陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题

长安一中2020——2021学年第一学期高二年级期中考试 理科数学试卷一、选择题1. 若直线l 的方向向量为(1,0,2)a =，平面α的法向量为(2,0,4)n =--，则（ ） A. //l α B. l α⊥ C. l α⊂ D. l 与α斜交【答案】B 【解析】 【分析】由l 的方向向量(1,0,2)a = ，平面α的法向量(2,0,4)n =-- 可得2n a =-，从而得解. 【详解】∵(1,0,2)a = ，(2,0,4)n =--， ∴2n a =- ，即//n a .∴l α⊥. 故选：B【点睛】本题考查利用直线l 的方向向量与平面α的法向量关系判断线面位置关系.属于基础题.2. 已知命题:p x R ∀∈，2230x x -+>；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（ ） A. p q ∨B. ()p q ∨⌝C. p q ⌝∨D.()p q ⌝∨⌝【答案】C 【解析】 【分析】解不等式可判断命题p 的真假，根据不等式性质可判断q 的真假，再由复合命题的性质判断命题真假．【详解】命题p ：x R ∀∈，2230x x -+>， 因为()2120x -+>，所以命题p 为真命题命题q ：若22a b <，则a b <，当1,4a b ==-时不等式不成立，所以命题q 为假命题 由复合命题真假判断可知A ：p q ∨为真命题；B ：()p q ∨⌝为真命题;C ：p q ⌝∨为假命题；D ：()p q ⌝∨⌝为真命题. 故选:C3. 已知抛物线22y x =的焦点与椭圆2212y x m +=的一个焦点重合，则m =（ ）A.74B.12764C.94D.12964【答案】A 【解析】 【分析】抛物线22y x =的焦点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后可算出答案.【详解】抛物线22y x =的焦点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以椭圆2212y x m +=的一个焦点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以124m -=，即74m = 故选：A4. 已知正方体1111ABCD A B C D -，若112AB C B ⋅=-，则正方体的棱长等于（ ）A 2 B.C.D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为()0a a >，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量数量积的坐标运算以及等式112AB C B ⋅=-，可得出关于a 的等式，由此可得出该正方体的棱长.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为()0a a >，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、(),0,0B a 、()1,0,B a a 、()1,,C a a a ，()1,0,AB a a =，()10,,C B a a =--，则2112AB C B a ⋅=-=-，可得2a =因此，正方体1111ABCD A B C D -2. 故选：C.【点睛】本题考查利用空间向量数量积求解正方体的棱长，考查计算能力，属于基础题.5. 设1a ≥，则双曲线22214x y a a -=+离心率的取值范围为（ ）A. [)5,+∞B. [)6,+∞C. )5,⎡+∞⎣ D. )6,⎡+∞⎣【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程可得2222441c a a e a a a a++===++，从而可得离心率的取值范围.【详解】由双曲线方程可得2222441c a a e a a a a++===++，又1a ≥44121415a a a a∴++≥⋅=+=，当且仅当4a a =，即2a =时取等号，所以双曲线的离心率的取值范围为)5,⎡+∞⎣. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，不等式的性质的应用，属于基础题.6. 三棱锥A­BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则AB CD ⋅等于( )A. －2B. 2C. 23-D. 23【答案】A 【解析】 试题分析：()····022cos602CD AD AC AB CD AB AD AC AB AD AB AC =-∴=-=-=-⨯⨯=-考点：平面向量数量积的运算7. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是11A C 的中点，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ） A.32B.24C.12D.33【答案】B 【解析】 【分析】O 是11A C 中点，1112OC AC =，因此O 到平面11ABC D 的距离等于1A 到平面11ABC D 距离的一半，求出1A 到平面11ABC D 距离即可．【详解】如图，连续1A D 与1AD 交于点M ，11ADD A 是正方形，则11A D AD ⊥，1111ABCD A B C D -是正方体，AB ⊥平面11ADD A ，而1A D ⊂平面11ADD A ，∴1AB A D ⊥，又1AD AB A ⋂=，∴1A D ⊥平面11ADD A ，又11122A M A D ==， ∴1A 到平面11ABC D 的距离为2， 又1112AC OC =，∴O 到平面11ABC D 的距离等于1A 到平面11ABC D 距离的一半即为24． 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查求点到平面的距离，求P 到平面α的距离方法如下： （1）直接过P 作平面α的垂线，垂足为M ，求出PM 的长即可；（2）（转化法）若Q α∈，O 是直线PQ 上的点，且PQ OQ λ=，求出O 到平面α的距离d ，则P 到α距离为d λ．（3）体积法，利用三棱锥可以以任一面底面，换底后求出体积，则可求得点面距．（4）建立空间直角坐标系，若Q α∈，求出α的一个法向量，PQ 在n 方向上的投影的绝对值即为P 到平面α的距离．8. 已知点F 为椭圆()2221x y a a+>的一个焦点，过点F 作圆221x y +=的两条切线，若这两条切线互相垂直，则a =（ ） A. 2 23 D. 23【答案】C 【解析】 【分析】根据切线垂直，推导出F 点至坐标原点的距离，即可求得焦点坐标和a 【详解】由题可设(),0F c ，根据题意，作图如下：因为过F 点的两条切线垂直，故可得45OFH ∠=︒，则1OH HF ==， 故可得2OF =F 坐标为)2,0.则2,1c b ==，故2223a b c =+=，解得3a =故选:C.9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 命题“若2020x >，则0x >”的逆命题 B. 命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题 C. 命题“若220x x +-=，则1x =” D. 命题“若21x ≥，则1≥x ”的逆否命题 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断每个命题的真假即可.【详解】A 项，命题“若2020x >，则0x >”的逆命题为“若0x >，则2020x >”，显然命题为假；B 项，命题“若0xy =，则0x =或0y =”的逆命题为“若0x =或0y =，则0xy =”，显然命题为真，则原命题的否命题也为真；C 项，解220x x +-=，得1x =或2x =-，所以命题“若220x x +-=，则1x =”为假；D 项，211x x ≥⇒≤-或1≥x ，所以命题“若21x ≥，则1≥x ”是假命题，则其逆否命题也为假命题. 故选：B.10. 设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则上述命题中所有真命题的个数是（ ）． A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假. 【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α； 若3l 与1l 相交，则交点B平面α内， 同理，3l 与2l 的交点A 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线不相交，可能平行可能异面，命题3p 为假命题； 对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线， 直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题. 故选:B11. 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ） A. 18 B. 24C. 36D. 48【答案】C 【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0）， 则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2p∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点， 又∵AB ⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6又∵点P 在准线上 ∴DP=（2p +|-2p|）=p=6 ∴S △ABP=12（DP•AB ）=12×6×12=36 故选C ．12. 在ABC 中，“sin cos B C <”是“ABC 为钝角三角形”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合特殊值法、正弦函数的单调性以及诱导公式判断可得出结论.【详解】充分性：在ABC 中，若sin cos B C <，则cos 0C >，可知C 为锐角，且cos sin 2C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若角B 为直角，则sin 1B =，则cos 1C >不成立，故角B 不可能为直角； 若角B 为锐角，则sin cos sin 2B C C π⎛⎫<=-⎪⎝⎭，02C π<<，则022C ππ<-<，由于正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，可得2B C π<-，即2B C π+<，即2A ππ-<，2A π∴>，此时，ABC 为钝角三角形；若角B 为钝角，即2B ππ<<，可得02B ππ<-<，02C π<<，则022C ππ<-<，由sin cos B C <可得()sin sin 2B C ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭， 由于正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，可得2B C ππ-<-，可得2B C π->，22B C ππ∴>+>，此时，ABC 为钝角三角形；所以，充分性成立；必要性：若ABC 为钝角三角形，且角C 为钝角，则角B 为锐角，那么sin 0cos B C >>， 必要性不成立.综上所述，在ABC 中，“sin cos B C <”是“ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：B.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法： （1）定义法； （2）集合法； （3）转化法.13. 如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）A. 5B. 6C.163D.203【答案】C 【解析】 【分析】设,A B 在准线上的射影分别为,M N ，根据点F 是AC 的中点， 2AM HF =，取得2p =， 设BF BN m ==，根据相似求得43BF =，再结合焦点弦的性质，即可求解. 【详解】设,A B 在准线上的射影分别为,M N ，准线与x 轴交于H ，则HF p =， 由于点F 是AC 的中点，且4AF =，根据抛物线的定义，可得224AM HF p ===，所以2p =，设BF BN m ==，则BN BC FH CF =，即424m m -=，解得43m =，所以416433AB AF BF =+=+=， 即AB 的长为163. 故选：C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及其应用，其中解答中熟记抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.14. 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则离心率的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭C. 20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 2,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】 【分析】由120MF MF ⋅=可知，M 在以原点为圆心，c 为半径的圆上，所以圆在椭圆内部，可得c b <. 【详解】因数120MF MF ⋅=所以M 在以原点为圆心，c 为半径的圆上 所以圆在椭圆内部， 所以c b <所以2222<=-c b a c2212<c a 202e <<故选：C.【点睛】本题主要考查了点与椭圆的位置关系，还考查转化化归的能力，属于中档题.二、填空题15. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>C 的渐近线方程为___________.【答案】y = 【解析】 【分析】根据离心率公式得到ba=，再计算渐近线得到答案. 【详解】由双曲线的方程可得渐近线的方程为：by x a=±，由题意离心率c e a ===b a =y =，故答案为：y =.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程，属于简单题.16. 