出直线2+=kx y 与x 轴的交点)2,0(kM -，利用22)(21212121=-=-=-⋅=∆x x kx x k y y OM S OEF 求解数学必修1-1测试题（2）参考答案一、选择题1、B ,2、B,3、B ,4、B ,5、C,6、D ,7、 B ，8、D ,9、C , 10、 C , 11、 D, 12、 C 一、 填空题13、若a+b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数。

“(p(q:简易逻辑中复合命题的真假判断,主要依靠真值表.由“或”命题的真值表,“(p)∨(q)”是假命题“p”与“q”均为假命题,即p与q均为真命题.故“p∧q”和“p∨q”都是真命题.:A下列说法错误的是( )“sin θ=12”是“θ=π6”的充分不必要条件命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”若命题p:∃x0∈R p:∀x∈R,x2-x+1≠0,x20‒x0+1=0,则若命题“p”与命题“p∨q”都是真命题,则命题q一定是真命题:A若椭圆x2m+y24=1的焦距为2,则m的值等于( )B.5或8C.5或3D.201,2) B.(-2,1)1,0)∪(0,1) D.(-1,1):先求出函数的导函数,再根据导函数的正负判断原函数的单调性.x)=3x5-5x3,可知f'(x)=15x4-15x2.x)=15x4-15x2≤0,可得-1≤x≤1.x)的单调递减区间为(-1,1).:Dp:a∈R,|a|<1,q:关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+a-2=0的一个根大于零,另一根小于零,则p是 )充分不必要条件B.必要不充分条件充要条件D.既不充分也不必要条件:由|a|<1得-1<a<1,由x2+(a+1)x+a-2=0的一个根大于零,另一根小于零得f(0)=a-2<0,即a<2.若曲线y =x 2在点(a ,a2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a 等于( )B.32C.16D.8:∵y=y=x-12,y '=‒12x -32,∴k 切‒12a -32,切线方程为‒a -12=‒12a -32(x ‒a ).y=0,得x=3a ;令x=0,得y =32a -12.由题意·3a ·a=64.得1232a -12=18,故:A已知某抛物线型石拱桥,当水面离桥顶2 m 时,水面宽4 m,若水面下降1 m,则此时水面宽为( ) mB .26 mC .3 mD .6 m:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y 轴建立平面直角坐标系,令抛物线的方程为x 2=-2py (p>0),将点2)代入得p=1,故抛物线的方程为x 2=-2y.水面下降1 m 对应纵坐标为-3,解得x=m .6,从而水面宽为2 6A.512π m/sB.256π m/sC.144π m2/sD.72π m2/s:根据题意,可知最外一圈波的面积与时间的关系为S=64πt2,故在t=2时的导数值,即=128πt|t=2=256π.:B设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满PF1·PF2=0,则e21+e22(e1e2)2的值为( ).1C.2D.4:设椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2, |PF1|+|PF2|=2a1,||PF1|-|PF2||=2a2.平方相加得|PF1|2+|PF2|2=2a 21+2a22.PF·PF=0,△ABF 2的周长为16.圆x 216+y 225=1的两焦点为F 1,F 2,弦AB 过F 1点,则:在命题③中,椭圆焦点在y 轴上,a 2=25,故△ABF 2的周长为4a=20,故命题③错误.:①②若f (x )=ax 3-x 2-x+1在(1,2)内是减函数,则实数a 的取值范围是 . :∵f (x )在(1,2)内是减函数,x )=3ax 2-2x-1≤0,x ∈(1,2).≤x ∈(1,2)恒成立.2x +13x 2在=2x +13x 2=23x +13x 2=13[(1x+1)2-1],1x ∈(12,1),<u <1.≤a的取值范围512,即所求是(-∞,512].程2+m=1表示焦点在y 轴上的椭圆;命题q :函数f (x )=43x 3‒2mx 2+(4m ‒3)x ‒.若(p ∧q 为真,求m 的取值范围.当p 真时,m>2.真时,f'(x )=4x 2-4mx+4m-3≥0在R 上恒成立.16m 2-16(4m-3)≤0,即1≤m ≤3.(p )∧q 为真,∴p 假,q 真.1≤m ≤2.m ≤2,≤m ≤3,即的取值范围为[1,2].(12分)已知函数f (x )=e x (ax+b )-x 2-4x ,曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y=4x+4.求a ,b 的值;x )=(560+48x )+=560+48x+(x ≥10,x ∈N *).2 160×10 0002 000x10 800x x )=48-.10 800x 2x )=0,得x=15.x>15时,f'(x )>0;当10<x<15时,f'(x )<0.x=15时,f (x )取最小值,f (15)=2 000.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.(12分)设函数f (x )=(1-x 2)e x .讨论f (x )的单调性;当x ≥0时,f (x )≤ax+1,求a 的取值范围.(1)f'(x )=(1-2x-x 2)e x .若点F 在线段AB 上,点R 是PQ 的中点,证明:AR ∥FQ ;若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.由题设知F.(12,0):y=a ,l 2:y=b ,则ab ≠0,且A ,B ,P ,Q ,R .(a 22,a )(b 22,b )(-12,a )(-12,b )(-12,a +b 2)A ,B 两点的直线为l ,的方程为2x-(a+b )y+ab=0.证明:由于点F 在线段AB 上,故1+ab=0.AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,==-b=k 2.a -b1+a2=a -b a 2-ab=1a =-ab aAR ∥FQ.当2|AM|=|AN|时,<k<2.证明:3解:设点M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角.为π4A (-2,0),因此直线AM 的方程为y=x+2.x=y-2代=1得7y 2-12y=0.入x 24+y 23y=0或y=,所以y 1=.127127△AMN 的面积S △AMN =2×.12×127×127=14449证明:将直线AM 的方程y=k (x+2)(k>0)代=1得(3+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2-12=0.入x 24+y 23·(-2)=x 1=,16k 2-123+4k 2得2(3-4k 2)3+4k 2。

