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《物理光学》第二章 光波的叠加和分析

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物理光学A---第二章 光波的叠加与分析

物理光学A---第二章 光波的叠加与分析

相速度
群速度
h
z
26
2.5 光波的分析
P20 理想纯洁光：E Acoskz t 时间、空间无限延展的周期函
数 实际光：波列长度都有限
本节：复杂波是单色波的叠加 2.5.1 周期性波的分析
参见图2.18，该波的运动在一定的空间周期内重复一次，即 为周期性波。 应用数学上的傅立叶级数定理，具有空间周期的函数f(x)可 以表示为一组空间周期为的整分数倍的简谐函数之和，即
波强度 0和 在 4a2之间变化，这大 种时 强小 度的 时现象称
h
20
beat
1
2ACos
2
10
t
20
1
Cos
2
10
20
t
2
2
2
2
time
h
21
出现拍现象时的拍频等于2 m, 而m= 1-2,为参与叠加的两光 波的 频率之差，所以可通过观测光学拍现象来检测光波的微小
频率差。
2.4.2 群速度和相速度 对于一个单一的单色光波，光速是指其等位相面的传播速度，称 为相速度。对于两个单色波的合成波，光速包含两种传播速度： 等位相面的传播速度和等振幅面的传播速度，分别称为相速度和 群速度。由合成波波函数可求得两速度的表示式。
稳定的光强度的周期性变化，这就是光的干涉现象，这种叠加
称为相干叠加，叠加的光波称为相干光波。
h
7
二 .复数方法
三 光源S1、S2发出的单色光波在P点的复数形式的波函数为
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t

物理光学-2光波的叠加与分析201

物理光学-2光波的叠加与分析201

§2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
1. 代数加法 两光波在P点的振动可用波函数表示为： E1 = a1 cos(kr1 − ω t ) E2 = a2 cos(kr2 − ω t ) a1 , a2分别是两光波在P点的振幅。
S1 r1
y P
S2
r2
由叠加原理， P点的合振动应为两振动 的叠加： E = E1 + E 2 = a1 cos(kr1 − ω t ) + a 2 cos(kr2 − ω t ) 令α 1 = kr1，α 2 = kr2，可将上式化简为 E = a1 cos(α 1 − ω t ) + a 2 cos(α 2 − ω t )
E B
§2.2 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
1. 椭圆偏振光
当两波到达 Z轴上 P点时，振动方程为 E x = a1 cos (kz1 − ω t ) E y = a 2 cos (kz 2 − ω t )
x
S1 S2 z1
y
z
P
两波在P点处叠加后的合振动 E = x0 E x + y0 E y = x0 a1 cos(kz1 − ω t ) + y0 a2 cos(kz 2 − ω t )
讨论
2 A2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
1. 设两单色光波在P点的振幅相等：a1 = a2 = a，则合振动的强度为 I = A2 = a 2 + a 2 + 2aa cos(α 2 − α1 ) = 4a 2 cos 2 式中 I 0 = a 2，是单个光波的光强度；
入射波和反射波的波函数为： E1 = a cos ( kz +ω t ) E1′ = a cos ( kz −ω t+δ )

