八年级数学5.3一次函数

课题：§5.3一次函数的图象(2)教学目标1、理解一次函数及其图象的有关性质。

2、能熟练地作出一次函数的图象。

3、进一步培养学生数形结合的意识和能力。

教学重点一次函数的图象的性质。

教学过程1、新课导入上节课我们学习了如何画一次函数的图象，步骤为①列表；②描点；③连线。

经过讨论我们又知道了画一次函数的图象不需要许多点，只要找两点即可，还明确了一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。

本节课我们进一步来研究一次函数的图象的其他性质。

2、讲授新课（1）首先我们来研究一次函数的特例——正比例函数有关性质。

请大家在同一坐标系内作出正比例函数y=21x ，y=x ，y=3x ，y=-2x 的图象。

图：3、议一议（1）正比例函数y=kx 的图象有什么特点？（2）你作正比例函数y=kx 的图象时描了几个点？（3）直线y=21x ，y=x ，y=3x 中，哪一个与x 轴正方向所成的锐角最大？哪一与x 轴正方向所成的锐角最小？4、小结：正比例函数的图象有以下特点：（1）正比例函数的图象都经过坐标原点。

（2）作正比例函数y=kx 的图象时，除原点外，还需找一点，一般找（1,k ）点。

（3）在正比例函数y=kx 图象中，当k>0时，k 的值越大，函数图象与x 轴正方向所成的锐角越大。

（4）在正比例函数y=kx 的图象中，当k>0时，y 的值随x 值的增大而增大；当k<0时，y 的值随x 值的增大而减小。

5、做一做在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x+6,y=-x,y=-x+6,y=5x 的图象。

一次函数y=kx+b 的图象的特点：分析：在函数y=2x+6中，k>0，y 的值随x 值的增大而增大；在函数y=-x+6中，y 的值随x 值的增大而减小。

由上可知，一次函数y=kx+b 中，y 的值随x 的变化而变化的情况跟正比例函数的图象的性质相同。

对照正比例函数图象的性质，可知一次函数的图象不过原点，但是和两个坐标轴相交。

浙教版数学八年级上册5.3《一次函数》说课稿（2）一. 教材分析浙教版数学八年级上册5.3《一次函数》是学生在学习了平面直角坐标系、点的坐标、直线方程等知识的基础上，进一步学习一次函数的定义、性质、图象和应用。

本节内容是整个初中数学的重要基础，也是解决实际问题的重要工具。

教材从实际问题出发，引导学生认识一次函数，并通过探究一次函数的性质，让学生体会数学与生活的紧密联系。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平面直角坐标系、点的坐标、直线方程等知识有一定的了解。

但学生在学习过程中，可能对一次函数的实际应用背景理解不够深入，对一次函数的性质探究可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，引导学生从实际问题中认识一次函数，激发学生的学习兴趣，提高学生探究一次函数性质的积极性。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握一次函数的定义、性质、图象，能运用一次函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，让学生经历一次函数性质的发现过程，培养学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观：让学生感受数学与生活的紧密联系，增强学生学习数学的兴趣，提高学生运用数学解决实际问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数的定义、性质、图象。

2.教学难点：一次函数性质的探究，一次函数在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用观察、实验、探究、讲解、讨论等方法，引导学生自主学习、合作学习。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：从实际问题出发，引导学生认识一次函数，激发学生的学习兴趣。

