第二章：光波的叠加与分析

§2-1 两个频率相同、振动方向相同的单 色光波的迭加


三、相幅矢量加法： 相幅矢量：长度代表振动的振幅大小，它 与ox轴的夹角等于该振动的位相角。 利用相幅矢量的概念，通过简单的矢量求 和运算，也可以得到与前相同的结论。
A a1 a2 2a1a2 cos( 2 1 )
E1 E10 exp[ i (kz t 10 )] E E exp[ i (kz t )] 20 20 2

设定E10=E20 ，则合成波为：
20 10
2 ) exp[ i (10 20 ) 2 ] exp[ it )]
E ( z , t ) 2 E10 cos( kz
第二章：光波的叠加与分析



二、波的叠加原理： 当两列(或多列)波在同一空间传播时， 空间各点都参与每列波在该点引起的振 动。若波的独立传播定律成立，则当两 列(或多列)波同时存在时，在它们的交迭 区域内每点的振动是各列波单独在该点 产生振动的合成.此即波的迭加原理。 与独立传播定律相同，叠加原理适用性 也是有条件的。这条件,一是媒质,二是波 的强度。
式中a1和a2分别为两光波在P点的振幅， 由叠加原理:在P点处的合振动为：

展开上式：
E (a1 cos 1 a2 cos 1 ) cos t (a1 sin 1 a2 sin 2 ) sin t
E (a1 cos 1 a2 cos 1 ) cos t (a1 sin 1 a2 sin 2 ) sin t
20 10
2
) exp[ i (kz t )]
当 20 10 时，两个波处处时时完全相加，合 成振幅加倍。 当 20 10 时，两个波处处时时完全抵消， 和振幅为零，合成波不再存在。 20 10 为其它值时，振幅介于2E10与零之间。 在相同条件下，得到相同结论。
0
n( r2 r1 )
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加


干涉:在叠加区域出现的光强度稳定的强弱分 布现象称为光的干涉，把产生干涉的光波称 为相干光波，把光源称为相干光源 。 二、复数方法： 仍考虑两束同向传播的平面波的叠加问题： 原光波的波函数可以分别写成 ：
E1 E10 exp[ i (kz t 10 )] E2 E20 exp[ i (kz t 20 )]
2 2 2
tg
a1 sin 1 a 2 sin 2 a1 cos 1 a 2 cos 2
o
a2
a a1 α2 α α1
x
§2-2驻波——两个频率相同、振动方向
相同而传播方向相反的单色波的叠加



两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反 的单色波产生驻波： 一、驻波的波函数： 两束反向传播的原光波的波函数：

可见：P点的振动也是一个简谐振动，振动 频率和振动方向都与两单色光波相同，而 振幅A和初位相分别由上两式决定。 进一步：若两个单色光波在P点振幅相等。 即a1=a2=a 则P点的合振幅：
A a1 a2 2a1a2 cos( 2 1 ) 4a cos (
2 2 2 2 2

tg
a1 sin 1 a2 sin 2 a1 cos 1 a2 cos 2

P点的合振动为 ：
E A cos cos t A sin sin t A cos( t )
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加
E A cos cos t A sin sin t A cos( t )


合成波的初位相等于原光波初位相的平均值； 合成波的振幅为2E10cos( )与原光波的位 2 相差有密切关系。
20 10
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加
2 E0 exp( i 0 ) exp[ i (kz t )] E ( z , t ) 2 E10 exp[ i (10 20 ) ] cos(
2 2 1 2 0 0
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加

由于： k r k r 1 1 2 2
从前面假定条件知,我们很容易把位相差表 示为P点到光源的距离r1之r2差：
故： k (r r ) 2 1 2 1 2 或： ( r2 r1 ) 式中为光源在介质中的波长，
10 20
)] exp[ i (kz t )]
2 i (10 20 ) 10 E ( z , t ) 2 E10 exp[ ] cos( 20 ) exp[ i (kz t )] 2 2 E0 exp( i 0 ) exp[ i (kz t )]
§2-2驻波
E ( z , t ) 2 E10 cos( kz