一个椭圆中心在原点，焦点12F F ，在x轴上，(P 是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为____． 【答案】22186x y +【解析】 【分析】设椭圆方程为2222x y a b+=1，（a ＞b ＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a ，b ，由此能求出椭圆方程．【详解】∵个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴设椭圆方程为2222x y a b+=1，（a ＞b ＞0），∵P （2|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴2243124a b a c⎧+=⎪⎨⎪=⎩，且a 2=b 2+c 2， 解得，，∴椭圆方程为22186x y +=．故答案为22186x y +=．【点睛】本题考是椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．17. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则点1A 与面对角线1BC 所在直线间的距离是______． 【答案】6a 【解析】 【分析】连接11,BC B C 交于点O ，连接1A O ，根据正方体的性质，易得1BC ⊥平面11A B O ，进而得到1BC ⊥1A O ，则1A O 的长度即为所求.【详解】如图所示：连接11,BC B C 交于点O ，连接1A O ， 因为111111111,,BC B C BC A B B C A B B ⊥⊥⋂=， 所以1BC ⊥平面11A B O ， 所以1BC ⊥1A O ， 所以1A O 的长度即为所求.因为1112,A B a B O a ==， 所以2211116AO A B B O a =+= 故答案为：6a 18. 已知抛物线()220y px p =>在第一象限内的部分上一点()3,A b 到抛物线焦点F 的距离为4，若P 为抛物线准线上任意一点，则PAF △的周长最小值为______． 【答案】434+ 【解析】 【分析】利用抛物线的定义由342p+=求得抛物线方程24y x =，进而得到准线方程1x =-，焦点坐标()1,0F ，()3,23A ，然后作出点A 关于准线的对称点()5,23A '-求解. 【详解】因为抛物线()220y px p =>上的点()3,A b 到抛物线焦点F 的距离为4，由抛物线的定义得；342p+=，解得2p =， 所以抛物线方程为24y x =，准线方程为1x =-，焦点坐标为()1,0F ，()3,23A ，如图所示：点A 关于准线的对称点(5,23A '-，则AP +PF 的最小值为()()22512343A F '=--+=所以PAF △的周长最小值为4故答案为：4三、解答题19. 已知m ∈R ，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求m 的取值范围． 【答案】（1）[]1,2；（2）()(],11,2-∞.【解析】 【分析】（1）考查不等式恒成立，构造函数()[]()220,1f x x x =-∈，求其最小值()2min 3f x m m≥-即可；（2）p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，则p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，分p 真q 假、p 假q 真两类讨论即可.【详解】（1）对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，令()[]()220,1f x x x =-∈，则()2min 3f x m m ≥-，当[]0,1x ∈时，()()min 02f x f ==-，即232m m -≤-，解得12m ≤≤． 因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2．（2）当1a =时，若q 为真命题，则存在[]1,1x ∈-，使得m x ≤成立，所以1m ． 因此，当命题q 为真时，1m ．因为p 且q 为假命题，p 或q 为真命题， 所以p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，由121m m ≤≤⎧⎨>⎩得12m <≤；当p 假q 真时，由121m m m ⎧⎨≤⎩或得1m <．综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞．【点睛】本题借助命题的“外衣”，考查了不等式恒成立问题，和存在性问题，是一道很典型的题目.20. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =，F 为MC 的中点．（1）求证：//EF 平面1A DC ；（2）求直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（210【解析】 【分析】（1）以D 为原点建立空间直角坐标系，求出EF 和平面1A DC 的一个法向量为n ，满足0EF n ⋅=即可；（2）利用111cos ,DA CF DA CF DA CF⋅=⋅可求出.【详解】（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示空间直角坐标系，由1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =， 得()0,0,0D ，()1,0,2E ，70,,12F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()12,0,2A ，()0,4,0C ，∴()12,0,2DA =，()0,4,0DC =，71,,12EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．设平面1A DC 的一个法向量为(),,n x y z =．由122040n DA x z n DC y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，取1z =-，得()1,0,1n =-，∵0EF n ⋅=，且EF ⊄平面1A DC ，∴//EF 平面1A DC ．（2）解：由（1）知，()12,0,2DA =，又10,,12CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴11110cos ,55222DA CF DA CF DA CF⋅===⋅⨯．∴直线1A D 与直线CF 10． 【点睛】本题考查线面平行证明和异面直线所成角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解是解决本题的有效办法.21. 已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率22e =，且过点(0,2．（1）求椭圆方程；（2）已知1F 、2F 为椭圆的上、下两个焦点，AB 是过焦点1F 的一条动弦，求2ABF 面积的最大值．【答案】（1）2212y x +=；（2. 【解析】 【分析】（1）根据离心率的值，可列出a c ，的关系式，再根据经过()0,-2点，可得出a 的值和c 的值，最后再结合222a b c =+，可算出b 的值，直接写出椭圆方程即可.（2）根据题意设出直线的方程和椭圆方程联立方程组，由根和系数的关系，再结合三角形面积公式，可把三角形面积表示成含有参数的关系式，最后根据不等式，可求得面积的最大值. 【详解】（1）由题意，a =2c e a ==得1c =，所以1b =，所以椭圆方程是2212y x +=．（2）由于直线AB 经过上焦点()0,1，设直线AB 方程为1y kx =+，联立方程组22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩将1y kx =+代入椭圆方程2212y x +=，得()222210k x kx ++-=，则222A B k x x k +=-+，212A B x x k ⋅=-+， ∴A Bx x -==21212ABF A B S F F x x =⋅-△，可知122F F=则2211122ABF S k ===≤+△．=，即0k =时，2ABF S．【点睛】椭圆与直线相交时，三角形面积问题的关键点为：设直线方程、联立方程组、韦达定理、列出三角形面积的关系式，最后根据函数或不等式，可求出三角形面积的范围. 22. 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，4AB =，2BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C.（1）求证：BC ⊥平面ACD 1；（2）若直线DD 1与底面ABCD 所成的角为4π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（221 【解析】 【分析】（1）连接1D C ，则1 D C ⊥平面ABCD ，推导出1BC D C ⊥，连接AC ，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，推导出BC ⊥AC ，由此能证明BC ⊥平面ACD 1;（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CD 1，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值． 【详解】解：（1）证明：如图，连接1D C ，则1 D C ⊥平面ABCD ，BC ABCD ⊂平面，1BC D C ∴⊥在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，过点C 作CG AB ⊥于点G ，4,2,AB BC CD AB CD ===∥，则223,1,213AG BG CG ===-=22223(3)23AC AG CG ∴=+=+=因此满足22216,AC BC AB BC AC +==∴⊥ 又1D C ，AC ⊂面1AD C ，1D CAC C =BC ∴⊥平面1AD C（2）由（1）知1,,AC BC D C 两两垂直，1D C ⊥平面11,,24ABCD D DC D C CD π∴∠=∴==以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(23,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(0,0,2)D ，(23,2,0)AB ∴=-，1(23,0,2)AD =-设平面11ABC D 的法向量(,,)n x y z =，由100AB n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得23202320x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 可得平面11ABC D 的一个法向量(1,3,3)n =， 又1(0,0,2)CD =为平面ABCD 的一个法向量， 设平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， 则112321cos 727CD n CD nθ⋅===，因此平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为217．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23. 已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．【解析】【分析】 设22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒l 的方程为2(x a -+ )0b y ab +=．（Ⅰ）由F 在线段AB 上⇒10ab +=，又122211a b a b ab k b k a a ab a a---=====-=+-⇒//AR FQ ；（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为()1,0D x ⇒1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=⇒111222a b b a x ---=⇒10x =（舍去），11x =．设满足条件的AB 的中点为(),E x y ．当AB 与x 轴不垂直时⇒()211y x a b x =≠+-⇒2a b y +=⇒()211y x x =-≠．当AB 与x 轴垂直时⇒E 与D 重合⇒所求轨迹方程为21y x =-． 【详解】由题设1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设12:,:l y a l y b ==，则0ab ≠，且 22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 记过,A B 两点的直线为l ，则l 的方程为()20x a b y ab -++=（Ⅰ）由于F 线段AB 上，故10ab +=，记AR 的斜率为1,k FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b ab k b k a a ab a a ---=====-=+-， 所以//AR FQ（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为()1,0D x ， 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=，由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =（舍去），11x =． 设满足条件的AB 的中点为(),E x y ．当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得()211y x a b x =≠+-． 而2a b y +=，所以()211y x x =-≠． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为21y x =-【点睛】本题考查了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．。