第二章：光波的叠加与分析

第二章：光波的叠加与分析
I x0 Ex y0 E y x0 Ex y0 Ey Ex I Ix Iy
2
Ey
2
所以，对于两振动方向垂直的单色波叠加 不会发生干涉现象。
2-3 利用全内反射产生椭圆偏振光
回顾，全内反射中s和p分量之间的位相差 =s-p 由折射率n、入射角1决定。调节n和 1就得到适当的，从而使互相垂直振动的s、 p分量合成为所要求的椭圆偏振光。
线偏振光 圆偏振光 菲涅耳菱体
2-3
例题：图示的菲涅耳菱体的折射率为1.5，入 射线偏振光电矢量与图面成450，问： 1. 要使从菱体射出圆偏振光，菱体的顶角φ应 为多大？ 2. 若菱体折射率为1.49，能否产生圆偏振光？
线偏振光 φ φ 菲涅耳菱体 φ φ 圆偏振光
2-4 两个传播方向、振动方向、振 幅相同，频率不同的单色波的叠加
S2
E E1 E 2 Aexpiα ωt A 和α 的定义与代数加法中相 同
2-1
相幅矢量加法 相幅矢量的概念： E＝a1cos(α1-ωt)的表示
A 1 a1 1 x a2 S1 r1 r2 P
S2
2-1
例题:证明当两单色波的场振动方向垂直 时,两光波不会产生干涉. 例题:N个相同振动方向的波在某点P叠 加,N个波依次相差δ,振幅同为A0,试用相 幅矢量加法求P点的合强度.
驻波的形成，合成波的表达和特点
两个同频、正交光波的振幅、位相差对形 成椭圆偏振光的影响 光学拍的形成和表达，群速和相速的关系
2-2 驻波
两个频率相同、振动方向相同、 传播方向相反的单色光波的叠加
E1 acoskz t
' E1 acoskz t δ
' E E1 E1 2 acoskz δ 2 cost δ 2

物理光学 第二章

物理光学 第二章

2.1 同频率同方向单色光波叠加：代数加法 同频率同方向单色光波叠加：
如果两个单色光波振幅相同， 如果两个单色光波振幅相同，则合振动振幅为
A = a + a + 2aacos(α1 −α2 ) = 4a cos
2 2 2 2
2
δ
2
以光强表示为
I = 4I0 cos
光强最大值位置为： 光强最大值位置为：
合成光波为
E = acos(kz−ωt +δ) 1
δ δ E = 2acoskz + cosωt − 2 2
δ A = 2acoskz + 2
上式为z方向上每一点的振动仍然是频率为ω的简谐振动， 上式为z方向上每一点的振动仍然是频率为ω的简谐振动，振幅为
2.1 同频率同方向单色光波叠加：代数加法 同频率同方向单色光波叠加：
两个频率相同、振动方向相同的单色光波各自在空间P 两个频率相同、振动方向相同的单色光波各自在空间P点产生的光 振动可以写为： 振动可以写为：
E = a1 cos(kr −ωt) 1 1
E2 = a2 cos(kr −ωt) 2
合振动可以表示为： 合振动可以表示为：
Here, we write a square wave as a sum of sine waves of different frequency.
E = a1 cos(α1 −ωt) + a1 cos(α2 −ωt) = Acos(α −ωt)
2 2 A2 = a1 + a2 + 2a1a2 cos(α1 −α2 )
a1 sin α1 + a2 sin α2 tanα = a1 cosα1 + a2 cosα2

物理光学第二章光波的叠加与分析

物理光学第二章光波的叠加与分析
2 变，将出现一系列的 幅振 为零的点 —波节和一系列振幅为 大最 值
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个 物理光学第二章光波的叠加与分析
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。

2光波的叠加及分析

2光波的叠加及分析
率相同、振动方向相同的 单色波的叠加 2.2 驻波 2.3两个频率相同、振动方向互相垂直 的光波的叠加 2.4 不同频率的两个单色波的叠加
波的叠加原理:几个波在相遇点产生的合振动是各个波
在该点产生振动的矢量和.
E E1 E2 En
n
原理表明:1.光波传播的独立性.
相邻波幅或 m=0,1,2… 波节的间距:
kz ＝(m 1 )
2
2
Δz=λ/2
2.2 .2 驻波实验
结论: 1.证实了光驻波的存在;
2.光波对乳胶起感光作 用的是电矢量.
乳胶上暗条纹的距离:
e＝ 2sin
实验证明,乳胶膜上第一暗纹不与镜面重合,而是在 离镜面1/4波长处,电矢量产生半波损,磁矢量不产生半 波损,起感光作用的是电矢量.
cos
tg 2
cos
2a1
tg a2
a1
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos
sin2
光的偏振态由a1、a2、δ完全
确定,易测的是长轴 b1、短轴 b2及长轴与Ex的夹角β
2a2
Ey
χ
β
Ex
O
2a1
tg2 tg2 cos sin2 sin2 cos 五个方程联立:
E＝[a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 )]exp(it) Aexp(i )＝a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 ) E＝Aexp(i)exp(it) Aexp[i( t)]
A2 [ Aexp(i )][ Aexp(i )]
结果：I A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2) Aexp(i )＝a1 cos1＋a2 cos2 i(a1 sin1＋a2 sin2 )