模块综合检测（二）(时间分钟，满分分)一、选择题(本题共小题，每小题分，共分)．如果命题“(綈)∨(綈)”是假命题，则在下列各结论中：()命题“∧”是真命题；()命题“∧”是假命题；()命题“∨”是真命题；()命题“∨”是假命题．其中正确的为( )．()()．()()．()()．()() 解析：选(綈)∨(綈)是假命题，则綈与綈均为假命题，所以与均为真命题，故∧为真命题，∨也为真命题．．(北京高考)设，是实数，则“>”是“>”的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件解析：选可采用特殊值法进行判断，令＝，＝－，满足>，但不满足>，即条件“>”不能推出结论“>”；再令＝－，＝，满足>，但不满足>，即结论“>”不能推出条件“>”．故选.．已知函数()的图象过点(，－)，它的导数′()＝－，则当()取得极大值－时，的值应为( )．．－．±．解析：选由题意易知()＝－－.令′()＝得＝或＝±，只有()＝－，故选.．已知双曲线－＝(＞，＞)的两条渐近线与抛物线＝(＞)的准线分别交于，两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，△的面积为，则＝( )．．．解析：选因为双曲线的离心率＝＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为＝±＝±，与抛物线的准线＝－相交于，，所以△的面积为××＝，又＞，所以＝.．函数()＝－＋在区间(－∞，)上有最小值，则函数()＝在区间(，＋∞)上一定( )．有最大值．有最小值．是增函数．是减函数解析：选由函数()＝－＋在区间(－∞，)上有最小值，可得<，∴()＝＝＋－，则′()＝－.易知在(，＋∞)上′()>，所以()为增函数．．给定命题：函数＝[(－)·(＋)]为偶函数；命题：函数＝为偶函数，下列说法正确的是( )．∨是假命题．(綈)∧是假命题．∧是真命题．(綈)∨是真命题解析：选对于命题：()＝[(－)(＋)]，令(－)(＋)>，即－<<，∴函数()的定义域为(－)关于原点对称，又∵(－)＝[(＋)(－)]＝()，∴函数()为偶函数，∴命题为真命题；对于命题：()＝，函数()的定义域为，关于原点对称，(－)＝＝＝＝－()，∴函数()为奇函数，∴命题为假命题，∴(綈)∧是假命题．.如图，等腰梯形中，∥且＝，∠＝，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率＝( )－＋解析：选由题可知，双曲线的离心率＝.设＝＝，则＝，＝－°＝，＝，所以＝＝＝＋，故选..已知可导函数＝()在点(，())处的切线为：＝()(如图)，设()＝()－()，则( )．′()＝，＝是()的极大值点．′()＝，＝是()的极小值点．′()≠，＝不是()的极值点．′()≠，＝是()的极值点解析：选在处′()＝′()，由图象知正确．．过点()作直线，使它与抛物线＝仅有一个公共点，这样的直线有( )．条．条．条．条解析：选结合图形分析可知，满足题意的直线共有条：直线＝，过点()且平行于轴的直线以及过点()且与抛物线相切的直线(非直线＝)．．已知定点(－)，()，是圆：＋＝上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与。

