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数理统计知识小结------缪晓丹 20114041056第五章 统计量及其分布§5.1总体与样本一、 总体与样本在一个统计问题中，把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体。
对于实际问题，总体中的个体是一些实在的人或物。
这样，抛开实际背景，总体就是一堆数，这堆数中有大有小，有的出现机会多，有的出现机会小，因此用一个概率分布去描述和归纳总体是合适的，从这个意义上说：总体就是一个分布，而其数量指标就是服从这个分布的随机变量。
例5.1.1考察某厂的产品质量，将其产品分为合格品和不合格品，并以0记合格品，以1记不格品，若以p 表示不合格品率，则各总体可用一个二点分布表示：不同的p 反映了总体间的差异。
在有些问题中，我们对每一研究对象可能要观测两个或更多个指标，此时可用多维随机向量及其联合分布来描述总体。
这种总体称为多维总体。
若总体中的个体数是有限的，此总体称为有限总体；否则称为无限总体。
实际中总体中的个体数大多是有限的，当个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种合理抽象。
二、样本与简单随机样本 1、样本为了了解总体的分布，从总体中随机地抽取n 个个体，记其指标值为 n x x x ,,,21 , 则n x x x ,,,21 称为总体的一个样本，n 称为样本容量或简称为样本量，样本中的个体称为样品。
当30 n 时，称n x x x ,,,21 为大样本，否则为小样本。
首先指出，样本具有所谓的二重性：一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此样本是随机变量，用大写字母 n X X X ,,,21 表示；另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，因此样本又是一组数值，此时用小写字母n x x x ,,,21 表示。
简单起见，无论是样本还是其观测值，本书中均用n x x x ,,,21 表示，从上下文我们能加以区别。
每个样本观测值都能测到一个具体的数值，则称该样本为完全样本，若样本观测值没有具体的数值，只有一个范围，则称这样的样本为分组样本。
第五章习题5.1．假设X 和Y 为随机变量，且满足E [X ]=-2, E [Y ]=2, Var[X ]=1, Var[Y ]=9, X 与Y 的相关系数,X Y r =-0.50.5．试由切比雪夫不等式确定满足不等式．试由切比雪夫不等式确定满足不等式{6}P X Y +³c £的最小正数c 之值之值. .解：因为{][][]220[][][]2cov(,)[][]2(,)[][]E X Y E X E Y Var X Y Var X Var Y X Y Var X Var Y r X Y Var X Var Y +=+=-+=+=++=++192(0.5)197=++´-´´=.2[](()[]6)6Var X Y P X Y E X Y ++-+³£由切比雪夫不等式：,有277(6)=636P X Y +³£.得736c =.5.2．设12,X X 为随机变量且0,[]1(1,2)i i EX Var X i ===. . 证明：证明：对任意的0,l >有22121{2}P X X l l+³£．证明：不妨设12(,)X X 为二维连续型随机变量，其密度函数为12,X X f . 由于12222212,[]()(,)X X E X X x y fx y dxdy +¥+¥-¥-¥+=+òò，12122222222212,,22(2)(,)(,)2X X X X x y x y x y P X X f x y dxdy f x y dxdylll l+³+³++³=£òòòò1222,22221212221122(,)2111[][][]22211([]([]))([]([]))22X X x y f x y dxdy E X X E X E X Var X E X Var X E X lll ll l+¥+¥-¥-¥+£=+=+=+++òò111(10)(10)22lll=+++=.5.3．在一枚均匀正四面体的四个面上分别画上1，2，3，4个点个点. . . 现将该四面体重复投现将该四面体重复投掷，(1,2,)i X i =为第i 次投掷向下一面的点数，试求当n ¥®时，211ni i X n =å依概率收敛的极限．的极限．解: 已知已知 (1,2,3,)i X i =的分布列为的分布列为12341/41/41/41/4i X P4422211115[]() , 1,2,3,.42i i k k E X k P X k k i ===×==×==åå可见，222123,,,X X X 是独立同分布的随机变量序列，且有相同的数学期望152，满足辛钦大数定律，因此对任意0e >，有，有 21115lim 02n i n i P X n e ®+¥=æö-³=ç÷èøå,即211ni i X n =å依概率收敛的极限为152.5.4．设{n X }是独立的随机变量序列，且假设{ln }{ln }0.5, 1,2,n n P X n P X n n ===-==，问{n X }是否服从大数定律？是否服从大数定律？解: []ln 0.5(ln )0.50,i E X i i =´+-´=22222[][]([]) (ln )0.5(ln )0.50ln , 1,2,3,.i i i Var X E X E X i i i i =-=´+-´-==则1111[][]0, n n i i i i E X E X n n ====åå 22111111[][]ln , 1,2,3,.n n n i i i i i Var X Var X i n n n n ======ååå利用切比雪夫不等式：对任意0e >，由，由12111[]11([])ni n n i i i i i Var X n P X E X n n e e===-³£ååå, 得2211222111ln ln 1ln (0)nnni i ii i nn nnP X n n e eee===-³££=ååå，从而有从而有211ln 0lim (0)lim 0nin n i n P X n n e e ®+¥®+¥=£-³£=å,得 11lim (0)0n i n i P X n e ®+¥=-³=å.即随机变量序列{}n X 服从大数定律服从大数定律. .5.5．