《物理光学》第二章 光波的叠加和分析

《物理光学》第二章 光波的叠加和分析

注意
波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相 加，而是振动矢量的叠加
一、 同向传播的平面波的叠加
假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω相同，振幅分别为E10和E20，初始位
相分别为10 和 20 ，振动方向平行，传播方向沿着 z 轴，它们被表示为：
E1 E10 exp i kz t 10 E2 E20 exp i kz t 20
(1)、驻波波函数 假设两个简谐平面标量波的时间频率为ω，振幅分别E10 和E20，初始位相为 10 和20 ，一列波沿着z轴正向传播 另一列沿z轴负向传播，假定E10=E20= E0，即有：
E1 E0 exp i kz t 10
E2 E0 exp i kz t 20
光波叠加原理的数学基础：
2 如果光波E1 (r , t ) 和 E 2 ( r , t )都是方程 E E 的解， t 2
2
则它们的线性叠加 C1E1 (r , t ) C2 E2 (r , t ) C3 也显然是该方程
的解，并且构成一个复杂的波
微分波动方程的解的叠加性，构成了光波叠加原理的数学
（2.2.3 ） （2.2.4 ）
E10 sin 10 E20 sin 20 0 arctan[ ] E10 cos10 E20 cos 20
由以上分析得到合成波的表达式为：
E ( z , t ) | E0 | exp i kz t 0 表明：
几束简单的光波复杂的光波叠加分解一标量波和矢量波光波是横波选择传播方向为直角坐标系的z方向则矢量就变成了二维矢量可将之分解为xy方向的分量是矢量光波本质上是矢量波若光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质则这两个分量有相同的传播规律于是任一个分量的波函数就可代表其对应的矢量波则矢量波的处理变为标量波处理

物理光学第二章光波的叠件与分析

物理光学第二章光波的叠件与分析
E 1a1exi( p1 [t)] E 2a2exi( p2 [t)]
合振动为：
E E 1 E 2 [ a 1 ei x 1 ) p a 2 e( i x 2 )e p ] x i(t ) p
令： A ex i)p a 1( ex i1 )p a 2 (ex i2)p(
二、几种特殊情况
根据下式：
2
EE x
2 y
2E xE yco ssi2n
a a 2 1
2 2
Lnr
物理意义：表示光在介质中通过几何路程为r时落后的 相位与光在真空中通过几何路程为nr时落后的相位相同。
采用光程概念的好处是，可以把光在不同介质中的传 播路程都折算为在真空中的传播路程，便于进行比较。
式中n(r1–r2)是光程差,以后用符号△表示。
根据位相差与光程差的关系： 2 0
E

B
B1
E1
B 1
E 1
第三节 两个频率相同、振动方向相 互垂直的光波叠加
一、椭圆偏振光
z
如图所示，假设光源S1
y x
和S2发出的单色波的频率相
P
同，但振动方向相互垂直， 且分别平行于x轴和y轴。在 考察点P处，两光波的光振
S2 S1 ●
●
z2 z1
动可写为：
E xa1coks1z (t) Eya2coks2z (t)
必须注意虽然各点似乎都有相同的相位但是因为振幅因子在波节处经零值改变符号所以在每个波节两边的点振动相位都是相反的kz维纳在1890年发表了著名的维纳实验结果这即在实验上证实了光驻波的存在又显示了光化学反应中是电场而不是磁场在起主要作用实验装置如下图所示可以预见