陕西省西安市长安一中2017～2018学年度第一学期期末考试高二数学试题(理科)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.)1. 设复数满足，则= ( )A. B. C. D. 2【答案】C【解析】复数满足=故选2. 已知命题“存在x0∈R，使＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，－1)B. (－1,3)C. (－3，＋∞)D. (－3,1)【答案】B【解析】试题分析：原命题是假命题，所以其否定是真命题考点：全称命题特称命题及二次函数性质3. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120 km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A. 30辆B. 1700辆C. 170辆D. 300辆【答案】B【解析】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为估计辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（辆）故选4. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )A. k2＋1B. (k＋1)2C. D. (k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2【答案】D【解析】试题分析：当n=k时，等式左端=，当n=k+1时，等式左端=，增加了2k+1项．故选D．考点：数学归纳法．5. 已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为( )A. a2B. a2C. a2D. a2【答案】C【解析】根据正四面体的的棱长为，画出图形如下：故选6. 直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )．A. 4B.C. 2D.【答案】A【解析】先根据题意画出图形：得到积分上限为，积分下限为曲线与直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为而故曲边梯形的面积为故选7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。

长安一中2020—2021学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.243ii -=+（） A.1255i - B.1255i + C.2155i + D.2155i - 2.“220x x +=”是“0x =”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列说法正确的是（）A.类比推理是由特殊到一般的推理B.合情推理得到的结论是正确的C.归纳推理是由个别到一般的推理D.合情推理得到的结论是错误的4.一物体做直线运动，其位移s 与时间t 的关系是22s t t =+，则物体在2t =时的瞬时速度为（） A.4B.6C.8D.105.某双曲线的一条渐线近方程为32y x =，且上焦点为，则该双曲线的方程是（） A.22164x y -=B.22164y x -= C.221188x y -=D.221188y x -=6.设(, )P x y 8=，则点P 的轨迹方程为（）A.221164x y +=B.221416x y += C.22148x y -=D.22184x y -= 7.用反证法证明“至少存在一个实数0x ，使030x>成立”时，假设正确的是（）A.不存在实数0x ，使030x>成立 B.至多存在一个实数0x ，使030x>成立 C.至少存在两个实数0x ，使030x>成立 D.任意实数x ，030x>恒成立8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱1CC 的中点，连结1B M ，1BC 交于点P ，则（）A.12233AP AB AD AA =++ B.12233AP AB AD AA =++ C.12233AP AB AD AA =++D.11122AP AB AD AA =++9.已知函数()f x 的导函数是()f x '，()f x '的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()f x 在()2,1--上单调递减B.函数()f x 在3x =处取得极大值C.函数()f x 在()1,1-上单调递减D.函数()f x 共有4个极值点10.在三棱锥P ABC -中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且PA PB PC ==，M ，N 分别为AC ，AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）A.-B.11.若函数2()ln f x x m x =-在(0,1]上为减函数，则实数m 的取值范围是（） A.[2,)+∞B.(2,)+∞C.(,2]-∞D.(,2)-∞12.已知抛物线方程为24y x =，直线:0l x y ++=，抛物线上一动点P 到直线l 的距离的最小值为（）A.2B.2-C.4D.22-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“x ∀∈R ，20x x +≤”的否定是______.14.函数3()5f x x x =-+的图象在点(1,(1))P f 处的切线方程是______.15.如图，中心均为坐标原点O 的双曲线与椭圆在x 轴上有共同的焦点1F ，2F ，点M ，N 是双曲线的左、右顶点，点A ，B 是椭圆的左、右顶点.若1F ，M ，O ，N ，2F 将线段AB 六等分，则双曲线与椭圆的离心率的乘积为______.16.定义在R 上的函数()f x 满足：2()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()2f x x '<，则不等式()25(5)10f x f x x +≥-+的解集为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知:p 对任意实数x 都有21ax ax >--恒成立，:q 关于x 的方程2230x x a -+=有实数根.若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）已知函数32()3()f x x ax x a =-+∈R 在1x =处有极值. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.19.（本小题满分12分）已知椭圆22:14x C y +=和直线:2l y x m =+. （1）当椭圆C 与直线l 有公共点时，求实数m 的取值范围； （2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AB 的最大值. 20.（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形P AD 中，90A ∠=︒，8AD =，3AB =，B ，C 分别是P A ，PD 上的点，且AD BC ∥，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP △沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD -，连结MN .（1）证明：MN ∥平面P AD ；（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求二面角B PC D --的余弦值. 21.（本小题满分12分）已知函数2()ln 24()f x a x x x a =+-∈R .（1）若2x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间； （2）求()()g x f x ax =-在区间[1,]e 上的最小值()h a . 22.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点P ，Q 是抛物线C 上异于点O 的两个不同的动点，当直线PQ 过点F 时，PQ 的最小值为8. （1）求抛物线C 的方程；（2）若OP OQ ⊥，证明：直线PQ 恒过定点.参考答案及评分细则1.A2(2)(43)12432555i i i i i ---==-+.故选A. 2.B 方程220x x +=的解集为102x x x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭∣或，所以“220x x +=”是“0x =”的必要不充分条件.故选B.3.CA 项错，因为类比推理是特殊到特殊的推理；BD 项错，因为合情推理得到的结论可能是正确的，也可能是错误的；C 项正确，因为归纳推理是由特殊到一般或部分到整体的推理.故选C.4.B 22s t '=+，所以当2t =时，6s '=.即物体在2t =时的瞬时速度为6.故选B.5.D 设该双曲线的方程为22(0)94y x λλ-=>，则94=26λλ+，=2λ，所以该双曲线方程为221188y x -=.故选D.6.B 由题意可知，点(),P x y 到点1F 的距离与到点2(0,F -的距离之和为定值8，并且128F F >=，所以点P 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，所以28a =，4a =，因为c =，所以2221612=4b a c =-=-，所以点P 的轨迹方程为221416x y +=.故选B. 7.A 根据反证法的原理，假设是对原命题结论的否定.故选A. 8.B 因为11BPB C PM △∽△，点M 是棱1CC 的中点，所以1112BB BP C P C M==， 所以AP AB BP AB =+=+()11122223333BC AB BC BB AB AD AA =++=++.故B. 9.C 函数()f x 在()2,1--上单调递增，故A 错误；函数()f x 在()1,3上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；函数()f x 在()1,1-上单调递减，故C 正确；函数()f x 共有3个极值点，3x =-，1x =是极小值点，1x =-是极大值点，故D 错误.故选C.10.D 以点P 为坐标原点，以PA ，PB ，PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ()1,1,0N ，则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-， 设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3cos 6||||PN BM PN BM θ⋅==.故选D.11.A 由题意得，()20mf x x x'=-≤在(0,1]x ∈上恒成立，所以22m x ≥在(0,1]x ∈上恒成立，因为22x 在(]0,1的最大值为2，所以2m ≥.故选A.12.D 设抛物线上的动点20,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，则点P 到直线l的距离d==.∵0y ∈R ，∴min 22d =.故选D. 13.0x ∃∈R ，2000x x +>命题“x ∀∈R ，20x x +≤”的否定是“0x ∃∈R ，2000x x +>”.14.230x y -+=由3()5f x x x =-+，则2()31f x x '=-，(1)2f '=，(1)5f =，所以切线方程为230x y -+=.15.43令||ON t =，则22OF t =，||3OB t =，所以椭圆的离心率212||3OF e OB ==， 双曲线的离心率222||OF e ON ==.所以双曲线与椭圆的离心率的乘积为1243e e =. 16.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦因为2()()2f x f x x -+=，所以22())()0(f x f x x x --+-=-，令2()()g x f x x =-，则()()0g x g x -+=，所以()g x 为奇函数.又因为当0x ≤时，()()20g x f x x ''=-<，所以()g x 在(,0]-∞上单调递减，即()g x 在R 上单调递减.而不等式2225(5)10()()(5)(5)()(5)f x x f x x f x x g x g x f x ≥-+⇔-≥---⇔≥-+， 所以5x x ≤-，所以52x ≤.17.解：若p 为真，则0a =或240a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a ≤<； 若q 为真，则980a -≥，即98a ≤. 因为“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，所以p 与q 一真一假. 若p 为真，q 为假，则948a <<； 若q 为真，p 为假，则0a <， 综上可知，实数a 的取值范围为9(,0),48⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 18.解：（1）∵2()361f x x ax '=-+，函数32()3f x x ax x =-+在1x =处有极值， ∴()10f '=，解得23a =（经检验，符合题意）. （2）由（1）知32()2f x x x x =-+， 则2()341(1)(31)f x x x x x '=-+=-- 令()0f x '=， 得11x =，213x =. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴函数()f x 的单调增区间为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，单调减区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.19.解：（1）联立22142x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得221716440x mx m ++-=.因为椭圆C 与直线l 有公共点， 所以()22(16)417440m m ∆=-⨯⨯-≥ 解得m ≤≤所以实数m 的取值范围是[. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则121617mx x +=-，2124417m x x -=，所以12||AB x =-==17=.由（1）可知，若椭圆C 与直线l 有两个交点，则0∆>， 所以2[0,17)m ∈.所以当0m =时，||AB 20.（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，取AB 的中点E ，连结EM ，EN . 因为M ，N 分别为BP ，CD 的中点，AD BC ∥. 所以ME PA ∥，EN AD ∥.因为PA ⊂平面P AD ，ME ⊄平面P AD ， 所以ME ∥平面P AD ， 同理，EN ∥平面P AD . 又因为MENE E =，ME ，NE ⊂平面MNE ，所以平面MNE ∥平面P AD . 因为MN ⊂平面MNE ， 所以MN ∥平面P AD .（2）解：因为在等腰直角三角形P AD 中，90A ∠=︒，AD BC ∥， 所以BC PA ⊥，即在四棱锥P ABCD -中，BC PB ⊥，BC AB ⊥. 因为AD BC ∥，所以AD PB ⊥，AD AB ⊥， 因为PBAB B =，PB ，AB ⊂平面P AB ，所以AD ⊥平面P AB ，所以PA AD ⊥.又因为8AD =，3AB =，4PA =，所以5PB =.所以222AB PA PB +=，所以PA AB ⊥.以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0B ，()0,0,4P ，()0,8,0D ，()3,5,0C ， 所以(3,0,4)PB =-，(3,5,4)PC =-，(0,4)8,PD =-. 设()1111,,n x y z =为平面PBC 的一个法向量，则110n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113403540x z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令14x =，得1(4,0,3)n =；设()2222,,n x y z =为平面PCD 的一个法向量，则220n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222228403540y z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令21y =，得2(1,1,2)n =. 所以1212212cos ,4n n n n n n ⋅===. 因为二面角B PC D --是钝角， 所以二面角B PC D --的余弦值是3-. 21.解：（1）()fx 的定义域为(0,)+∞，244()44a x x a f x x x x-+'=+-=.因为2x =是()f x 的极值点，所以168(2)02af -+'==，解得8a =-， 所以24484(2)(1)()x x x x f x x x---+'==，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<， 所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为(2,)+∞. （2）2()ln 24g x a x x ax x =+--，则(4)(1)()44a x a x g x x a x x--'=+--=， 令()0g x '=，得4ax =或1x =. ①当14a≤，即4a ≤时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()12h a g a ==--； ②当14a e <<，即44a e <<时，()g x 在1,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,e 4a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 所以21()ln 448a a h a g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭； ③当4ae ≥，即4a e ≥时，()g x 在[1,]e 上为减函数，所以2()()(1)24h a g e e a e e ==-+-. 综上所述，222,41()ln ,4448(1)24,4a a a h a a a a a e e a e e a e --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩.22.（1）解抛物线C 的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 若直线PQ 过点F ，则直线PQ 的斜率一定不为0， 不妨设直线PQ 的方程为2p x my =+， 代入22y px =，得2220y pmy p --=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()21212122,2y y pm x x m y y p pm p +=+=++=+.所以()212||||||2122p pPQ PF QF x x p m =+=+++=+. 所以，当0m =时，min ||28PQ p ==，所以4p =. 所以抛物线C 的方程为28y x =.（2）证明：由题意设直线PQ 的方程为( 0)x ky t t =+≠，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立28y x x ky t⎧=⎨=+⎩，得2880y ky t --=.由题意得264320k t ∆=+>.所以128y y k +=，128y y t =-.因为OP OQ ⊥，所以()()12121212OP OQ x x y y ky t ky t y y ⋅=+=+++ ()()2212121k y y kt y y t =++++()222818t k k t t =-+++280t t =-=所以8t =（0t =不符合题意，故舍去）所以直线PQ 的方程为8x ky =+，所以直线PQ 恒过定点()8,0.。

