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电动力学第8讲23稳恒磁场的矢势

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电动力学复习总结第三章 稳恒磁场答案

电动力学复习总结第三章 稳恒磁场答案

第三章稳恒磁场一、 填空题1、 已知半径为a 圆柱形空间的磁矢势2201(),4z A J a r e r a μ=-<(柱坐标),该区域的磁感应强度为（ ）.答案：0022JB J r re θμμππ=⨯=2、 稳恒磁场的能量可用矢势表示为（ ）.答案： 12VA Jdv ⋅⎰3、 分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（ ）.在经典物理中矢势的环流LA dl⋅⎰表示（ ）.答案：0lH dl ⋅=⎰或求解区是无电流的单连通区域4、 无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ',空间矢势A 的解析表达式（ ）.答案：()4vJ x dv r μπ''⎰5、 磁偶极子的矢势(1)A 等于（ ）；标势(1)m ϕ等于（ ）.答案：033,44m R m RA R Rμϕππ⨯⋅==6、 在量子物理中, 矢势A 具有更加明确的地位,其中exp()ce iA dl h⋅⎰是能够完全恰当地描述磁场物理量的（ ）. 答案：相因子,7、 磁偶极子在外磁场中受的力为（ ）,受的力矩（ ）.答案：e m B ⋅∇,e m B ⨯8、 电流体系()J x '的磁矩等于（ ）.答案：1()2vm x J x dv '''=⨯⎰9、 无界空间充满磁导率为μ均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ',空间矢势A 的解析表达式（ ）.答案：()4vJ x dv r μπ''⎰ 二、 选择题1、 线性介质中磁场的能量密度为A.H B ⋅21B. J A⋅21 C. H B ⋅ D. J A ⋅ 答案：A2、 稳恒磁场的泊松方程J A μ-=∇2成立的条件是A ．介质分区均匀 B.任意介质C.各向同性线性介质D.介质分区均匀且0=⋅∇A答案：D3、 引入磁场的矢势的依据是A.0=⨯∇H ;B.0=⋅∇H; C.0=⨯∇B ; D. 0=⋅∇B 答案：D 4、 电流J 处于电流eJ 产生的外磁场中, 外磁场的矢势为eA ,则它们的相互作用能为A. e VA Jdv ⋅⎰ B.12e VA Jdv ⋅⎰ C. e e V A J dv ⋅⎰ D. VA Jdv ⋅⎰ 答案：A5、 对于一个稳恒磁场B ，矢势A 有多种选择性是因为A.A 的旋度的散度始终为零;B.在定义A 时只确定了其旋度而没有定义A 散度;C. A 的散度始终为零; 答案： B6、 磁偶极子的矢势A 和标势ϕm分别等于A. 330,44ϕπμπ⨯⋅==m R m RA R R B. 033,44μϕππ⋅⨯==m R m R A R R C. 033,44m R m R A R R μϕππ⨯⋅== D. 330,44ϕππμ⨯⋅==m R m RA R R答案：C7、 用磁标势解决静磁场问题的前提是A.该区域没有自由电流分布B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域C. 该区域每一点满足0=⨯∇BD. 该区域每一点满足0B J μ∇⨯=. 答案：B三、 问答题1、 在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点？答：稳恒电流请况下， 因稳恒电流是闭合的，则有0=⋅∇→J ，由电荷守恒定律：0=∂∂+⋅∇→t J ρ，知：0=∂∂tρ，即：)(→=r ρρ。