物理光学-2光波的叠加与分析201

物理光学-2光波的叠加与分析201

讨论
2 A2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
1. 设两单色光波在P点的振幅相等：a1 = a2 = a，则合振动的强度为 I = A2 = a 2 + a 2 + 2aa cos(α 2 − α1 ) = 4a 2 cos 2 式中 I 0 = a 2，是单个光波的光强度；
§2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
1. 代数加法 两光波在P点的振动可用波函数表示为： E1 = a1 cos(kr1 − ω t ) E2 = a2 cos(kr2 − ω t ) a1 , a2分别是两光波在P点的振幅。
S1 r1
y P
S2
r2
由叠加原理， P点的合振动应为两振动 的叠加： E = E1 + E 2 = a1 cos(kr1 − ω t ) + a 2 cos(kr2 − ω t ) 令α 1 = kr1，α 2 = kr2，可将上式化简为 E = a1 cos(α 1 − ω t ) + a 2 cos(α 2 − ω t )
2 E x2 + E y = a 2
即合矢量的运动轨迹是一个圆，这种光称为圆 偏振光。
δ=0
π/4
π/2
3π/4
δ= π
5π/4
3π/2
7π/4
3. 左旋和右旋 由合振动矢量旋转方向的不同，可以把椭圆（圆）偏振光分为左旋、右 旋两类。区分原则是：对着光的传播方向观察，合矢量向逆时针方向旋转时 为左旋偏振光；合矢量向顺时针方向旋转时为右旋偏振光。 左旋偏振光：sinδ＞0； 右旋偏振光：sinδ＜0
入射波和反射波的波函数为： E1 = a cos ( kz +ω t ) E1′ = a cos ( kz −ω t+δ )

《物理光学》光波的叠加综述

《物理光学》光波的叠加综述
2 x 2 1 2 y
E与x轴的夹角满足： E2 E20 cos(kz −ωt +ϕ20 ) tgα = = E1 E10 cos(kz −ωt +ϕ10 ) 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 和t变化。即合成波一般不是线偏振波。
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 椭圆形状由两叠加光波的位相差 δ=α2-α1或光程差∆和振幅比a2/a1 决定。 或光程差∆和振幅比a 旋向由δ 旋向由δ=α2-α1或光程差∆决定， 或光程差∆ sinδ sinδ>0 左旋情况 sinδ sinδ<0 右旋情况 强度： I = I x + I y 表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个 振动方向互相垂直的单色光波的强度之和， 它与两个叠加波的位相无关。
20 10
i(ϕ10 +ϕ20 ) ) exp[ ]exp[−iωt)] 2
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 叠加的结果为椭圆偏振光，和矢量终点的轨迹 满足如下方程：
E Ex Ey E + 2 −2 cosδ = sin 2 δ a1a2 a a2
k 3k 5k 7k
§2-5光波的分析
傅里叶级数也可以表示为复数形式: 傅里叶级数也可以表示为复数形式: f (z) = ∑C exp(inkz) (4)
∞ n=−∞ n
其中系数
λ
Cn =
1
λ−
∫ f (z) exp(−inkz)dz λ
2
2

第二章光波的叠加与分析

第二章光波的叠加与分析
令： a 1 co 1 s a 2co 2 sA A sin A 2 a 1 2 a 2 2 2 a 1 a 2co 2 s1 )(
A
a2 a1
α2
α1 α
tgaa11cso i ns1 1 a a2 2scion2s2 P点的合振动为 ：
同时由于光在光疏光密介质反射面上反射时电矢量有位相跃变而磁矢量没有位故反射后e波在分界面上是波节而b波在分界面上是波腹实验证明乳胶面上第一黑纹不与镜面重合它在离镜面14波长处没有感光说明是波节即分界面是波节位置
第二章：光波的叠加 与分析
第二章：光波的叠加与分析
教学要求： 1.学会用振幅矢量图解法来表示光波的电
进一步：若两个单色光波在P点振幅相等。
即a1=a2=a 则P点的合振幅：
A 2 Ia 1 2 4 a I 2 0 2 c 2 a 1 o a 2 2 ( c s 22 o 2 1 1 ) ) s 4 a 4 ( 2 c I02 c ( o 2 o 2 22 1 s ) s 4 a 2 c2 2 o
利用相幅矢量的概念，通过简单的矢量求 和运算，也可以得到与前相同的结论。
A 2 a 1 2 a 2 2 2 a 1 a 2co2 s1 ) (
tga1si n1a2si n2 a1cos1a2cos2
a2 a
o
a1
x
α2 α α1
§2-2驻波——两个频率相同、振动方向
合成波的初位相等于原光波初位相的平均值；
合成波的振幅为2E10cos( 20 10 )与原光波的位
相差有密切关系。
2
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加
E (z,t) 2 E 1e 0 x i(1 p2 0[2)0 ]co2s 2 0 ( 1)0 ex i(kp zt[)] E 0ex i0 p )e(x i(kp zt[)]