陕西省西安市2020-2021学年高二上学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“0(0,)x ∃∈+∞，001x e x =+”的否定是（ ）A ．0(0,)x ∃∈+∞，001x ex ≠+B ．0(0,)x =∃+∞，001xe x =+C ．(0,)x ∀∈+∞，1x e x ≠+D ．(0,)x ∀∉+∞，1x e x =+2．准线方程为1y =的抛物线的标准方程是( ) A ．22x y =B ．22y x =C ．24x y =-D ．24y x =-3．已知向量()0,2,1a =，()1,1,b m =-，若,a b 分别是平面α，β的法向量，且αβ⊥，则m =( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．24．已知双曲线C 的焦点在y 轴上，且其中一条渐近线的方程为2y x =，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2D5．若抛物线()220x py p =>上一点(),1P m 到其焦点F 的距离为2p ，则p =（ ） A ．23B ．43C ．2D ．16．已知下列命题:①到两定点()1,0-，()1,0距离之和等于1的点的轨迹为椭圆； ②0x N ∃∈，020210x x --≤；③已知()2,3,a m =，()2,6,8b n =，则“,a b 为共线向量”是“6m n +=”的必要不充分条件.其中真命题的个数( ) A ．0B ．1C ．2D ．37．已知命题:p 若直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，则直线l 与抛物线C 相切，命题:q 若5m >，则方程22131x ym m +=-+表示椭圆.下列命题是真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．()p q ⌝∧C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∧⌝8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1D B 上一点，且12BP D P =，若1DP xAB yAD zAA =++，则x y z ++=( )A ．43B ．23C ．13D ．19．“方程22114x y m m +=--表示双曲线”的一个充分不必要条件为（ ）A ．()2,3m ∈B ．()1,4m ∈C ．()0,4m ∈D ．()4,m ∈+∞10．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||+=AF BF （ ） A ．8B ．11C ．13D ．1611．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体SABC 各顶点坐标分别为()2,2,4S ，()6,6,4A ，()6,6,0B ，()2,6,4C ，则该四面体外接球的表面积是( )A ．12πB ．16πC ．32πD ．48π12．已知椭圆22:12y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，则m 的取值范围是( )A ．33⎛- ⎝⎭B ．44⎛- ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭二、填空题13．已知向量()2,3,4a =，()1,,2b m =-，若//a b ，则m =________.14．命题“[]1,2x ∃∈，使得2ln 0x x a +-≤”为假命题，则a 的取值范围为________.15．在正方体1111ABCDA B C D ﹣中,,M N 分别为11,AD C D 的中点,O 为侧面11BCC B的中心,则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为_____.16．双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上且12tan F PF ∠=O 为坐标原点，则||OP =_______．三、解答题17．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知双曲线E 过点(，且双曲线E 的焦点与椭圆C 的焦点重合，求双曲线E 的标准方程.18．已知:p 对于x R ∀∈，函数()()2ln 46f x kx x k =-+有意义，:q 关于k 的不等式()2220k m k m -++≤成立.（1）若p ⌝为假命题，求k 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围.19．如图，在正四棱锥S ABCD -中，O 为顶点S 在底面ABCD 内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO OD =.(1)证明://SB 平面P AC .(2)求直线BC 与平面P AC 的所成角的大小.20．如图，几何体AMDCNB 是由两个完全相同的四棱锥构成的几何体，这两个四棱锥的底面ABCD 为正方形，MA MD ⊥，平面MAD ⊥平面ABCD .(1)证明:平面MAB ⊥平面M DC .(2)若MA MD =，求二面角M AD N --的余弦值.21．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为x 轴，其准线过点()2,1--. (1)求抛物线C 的方程；(2)过抛物线焦点F 作直线l ，使得抛物线C 上恰有三个点到直线l 的距离都为，求直线l 的方程.22．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率e =221x y +=经过椭圆C 的上、下顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ，N 两点，证明：OMN 的面积为定值（O 为坐标原点）.参考答案1．C 【分析】存在量词改为全称量词，再否定结论，即可得到本题答案. 【详解】命题“0(0,)x ∃∈+∞，001x e x =+”的否定是(0,)x ∀∈+∞，1x e x ≠+.故选：C 【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属基础题. 2．C 【分析】由准线方程为1y =，可以得到参数2p =以及确定抛物线的标准方程形式为22x py =-，将p 代入即可求解. 【详解】根据题意，抛物线的准线方程为1y =，即其焦点在y 轴负半轴上，且12p=，得2p =， 故其标准方程为24x y =-. 故选：C 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，根据准线方程可以得到抛物线标准方程的形式，属于基础题. 3．C 【分析】根据题意可得a b ⊥，再利用空间向量数量积的坐标表示，使数量积等于零即可求解. 【详解】由题可知，a b ⊥，则20a b m ⋅=+=，即2m =-. 故选：C 【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标表示以及向量垂直数量积等于零，属于基础题.4．D 【分析】根据渐近线方程得出2a b =，再由离心率公式求解即可. 【详解】由题可知2a b =，则c e a ===故选：D 【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题. 5．A 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】122pPF p =+=，解得23p =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用，属于基础题. 6．B 【分析】利用椭圆的定义可判断①；取特殊值00x N =∈，可判断②；利用向量共线定理以及充分不必要条件的定义可判断③ 【详解】对于①，由于两定点()1,0-，()1,0的距离为2，故到两定点()1,0-，()1,0的距离之和等于1的点是不存在的，故①错误.对于②，取00x N =∈，满足020210x x --≤，故②正确.当,a b 为共线向量时，则存在实数λ，使得λab ，即22368n m λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1224n m λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，则6m n +=. 当6m n +=时，,a b 不一定为共线向量，故“,a b 为共线向量”是“6m n +=”的充分不必要条件，故③错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、特称命题真假判断以及充分不必要条件、向量共线定理，属于基础题. 7．B 【分析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题P 为假；当5m >时，130m m +>->，命题Q 为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点， 直线与抛物不相切，可得命题p 是假命题， 当5m >时，130m m +>->，方程22131x y m m +=-+表示椭圆命题q 是真命题， 则()p q ⌝∧是真命题. 故选:B. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题. 8．B 【分析】利用向量加法以及减法的几何意义即可求解.111211233333DP DB DD AB AD AA =+=-+，所以13x =，13y =-，23z =，所以23x y z ++=.故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的加法以及减法的几何意义，属于基础题. 9．A 【分析】根据方程表示双曲线列出不等式，得出14m <<，再由充分不必要条件的定义得出答案. 【详解】22114x y m m +=--表示双曲线，则()()140m m --<，所以14m << 故选：A 【点睛】本题主要考查了由方程表示双曲线求参数范围以及由充分不必要条件求参数范围，属于基础题. 10．C 【分析】设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果； 【详解】抛物线2:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C .本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题． 11．D 【分析】由题意，四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球，直径为正方体的对角线，即可求出四面体的外接球的体积. 【详解】由题意计算可得AB 4=，4AC =，4SC =，BC =()0,0,4AB =-，()4,0,0AC =-，()04,0CS =-，所以0AB CS CS AC CS ⎧⋅=⇒⊥⎨⋅=⎩平面ABC ，故四面体SABC 是底面ABC 为等腰直角三角形， 侧棱SC 垂直底面ABC 的几何体，所以四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线的长所以该四面体外接球的表面积(2448S ππ=⋅=.故选：D 【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积，考查了向量的数量积在几何中的应用，解决此题还需熟记球的表面积公式，属于中档题. 12．C 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.又因为A ，B 在椭圆C 上，所以221112y x +=，222212y x +=，两式相减可得121212122y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =.又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得33m ⎛⎫∈-⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题. 13．32-【分析】根据向量共线定理即可求解. 【详解】因为//a b ，所以()2:3:41::2m =-，解得32m =-. 故答案为：32- 【点睛】本题考查了向量共线定理，需熟记定理的内容，属于基础题. 14．(),1-∞ 【分析】根据题意可得当[]1,2x ∈时，2ln x x a +>恒成立，分离参数只需()2minln a x x <+，由函数2ln y x x =+在[]1,2上单调递增即可求解.【详解】若“[]1,2x ∃∈，使得2ln 0x x a +-≤”为假命题，可得当[]1,2x ∈时，2ln x x a +>恒成立，只需()2minln a x x <+.又函数2ln y x x =+在[]1,2上单调递增，所以1a <.故答案为：(),1-∞ 【点睛】本题考查了由命题的真假求参数的取值范围，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题. 15．16【分析】建立空间直角坐标系,以D 为坐标原点,DA ,DC ,1DD 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系D xyz -算出MN 和1OD 的坐标,即可求得答案. 【详解】如图,以D 为坐标原点,DA ,DC ,1DD 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系D xyz -, 不妨令2DA =则()10,0,2D ,()1,2,1O ,()1,0,0M ,()0,1,2N 故()1,1,2MN =-,()11,2,1OD =--∴111·1cos ,=66MN OD MN OD MN OD =故异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16. 故答案为:16. 【点睛】本题主要考查了向量法异面直线夹角,解题关键是掌握向量法求异面直线夹角的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16【分析】先根据双曲线的焦点三角形公式122tan2θ∆=F PF b S ，求出三角形面积，然后求p y ，把p y 代入2213y x -=，求得P x ，最后根据勾股定理，可得到本题的答案.【详解】设点(,)P p P x y ，12F PF θ∠=，则tan θ=22tan 2tan tan 221tan 2θθθθ=⋅==-，tan2θ∴=1,2===a b c ，122tan2θ∆∴===F PF b S P 作x 轴垂线，垂足为M，则有12121||||4||221∆=⨯==F PF F F M PM S P||=PM||=P y 23∴=Py ，代入2213y x -=得，22=P x ，||∴===OP【点睛】本题主要考查双曲线的焦点三角形问题，主要考查学生的计算能力，难度适中.17．（1）2213632x y += （2）2213x y -=【分析】（1）根据椭圆的性质得出方程即可；（2）设出双曲线的方程，根据椭圆的焦点坐标得出22114a b +=，将点(代入双曲线方程，联立方程求解即可得出双曲线的标准方程. 【详解】解：（1）由题意知，212a =，13c a = 所以6a =，2c =，所以22232b a c =-=又因为双曲线E 的焦点在x 轴上，所以椭圆C 的方程为2213632x y += （2）双曲线E 的标准方程为()2211221110,0x y a b a b -=>>由题可知双曲线E 的焦点坐标为()2,0，()2,0-，所以22114a b +=又双曲线E过点(，所以22111231a b -=，解得213a =，211b =所以双曲线E 的标准方程为2213x y -=【点睛】本题主要考查了由,,a b c 求椭圆的方程以及双曲线的方程，属于中档题.18．（1）,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ （2）,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）由p ⌝与p 的真假相反，得出p 为真命题，将定义域问题转化为不等式的恒成立问题，讨论参数k 的取值，得出答案；（2）由必要不充分条件的定义得出B A ，讨论m 的取值结合包含关系得出m 的范围. 【详解】解：（1）因为p ⌝为假命题，所以p 为真命题，所以2460kx x k -+>对x ∈R 恒成立. 当0k =时，不符合题意；当0k ≠时，则有2016240k k >⎧⎨∆=-<⎩，则3k >. 综上，k的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭.（2）由()2220k m k m -++≤，得()()20k k m --≤.由（1）知，当p为真命题时，则k ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭令A ⎫=+∞⎪⎪⎝⎭令()(){}20B k k k m =--≤因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A当2m <时，[,2]B m =，23m m <⎧⎪∴⎨>⎪⎩，解得2m ⎫∈⎪⎪⎝⎭ 当2m =时，{2}B = A ，2m ∴=符合题意； 当2m >时，[2,]B m = A ，2m ∴>符合题意；所以m 的取值范围是,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题以及根据必要不充分条件求参数范围，属于中档题. 19．(1)见解析；(2)30 【分析】（1）连接OP ，可得//OP SB ，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）以O 为坐标原点，以OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，设OD SO OA OB OC a =====，求出平面P AC 的一个法向量，利用向量的数量积结合图形即可求解. 【详解】(1)证明:连接OP ，因为O ，P 分别为BD 和SD 的中点，所以//OP SB ， 又OP ⊂平面P AC ，SB ⊄平面P AC ，所以//SB 平面P AC .(2)解:如图，以O 为坐标原点，以OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴， OS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -. 设OD SO OA OB OC a =====，则(),0,0A a ，()0,,0B a ，(),0,0C a -，0,,22a a P ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则()2,0,0CA a =，,,22a a AP a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，(),,0CB a a =. 设平面P AC 的一个法向量为(),,n x y z =， 则0n CA ⋅=，0n AP ⋅=， 所以20220ax ay az =⎧⎨-+=⎩，令1y =，得()0,1,1n =，所以1cos ,22CB n CB n CB n⋅=== 所以,60CB n =︒故直线BC 与平面P AC 的夹角为906030︒-︒=︒.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理以及利用空间向量的数量积求线面角，是立体几何中的基本知识，属于基础题.20．(1)见解析；(2)5- 【分析】（1）根据题意由面面垂直的性质可得CD ⊥平面MAD ，即可证出CD MA ⊥，又MA MD ⊥，利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）以N 为坐标原点，分别以NC ，NB 所在的直线为x ，y 轴，过N 作与平面NBC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系N xyz -， 设1NC =，求出平面NAD 的一个法向量以及平面MAD 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】(1)证明:因为平面MAD ⊥平面ABCD ，且相交于AD ，又CD AD ⊥， 所以CD ⊥平面MAD 所以CD MA ⊥. 又MA MD ⊥，MD CD D =，所以MA ⊥平面MDC .因为MA ⊂平面MAB ，所以平面MAB ⊥平面MDC .(2)解:以N 为坐标原点，分别以NC ，NB 所在的直线为x ，y 轴，过N 作与平面NBC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系N xyz -，如图所示.设1NC =，则()0,0,0N ，(A ，(D ，所以(NA =，(ND =.设平面NAD 的一个法向量()1,,n x y z =，则110n NA y n ND x ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z =，得()12,n =-. 又平面MAD 的一个法向量()20,0,1n =所以12cos ,5n n ==. 由图可知二面角M AD N --为钝角， 所以所求二面角M AD N --的余弦值为-【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、判定定理以及利用空间向量的数量积求二面角，属于基础题.21．(1)28y x =；(2)20x y ±-= 【分析】（1）由题意得，抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线C 的方程为22y px =，由准线过点()2,1-，可得4p =，从而求解.（2）求出抛物线C 的焦点为()2,0F ，分类讨论直线l 的斜率不存在时，验证不合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =-，要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P 到直线l的距离为过点P 的直线平行直线():2l y k x =-且与抛物线C 相切，设该切线方程为y kx m =+，代入抛物线方程，使判别式等于零，再利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】(1)由题意得，抛物线的焦点在x 轴正半轴上，设抛物线C 的方程为22y px =， 因为准线过点()2,1-，所以22p=，即4p =. 所以抛物线C 的方程为28y x =.(2)由题意可知，抛物线C 的焦点为()2,0F .当直线l 的斜率不存在时，C 上仅有两个点到l的距离为 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =-，要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P 到直线l的距离为 过点P 的直线平行直线():2l y k x =-且与抛物线C 相切. 设该切线方程为y kx m =+，代入24y x =，可得()222280k x km x m +-+=.由()2222840km k m ∆=--=，得2km =.=224m k =，又2km =，解得21k =，即1k =±. 因此，直线l 方程为20x y ±-=. 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，同时考查了两条平行线间的距离，考查了学生的计算能力以及分类讨论的思想，属于中档题.22．（1）2214x y +=；（2）见解析. 【分析】（1）根据圆221x y +=经过椭圆C 的上、下顶点，可得1b r ==，再根据离心率即可求得椭圆方程.（2）分斜率存在与否两种情况讨论，分别计算出OMN ∆的面积，即可得证. 【详解】（1）解：因为圆221x y +=过椭圆C 的上、下顶点，所以1b =.又离心率2e ==，所以21314a -=，则24a =. 故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）证明：椭圆221:1164x y C +=，当直线l 的斜率不存在时，这时直线l 的方程为2x =±，联立2221164x x y =±⎧⎪⎨+=⎪⎩，得y =||MN =则12||2OMN S MN ∆=⨯⨯=当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418410k x kmx m +++-=， 由0∆=，可得2241m k =+.联立221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418440k x kmx m +++-=.设()11,,M x y ()22,N x y ，所以1228,41kmx x k +=-+()21224441m x x k -=+，则||MN ==.因为原点到直线l 的距离d ==所以1||2OMNSMN d =⋅=综上所述，OMN ∆的面积为定值【点睛】本题考查求椭圆的标准方程以与椭圆中弦长的计算及三角形面积公式的应用，属于中档题.。