大学物理稳恒磁场课件

大学物理稳恒磁场课件

流,也可引起空间电 荷从S面流入和流出时，则S面内
荷分布的变化
的电荷相应发生变化。
由电荷守恒定律,单位时间内由S 流出的净电量应等 于S 内电量的减少
电流连续性方程 恒定（稳恒）电流条件
SdS
dq内 dt
d q内 0 dt
SdS0
大学物理
5.欧姆定律的微分形式
dU—小柱体两端的电压 dI —小柱体中的电流强度
dq dt
方向:正电荷运动的方向 单位：安培(A)
大学物理
几种典型的电流分布
粗细均匀的 金属导体
粗细不均匀的 金属导线
半球形接地电极 附近的电流
电阻法勘探矿藏 时的电流
同轴电缆中的 漏电流
大学物理
电流强度对电流的描述比较粗糙: 如对横截面不等的导体,I 不能反映不同截面处 及同一截面不同位置处电流流动的情况。
静电场的电力线发自正电荷止于负电荷,
有头有尾，不闭合。
磁场的高斯定理 SBdS0
在恒定电流的磁场中,磁感应强
度 B 矢量沿任一闭合路径 L的线积
分（即环路积分）,等于什么?
Bdl ?
L
大学物理
1. 长直电流的磁场
1.1 环路包围电流
B
在垂直于导线的平面内任作的环 路上取一点P,到电流的距离为r，
B0nI
若在长螺线管的端口处
B 0nI
2
本次课作业:
大学物理
1. 预习§14.5, §14.6 2. 思考题14.5-14.7 3. 习题14.5,14.7,14.8,14.9,14.10,14.11 作业提交日期: 10月12日
§3 安培环路定理
大学物理
静电场:
高斯定理： sD dSq

电动力学课件3-1

电动力学课件3-1

= lim
µI
ln
1+
1+ R2 M 2
−1+ ⋅
1+ R02
M
2
M →∞ 4π 1+ 1+ R02 M 2 −1+ 1+ R2 M 2
若取R0点的矢势为零，计算可得
A = µI ln R02 = − µI ln R 4π R2 2π R0
取A的旋度得磁感应强度
B
=
∇×
A
=
−∇× ( µI 2π
如图3-1，由斯托克斯定理有：
∫L A ⋅ dl =∫S ∇ × A ⋅ dS =∫S B ⋅ dS =ϕm,
∫ A ⋅ dl= L
( A2t − A1t )∆l
当回路短边的长度取高阶无穷小量时，回路所包面积
趋于零，则通量由φm → 0 ，可得到 ( A2t − A1t )∆l=0 即
A2t = A1t
我们不难看出有解：
Az = Ay = 0, Ax = −B0 y
同时还可以看出有另一解：
Az = Ax = 0, Ay = B0x
A的这种任意性是由于只有A的环量才有物理意义，而每
点上的A本身没有直接的物理意义。
A的这种任意性是由于B=∇×A只确定了A的旋度，而要完 全确定一个矢量场，还必须给出它的散度。
×
A)=
1
[∇(∇
⋅
A)
−
∇2
A]=
J (p 278, I.25)
µµ
µ
µ
∇2 A =−µJ
(∇ ⋅ A =0) ∇2 Ai = −µJi
i = 1, 2,3
（1）稳恒电流磁场矢势A与标势ϕ 满足同样形式的微分方程，

第1节磁矢势

第1节磁矢势

说明矢势 A 没有直接的物理意义，有意义 的是 A 沿闭合路径的线积分。 3 矢势 A 的不确定性： B A A 具有不确定性 即，由 A 可以确定唯一的 B ，但一点上的 B 可以对应任意多个 A ，这些 A 之间可以相
差一个任意标量函数的梯度。 证明（ A 的不确定性）
电
E 0 E
方程

2
B 0 B A 2 A j
A 4
磁
A 0
j ( R' ) dV ' r
条件
无界解

1 4

V
( R' ) dV ' r
A
用 e r 叉积此式：
1 1 (sin A )er ( A r )e r sin r
Q0 1 1 ( rA2 ) ( rA1 ) sin r r 4R0 r r R0
1 A j 2


1 BH 2
1 ( j Ae je A)dV 2 V j dV ' A 4 V r je dV ' Ae 4 V r W互 j Ae dV
V
五、静电场与稳恒电流磁场的比较：
3 由 A可以导出毕—萨定律：
B A
4
n ( A2 A1 ) 0
可简化为 A2 A1

V
j ( R' ) dV ' r
1 ( ) j ( R' )dV ' V 4 r 4 r j ( R' ) dV ' 3 V 4 r j ( R' ) r dV ' 3 V 4 r