20 10
2
) exp[
i (10 20 ) 2
] exp[ it )]
此式表明：合成波上任意一点都作圆频率 为 的简谐振动。但： A：合成波振幅不是常数，与各点坐标有关， kz m=0、1、 2 m 当 2 的位置上振幅最大，为2E10。 1 ( m ) 当 kz m=0、1、 2 2 2 的位置上振幅为零。
§2-1 两个频率相同、振动方向相同的 单色光波的迭加

式中z是两原光波传播方向上的坐标， 合成波为：
E ( z , t ) [ E10 exp( i10 ) E20 exp( i 20 )] exp[ i (kz t )] E0 exp[ i (kz t )]

这个波仍然是一个平面简谐波，波的复振幅 可以分成两部分，其中与z有关的部分与原光 波一样，时间（圆）频率也与原光波相同。 并且其它空间、时间参量和位相速度也都没 有变化。所不同的只是合成波有自己的振幅 和初位相。
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加

其中
2
[ E10 exp( i10 ) E20 exp( i 20 )] E0 exp i0
2 2
E10 E20 2 E10 E20 cos( 20 10 ) E0
tg 0 E10 sin 10 E 20 sin 20 E10 cos 10 E 20 cos 20
2 1
) 4a cos
2
2

2
I 4 I 0 cos (
2
2 1
2
) 4I 0I0 Fra biblioteka2 2 1
2 2 cos 2
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加



δ = α 2 -α 1是两光波在P点的位相差.此式 表明在P点叠加后的光强度决定于位相差。 显然，由 I 4 I cos ( ) 4 I cos 2 2 当δ =±2mπ (m=0、1、2… )时， P点光强最大 ；I=4I0 当δ =±2（m+1/2) π(m=0、1、2… )时， P点光强最小;I=0 δ 介于上两者之间时, P点光强在0 ~ 4I0之 间。
第二章：光波的叠加 与分析
第二章：光波的叠加与分析


教学要求： 1.学会用振幅矢量图解法来表示光波的电 振动，并能熟练地用来解决同频率、振动 方向相同的几束光波的叠加问题； 2.掌握光驻波的特点和规律，理解维纳实 验的意义； 3.彻底掌握两个频率相同、有一定位相关 系、振动方向互相垂直的简谐振动叠加规 律；

0
n
0为真空中的波长，n为介质折射率 .


这样
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加

2
式中n(r2–r1)是光程差,以后用符号△表示。 光程:光波在某一介质中所通过的几何路程 和这介质的折射率的乘积。 从上式中看出:光程差与相位差相对应。 ∆= n(r2–r1)=±λ0 (m=0、1、2… ) 时 P点光强最大。 ∆= n(r2–r1)=±2（m+1/2 ) λ0 (m=0、1、2… ) P点光强最小。

一、代数加法： 设两个频率相同、振动方向相同的单色光 波分别发自光源S1 、S2 ，P点是两光波相遇 区域内的任意一点，P到S1 和S2 的距离分别 为r1 和r2且其初位相为零。当两原光波都沿 同一条直线传播时，则两光波各自在P点产 生的光振动可以写为： r
E1 a1 cos( k r t ) 1 E2 a 2 cos( k r2 t )
第二章：光波的叠加与分析


4.掌握光波的三类偏振态； 5.理解光学拍现象，牢固掌握群速度和相速 度的概念； 6.理解光波单色性的意义并掌握描述光波的 单色性的方法，了解光波的分析方法。
第二章：光波的叠加与分析


二、本章概述： 由于任何复杂的光波都可以分解为一组由余 弦函数和正弦函数表示的单色光波，因此讨 论两个（或多个）光波在空间某一区域相遇 时，所发生的光波的叠加问题是研究干涉、 衍射、偏振等现象的共同基础。 频率、振幅和位相都不相同的光波的叠加， 情形很复杂。 本章只限于讨论频率相同或频率相差很小的 单色光波的叠加，这种情况下可以写出结果 的数学表达式。
K S1 S2
1
r2
K P
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加

E E1 E2 a1 cos( k r t ) a2 cos( k r2 t ) 1 令： 1 k r 2 k r2 1 则有： a1 cos(1 t ) a2 cos( 2 t ) E