华中科技大学物理光学第二章

华中科技大学物理光学第二章
E A
2
S1
r1 r2
P
S2
E 1 = a 1 cos (kr 1 − ω t ) = a 1 cos (α 1 − ω t ) = a 2 cos (kr 2 − ω t ) = a 2 cos (α = a 12 + a 2 + 2 a 1 a 2 cos (α 2 a 1 sin α 1 + a 2 sin α 2 a 1 cos α 1 + a 2 cos α 2
n
内容
2-1 两个频率相同、振动方向相同的单 色光波叠加； 2-2 驻波； 2-3 两个频率相同、振动方向垂直的光 波叠加； 2-4 不同频率的两个单色波叠加； 2-5 光波的分析。
2-1 两个频率相同、振动方向相同 的单色光波叠加
研究对象：频率相同、振动方 向相同，P点光波相遇区域 任一点，求在P点的光振 动。 代数加法
第二章：光波的叠加与分析
杨振宇
本章研究频率相同、或相差很小的单色 光波的叠加； 任何复杂的光波都能分解为一组单色光 波之和； 光波服从叠加原理：在线性介质中，几 个光波在相遇点的合振动是各个光波单 独产生的振动的矢量和； E = E1 + E2 + ... = ∑ En 光波的分析：傅立叶级数定理、傅立叶 积分定理。
频率虽有差别，但差别很小， E 1 = acos (k 1 z − ω 1 t ) E 2 = acos (k 2 z − ω 2 t )
A = 2 acos (k m z − ω m t )
E = E 1 + E 2 = Acos (k z − ω t )
(2 - 45)
k m = (k 1 − k 2 ) 2 , ω m = (ω 1 − ω 2 ) 2

《物理光学》第2章,光波的叠加与分析

《物理光学》第2章,光波的叠加与分析
角频率分别为ω1和ω2的单色光波沿z方向传播：
E1 E0 cos 1t k1 z E2 E0 cos 2t k2 z
这两个光波的迭加得到 ：
E 2 E0 cos 1 1 2 t k1 k2 z cos 1 1 2 t k1 k2 z 2 2
s p cos sin 2 n 2 tg tg 2 2 sin 2
450 (1 sin 2 ) sin 2 n 2 tg 2 2 sin 4


又 n 1 / 1.5, 450
53015或 50013
E E1 E2 A cos( t )
a1 sin 1 a2 sin 2 tan a1 cos1 a2 cos 2
2.2 驻波
2.2.1驻波的形成
两个频率相同，振动方向相同而传播方向相反
的单色光波的迭加。
n1<n2
n2
E1 a cos(kz t ) E2 a cos(kz t )
p
方位角45度时， 反射两次输出圆偏振光
5437’
5437’
例题：如图所示的菲涅耳棱体的折射率为1.5 ，入射线偏振光 电矢量与图面成450，问:1)要使从棱体射出圆偏振光，棱体顶 角φ应为多少？2)若棱体折射率为1.49，能否产生圆偏振光。
解：1）要使棱体的出射光为圆偏振光，出射p波和S波的振 幅必须相等, 位相差必须等于 / 2 。光束在棱体内以相同条 件全反射两次，每次全反射后p波和s波的位相差必须等于/ 4
6
2.2.2 维纳的实验： (用驻波概念证明电矢量感光）
证实了光驻波的存在 证实了光波对乳胶起感光作用的是电矢量而不是磁矢量。