大学物理教程课件讲义 稳恒电流的磁场

大学物理教程课件讲义 稳恒电流的磁场

8.2 磁场 磁感应强度
图8.6 两平行载流导线间的相互作用 图8.7 通电线圈的磁极
8.2 磁场 磁感应强度
1822年，安培提出了关于磁现象起源的假设。他认为， 一切磁现象都来源于电流。物体内部任何一个分子都相当于一 个小的回路电流，称为分子电流。每一个分子电流都和一个小
N、S两极对应于分子电流的两侧，如图 8.8（a)所示。如图8.8（b)所示。如图8.8（c) 所示。
先定义载流线圈的磁矩。 若一个线度小试验线圈的面积 为ΔS，线圈中的电流为I，则 试验线圈的磁矩Pm=IΔSen，en 为线圈法线方向的单位矢量， Pm与电流方向满足右手螺旋关 系，如图8.9所示。
图8.9 载流线圈的磁矩
8.2 磁场 磁感应强度
8.3
8.3.1 电流元
在静电场中为了求任意带电 体周围某点的电场强度E，曾将带 电体先分成无限多个电荷元dq，计 算出每个电荷元在该点的电场强度 dE，再根据场的叠加原理将所有电 荷元在该点的dE叠加，即得到带电 体在该点的电场强度E.图8.10是电 流强度为I的线电流。
8.1 稳恒电流 电动势
8.1.2 电源电动势
如前所述，产生稳恒电流的条件是导体两端维持恒定不 变的电势差。然而，在静电力的作用下，正电荷将从电势高 的一端经导体流向电势低的一端，而负电荷将从电势低的一 端经导体流向电势高的一端.这一过程将会使导体两端的正、 负电荷逐渐中和，两端的电荷分布随时间逐渐减少，电势差 逐渐减小，最后均趋于零，这就破坏了稳恒电流的条件。如 图8.2（a）所示。如图8.2（b）所示。
8.5 磁场对运动电荷及载流导线的作用
利用这一特点，可以实现磁聚焦,如图8.30所示。在非 匀强磁场中，磁场越强回旋半径越小，这意味着带电粒子被 约束在一个很小的范围内做螺旋运动。当带电粒子向磁场较 强的方向做螺旋运动时，在各点所受到的磁力总可以分解出 一个与前进方向相反的分量，如图8.31所示。

电动力学第8讲23稳恒磁场的矢势

电动力学第8讲23稳恒磁场的矢势

J(x
')
1 R
x '
1 R
1 x 'x ' : 2!
1 R
... dV
'
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11
矢势的多级展开
❖ 展开式的第一项为
A(0) (x) 0 J(x ')dV ' 0
4 R
❖ 表示不存在磁单极子！
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12
矢势的多级展开
❖ 展开式的第二项为
A(1)
静电场 E 0
E ( f p ) /0
静磁场 H 0
H m / 0
静电场
m 0 M
D
0
E
P
E
静磁场
p P
B
0 H
0
M
H m
2 ( f p ) /0 2m m / 0
磁标势的边值关系
n n
(H2 H1) (B2 B1)
0
α
f H2t H1t
n (H2 H1) α n (B2 B1) 0
n
(
A2
A1 )
0
n
(
1
2
A2
1
1
A1
)
α
❖ 磁场边值关系可以化为矢势A的边值关系。对于非
铁磁介质，矢势的边值关系为
A2 A1
n
(
1
2
A2
1
1
A1 )
α
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9
矢势的多级展开
❖ 给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为
A(x)
H
m
/
0
分方程
H 0

稳恒磁场ppt课件


1T = 1N s/(C m), 1Gs 104 T
由上可得：
F
qv B
z
F
o
qB
y
洛仑兹力公式 x
P
v
15
说明
1. 一般， B B( x, y, z,t)
若场中各点的 B都相同，称匀强磁场。
若各点的 B都不随着时间变化，称稳恒磁场。
2. 磁场叠加原理
B B B B B
比例系数k与单位制有关.
真空中，SI 制:
dB 0 4
Idl sin
r2
0 4 107 T m/A 真空磁导率
毕—萨定律:
dB
0 4
Idl er
r2
0 4
Idl r
r3
B线
r Idl
有限长线电流(或面电流,体电流)
产生的磁场：
B
dB
0 4
Idl
r3
r
18
二、毕奥—萨伐尔定律的应用 1. 直电流的磁场
状大小无关）。
B dl L
0 Ii
i( L内 ）
41
无限长直载流导线验证安培环路定理：
（1）电流穿过环路
B 0I 2 r
dl cos rd
LB dl L B cos dl
I
L
d
r
B
dl
B dl
L
0I rd 0I
L 2 r
2
2
0 d 0I
42
（2）多根载流导线穿过环路
*磁力线的疏密反映磁场的大小
12
Demo
• 磁感应线的性质 与电流套连 闭合曲线(磁单极子不存在) 互不相交 方向与电流成右手螺旋关系

