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第一章 函数、极限、连续注 “★”表示方法常用重要.一、求函数极限的方法★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等.★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。
三、无穷小量阶的比较的方法利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开四、函数的连续与间断点的讨论的方法如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。
如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。
五、求数列极限的方法★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理；4. )()(lim )()(lim ∞=⇒∞=∞→+∞→A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若∑∞=1n na收敛，则0lim =∞→n n a ；8. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量；9.等价量替换等.【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算，2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。
因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则.4.由数列{}n a 中的通项是n 的表达式，即).(n f a n =而)(lim )(lim x f n f x n ∞→∞→与是特殊与一般的关系，由归结原则知★5. 有lim 1011()()nn i i f f x dx n n →∞==⎰∑或1lim1001()()n n i i f f x dx n n -→∞==⎰∑ 第二章 一元函数微分学★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法：利用导数定义，经常用第三种形式 二、研究导函数的连续性的方法：1.求出()f x '，对于分段函数的分界点要用左右导数定义或导数定义求.2.'()f x 讨论的连续性，★三、求初等函数的导数的方法：在求导之前尽可能的化简，把函数的乘除尽量化成加减，利用对数微分法转化为方程确定隐函数的求导等等，从而简化求导过程. 要熟练记住基本初等函数的导数公式、导数的四则运算，理解并掌握复合函数的求导法则.四、求分段函数的导数的方法：求分段函数导数不在分界点可直接利用求导公式。
第4卷第4期杭州电子科技大学学报(社会科学版)V ol.4N o.4 2008年12月JO UR NA L OF H A NG Z H O U D I A NZ I U NI VERS ITY (S oci al S c iences)De c.2008 关于复分析教学的几点思考谢素英,焦振华(杭州电子科技大学理学院,浙江杭州310018)收稿日期基金项目杭州电子科技大学精品课程建设项目(Z X 6)作者简介谢素英(66),女,河北保定人,副教授,偏微分方程与复分析摘要:复分析是数学与应用数学专业的一门重要基础课,本文介绍了一些复分析授课的技巧和体会。
对授课内容要科学取舍,抓住重点和难点;授课中要注意引导学生的兴趣。
结合上述观点,列出了一些学生容易混淆的问题并给出了详细解释。
关键词:复分析;授课技巧;重点;难点中图分类号:G 642.0 文献标识码:B 文章编号:1001-9146(2008)04-0071-03复分析[1-2]是数学与应用数学专业的一门重要基础课,是数学分析的后继课,也是学习大学本科专业的三大专业课泛函分析、近世代数和点集拓扑的基础。
学习和研究复分析,对于培养和训练学生的抽象思维能力,提高分析问题和解决问题的能力,获取近代数学知识和理论,尤其是学习现代分析,以及培养学生的初步研究能力都是很重要的。
复分析的内容,已深入渗透至常微分方程、分形几何、复动力系统、解析数论、算子理论等许多数学分支,并在诸多自然学科,如空气动力学、热力学、电学等的相关领域有广泛应用。
学习复分析可以了解复分析理论在实践中的应用。
21世纪的教育是素质教育,对数学教学工作来说,就是要使受教育者掌握数学知识,树立数学思想,运用数学方法解决生产和科学研究中的问题。
一、复分析教学的技巧探讨1.对授课内容要科学取舍,抓住重点和难点在教学计划规定的学时内,要面面俱到的讲授每章每节的内容是不可行的。
但是仅对教材内容进行简单取舍,就会破坏知识的系统性,给学生的学习造成困难。
第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。
学生研究与讨论---------关于微积分中值定理的讨论彭俊杰（重庆邮电学院计算机学院信息与计算科学专业2000级）第一章微分中值定理由于解决实际问题的需要，人们引进了微分学的概念，并对它进行研究发展，使之成为一门系统化、全面化的理论。
而且微分学也随之成为解决实际问题中一种重要的工具之一，其应用也越来越广泛。
而微分学中的一个重要定理——微分中值定理——是微分应用的理论基础，是微分学的核心理论。