光波的叠加与分析

光波的叠加与分析

23
Ey
Ex
3. 及其奇数倍时，
2
椭圆方程为：
E
2 x
E
2 y
1
a12
a
2 2
δ=3π/2
此为一正椭圆,长短轴与x，y轴重合.
❖ 若两光波的振幅a1、a2相等，为a。
则：
E
2 x
E
2 y
a2
表示一个圆偏振光。
24
椭圆形状的分析：( a2 a1 , 2 1 )
（图10-30）
Ey
Ey
Ey
Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ=0
Ey
0<δ<π/2
Ey
δ=π/2
Ey
π/2<δ<π
Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ=π
π<δ<3π/2
δ=3π/2
3π/2<δ<2π 25
26
左旋和右旋
1、右旋光：迎着光的传
播方向观察，合矢量顺 时针方向旋转。
此时：sin(2 1) 0
2、左旋光：迎着光的传
播方向观察，合矢量逆 时针方向旋转。
两列波交叠区域任意一点P的合振动？
根据叠加原理，P点的合振动为
E E1 E2 a1 exp[i(1 t)] a2 exp[i(2 t)]
式中 1 kr1, 2 kr2
光强为
I E E a1 exp[i(1 t)] a2 exp[i(2 t)] a1 exp[i(1 t)] a2 exp[i(2 t)]
r1 )
2 0
D
采用光程概念的好处是，可以把光在不同介质中 的传播路程都折算为在真空中的传播路程，便于 6 进行比较。

《物理光学》第2章,光波的叠加与分析

《物理光学》第2章,光波的叠加与分析

E E a
2 x 2 y
2
面对光的传播方向看
合成电矢量未端的运动描成一个圆——圆偏振光。
2.3.3 左旋和右旋
对着光传播的方向看去，合成电矢量是顺时针方向旋转时， 偏振是右旋的，反之是左旋的 。
y 传播方向 右旋椭圆 偏振光 E 0 y
x
x z
/2
左旋椭圆 偏振光 某时刻左旋圆偏振光E随z的变化
相幅矢量加法是一种图解法，可方便求解多个波的叠加。 相幅矢量A的长度 = 振幅；它与x 轴夹角 = 振动位相角；相幅矢量顺时 针以绕o点转动，矢量末端在x轴上
A a1 1
x
的投影运动代表简谐振动。
两个简谐振动的合成图示为：
2 A2 a12 a2 2a1a2 cos1 2
角频率分别为ω1和ω2的单色光波沿z方向传播：
E1 E0 cos 1t k1 z E2 E0 cos 2t k2 z
这两个光波的迭加得到 ：
E 2 E0 cos 1 1 2 t k1 k2 z cos 1 1 2 t k1 k2 z 2 2
d d