模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，2x －1＞0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2＞0 C ．∃x ∈R ，lg x ＜1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解析：当x ＝1∈N *时，x －1＝0，不满足(x －1)2＞0，所以 B 为假命题． 答案：B2．“a ＝－1”是“函数f (x )＝ax 2＋(a －1)x －1有且只有一个零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－1时，易知函数f (x )有且只有一个零点，故充分性成立；当a ＝0时，函数f (x )也有且只有一个零点，故必要性不成立．答案：A3．与双曲线y 25－x 2＝1共焦点，且过点(1，2)的椭圆的标准方程为()A.x 28＋y 22＝1B.x 210＋y 24＝1C.y 28＋x 22＝1 D.y 210＋x 24＝1 解析：由题知，焦点在y 轴上，排除A ，B ，将(1，2)代入C ，D 可得C 正确，故选C. 答案：C4．函数f (x )＝e xln x 在点(1，f (1))处的切线方程是() A ．y ＝2e(x －1) B ．y ＝e x －1 C ．y ＝e(x －1) D ．y ＝x －e 解析：因为f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ，所以f ′(1)＝e.又f (1)＝0， 所以所求的切线方程为y ＝e(x －1)． 答案：C5．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF ⊥x 轴，知点P ，F 的横坐标相等，再根据点P 在曲线y ＝k x上求出k .因为y 2＝4x ，所以F (1，0)．又因为曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，所以P (1，2)． 将点P (1，2)的坐标代入y ＝k x(k >0)得k ＝2.故选D. 答案：D6．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下叙述正确的是()A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，选C.答案：C7．函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)＜f (1) C ．f (－1)＞f (1)D ．无法确定解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以 f ′(1)＝－2.所以 f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)＝x 2－4x .f (1)＝－3，f (－1)＝5. 所以 f (－1)＞f (1)． 答案：C8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为()A ．y ＝±12x B ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析：由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以b a ＝12，故双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±12x .答案：A9．若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是()A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴为x ＝－b2a<0，且函数图象开口向下，所以在区间(0，＋∞)上单调递减．答案：B10．以正方形ABCD 的相对顶点A ，C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为( )A.10－23 B.5－13 C.5－12D.10－22解析：设正方形的边长为m ，则椭圆中的2c ＝2m ，2a ＝ 12m ＋m 2＋14m 2＝1＋52m ，故椭圆的离心率为c a ＝221＋5＝10－22. 答案：D11．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( ) A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12解析：函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个极根，由数形结合易知0＜a ＜12且0＜x 1＜1＜x 2.因为在(x 1，x 2)上f (x )递增，所以f (x 1)＜f (1)＜f (x 2)，即f (x 1)＜－a ＜f (x 2)， 所以f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12.答案：D12．已知抛物线y 2＝4x 的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且与椭圆交于A ，B两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，则椭圆的离心率为( )A.23B.12C.13D.14解析：因为抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，抛物线y 2＝4x 的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，所以椭圆的左焦点坐标为(－1，0)，所以c ＝1， 因为O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，所以12×2b 2a ×1＝32，所以b 2a ＝a 2－1a ＝32，整理得2a 2－3a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－12(舍)，所以e ＝c a ＝12.故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．椭圆x 264＋y 248＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝10，则S △PF 1F 2＝________．解析：由已知：a 2＝64，b 2＝48，c 2＝16， 又因为P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝16. 因为|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝6.因为|F 1F 2|＝2c ＝8，所以△PF 1F 2为直角三角形， 且∠PF 2F 1＝90°，所以S △PF 1F 2＝12×6×8＝24.答案：2414．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .当k <0时，f ′(x )<0在区间(0，4)上恒成立， 即f (x )在区间(0，4)上是减函数，故k <0满足题意．当k ≥0时，则由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，f ′（4）≤0，解得0≤k ≤13.综上，k 的取值X 围是k ≤13.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 15．设F 1，F 2是椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos∠F 1PF 2＝________．解析：椭圆焦点在y 轴上，a 2＝4，b 2＝3，c ＝1，又P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以cos ∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－42×52×32＝35. 答案：3516．在下列结论中：①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ③“p 或q ”为真是“¬p ”为假的必要不充分条件； ④“¬p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件． 正确的结论为________(填序号)．解析：①中p 且q 为真⇒p ，q 都为真⇒p 或q 为真，p 或q 为真p 且q 为真；②中p且q 为假p 或q 为真；③中p 或q 为真⇒p ，q 至少有一个为真¬p 为假，¬p 为假⇒p 为真⇒p 或q 为真；④中p 且q 为假¬p 为真．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：f (x )＝x ＋a x在区间[1，＋∞)上是增函数；命题q ：g (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋1在R 上有极值．