2.探究一次函数的性质：让学生通过观察、实验、探究等方法，发现一次函数的性质，培养学生的数学思维能力。

3.讲解一次函数的性质：教师讲解一次函数的性质，帮助学生理解和掌握。

4.应用一次函数解决实际问题：让学生运用一次函数的知识解决实际问题，提高学生运用数学解决实际问题的能力。

第5章一次函数一次函数知识提要1.一次函数与正比例函数：一般地，函数y＝kx＋b（k，b都是常数，且k≠0）叫做一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx，叫做正比例函数，常数k叫做比例系数．2.待定系数法：一般地，已知一次函数的自变量与函数的两对对应值，可以按以下步骤求这个一次函数的表达式：（1）设所求的一次函数表达式为y＝kx＋b，其中k，b是待确定的常数，k≠0.（2）把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y＝kx＋b，得到关于k，b的二元一次方程组．（3）解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值．（4）把求得的k，b的值代入y＝kx＋b，就得到所求的一次函数表达式．典型例题例1：已知函数y＝(m－4)x＋m2－16.(1)m为何值时，这个函数是一次函数；(2)m为何值时，这个函数是正比例函数．解：(1)根据一次函数的定义，得m－4≠0，∴m≠4时，这个函数是一次函数；(2)根据正比例函数的定义，得m－4≠0且m2－16＝0，∴m＝－4时，这个函数是正比例函数．例2：设有三个变量x，y，z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数．(1)求证：z是x的正比例函数；(2)如果z＝1时，x＝4，求出z关于x的函数关系式．解：(1)证明：设y ＝kx (k ≠0)，z ＝ny (n ≠0)，则有z ＝knx ，故z 是x 的正比例函数；(2)将z ＝1，x ＝4代入z ＝knx ，得1＝4kn ，解得kn ＝14，则z ＝14x .一、选择题 1．下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为( C )A ．y ＝x 2B ．y ＝2xC ．y ＝x 2D ．y ＝x ＋122. 下列函数(1)y ＝πx ；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝22－3x ；(4)y ＝x 2－1中，是一次函数的有( B )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】B 函数(1)y ＝πx ；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝22－3x 符合一次函数的一般形式，故(1)，(2)，(3)正确；(4)y ＝x 2－1不符合一次函数的一般形式，故(4)不符合题意．3. 已知函数y ＝(k －1)xk 2＋1为一次函数，则k 的值为( C )A ．k ≠±1B ．k ＝±1C ．k ＝－1D ．k ＝1【解析】C 根据一次函数的定义，得k 2＝1且k －1≠0，解得k ＝±1且k ≠1，∴k ＝－1.4. 若y=x+2-3b 是正比例函数，则b 的值是 （ B ）A ． 0B ．32C ．-32D ．-23 【解析】 B 由正比例函数的定义可得：2-3b=0，解得：b=32． 5. 某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x 升．如果每升汽油2.6元，求油箱内汽油的总价y （元）与x （升）之间的函数关系是（D ）A ．y=2.6x （0≤x≤20）B ．y=2.6x+26（0＜x ＜30）C ．y=2.6x+10（0≤x ＜20）D ．y=2.6x+26（0≤x≤20）【解析】D 依题意有y=（10+x ）×2.6=2.6x+26，0≤汽油总量≤30，则0≤x≤20．6. 已知y ＝(m －3)x|m|－2＋1是一次函数，则m 的值是( A )A ．－3B ．3C ．±3D ．±2练习【解析】A 由y ＝(m －3)x|m|－2＋1是一次函数，得⎩⎪⎨⎪⎧|m|－2＝1，m －3≠0，解得m ＝－3. 7. 某水池现有水100m 3，每小时进水20m 3，排水15m 3，t 小时后水池中的水为Qm 3，它的解析式为（ C ）A ．Q=100+20tB ．Q=100-15tC ．Q=100+5tD ．Q=100-5t【解析】C 由题意得：Q=100+20t -15t=100+5t8. 小林购买一部手机想入网，中国联通130网收费标准是月租费30元，每月来电显示6元，本地电话费每分钟0.4元；中国电信“神州行”储值卡收费标准是本地电话费每分钟0.6元，月租费、来电显示费全免，小林的亲戚朋友都在本地，他想拥有来电显示服务，且估计他每月通话时间都在3h 以上，则小林应选择（A ）更省钱．A ．中国联通B ．“神州行”储值卡C ．一样D ．无法确定【解析】A 设通话时间为x 分钟，则联通收费为（0.4x+36）元，神州行收费为0.6x 元， 3h=180分钟，得通话时间在3小时时联通收费为0.4×180+36=108元，神州行收费为0.6×180=108元，即通话时间在3小时时，收费一样．而在3h 以上时0.4x+36＜0.6x ，故选择联通．9.一个贮水池中贮水100 m 3，若每分钟排水2 m 3，则排水时间t (单位：min)与排水量y (单位：m 3)之间的函数关系式为( A )A ．y ＝2tB ．y ＝100＋2tC ．y ＝100－2tD ．y ＝1002t【解析】A ∴排水速度是每分钟排水2 m 3，∴排水量y 随排水时间t 的变化关系式为y ＝2t .二、填空题1.已知函数y=（k+2）x+k 2﹣4，当k≠-【解析】根据一次函数定义得，k+2≠0，解得k≠-2．2. （凉山州中考）已知函数y ＝2x2a ＋3＋a ＋2b 是正比例函数，则a ＝_-1_____，b ＝21____. 3. 设0＜k ＜1，关于x 的一次函数y=kx+ k1 (1-x)，当1≤x≤2时y 的最大值是k______． 【解析】原式可化为：y=（k -k 1 ）x+ k 1，∴0＜k ＜1，∴k - k1＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴1≤x≤2，∴当x=1时，y 最大=k ．故答案为：k ．4. 从2001年2月21日零时起，中国电信执行新的固定电话收费标准，其中本地网营业区内通话费是：前3分钟是0.2元（不足3分钟近3分钟计算），以后每分钟加收0.1元（不足1分钟按1分钟科计算），现有一个学生星期天打本地网营业区内电话t 分钟（t ＞3）应交电话费（0.1t -0.1）______元.【解析】依题意得，打电话t 分钟（t ＞3）应交电话费为：0.1（t -3）+0.2=（0.1t -0.1）元5. 小英存入银行2000元人民币，年利率为x ，两年到期时，本息和为y 元，则y 与x 之间的函数关系式是______，若年利率为7%，两年到期时的本息和为______元． 【解析】∴本息和=本金×（1+利率），∴一年后的本息和为：2000×（1+x ），两年后本息和y=2000×（1+x ）（1+x ）=2000（1+x ）2，当x=7%时，y=2289.8元．故答案为：y=2000（1+x ）2，2289.8．6. 某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出付款金额y （单位：元）与购书数量x （单位：本）之间的函数关系________．【解析】⎩⎨⎧>+≤≤=)20(10020)200(25x x x x y 根据20本及以下单价为25元，20本以上，超过20本的部分打八折分别求出付款金额y 与购书数x 的函数关系式，再进行整理即可得出答案： 根据题意得：⎩⎨⎧>-⨯+⨯≤≤=)20)(20250.82052)200(25x x x x y （，即⎩⎨⎧>+≤≤=)20(10020)200(25x x x x y 。