当n 1.49时 tan ，
max
2
0.4094 max 44032 / 4. ,
所以光束在棱体内两次全反射不能产生圆偏振光。
2.4 不同频率的两个单色光波的迭加
设有两个振动方向相同、振幅相等、频率相差很小 单色光波迭加，将产生光学上有意义的“拍”现象。
2.4.1 光拍
叠加光强讨论：
（1）当 2m 时，I=4I0 振动加强
（ 2 （2）当 m 1 / 2） 时， I=0 振动减弱
（3）当位相处于两者之间时，P点光强介于0~4I0间 只要两光波的位相差保持不变，在叠加区域内各点的光强分 布也是不变的。 光的干涉：在叠加区域内出现光强稳定的强弱分布的现象。 两相干光波叠加后，光的能量重新分布，有的地方变亮，有 的地方变暗。
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注意
波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相 加，而是振动矢量的叠加
一、 同向传播的平面波的叠加
假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω相同，振幅分别为E10和E20，初始位
相分别为10 和 20 ，振动方向平行，传播方向沿着 z 轴，它们被表示为：
E1 E10 exp i kz t 10 E2 E20 exp i kz t 20
(5)驻波的位相因子与z无关，不存在位相的传播问题，故把 这种波称为驻波，反之称为行波。 驻波 (6)因 cos kz 20 10 2 的取值可正可负，所以在每一波 节两边的点，其振动是反相的 驻波：由于节点静止不动，所以波形没有传播。能量以 动能和势能的形式交换储存，亦传播不出去。
E10 exp i10 E20 exp i20 exp i kz t
E0 exp i kz t
其中：
（2.2.1 ）
E0 E10 exp i10 E20 exp i 20
E0 exp i0
2 2 上式中：| E0 | [ E10 E20 2E10 E20 cos(20 10 )]
1 2
E10 sin 10 E20 sin 20 0 arctan[ ] E10 cos 10 E20 cos 20
二、反向传播的平面波的叠加——驻波及其实验
E10 cos 10 E20 cos 20 i E10 sin 10 E20 sin 20
E0 exp i0
(2.2.2)
1 2
上式中：
2 2 | E0 | [ E10 E20 2E10 E20 cos( 20 10 )]
光波叠加原理的数学基础：
2 如果光波E1 (r , t ) 和 E 2 ( r , t )都是方程 E E 的解， t 2
2
则它们的线性叠加 C1E1 (r , t ) C2 E2 (r , t ) C3 也显然是该方程
的解，并且构成一个复杂的波
微分波动方程的解的叠加性，构成了光波叠加原理的数学
几列波在相遇点所引起的扰动是各列波在该点所
引起的扰动的叠加（矢量的线性叠加，矢量和）
成立条件
1)、传播介质为线性介质； 2)、振动不是十分强，在振动很强的时候，线性介质会变为 非线性介质；
线性媒质：波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理 的媒质 非线性媒质：波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播 原理的媒质
而且有：
对于叠加区域，如图所示选取坐标系Oxyz，y 轴方向垂直于 纸面向外。假设振动方向沿着y方向，分量波的波矢 k1 和 k2 均平行于xz平面，注意，这时所有的函数都与 y 坐标无关。 设两个分量波的频率都为ω，振幅分别为E10和E20，初始位相 为 10 和 20 ，波矢分别为k1和k2，则它们的波函数可以表示成 如下： x


合成波各点都按照圆频率ω做简谐振动，但是此合成波有 其固有的特点
E ( z , t ) 2 E0 cos kz 20 10 2 exp i t 20 10 2


表示： (1) 对某一Z点，E随时间以频率ω作简谐振动，某一时刻， 振幅随Z不同而变（振幅不是常数）; (2) 称振幅最大值和最小值的位置为波腹、波节的位置，它 们不随时间而变 ; 波腹位置：kz 20 10 2 m (m为整数) 波节位置： 20 10 2 m 1 2 (m为整数) kz (3) 相邻波腹（或波节）之间距为λ/2，相邻波腹与波节间距 为λ/4; (4) 合成波的位相因子与空间坐标位置z无关。
前言
§1波的独立传播和叠加原理
§2两束同频振动方向平行的标量波的叠加
§3两束同频振动方向垂直的标量波的叠加
§4 不同频率的两个平面单色波的叠加 §5光波的分析
前 言
几束简单 的光波 叠加 分解 复杂的 光波
首先讲述作为矢量波的光波，在某些情况下可看作标 量波；光波在空间传播时在一些特定条件下满足独立 传播原理 进而介绍关于光的叠加原理。在此基础上，作为特殊 情况，讲解两束光波在不同情况下的叠加结果：规律、
概念及应用。
第一节 波的独立传播和叠加原理
一、标量波和矢量波
光波本质上是矢量波
描述光波的物理量 E 和 B 是矢量
光波是横波，选择传播方向为直角坐标系的z方向，则 矢量就变成了二维矢量，可将之分解为x，y方向的分量 若光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质， 则这两个分量有相同的传播规律，于是任一个分量的波 函数就可代表其对应的矢量波，则矢量波的处理变为标 量波处理。
第二节 两束同频振动方向平行的 标量波的叠加
本节讨论两个频率相同、振动方向平行的光波的叠加，显然这
两个光波可视作标量波，于是问题就是两个标量波叠加的问题
一、 同向传播的平面波的叠加
假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω，振幅分别为E10 和E20，初始位相分别为 10和 20 ，传播方向沿着z轴，它 们被表示为：
两个频率相同、振动方向 平行的简谐平面光波不共线 传播相遇叠加
叠加后的合成波可以表示为 ：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E(x,z,t)=E1(x,z,t)+E2(x,z,t)=E0exp(-iωt)
其中： E0=E10exp[i(k1xx+k1zz+10 )]+E20exp[i(k2xx+k2zz+ 20 )]
=|E0|exp(i 0 )
当两个分量波的振幅不相等时，例如，E10=E20+ΔE，则有
E z , t 2 E0 cos kz 10 20 2 exp i t kz 10 20 2