若命题“p ∨q ”为真命题，某某数a 的取值X 围．解：因为f (x )＝x ＋a x在区间[1，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )＝1－a x2≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≤x 2在[1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤(x 2)min ，所以a ≤1. 所以命题p 为真时：A ＝{a |a ≤1}．要使得g (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋1在R 上有极值， 则g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3＝0有两个不相等的实数解，Δ＝4a 2－4×3×3>0，解得a <－3或a >3.所以命题q 为真时：B ＝{a |a <－3或a >3}． 因为命题“p ∨q ”为真命题， 所以p 真或q 真或p 、q 都为真． 因为A ∪B ＝{a |a ≤1或a >3}．所以所某某数a 的取值X 围为(－∞，1]∪(3，＋∞)．18．(本小题满分12分)如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2，0)，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆上，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过点A 作斜率为k (k >0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C .(1)求椭圆E 的标准方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求k 的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋94b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程l AB 为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，所以x A ·x B ＝－2x B ＝16k 2－123＋4k2，所以x B ＝－8k 2＋63＋4k 2，所以y B ＝k (x B ＋2)＝12k3＋4k 2，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2，12k 3＋4k 2.若k ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，又F 1(－1，0)，所以kCF 1＝－34，所以F 1C 与AB 不垂直，所以k ≠12.因为F 2(1，0)，kBF 2＝4k 1－4k 2，kCF 1＝－1k AB ＝－1k ， 所以直线BF 2的方程lBF 2为y ＝4k1－4k2(x －1)， 直线CF 1的方程lCF 1为y ＝－1k(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4k 1－4k 2（x －1），y ＝－1k （x ＋1），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－1，y ＝－8k ，所以C (8k 2－1，－8k )．又点C 在椭圆上，则（8k 2－1）24＋（－8k ）23＝1，即(24k 2－1)(8k 2＋9)＝0，解得k 2＝124.因为k >0，所以k ＝612. 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－x (x －a )2(x ∈R)，其中a ∈R 且a ≠0，求函数f (x )的极大值和极小值．解：f ′(x )＝－(3x －a )(x －a )， 令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝a3.现分两种情况讨论如下：(1)若a >a3，即a >0，则x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 3时，f ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 时，f ′(x )>0；x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0. 因此，函数f (x )在x ＝a 3处取得极小值－427a 3，在x ＝a 处取得极大值0.(2)若a <a3，即a <0，则x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 3时，f ′(x )>0； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )<0. 因此，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值－427a 3，在x ＝a 处取得极小值0.20．(本小题满分12分)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．解：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，得a ＝2b .①设椭圆上任一点M 的坐标为(x ，y )，点M 到点P 的距离为d ，则x 2＝a 2－a 2y 2b2，且d 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝a 2－a 2b 2y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝－3y 2－3y ＋4b 2＋94＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3，其中－b ≤y ≤b .如果b <12，则当y ＝－b 时，d 2取得最大值，即有(7)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322， 解得b ＝7－32>12与b <12矛盾．如果b ≥12，则当y ＝－12时，d 2取得最大值，即有(7)2＝4b 2＋3.②由①②可得b ＝1，a ＝2. 所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.由y ＝－12可得椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12. 21．(本小题满分12分)直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：不存在．理由如下：设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，所以y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， 所以y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，② 由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2. 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2.③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0， 所以x 1＋x 2＝2a 3－a 2.④把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2＝2，解得a ＝32， 所以k AB ＝32，而k l ＝2，所以k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a .22．(本小题满分12分)请设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S (单位：cm 2)最大，试求此时x 的值；(2)若厂商要求包装盒容积V (单位：cm 3)最大，试求此时x 的值，并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：(1)S ＝4×2x ·60－2x 2＝240x －8x 2(0<x <30)，所以S ′＝240－16x .令S ′＝0，则x ＝15. 当0<x <15时，S ′>0，S 递增； 当15<x <30时，S ′<0，S 递减． 所以当x ＝15时，S 取最大值．所以，当x ＝15 cm 时，包装盒侧面积最大． (2)V ＝(2x )2·22(60－2x )＝22x 2(30－x )(0<x <30)， 所以V ′＝62x (20－x )．令V ′＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20.当0<x <20时，V ′>0；当20<x <30时，V ′<0. 所以，当x ＝20时，V 最大．此时，包装盒的高与底面边长的比值为22（60－2x ）2x ＝12.。