陕西长安一中—高二上学期期末考试数学理试题一、选择题（1——14题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于 （ ） A ．{}1x x > B ．}0|{>x x C ．{}1x x <-D ．}11|{>-<x x x 或2.2(1)i i -=( ） A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．23.等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ） A 48 B 49 C 50 D 514. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.12πB.43πC.3πD.123π 5.设函数23)1()(-=x x f ，下列结论中正确的是( ) A ．1x =是函数()f x 的极小值点，0x =是极大值点 B ．1x =及0x =均是()f x 的极大值点C ．1x =是函数()f x 的极小值点，函数()f x 无极大值D ．函数()f x 无极值6.过椭圆22:143x y C +=的左焦点F 作倾斜角为60︒的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，则11||||AF BF += ( ) A.43 B. 34 C. 35 D. 537. 点P 是曲线22ln0x y x --=上任意一点，则点P 到直线4410x y ++=的最小距离是（ ）A ．2(1ln 2)2- B. 2(1ln 2)2+ C. 21(ln 2)22+ D. 1(1ln 2)2+ 8.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( ) A ．3 B ．2C ．23D ．69.设,a b R ∈，若0b a ->，则下列不等式中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若8430,7S S ==，则4a 的值等于（ ） A ．14 B ．94 C ．134 D ．17411.直线(13)(32)8120m x m y m ++-+-=()m R ∈与圆222610x y x y +--+=的交点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．0或2 D ．1或2 12. 在△ABC 中，若2cos sin sin B A C =，则△ABC 的形状一定是 （ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形13. 过抛物线x y 42=的焦点的直线l 交抛物线于()()1122,,,P x y Q x y 两点，如果126x x +=，则PQ ( )A ．9B ．8C ．7D ．614.给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-.下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A .()3xf x = B ()sin f x x =. C.2()log f x x =. D. ()tan f x x =二、填空题（15——20题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的对应位置） 15. 在等差数列中，若是2712496a a a ++=，则3152a a += ．16．正三棱锥V ABC -的底面边长为2a ，E 、F 、G 、H 分别是VA 、VB 、BC 、AC 的中点，则四边形EFGH 的面积的取值范围是 ．17．若1234212,21334,2135456,213575678,⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯…依此类推，第n 个等式为 .18.已知椭圆x y k k ky x 12)0(3222=>=+的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是 ．19.已知向量(,2),(4,),(,)(0,0)a x b y c x y x y ===>>，若//a b 则c 的最小值为 ． 20．给出定义：若2121+≤<-m x m (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作}{x ，即m x =}{. 在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]；②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④ 函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数. 则其中真命题是__ ．（请填写序号）三、解答题（21——24题，共50分，解答应写出说明文字，证明过程及演算步骤） 21.（12分）已知数列{n a }满足)(222*213221N n n a a a a n n ∈=++++-⑴求数列{n a }的通项公式； ⑵求数列{n a }的前n S n 项和.22.（12分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边．（Ⅰ）若△ABC 面积为,60,2,23︒==A c 求a ，b 的值； （Ⅱ）若acosA=bcosB ，试判断△ABC 的形状．23（13分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点， 2, 2.CA CB CD BD AB AD ======（I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求点E 到平面ACD 的距离；（III ）求二面角A —CD —B 的余弦值。