设{n X }是独立同分布的随机变量序列，且假设[]2, []6n n E X Var X ==，证明：22212345632313,Pn n n X X X X X X X X X a n n --++++++¾¾®®¥，并确定常数a 之值．之值．解:232313 1,2,3,k k k k Y X X X k --=+=令.由于{}k X 是独立同分布的随机变量序列，所以{}k Y 也是独立同分布的随机变量序列也是独立同分布的随机变量序列,,且223231332313[][][][] k k k k k k k E Y E X X X E X E X X ----=+=+232323132 ([]([]))[][] (62)2214, 1,2,.k k k k Var XE XE X E X k ---=++=++´==可见，序列{}k Y 满足辛钦大数定律的条件满足辛钦大数定律的条件. . . 根据辛钦大数定律，得根据辛钦大数定律，得根据辛钦大数定律，得1214, PnY Y Y n n+++¾¾®®+¥ 即2221234563231314, Pn n nX X X X X X X X X n n--++++++¾¾®®+¥ 所以，a =14.5.6．设随机变量X ~B(100,0.8)B(100,0.8)，试用棣莫弗—拉普拉斯定理求，试用棣莫弗—拉普拉斯定理求{80100}P X £<的近似值．似值．解:由~(100,0.8)X B 知[]1000.880, []1000.80.216E X Var X =´==´´=. 根据棣莫弗根据棣莫弗--拉普拉斯定理作近似计算，有拉普拉斯定理作近似计算，有99[]80[](80100)(8099)[][]E X E X P X P X Var X Var X æöæö--£<=££»F -F ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø()()99808080 4.75010.5=0.51616--æöæö=F -F =F -F =-ç÷ç÷èøèø.5.7．一仪器同时收到50个信号k X ，k =1,2,=1,2,………………,50. ,50. ,50. 设设150,,X X 相互独立，且都服从区间服从区间[0[0[0，，9]9]上的均匀分布，试求上的均匀分布，试求501(250)k k P X =>å的近似值．的近似值．解：由~(0,9) , (0,9) , 1,1,2,,50k X U k =，有，有[]92kE X =，[]()212790124kVar X =-=.根据林德伯格根据林德伯格--莱维定理作近似计算，有莱维定理作近似计算，有5050112501250k k k k P X P X ==æöæö>=-£ç÷ç÷èøèøåå250509/215027/4-´æö»-Fç÷´èø()1 1.3610.9130.087=-F =-=.5.8．一个复杂的系统由n 个相互独立起作用的部件所组成，每个部件损坏的概率为0.100.10，，为了使整个系统正常运行，至少需要80%80%或或80%80%以上的部件正常工作，问以上的部件正常工作，问n 至少为多大才能使整个系统正常工作的概率不小于95%95%．．解: : 将将n 个部件编号：个部件编号：1,2,...,n, 1,2,...,n, 1,2,...,n, 记记1, 1,2,,.0,i i X i n ì==íî若第个部件正常工作个部件正常工作,,否则否则,,则 ~(1,0.9)i X B ，且12,,,n X X X 相互独立相互独立. .依题意，要求有依题意，要求有110.80.95nii P X n =æö³³ç÷èøå即要求满足即要求满足 10.80.95n i i P X n =æö³³ç÷èøå.根据棣莫弗根据棣莫弗--拉普拉斯定理作近似计算，有拉普拉斯定理作近似计算，有10.80.90.811330.90.1ni i n n n n P X n n =æöæö-´-æöæö³»-F =-F =F ÷ç÷ç÷ç÷ç´´èøèøèøèøå. 由(1.65)0.95F =，应有 1.653n ³，即()23 1.6524.5025n ³´=，取25n =.。
吴赣昌-第五版-经管类概率论与数理统计课后习题-完整版随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.3 古典概型现习题3现习题4现习题5现习题6现习题7现习题8现习题9现习题101.4 条件概率习题3 空现习题41.5 事件的独立性现习题6现习题7现习题8总习题1习题3. 证明下列等式：习题4.现习题5习题6.习题7习题8习题9习题10习题11现习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22现习题23现习题24第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},求λ.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.习题3一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.习题4 (空)习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布.习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.习题10 纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005,在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.习题11设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.2.3 随机变量的分布函数习题1.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.习题4习题5习题6在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1习题2习题3习题4习题5设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.习题6习题7 (空) 习题8习题9习题10习题112.5 随机变量函数的分布习题1习题2习题3习题4习题5习题6总习题二1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、。