5.3一次函数的图象（第一课时）教案教学背景：这一节内容是学生学习函数画法的起始课，对以后学习函数起着至关重要的作用，我在教学中把握住这一点，注重学生的探索、归纳过程，在情境创设中让学生经历香点燃后香的长度随着时间的变化而变化，在连线过程中，让学生感受到香的顶端在一条直线上，并且能够把这一过程呈现在平面直角坐标系中，而且可以验证也在一条直线上。

在此基础上，让学生仿照课本例题的作图步骤画出函数y=-x+2的图象，在这一过程中让学生明确如何列表、描点？为什么要连线？这一系列问题。

进而找到画一次函数图象的简便作法——两点法，通过学生的比较会发现这两个点如果是直线与坐标轴的交点会使作图更加方便。

教材分析：在学生会画一次函数的基础上，我又安排了在同一直角坐标系中画一次函数y=-2x,y=-2x+2,y=-2x-3的图象，让学生观察它们的特殊位置关系——平行，从中找出k、b的特点，这样安排一方面学生练习了一次函数的画法，另一方面培养了他们的观察能力与归纳总结能力，在练习中也配置了相关的练习加以巩固，同时安排另一种类型——求两直线的交点坐标，这个题目利于学生对一次函数图象与一次函数表达式的对应关系的理解，学生一般只能想到利用图象法解题，这是典型的数形结合思想的体现，所以特意安排了交点坐标是整数的点，教学中除了肯定学生的这种作法外，再补充一种更为普遍的解法——把两直线的表达式组成方程组求解。