稳恒电流磁场矢势满足矢量


0 I M J M dS M dl I S L 0
例３.半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流 截面上，试解矢势 导体外的磁导率为 解： 在r<a区域：
A 的微分方程，设导体磁导率为 u0
A1 J
2
J
均匀分布于
S2
dS1
B
(dS2 dS1 dS )
B dS B dS
S1 S2
L
dS 2
（c）物理意义
L
A dl B dS
S
A
沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为边界的任一 曲面的磁通量，而每点A无直接物理意义。
满足的方程？
二．矢势满足的方程及方程的解
1． A满足的方程
B H
H J
1 1 B 1 2 B ( A) [( A) A] J
A 0
2 A J



I z 2 R2 4
dz


dz
2 z 2 R0

I R Az ( R) Az ( R0 ) ln 2 R0
Az ( R0 ) 0
I R Az ( R) ( ln ) 2 R0
I R A ( ln )ez 2 R0
I R I R I B A ln ez ln ez e 2 R0 2 R0 2 R
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质 中总能量为
1．在稳恒场中有
1 W B HdV 2
1 W A JdV 2

电动力学课件：3-1-矢势


基本方程
H
J
B
0
边值关系
n
(
H2
H1)
n • (B2 B1) 0
本节仅讨论 B H 情况，即非铁磁的均匀介质。这
种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。
2．矢势的引入及意义
静电场 E 0
稳恒电流磁场 H J
B 0
A
物理意义：
（a）B 与 A 的关系
S B dS S ( A) dS LA dl
A=0
A1n A2n
n
2
1
A2t A1t
A1 A2
5．矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给V 定内V稳内恒传电导流电磁流场J由和V边2 A界S上的J
At 或 Bt
和边界
条件唯一确定。
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质
中总能量为
1．在稳恒场中有
W
W
1
2
1
B HdV
A JdV
2
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
B A 2 ln R0 ez
I 2
ln
R R0
ez
I 2
ln
R R0
ez
I 2
ln
R R0
0 ez
I
2 (ln R ln R0 ) ez
I 2
1 R
eR
ez
I 2R
ez
eR
I 2R
e
结果与电磁学求解一致。
[例2]半径为a的导线圆环载电流为I，求空间的矢势和 磁感应强度。
2 Ai Ji i 1, 2, 3
（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程
（2）与静电场中 2 （3）矢势为无源有旋场