新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷(word文档有答案)新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.“sinA=1/2”是“A=30°”的（）。

A。

充分而不必要条件B。

必要而不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件2.“mn<0”是“方程mx^2+ny^2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（）。

A。

充分而不必要条件B。

必要而不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件3.命题“对任意的x∈R，x-x+1≤32”的否定是（）。

A。

不存在x∈R，x-x+1≤32B。

存在x∈R，x-x+1≤32C。

存在x∈R，x-x+1>32D。

对任意的x∈R，x-x+1>324.双曲线x^2/102-y^2/22=1的焦距为（）。

A。

2√22B。

4√22C。

2√10D。

4√105.设f(x)=xlnx，若f'(x)=2，则x=（）。

A。

eB。

e^2C。

ln2D。

26.若抛物线y=2px的焦点与椭圆x^2/36+y^2/4=1的右焦点重合，则p的值为（）。

A。

-2B。

2C。

-4D。

47.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）。

A。

√3/2B。

2/3C。

1/2D。

1/38.已知两点F1(-1,0)、F2(1,0)，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）。

A。

x^2/9+y^2=1B。

x^2/4+y^2=1C。

x^2+y^2/9=1D。

x^2+y^2/4=19.设曲线y=ax^2在点（1，a）处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a=（）。

A。

1B。

1/2C。

-1/2D。

-110.抛物线y=-x^2的准线方程是（）。

A。

x=11/8B。

y=2C。

y=-2D。

y=-11/811.双曲线x^2/49-y^2/39=1的渐近线方程是（）。

A。

y=±x/7B。

y=±3x/7C。

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模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“∃x0∈R,2x0－3〉1"的否定是( )A．∃x0∈R,2x0－3≤1 B．∀x∈R,2x－3〉1C．∀x∈R,2x－3≤1 D．∃x0∈R，2x0－3〉1解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．2．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为（)A．e2B．eC.错误!D．ln 2解析：选B 由f(x)＝x ln x，得f′（x)＝ln x＋1. 根据题意知ln x0＋1＝2，所以ln x0＝1,因此x0＝e。

3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2,则a的值为（)A。

错误!B．－错误!C．8 D．－8解析:选B 由y＝ax2得x2＝错误!y，∴错误!＝－8，∴a＝－错误!.4．下列说法中正确的是( )A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a〉b”与“a＋c〉b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0，则a2＋b2≠0"D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析:选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.5。