使学生的思路更加开阔，也体现了一题多解。

在练习巩固中不仅复习了待定系数法，也加深了学生对一次函数图象的理解。

教学目标：1、知识与技能：理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线,熟练地作出一次函数和正比例函数的图象。

2、过程与方法：经历一次函数的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤。

3、情感态度与价值观：体会用类比的思想研究一次函数，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂教学重点：归纳作函数图象的一般步骤，能熟练地作出一次函数的图象。

5．3 一次函数(二)1．已知铁的质量m 与体积V 成正比例，当V ＝5 cm 3时，m ＝39.5 g ，则铁的质量m 关于体积V 的函数表达式是m ＝7.9V ．2. 已知一次函数y ＝kx ＋b ，当x ＝－1时，y 的值为2；当x ＝3时，y 的值为10，则这个一次函数的表达式为y ＝2x ＋4．3．已知y 与x ＋1成正比例，当x ＝5时，y ＝12，则y 关于x 的函数表达式是y ＝2x ＋2． 4．已知y 是x 的一次函数，下表给出了部分对应值，则m 的值是－7.x －1 2 5 y5－1m5．有一本书，每20页厚为1 mm ，设从第1页到第x 页的厚度为y (mm)，则(A ) A ．y ＝120x B ．y ＝20xC ．y ＝120＋xD ．y ＝20x6．在一次函数y ＝kx ＋3中，当x ＝2时， y 的值为5，则k 的值为(A ) A. 1 B. －1 C. 5 D. －57．设地面气温是25℃，如果高度每升高1 km ，气温下降6℃，那么气温t (℃)与高度h (km)之间的函数表达式是(A )A. t ＝25－6hB. t ＝25＋6hC. t ＝6h －25D. t ＝625h8．若y 是x 的一次函数，当x ＝2时，y ＝2；当x ＝－6时，y ＝6. (1)求这个一次函数的表达式； (2)当x ＝8时，求函数y 的值； (3)当函数y 的值为零时，求x 的值； (4)当1≤y ＜4时，求自变量的取值范围．【解】 (1)设y ＝kx ＋b (k ≠0)．∵当x ＝2时，y ＝2；当x ＝－6时，y ＝6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2k ＋b ，6＝－6k ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝3. ∴y ＝－12x ＋3.(2)当x ＝8时，y ＝－12×8＋3＝－1.(3)当y ＝0时，－12x ＋3＝0，解得x ＝6.(4)当1≤y ＜4时，1≤－12x ＋3<4，∴－2＜x ≤4.9．周日上午，小俊从外地乘车回嘉兴．一路上，小俊记下了如下数据：观察时间 9：00(t ＝0) 9：06(t ＝6) 9：18(t ＝18) 路牌内容嘉兴90 km嘉兴80 km嘉兴60 km(注：“嘉兴90 km ”表示离嘉兴的距离为90 km.)假设汽车离嘉兴的距离s (km)是行驶时间t (min)的一次函数，求s 关于t 的函数表达式． 【解】 设s ＝kt ＋b .由表知：当t ＝0时，s ＝90，当t ＝6时，s ＝80， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝90，6k ＋b ＝80， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－53，b ＝90.∴s ＝－53t ＋90.10．某市自来水公司为限制单位用水，每月供给某单位计划内用水2500 m 3，计划内用水每立方米收费0.9元，超过计划部分每立方米按1.5元收费．(1)写出该单位水费y (元)与每月用水量x (m 3)之间的函数表达式： ①当用水量x ≤2500时，y ＝0.9x ；②当用水量x ＞2500时，y ＝2250＋1.5(x －2500)；(2)某月该单位用水2000 m 3，应付水费1800元；若用水3000 m 3，则应付水费3000元； (3)若某月该单位付水费3300元，则该单位用水为多少？【解】 (3)2250＋1.5(x －2500)＝3300，解得x ＝3200.即该单位用水3200 m 3.11．已知整数x 满足－5≤x ≤5，y 1＝x ＋1，y 2＝－2x ＋4.对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较小值，则m 的最大值是(B )A ．1B ．2C ．24D ．－9【解】 当y 1<y 2时，x ＋1<－2x ＋4，得x <1；当y 1＝y 2时，x ＋1＝－2x ＋4，得x ＝1；当y 1>y 2时，x ＋1>－2x ＋4，得x >1.根据已知条件，对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较小值，故当x ≤1时，m ＝x ＋1；当x >1时，m ＝－2x ＋4.故m 的最大值为2.12．