所有微分中值定理的重要性也是显而易见的。
而这一章我们就是要讨论微分中值定理及其相关内容。
主要讲了四个方面：第一节主要是从讲述微分中值定理的历史演变过程中引出微分中值定理的三种形式，并给出它们各自的一种证明方法；第二节是从两个方面研究微分中值定理的推广：n元函数的微分中值定理和高阶微分中值定理；第三节主要是研究复函数中的微分中值定理，得到与实分析中相对应的微分中值公式；第四节是在共轭解析函数中探讨微分中值定理，在引进共轭解析函数的定义后对共轭解析函数的中值定理进行初步的探讨。
第一节微分中值定理的历史演变及其简介微分中值定理是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的总称。
而且微分中值定理不是一下子全部被人类认知，它的完整出现经历了一个过程，是众多数学家共同研究的成果。
从费马定理到柯西中值定理，是一个逐步完善、不断向前发展的过程，而且随着相关数学理论知识的不断完善，微分中值定理也随之得以完整起来，证明方法也出现了多样化。
这一节主要是从讲述微分中值定理的历史演变入手，引出微分中值定理的三个公式，并给出它们各自的一种证明方法。
§1.1：微分中值定理的历史演变微分中值定理，是微分学的核心定理，是研究函数的重要工具，是沟通函数与导数的桥梁，历来受到人们的重视。
微分中值定理是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的总称。
微分中值定理有着明显的几何意义，以拉格朗日定理为例，它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。
万方数据浅谈一元函数极限的若干常用求法作者：任锋作者单位：河南工程技术学校,河南焦作,454000刊名：科技创新导报英文刊名：SCIENCE AND TECHNOLOGY INNOVATION HERALD年，卷(期)：2009，(4)引用次数：0次1.詹瑞清.卢海敏高等数学全真课堂 20042.同济大学.天津大学.浙江大学.重庆大学高等数学(教育部高职高专规划教材) 20033.盛祥耀高等数学辅导 19931.期刊论文王玉苏.吴素敏.王力加1∞型极限的探讨-石家庄职业技术学院学报2003,15(4)运用α=O(β),α=o(β),β=o(α)在1∞型极限中的理论和α～β的代换在1∞型极限中的应用,论述了1∞型极限的解题方法,克服了教科书中解题方法单一的缺点,拓宽了求解此类型极限的思路.2.期刊论文田婷无穷小极限应用中的误区浅析-内江科技2009,30(1)无穷小是高等数学的一个重要概念,在求极限过程中具有很好的作用.通过对无穷小定义、性质及等价无穷小应用中可能存在误区的分析,以例证形式给出了无穷小在求极限中的注意点.3.期刊论文杨维珍无穷小的等价代换在求lim n→∞n∑m=1f(amn)型极限的应用-黔东南民族师范高等专科学校学报2006,24(3)给出一个无穷小等价代换有关的定理,并利用它求解一类函数列的极限,拓宽求函数列极限的方法.4.期刊论文李久平.LI Jiu-ping待定无穷小方法在积分型极限中的应用-数学的实践与认识2005,35(5)提出了一种利用待定无穷小求lim n→∞∫x/20 sinnxdx形式的极限的简单方法,该方法既不需要利用Lebesgue积分的性质,又避免了使用数列极限的ε-N定义,并给出了若干例子.5.期刊论文凌寿铨.LING Shou-quan无穷小在极限及正项级数方面的应用-河北北方学院学报(自然科学版) 2008,24(6)以无穷小商的极限等价代换为基础,推广并论述了等价无穷小在和差极限运算中的运用;指出了两同阶无穷小的和差运算在满足何种条件下可逐项等价代换,两不同阶的无穷小在满足何种条件下其高阶无穷小可以略去,使等价无穷小替换由积商型结构推广到和差型的结构中;这样可以大大简化极限的计算过程,能清楚在和差极限运算时,什么时候可逐项代换,什么时候可以略去;并举例说明了二个定理在极限计算中的应用.同时用无穷小的比较观点来解释正项级数敛散性判别的极限形式,对于理解和使用该判别法有大的帮助,它也是无穷小的一个应用.6.期刊论文王艳梅.Wang Yanmei无穷小的性质在求极限中应用的例证-河北能源职业技术学院学报2001,1(1)无穷小量是高等数学的一个重要概念,在求极限过程中它具有很好的性质,掌握利用好这些性质,能使一些较复杂的极限问题简单化.解题中,要注意分辩各种类型,以灵活运用这些性质解题.7.期刊论文王永成.Wang Yongcheng Kruskal时空视界外二级无穷小邻域是Minkowski时空-北京师范大学学报（自然科学版）2005,41(4)用2种办法证明了Kruskal时空视界外二级无穷小邻域是Minkowski时空.一种办法是对Kruskal度规取极限,另一种办法是对Schwarzschild度规与Kruskal变换取极限.8.期刊论文吴汉华.WU Han-hua关于无穷小的等价替换及其推广-闽西职业大学学报2005,7(2)理解无穷小的有关概念,会用无穷小的等价替换求极限,这是<高等数学>的教学要求,学生能更好地运用等价替换原理,并把原理推广到无穷小的和与差的等价替换,再由等价无穷小的概念推导出一类工程上常用的近似计算公式.9.期刊论文陈杰.李密.CHEN Jie.LI Mi极限教学中需要注意的几个"不一定"-金华职业技术学院学报2005,5(3) 本文针对极限教学中几个易错问题,即分段函数不一定不是初等函数、初等函数不一定在其定义域上连续、无界变量不一定是无穷大、无穷多个无穷小之积不一定是无穷小、两个非无穷小之积不一定不是无穷小进行探讨,给出予说明.