陕西省2021版高二上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·临漳期中) 已知狆：p：≥1，q：|x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A . （﹣∞，3]B . [2，3]C . （2，3]D . （2，3）2. （2分）函数在x=1处的导数等于（）A . ﹣1B . 0C . 1D . 23. （2分）在空间直角坐标系中，与点，，等距离的点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 无数4. （2分） (2018高三上·牡丹江期中) 已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·万州月考) 如图，直三棱柱，，且，则直线与直线所成角的余弦值为（）．A .B .C .D .6. （2分）已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于（）A . 1B . 2C . 4D . 87. （2分）已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，且底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则CD 与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A .B .C .D .8. （2分）不等式（a-2)x2+2(a-2)x-4<0对恒成立，则a的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·河南月考) 在矩形中，，，且，沿将折起，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积的最小值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高二上·三明期末) 已知F是抛物线y2=2x的焦点，准线与x轴的交点为M，点N在抛物线上，且|MN|=2|NF|，则∠FMN等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 75°11. （2分） 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高二上·莆田期末) 椭圆的焦距等于2，则m的值为（）A . 5或3B . 5C . 8D . 16二、二.填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·重庆期中) 若曲线f（x）=lnx+ax2的切线斜率恒为非负数，则实数a的最小值是________．14. （1分）(2017·汉中模拟) 已知实数x，y满足则z= 的取值范围为________．15. （1分） (2017高二上·平顶山期末) 平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C，关于曲线C的几何性质，给出下列四个结论：①曲线C的方程为x2=4y；②曲线C关于y轴对称③若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；④若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4其中，所有正确结论的序号是________．16. （1分）(2017·扶沟模拟) 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为________．三、三.解答题： (共6题；共60分)17. （10分） (2016高二上·六合期中) 在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；（2）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．18. （15分） (2019高二下·杭州期中) 已知抛物线C的对称轴为x轴，点在抛物线C上，A，B是抛物线C上不同的两点，直线PA．PB的斜率为，，满足 .（1）求抛物线的标准方程；（2）证明：直线AB过定点；（3）当点P到直线AB距离最大时，求的面积.19. （10分） (2017高二上·四川期中) 已知等差数列和等比数列满足，，．（1）求的通项公式；（2）求和：．20. （10分） (2017高二下·绵阳期中) 已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的最小值．21. （5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠DAB=60°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，PD⊥底面ABCD，M为PC的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若PD= ，求二面角D﹣BM﹣P的余弦值．22. （10分） (2017高二上·哈尔滨月考) 已知椭圆经过点，一个焦点是．（1）求椭圆的方程；（2）若倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程.参考答案一、一.选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、二.填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、三.解答题： (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共12 页21-1、22-1、22-2、第12 页共12 页。