已知一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x ≤1时，对应的y 的取值范围为－1≤y ≤8，则b 的值是(C )A. 54B. 234C. 54或234D. 414 【解】 分两种情况：(1)把x ＝－3，y ＝－1；x ＝1，y ＝8代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝－1，k ＋b ＝8，解得⎩⎨⎧k ＝94，b ＝234.(2)把x ＝－3，y ＝8；x ＝1，y ＝－1代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝8，k ＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧k ＝－94，b ＝54.∴b ＝234或54.13．爸爸准备为小强买一双新的运动鞋，但要小强自己计算穿几码的鞋．小强回家量了一下爸爸41码的鞋子长25.5 cm ，妈妈36码的鞋子长23 cm.小强穿21.5 cm 长的鞋子，是多少码？【解】 设x (cm)长的鞋子的码数为y 码，由题意，设y ＝kx ＋b (k ≠0)．把x ＝25.5，y ＝41；x ＝23，y ＝36代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧25.5k ＋b ＝41，23k ＋b ＝36， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－10.∴y ＝2x －10.当x ＝21.5时，y ＝2×21.5－10＝33. 答：他穿的鞋子是33码．14．某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道上建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村B 送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系(如图，河道宽度忽略不计)．两村的坐标分别为A (2，3)，B (12，7)．(1)若从节约经费方面考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？ (2)水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？(第14题)【解】 (1)作点B 关于x 轴的对称点E ，连结AE ，则点E(12，－7)．设直线AE 的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，12k ＋b ＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝5.∴y ＝－x ＋5.当y ＝0时，x ＝5.∴水泵站建在距离大桥5 km 的地方，可使所用输水管道最短．(2)作线段AB 的垂直平分线GF ，交AB 于点F ，交x 轴于点G .过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C .设点G 的坐标为(x ，0)．在Rt △AGD 中，AG 2＝AD 2＋DG 2＝32＋(x －2)2， 在Rt △BCG 中，BG 2＝BC 2＋GC 2＝72＋(12－x )2. ∵AG ＝BG ，∴32＋(x －2)2＝72＋(12－x )2， 解得x ＝9.∴水泵站建在距离大桥9 km 的地方，可使它到张村、李村的距离相等．15．某中学九年级300名同学毕业前夕给灾区90名同学捐赠了一批学习用品(书包和文具盒)．由于零花钱有限，每6人合买一个书包，每2人合买一个文具盒(每个同学都只参加一件学习用品的购买)，书包和文具盒的单价分别是54元和12元．(1)若有x 名同学参与购买书包，试求出购买学习用品的总件数y 与x 之间的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)若捐赠学习用品总金额超过2300元，且灾区90名同学每人至少能得到一件学习用品，请问：同学们该如何安排购买书包和文具盒的人数？此时选择其中哪种方案，能使购买的学习用品的总件数最多？【解】 (1)有x 名同学参与购买书包，则有(300－x )名同学参与购买文具盒，所以可购买书包x 6个，购买文具盒300－x2个．∴购买学习用品的总件数y 与x 之间的函数表达式为y ＝x 6＋300－x 2，即y ＝－13x ＋150.(2)设有x 名同学参与购买书包，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 6×54＋300－x 2×12>2300，－13x ＋150≥90， 解得16623<x ≤180.又∵6人合买一个书包，故购买书包的人数应为6的倍数，∴安排购买书包的人数应为168或174或180，相应购买文具盒的人数为132或126或120. 当x ＝168时，y ＝－13x ＋150＝94；当x ＝174时，y ＝－13x ＋150＝92；当x ＝180时，y ＝－13x＋150＝90，∴当x ＝168时，总件数最多．∴安排168人购买书包，132人购买文具盒能使购买的学习用品的总件数最多．。