E exp i t kz 10
二、波的独立传播原理
波的独立传 播原理：当 两列波或多 列波在同一 波场中传播 时，每一列 波的传播方 式都不因其 他波的存在 而受到影响
注意：波的叠加原理和独立性原理成立于线性介质中
三、光波的叠加原理和线性媒质
当存在两个或多个光波同时传播时，如果光波的独立传播 原理成立，则它们叠加的空间区域内，每一点的扰动将等 于各个光波单独存在时该点的扰动之和。这就是光波的叠 加原理，即
合成波是一个驻波和行波之和，因此合成波在波节处振幅不再 为零，波节处的振动完全是由行波引起的，其它考察点的振幅 则由行波和驻波共同引起的，并且由于行波的存在，将会有能 量的传播。
(2)、驻波实验 实验装置如右图所示。M是镀银 的平面反射镜，I是正入射到镜面 上的单色简谐平面波，经反射后 得到反射波R。G是一块极薄的感 光乳胶底片，它与镜面间有一微 小夹角。 I和R形成驻波，G位于这个驻波 场中，经感光和显影，在G上呈 现亮暗相间的条纹，相邻亮条纹 (或暗条纹)之间的距离按图示的几 何关系与λ/2相对应
G I R λ/2 λ/2 λ/2 λ/4 M
维纳实验
维纳实验证明：1、驻波的存在 底片G上感光的位置应该是驻波波腹的位置。 维纳实验证明：2、乳胶感光的是光的电场而不是磁场 维纳实验发现，紧贴镜面处的底片没有感光，而感光条 纹的位置都与电场波腹位置相一致。 三、任意方向传播的平面波的叠加 上面两部分只考虑了两束光波的传播方向在一条直线上的 情况，分量波与合成波的空间分布比较简单，只和空间变 量 z 有关。现在考虑两个时间频率相同、振动方向平行的 简谐平面光波不共线传播相遇叠加的情况。
叠加后的合成波可以表示为：
E z , t E0 exp i kz t 10 E0 exp i kz t 20
2 E0 cos kz 20 10 2 exp i t 20 10 2
（2.2.3 ） （2.2.4 ）
E10 sin 10 E20 sin 20 0 arctan[ ] E10 cos10 E20 cos 20
由以上分析得到合成波的表达式为：
E ( z , t ) | E0 | exp i kz t 0 表明：
当E10=E20时，由（2.2.4 ）得：
0 (10 20 ) / 2
可见，合成波的初位相等于两个分量波初位相的平均值 当E10=E20时，总的合成波函数为
E z , t 2 E10 cos 10 20 2 exp i kz t 10 20 2
(1)、驻波波函数 假设两个简谐平面标量波的时间频率为ω，振幅分别E10 和E20，初始位相为 10 和20 ，一列波沿着z轴正向传播 另一列沿z轴负向传播，假定E10=E20= E0，即有：
E1 E0 exp i kz t 10
E2 E0 exp i kz t 20
E1 E10 exp i kz t 10
E2 E20 exp i kz t 20
这两个光波叠加后的合成波可以表示为：
E z , t E10 exp i kz t 10 E20 exp i kz t 20
E z , t E10 exp i10 E20 exp i20 exp i kz t
E0 exp i kz t
其中： E0 E10 exp i10 E20 exp i20
基础。
光波叠加原理的成立也是有条件的
真空中，光波叠加原理普遍成立 媒质中，光波电磁场与媒质内部物质的相互作用满足线性 条件时，光波叠加原理成立。 当光强很强时，光与介质相 互作用产生了非线性光学效应，光的叠加原理不再成立 媒质分为‘线性媒质’和‘非线性媒质’ 线性媒质：波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理 的媒质 非线性媒质：波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播 原理的媒质