长安一中2020～2020学年度第一学期期末考试高二数学试题(理科)一、选择题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.) 1．复数1212ii-+在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合{}()128,1,4x A x B x y x A B ⎧⎫=<<==-=⎨⎬⎩⎭I 则A. []1,3B. [)13，C. (]13，D.()13， 3. 如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[5,10]内的频数为( ) A.50 B.40 C.30 D.204.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3x =，3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )$.0.4 2.3A y x =+ $.2 2.4B y x =- $.29.5C y x =-+ ˆ.0.3 5.4D yx =-+ 5. 下列命题中正确的个数是( ) ①命题“任意(0,),21xx ∈+∞>”的否定是“任意(0,),21xx ∉+∞≤； ②命题“若sin sin x y =，则y x =”的逆否命题是真命题； ③若命题p 为真，命题q ⌝为真，则命题p 且q 为真；④命题“若3=x ，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则2230x x --≠”. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6. 曲线21xy x =-在点(1,1)处的切线方程为( ).A.20x y --=B.20x y +-=C.450x y +-=D.450x y --=7. 由曲线y x =,直线2y x =-及y 轴所围成的平面图形的面积为( ).A.103 B.4 C.163D.6 8. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥C ．若//,//,m n αα则//m nD ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥9.“12log (2)0x +<”是“1x >”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10. 在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）11. 从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）A ．4n m B ．4m n C ．2n m D ．2mn12. 已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则 (1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=…( )A ．2019-B ．0C ．2D ．202013. 如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为21,F F ，421=F F ，P 是双曲线右支上的一点，P F 2与y 轴交于点1,APF A ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1=PQ ，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．2 C ．3 D ．314. 已知()f x 是定义在区间(0,)+∞内的单调函数，且对任意(0,)x ∈+∞，都有[()ln ]1f f x x e -=+，设'()f x 为()f x 的导函数，，则函数'()()()g x f x f x =-的零点个数为（ ）A.0B. 1C. 2D.3二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.） 15. 一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据中的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是__________，方差是__________． 16.在5()2x x-的展开式中，1x 的系数为 .17.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至多有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）18.已知正方体的棱长为1,则以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________. 19. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良 的概率是0.6， 已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________．20. 设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点. 若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是__________. 三、解答题：（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21. （本小题满分12分）某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6, 0.7, 0.8, 0.9.（1）求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列和数学期望； （2）求李明在一年内领到驾照的概率． 22. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3， PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点. （1）证明MN ∥平面PAB;（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.23.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为3 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.24. （本小题满分14分）设函数2()ln f x ax a x =--，其中a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若11()xf x e x->-在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数),求a 的取值范围。

西安市长安区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学试卷 时间：120分 总分：150分一、选择题(每小题5分，共70分)1.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A. l ∥α B. l ⊥α C. l ⊂α D. l 与α斜交2.已知命题:p x R ∀∈，223(1)20x x x -=-+>23(1)20x x x -+=-+>；命题q ：若22a b <，则a b <， 下列命题为假命题的是( ) A ．p q ∨B ．()p q ∨⌝C ．p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨⌝3.已知抛物线x y 22=的焦点与椭圆2212y x m +=的一个焦点重合，则m =（ ）A ．74B ．12764C ．94D ．12964 4.已知正方体1111ABCD A B C D -，若112AB C B ⋅=-，则正方体的棱长等于（ ） A ．2B ．22C 2D ．45.设≥a 1a ，则双曲线22214x y a a -=+离心率的取值范围为( )A ．[5，)+∞B ．[6，)+∞C ．[5,)+∞D ．[6,)+∞6.如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°， 则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－23D ．2 3 7.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点， 则O 到平面ABC 1D 1的距离为( ) A.32 B.24 C.12 D.338.已知点F 为椭圆2221(1)x y a a+=>的一个焦点，过点F 作圆221x y +=的两条切线，若这两条切线互相垂直，则(a = ) A ．2 B 2 C 3 D ．239.下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >2020，则x >0”的逆命题 B ．命题“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的否命题C ．命题“若x 2＋x －2＝0，则x ＝1”D ．命题“若x 2≥1，则x ≥1”的逆否命题 10.设有下列四个命题：1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4P ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥． 则上述命题中所有真命题的个数是（ ）． A ．1B ．2C ．3D. 411.已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48 12.在ABC ∆中，“sin cos B C <”是“ABC ∆为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13.如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ） A ．5 B ．6C ．163D ．20314.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．()10， B. ⎪⎭⎫⎝⎛210， C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛220，D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛122，二、填空题(每小题5分，共20分)15.双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b3__________.16.一个椭圆中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，(3P 是椭圆上一点，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则椭圆方程为__________．17.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则点A 1与面对角线BC 1所在直线间的距离是__________．18.已知抛物线22(0)y px p =>在第一象限内的部分上一点(3,)A b 到抛物线焦点F 的距离为4，若P 为抛物线准线上任意一点，则PAF △的周长最小值为__________. 三、解答题(每小题12分，共60分)19.已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立． (1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1时，p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求m 的取值范围．20.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点， M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =，F 为MC 的中点．（1）求证：//EF 平面1A DC ；（2）求直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值．21.已知椭圆()01>>=+b a bx a y 2222的离心率22=e ，且过点（0，2-）.（1）求椭圆方程；（2）已知F 1、F 2为椭圆的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．22.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．（1）求证：BC ⊥平面1ACD ；（2）若直线1DD 与底面ABCD 所成的角为4π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成角的余弦值．23.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（2）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．AB 1DCC 1A 1D 1 BE MF ADA 1 BC B 1C 1D 1高二理科数学答案一、选择题(每小题5分，共70分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选项BCACCABCBBCBCC二、填空题(每小题5分，共20分)15. 2=±y x 16. 22186x y += 17. 62a 18. 434+ 三、解答题(每小题12分，共60分) 19．解 (1)对任意x ∈[0,1]， 不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立， 令f (x )＝2x －2(x ∈[0,1])，则f (x )min ≥m 2－3m ，……………………………2分当x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－2，……………………………3分即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]．……………………………5分 (2)当a ＝1时，若q 为真命题，则存在x ∈[－1,1]，使得m ≤x 成立，所以m ≤1.因此，当命题q 为真时，m ≤1. ……………………………7分 因为p 且q 为假命题，p 或q 为真命题， 所以p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由 ⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，得1<m ≤2；……………………………9分当p 假q 真时，由 ⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，得m <1. ……………………………11分综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．……………………………12分 20. 解（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示空间直角坐标系，……………………………1分 由1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点， M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =， 得(0D ，0，0)，(1E ，0，2)，(0F ，72，1)，1(2A ，0，2)，(0C ，4，0)， AB 1DCC 1A 1D 1 BEMF xz1(2,0,2)DA =，(0DC =，4，0)，(1EF =-，72，1)-． 设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =． 由122040n DA x z n DC y ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩，取1z =-， 得(1,0,1)n =-，……………………………4分0EF n =，且EF ⊂/平面1A DC ，……………………………5分//EF ∴平面1A DC ；……………………………6分（2）解：由（1）知，1(2,0,2)DA =，……………………………7分 又1(0,,1)2CF =-，……………………………8分111cos ,||||2DA CF DA CF DA CF∴<>==．……………………………10分 ∴直线1A D 与直线CF ．……………………………12分 21.解（1）由题意，2a =……………………………1分由22==a c e 得1=c ……………………………2分 所以b=1 ……………………………3分 所以椭圆方程是x 2＋y 22＝1 ……………………………4分 （2）设直线AB 方程为y ＝kx ＋1， ……………………………5分 代入椭圆方程2x 2＋y 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， ……………………………6分 则x A ＋x B ＝－2kk 2＋2，x A ·x B＝－1k 2＋2， ……………………………7分 ∴|x A －x B |＝()2182++k k 2. ……………………………8分 S △ABF2＝12|F 1F 2|·|x A －x B |＝22×k 2＋1k 2＋2 ……………………………9分＝22×1k 2＋1＋1k 2＋1≤22×12＝ 2. ……………………………11分当k 2＋1＝1k 2＋1，即k ＝0时， S △ABF2有最大面积为 2. ……………………………12分22. 解：（1）证明：如图，连接1D C ，则1D C ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1BC D C ∴⊥， (1)在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，过点C 作CG AB ⊥于点G ，4AB =，2BC CD ==，//AB CD ，则3AG =，1BG =，CG =，AG ∴因此满足22216AC BC AB +==，BC AC ∴⊥，……………………………3分 又1D C ，AC ⊂平面1AD C ，1D CAC C =，……………………………5分BC ∴⊥平面1AD C ．……………………………6分（2）解：由（1）知AC ，BC ，1D C 两两垂直，1D C ⊥平面ABCD ，∴14D DC π∠=，12D C CD ∴==，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CD ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，……………………………7分则(0C ，0，0)，A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(0D ，0，2)，∴(AB =-，2，0)，1(AD =-0，2)，设平面11ABC D 的法向量(n x =，y ，)z ，由123202320AB n x y AD n x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1x =，得(1,3,n =，……………………………9分 又1(0CD =，0，2)为平面ABCD 的一个法向量， 设平面11ABC D 与平面ABCD 所成角为θ， 则11||23cos ||||27CD n CD n θ===……………………………11分 ∴平面11ABC D 与平面ABCD ……………………………12分 B 123.解（1）由题设知)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---.……………………………2分 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . 由于F 在线段AB 上，故01=+ab .……………………………3分 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.……………………………5分 所以FQ AR ∥.……………………………6分 （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得1112222a bb a x -⨯--=，所以01=x （舍去），11=x .………………………8分设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .……………………………10分 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为12-=x y .……………………………12分。