高中数学人教a 版高二选修1-1_章末综合测评2 有答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是( )A ．x ＝132B ．y ＝2C ．y ＝132D ．y ＝－2【解析】 将y ＝－18x 2化为标准形式为x 2＝－8y ，故准线方程为y ＝2.【答案】 B2．下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y22＝1D.x 22－y 2＝1 【解析】 法一 由渐近线方程为y ＝±2x ，可得y2＝±x ，所以双曲线的标准方程可以为x 2－y 24＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或y 24－x 2＝1，舍去.法二 A 中的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中的渐近线方程为y ＝±12x ；C 中的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中的渐近线方程为y ＝±22x .故选A.【答案】 A3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53【解析】 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝169. 又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53.【答案】 D4．抛物线y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )A ．(1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 C ．(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 【解析】 ∵y 2＝14x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0，∴关于直线y ＝x 对称后抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，116.【答案】 B5．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】 设P (x 0，y 0)，又F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴PF 1→＝(－2－x 0，－y 0)，PF 2→＝(2－x 0，－y 0)．|F 1F 2|＝4. S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6，∴PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－4＝6＋1－4＝3. 【答案】 B6．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A ．23pB ．43pC ．63pD ．83p【解析】 设A 、B 在y 2＝2px 上，另一个顶点为O ，则A 、B 关于x 轴对称，则∠AOx ＝30°，则OA 的方程为y ＝33x .由⎩⎨⎧y ＝33x ，y 2＝2px ，得y ＝23p ，∴△AOB 的边长为43p .【答案】 B7．已知|A B →|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，O P →＝13O A →＋23O B →，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y29＝1【解析】 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|A B →|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.【答案】 A8．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心的弦F 1为一个焦点，则△ABF 1的最大面积是(c 为半焦距)( )A ．acB ．abC ．bcD ．b 2【解析】 △ABF 1的面积为c ·|y A |，因此当|y A |最大， 即|y A |＝b 时，面积最大．故选C. 【答案】 C9．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.72 C.74D.752【解析】 |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6， 则|AF 2|＝6－|AF 1|，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，即(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， 解得|AF 1|＝72，所以S ＝12×72×22×22＝72.【答案】 B10．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2【解析】 由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得a ＝b . ∵渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1. 【答案】 C11．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积是( )A ．3 2B ．2 2 C. 2D.322【解析】 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2. 由图知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝32 2.【答案】 D12．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2【解析】 由题意，知a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，∴直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12，故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.【解析】 由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2＝1.又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3.又b >0，所以b ＝ 3.【答案】314．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2.【答案】215.如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________．图1【解析】由条件知，c＝p 2，∴其中一个交点坐标为(c,2c)，∴c2a2＋4c2b2＝1，∴e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3±22，∴e＝±(2±1)．又0<e<1，故e＝2－1.【答案】2－116．已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为x24－y2＝1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为________．【解析】因为C1的方程为x24－y2＝1，所以C1的一条渐近线的斜率k1＝12，所以C2的一条渐近线的斜率k2＝1，因为双曲线C1、C2的顶点重合，即焦点都在x轴上，设C2的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，所以a＝b＝2，所以C2的方程为x24－y24＝1.【答案】x24－y24＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．【解】由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，可设椭圆方程为y2a2＋x2a2－25＝1，双曲线方程为y2b2－x225－b2＝1(b>0)．点P(3,4)在椭圆上，则16a2＋9a2－25＝1，得a2＝40，双曲线过点P(3,4)的渐近线方程为y＝b25－b2x，即4＝b25－b2×3，得b2＝16.所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1，双曲线方程为y 216－x 29＝1.18．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点， (1)若|AB |＝10，求m 的值； (2)若OA ⊥OB ，求m 的值． 【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x⇒x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2m －8)2－4m 2＞0，x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2.|AB |＝2|x 1－x 2|＝ 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10，得m ＝716，∵m ＜2，∴m ＝716.(2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0， 2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0， 2m 2＋m (8－2m )＋m 2＝0， m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8. 经检验m ＝－8.19．(本小题满分12分)已知双曲线过点P ()－32，4，它的渐近线方程为y ＝±43x .(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝41，求∠F 1PF 2的余弦值．【解】 (1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－32的点P ′的纵坐标的绝对值为4 2.∵42>4，∴双曲线的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵双曲线过点P (－32，4)，∴18a 2－16b 2＝1.① 又b a ＝43，② 由①②，得a 2＝9，b 2＝16， ∴所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1·d 2＝41.又由双曲线的几何性质知，|d 1－d 2|＝2a ＝6.由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－|F 1F 2|22d 1d 2＝(d 1－d 2)2＋2d 1d 2－|F 1F 2|22d 1d 2＝941.20．(本小题满分12分)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .【解】 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.又AB→＝(－a ，b )， 从而有AB →·NM→＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)． 由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →·NM→＝0，故MN ⊥AB .21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 及点A (0，b )，原点O 到直线F A 的距离为22b . (1)求椭圆C 的离心率e ；(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．【解】 (1)由点F (－ae,0)，点A (0，b )，及b ＝1－e 2a ，得直线F A 的方程为x －ae＋y 1－e 2a＝1，即1－e 2x －ey ＋ae 1－e 2＝0.因为原点O 到直线F A 的距离为 22b ＝ae 1－e 2， 所以221－e 2·a ＝ae 1－e 2，解得e ＝22. (2)设椭圆C 的左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋22a＝12，2·x 0－22a2＋y 02＝0，解得x 0＝3210a ，y 0＝225a . 因为P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3210a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫225a 2＝4.所以a 2＝8，b 2＝(1－e 2)a 2＝4. 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1，第- 11 -页 共11页 点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85. 22．(本小题满分12分)已知经过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C ，当直线l 的斜率是12时，A C →＝14A B →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．【解】 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由已知，当k l ＝12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎨⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， 所以⎩⎨⎧ y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝8＋p 2，又因为A C →＝14A B →， 所以y 2＝14y 1或y 1＝4y 2. 由p >0得：y 1＝4，y 2＝1，p ＝2，即抛物线方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)， 得x 2－4kx －16k ＝0.①所以x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . 所以BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )， 所以BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程①由Δ＝16k 2＋64k >0得k >0或k <－4.所以b ∈(2，＋∞)．。