这对高等数学的教学有一定的参考作用.10.期刊论文黄乘规.Huang Chenggui闭的实连续统(-RΩ∏)上的无穷小微积分学(Ⅱ)-商洛师范专科学校学报2001,15(2)在21中陈述了(-RΩ∏)中区间的分类及测度,得到线段中无穷小微积分的基本公式,用穷举法构造性地列出(-RΩ∏)的四类不可分割的子连续统:(+π)-其测度为(+π)、(a++-ω)-其测度为(+-ω)、(a-+-ω-)其测度为(+-ω)和(-π)-其测度为(+π),这里a∈R在22研究了(-R∏)中有穷的矩形的测度,首先定义关于dx的连续运算:连续相加+ 和连续相乘记作 .得到矩形面段无穷小微积分的基本公式.由矩形面积公式出发证明了(1)实数集合R[a,b]的测度为零,全体实数集合R的测度也为零.(2)m(φ[a,b])=b-a,其中φ[a,b]是R的空集合.这是本文中对Lebesque测度提供的第二和第三个反例.因此应该在(-RΩ∏)之上建立新的测度论.最后定义了d 对dx的微商.23和24中将R中序列极限结果的精密化了,极限的结果共分为七类,有不同的波动和点驻型.自变量的极限有更精密的表示,如(limnn→∞= +π≠∞)和(lim x＞cx→c x=c++-ω≠c)等.对函数的极限点进行了仔细的讨论.25中用极限精确化的方法将R中的函数扩大为(-RΩ∏)的一个多值或单值函数关系.并对(-RΩ∏)的函数关系引入极限协调的概念.26中研究了用极限精确化的方法将R中的可导函数在(-RΩ∏)中的扩大,特别研究了单值扩大的问题.最后定义了dυ(x)对dx的微商.因为实数集合的测度为零,所以27中在-RΩ∏中在极限协调性的条件下对实数集合定义了新的测度.在28中首先指出:因为实数集合R的测度为零,所以实数函数f(c)在a和b之间的积分需要重新定义.接着把(-RΩ∏)中的单值和多值函数的积分定义为一个变量.根据部分量不超过全量的基本原则,并引进了曲边梯形a-b-f(b)-f(a)的本源几何形式的概念,我们证明了有关积分的基本不等式.进一步把实数函数f(c)扩大成为(-RΩ∏)中的单值和多值函数,再定义其积分.总结了积分方法:正问题的求积分法是求原函数;反问题的求积分法--根据被积分函数f(x)的某些性质,在R中用极限方法估算.随之得到连续函数无穷小微积分的基本公式.在假设a、b、c∈R且a＜v,b(c)是定义在a≤c≤b上的实数函数,并对每个满足a≤c≤b的实数c,f(c)在c点的左极限和右极限都存在的条件下,用极限精确化的方法将f(c)扩大为(-RΩ∏)中的单值或多值函数.然后证明了积分(|abf(x)dx)可以取到确定的实数值,并得到有关的无穷小微分求和的基本公式.这些公式已超出连续函数的范围.本节最后对物理上的右瞬时、瞬时速度和瞬时中的平均速度作了合理的解释.29中做了七点评述.(1)总结了关于不可分割的连续统的研究.(2)对Zeno的总格言进行了评述.(3)肯定了庄周的无厚不可积的猜想.(4)肯定了Aristotle否认数能够产生一个连续统的猜想.(5)肯定了庄周的不测猜想.(6)在27和28中为(-RΩ∏)的测度论和积分论提供了初步的基础.但要使这种测度论圆满,还有很多事情要做.(7)肯定了非标准分析的创始人Robinson所得到的新的推演过程,主要是[2]中所得到的转移原则,具有划时代意义.Robinson把引进新的数学对象的任务交给后人去完成.本文所引进的不可分割的连续元是新的数学实体.回答了数学中的一个根本问题:数量(测度或距离等)是从哪里来的?本文的数学结论是:数学中的测度来源于连续元π、(a-+-ω、a++-ω和+π).这种不可分割的连续元才是数量的实体.它也代表实x轴上空间的实体,而实数只是分割这种不可分割的连续元的没有测度的标签.一条有向直线,例如实x轴,不能被实数点填满.这个结果在数学史上从来没有搞清楚过.本文链接：/Periodical_kjzxdb200904207.aspx下载时间：2009年11月2日。
《高等数学》(一元函数微积分)学习要点与参考练习(1)
冯泰
【期刊名称】《内蒙古电大学刊》
【年(卷),期】1996(000)0S3
【摘要】九六级理工类的高等数学(上,一元函数微积分)包括函数、极限与连续、导数与微分及其应用、积分及其应用、级数和常微分方程等部分,即柳重堪教授主编的《高等数学(上册)——一元函数微积分》的全部内容.计划学时81,其中72个学时用电视播出授课.本文略述本课程的要求,并给几个练习.第一章函数重点:函数概念、函数的奇偶性、基本初等函数.具体要求:1.理解函数的概念,掌握函数y=f(x)中符号f( )的含义.了解决定函数的决定因素是定义域和对应关系.能熟练地求函数的定义域和函数值.2.了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性),特别是会判别函数的奇偶性.3.熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形.4.了解复合函数、初等函数的概念,会把一个复合函数分解成几个较简单的函数.5.会列简单的应用问题的函数关系式.练习(1)
【总页数】4页(P28-31)
【作者】冯泰
【作者单位】中央电大!主持教师
【正文语种】中文
【中图分类】O172
【相关文献】
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5.《高等数学》(一元函数微积分)学习辅导(2) [J], 冯泰
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