长安一中2020-2021学年度第一学期期末考试高二历史（理科）试题考试时间：100分钟试卷满分：100分一、选择题（本大题共30小题，每小题2分，共计60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

）1．春秋战国时期，出现了中国历史上第一次思想解放运动，不同学派争芳斗艳，并且形成了不同文化圈（如下图所示）。

这一现象反映了当时A．政治分裂阻碍文化发展B.儒家文化是中原文化的典型代表C．各派学说不断发展革新D．文化发展呈现出多元一体的特征2．春秋战国时期，孔子提出“克己复礼”，老子提出“无为而治”，墨子宣扬“兼爱非攻”，韩非子主张“以法治国”。

他们的共同出发点是A．顺应变革潮流厚古薄今B．为改善君王统治出谋划策C．辅佐各国诸侯富国强兵D．铲除周制弊端以加强集权3．孔子对管仲以“仁”相称，究其原因是管仲帮助齐桓公“合诸侯”“霸天下”，一定程度上制止了诸侯无休止的战争；孟子提出“天下恶乎定？定于一”；西汉董仲舒说“《春秋》大一统，天地之长经，古今之通谊也。

”这说明A．儒家思想在发展中具有内在继承性B．西汉前期面临政治分裂危机C．儒家思想始终是西汉的统治思想D．思想上的统一决定了政治上的统一4．据汉代司法规定，如果案件审理中没有成文的明文法律条义，可以直接采用儒家经义作为司法定量判刑的标准。

这种现象可用于研究汉代A．非儒家各学派的消亡B．兼收并蓄的文化政策C．儒学地位的上升D．孔子著作遭学者曲解5．朱熹对天理、人欲有过充分的概念解释，尤其是“天理”的概念在其哲学、政治、经济、自然、天文、军事、教育等各个方面都有涉及。

这反映出理学A．推动中外文明的融和B．左右了社会文化生活C．背弃了儒学强化伦理的传统D．具有较强的包容性6．阳明心学提出“致良知”说，宣称良知即是常道，儒家的经典《六经》不过是吾心之记籍。

凡是同我心中的良知相合的即是真道，凡是同我心中的良知未合的皆不能苟同。

王阳明的这一观点A.彰显了人的自我意识B．以构建哲学体系为终极目的C．背离了儒学思想原则D．是对程朱理学的继承和发展7．李贽针对当时官学和知识阶层独奉儒家程朱理学为权威的情况，贬斥程朱理学为伪道学，提出不能“以孔子之是非为是非”，认为《西厢记》《水浒传》就是“古今至文”。

陕西省西安市长安区第一中学2020┄2021学年高二上学期期末考试（理）化学试题注意事项：1. 考试时间100分钟，总分100分；2. 可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 S-32第I卷（选择题共40分）一、选择题（共20小题，均为单选，每小题2分，共计40分）1.下列过程没有发生化学变化的是（）A.用热碱水清除炊具上残留的油污B.用浸泡过高锰酸钾溶液的硅藻土保鲜水果C.用鸡蛋壳内膜和蒸馏水除去淀粉胶体中的少量氯化钠D.用含硅胶、铁粉的透气小袋与食品一起密封包装2.用类推法可能会得出错误的结论，因此推出的结论要经过实践的检验才能确定其正确与否。

下列推论中正确的是（）A.加热条件下，Na与氧气反应生成过氧化钠，锂与氧气反应生成过氧化锂B.相同温度下，Ca（HCO3）2的溶解度大于CaCO3，NaHCO3的溶解度大于Na2CO3C.Al3+与S2-在溶液中可发生相互促进的水解反应生成沉淀和气体，Fe3+与S2-也如此D.可以用铝制或铁制容器常温下贮运浓硫酸，也可贮运浓硝酸3.根据下列实验操作和现象所得到的结论正确的是（）Ｃ．向FeBr2溶液中加入少量氯水再加CCl4，CCl4层呈无色Fe2+的还原性强于Br—Ｄ．将溴乙烷与NaOH乙醇溶液共热产生的气体通入酸性KMnO4溶液中，溶液褪色产生的气体为乙烯4.设N A为阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是（）A.标准状况下，2.24 LCH3OH中含有的原子数目为6 N AB.18 g 2H2O中含有的电子数目为10 N AC.25℃时，1 L pH=13的Ba（OH）2溶液中含有OH-数为0.05 N AD.常温下，21 g乙烯和丁烯的混合气体中含有的碳原子数目为1.5 N A5.某种合成药物中间体X的结构简式如图所示。

下列说法正确的是（）A.X的分子式为C8H8O4ClB.1 mol X与足量浓溴水反应，最多消耗2 mol Br2C.一定条件下，X分子能发生加成、取代、消去、加聚反应D.1 mol X与足量NaOH溶液反应，最多消耗3 mol NaOH6.下列说法正确的是（）A.将苯加入溴水中振荡后，水层接近无色，是因为发生了取代反应B.2,2-二甲基丙烷也称新戊烷C.等质量的乙烯和乙醇在氧气中充分燃烧耗氧量相同D.环己醇能与氢氧化钠溶液反应且所有碳原子可以共面7.四种短周期主族元素W、X、Y、Z的原子序数依次增大，W、X的简单离子具有相同的电子层结构，X的原子半径是短周期主族元素原子中最大的，W与Y同族，Y的氢化物为具有臭鸡蛋气味的气体，Z与X形成的离子化合物的水溶液呈中性。