第8章稳恒磁场概要


一、电流、电流密度
带电粒子的定向运动形成电流。 方向规定:正电荷运动方向
1.电流强度:
I dq dt
2.电流密度:
描述导体内各点的电流分布情况
电阻法探矿
•
•
2021/3/15 3
定义: 电流密度
j
dI
n
dS
方向： j // E
I
E
I
dS
单位: A·m－2
若dS的法线n与j成角 ,则
通过dS的电流
受力方向
Idl
dF
力大小 df BIdl sin
积分
0
2021/3/15
f
BIdl
L
sin
BI
sin
dl
L
f BLI sin
B
f 0
I
B
37
2 3
2
fmax BLI
B
I
2021/3/15 38
二、无限长两平行载流直导线间的相互作用力
C、D两导线的距离为a。电流方向相同
特首先发现电流的磁效应
2021/3/15 9
I
S N
磁现象与运动电荷之间有着密切的联系。 1822年安培提出了 用分子电流来解释磁性起源
In
N
电荷的运动是一切磁现象的根源。
2021/3/15
S
10
３. 磁力 磁力是发生于运动电荷间的相互作用力,它决定
于运动电荷的速度
2021/3/15 11
二、磁感应强度
S
• 定量地描述磁场强弱,B大小定义为: B d m dS
2021/3/15
B
14
I I
直线电流磁力线 圆电流磁力线
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矢势的多级展开
• 展开式的第一项为
0 A ( x) J ( x ') dV ' 0 4 R
(0)
• 表示不存在磁单极子！
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13
矢势的多级展开
• 展开式的第二项为
0 m R 0 1 A m 3 4 R 4 R
H d l 0 ,
L
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因而在这个区域内可以引入标势。
18
例如一个圈，如果我们挖去线圈所围着的一个壳形 区域之后，则剩下的空间V中任一闭合回路都不链 环着电流（如图）。因此，在除去这个壳形区域之 后，在空间中就可以引入磁标势来描述磁场.
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《电动力学》第17讲
第三章 静磁场(2) §3.2 静磁场的磁标势
教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年11月10日 山东大学物理学院 宗福建
1
Maxwell方程组
B E t E B 0 J 0 0 t E 0 B0
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矢势微分方程
• 由矢量分析公式（附录Ⅰ.25式），
( A) ( A) A
2
• 若取A满足规范条件 ▽·A = 0 ，得矢势A的微
分方程 ,又称矢势A的泊松方程。
A 0 J ( A 0)
2
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矢势微分方程
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标势 的Poisson方程
E 0 E / 0 E
0
2
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静电场的标势
• 若电荷连续分布，电
荷密度为ρ ，设r为
由源点x' 到场点x的
距离，则场点x处的
电势为
( x)
4。
1
( x)
(1)
1 m x ' J ( x ')dV ' 2
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本讲主要内容
• 静磁场的磁标势 • 超导体的电磁性质
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15
1、标势的引入
在一般情况下磁场不能用标势描述，而需 要矢势描述。矢势描述虽然是普遍的，但 解矢势A的边值问题比较复杂，因此，我们 考虑在某些条件下是否仍然存在着引入标 势的可能性。
• 对比静电势的解，可得矢势A的泊松方程式
• 特解
• 式中x‘是源点，x是场点，r为由x’ 到x的距离。
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2 A 0 J ( A 0) 0 J ( x ') A( x) dV ' 4 r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
矢势的边值关系
• 在两介质分解面上磁场的边值关系为
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16
由磁场环路定律得

L
H dl J dS ,
S
L为S的边界。如果回路 L环着电流，即有电流 穿过L所围曲面S，则
H d l 0 ,
L
17
在这种情况下H和力学中的非保守 力场相似，因而不能引入标势。
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在解决实际问题时，若不考虑整个空 间中的磁场，而只求某个区域的磁场。 如果所有回路都没有链环着电流，则
n ( H 2 H 1 ) α n (B 2 B1 ) 0
n ( A 2 A1 ) 0 1 1 n ( A A1 ) α 2 2 1
• 磁场边值关系可以化为矢势A的边值关系。对于非 铁磁介质，矢势的边值关系为
19
从物理上看上述作法相当于把磁场由横场变为纵场。 由于去掉的部分切断了原来闭合的磁力线，使磁力 线从从半无限大平面一侧发出，终止在另一侧上， 就好象一面分布有正磁荷，而另一面上有负磁荷， 这样磁力线就成为由正磁荷发出，终止在负磁荷上 的纵场。因此可以用标势描写。
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20
又例如电磁铁，我们想求出 两磁极间隙处的磁场，在这 个区域内也可以引入磁标势。 至于永磁体，它的磁场都是由分子 电流激发的，没有任何自由电流， 因此永磁体的磁场甚至在全空间 （包括磁铁内部）都可以用磁标势 来描述。
矢势的多级展开
• 如果电流分布于小区域V内，而场点x又距离
该区域比较远，我们可以把A(x)作多级展开。
取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式
得
1 1 1 1 1 x ' x ' x ' : ... r R R 2! R 1 1 1 1 A( x) 0 J (x ') x ' x ' x ' : ... dV ' 4 R 2! R R
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Maxwell方程组
B E d l dS t l s E B d l 0 I 0 0 dS l t s Q Q dV E d S 0 s B dS 0 I J dS s
A 2 A1 1 1 n ( A 2 A1 ) α 2 1
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矢势的多级展开
• 给定电流分布在空间中激发的磁场矢势
为
0 A( x) 4
J ( x ') dV ' r
11
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r
dV
5
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静磁场的矢势
• 根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）, 若
B 0
• 则 B 可表为另一矢量的旋度
B A
• A 称为磁场的矢势。
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6
矢势微分方程
• 把 B = ▽× A 代入
B 0 J
• 得矢势A的微分方程
( A) 0 J
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总结起来，在某区域内能够引入磁标势
的条件是该区域内的任何回路都不被电
流所链环，就是说该区域是没有自由电
流分布的单连通区域。
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