稳恒磁场

第八章 稳恒磁场 磁介质教学基本要求1.理解磁感应强度的概念，掌握用毕--萨定律计算磁感应强度的方法．2.掌握安培环路定理以及用来求解具有对称性磁场的方法．3.能够用安培定律计算载流导线和回路所受的磁力和磁力矩．4.掌握洛伦兹力公式，并由此计算带电粒子在均匀电场和均匀磁场中的受力和运动的简单情况．5.了解顺磁质、抗磁质和铁磁质的特点及磁化机理．6.掌握磁介质时的安培环路定理，并利用其求解磁介质时具有一定对称性的磁场分布．教学内容提要1.基本概念（1）磁感应强度Bmax F B qv ⊥= 其方向为小磁针N 极在此处所指方向． （2）载流线圈的磁矩m IS =P n 其中n 为载流线圈正法线方向的单位矢量．（3）磁通量d d Φ=Φ=⎰⎰B S2.磁场的产生(1)运动电荷的磁场 034q rμπ⨯=⋅v r B (2)毕奥——萨伐尔定律 0Id d μπ⨯=l r B (3)磁感应强度叠加原理 034L L Id d r μπ⨯==⎰⎰l r B B3.稳恒磁场的基本性质（1）高斯定理0⋅=⎰s B dS （2）安培环路定理0i l d I μ⋅=∑⎰B l4.几种典型磁场 （1）无限长载流直导线的磁场 02I B r=μπ （2）圆电流中心的磁场 02I B R μ= （3）长直载流螺线管内的磁场 0B nI μ=（4）载流密绕螺绕环内的磁场 0N B I L μ= （5）圆电流轴线上的磁场 2022322()IR B R r μ=+5.磁场力（1）洛伦兹力 q ⨯f =υB（2） 安培力公式 d Id ⨯F =l B L d Id ==⨯⎰⎰F F l B（3）载流平面线圈在均匀磁场中受到的合磁力 0=F 合受到的磁力矩 =⨯m M P B6.磁介质的分类（1）顺磁质. r μ略微大于1的磁介质，磁介质磁化后产生的附加磁场与外磁场方向相同．（2）抗磁质．r μ略微小于1的磁介质，磁介质磁化后产生的附加磁场与外磁场方向相反．（3）铁介质．1r μ>>的磁介质，磁介质磁化后能产生很强的与外磁场同方向的附加磁场．7.有磁介质时高斯定理和安培环路定理（1）高斯定理s d ⋅⎰B S =0（2）安培环路定理i l d ∑⎰H l =I8.,,B H M 三者的关系（1）m χ=M H（2）0μ=-BH M(3)0r μμμ=B H =H重点和难点分析1. 毕奥—萨伐尔定律在真空中载流导线上的电流元Id l 在相对该电流元位矢为r 的某点P 的磁感度d B 为034Id d r μπ⨯=l r B 毕奥—萨伐尔定律为我们提供了一个直接计算载流导线产生磁场地方法．其具体步骤如下：（1）选择适当的坐标系，在载流导线上选择一个电流元Id l ；（2）根据毕奥—萨伐尔定律求出该电流元在场点产生的磁感应强度d B ．（3）根据矢量叠加原理求整个导线的磁感应强度．一般是先分析d B 的方向，如果方向不同，先进行分解，再在各方向上叠加；如果方向相同，则课直接进行标量叠加．2.安培环路定理在真空中磁感强度沿任意闭合路径的环流等于穿过以该闭合路径为周界的任意曲面的各电流的代数和与真空磁导率μ0的乘积，而与未穿过该曲面的电流无关．其数学表达式为；0i l d I μ⋅=∑⎰B l（1）环L 内电流的正负：i I 与L 的绕行方向符合右螺旋法则，i I 为正．反之为负；（2）磁感应强度B 是由空间中所有电流共同产生的．i I 不穿过L ，结果为零，但决不能误认为沿回路L 上各点的磁感应强度B 仅由L 内所包围的那部分电流所产生．如L 中有两根电流，大小相等，方向相反，则环流为零，但不能说L 上各点的B 一定为零．（3）磁场环流不等于零说明磁场是有旋场（涡流场），是非保守力场．（4）安培环路定理是一个普遍定理，但要用它直接计算磁感强度，只限于电流分布具有某种对称性的情况．关键是要能够磁感应强度B 把提到积分号外面．3.安培力放在磁场B 中某点处的电流元Id l ，所受到的磁场作用力为d Id ⨯F =l B任何有限长的载流导线L 在磁场中所受的磁力F ，应等于导线L 上各个电流元所受磁力d F 的矢量和，即L d Id ==⨯⎰⎰F F l B如果导线上各个电流元所受的磁力d F 的方向都相同，则矢量积分可直接化为标量积分．例如，长为L 的一段载流直导线，放在均匀磁场B 中．根据矢积的右手螺旋法则，可以判断导线上各个电流元所受磁力dF 的方向都是垂直纸面向外的．所以整个载流直导线所受的磁力F 的大小为LF dF IB sin θdl ==⎰⎰ 其中θ 为电流I 的方向与磁场B 的方向之间的夹角．F 的方向与d F 的方向相同，即垂直于纸面向外．由式可以看出，当直导线与磁场平行时(即0θ=或π)，F =0，即载流导线不受磁力作用；当直导线与磁场垂直时（2πθ=)，载流导线所受磁力最大，其值为F BIL =；如果载流导线上各个电流元所受磁力d F 的方向各不相同，矢量积分不能直接计算．这时应选取适当的坐标系，先将dF 沿各坐标分解成分量，然后对各个分量进行标量积分：L x x F dF =⎰，y y L F dF =⎰ ，Lz z F dF =⎰，最后再求出合力． 4. 洛仑兹力一个电量为q ，质量为m 的粒子，以速度v 进入磁感应强度B 的均匀磁场中，粒子受洛仑兹力f 为q =⨯f υB其中，洛仑兹力f 的大小为f qvB sin θ=，洛仑兹力f 的方向垂直于υ和B 构成的平面，其指向按右手螺旋法则由矢积⨯υB 的方向以及q 的正负来确定．洛伦兹力是载流直导线上安培力的微观体现．由于洛伦兹力总是与运动电荷的速度方向垂直，所以洛伦兹力永远不对运动电荷做功，它只改变电荷运动的方向，不改变其速率．这是洛伦兹力的一个重要特性．当υB 与平行或反平行时，0f =，v 不变，粒子不受磁场影响，作直线运动；当υB 与垂直时，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供做向心力，其运动半径和周期分别为m R qB υ=，22R m T qBππυ==；当υB 与斜交成θ角时，可以将υ分解成与B 垂直的分量sin υυθ⊥=和与B 平行的分量//cos υυθ=．由上面的分析可知，在与B 垂直的方向上，受到磁力sin f q B q B υυθ⊥==，作匀速圆周运动；在与B 平行的方向上，没受磁场作用力，作匀速直线运动；合成得，等螺距的螺旋运动．5.顺磁质和抗磁质的磁化机理顺磁质和抗磁质的磁性都很弱，统称为弱磁质．在无外场作用下，分子中的电子作绕核轨道运动和自旋运动，这两种运动都要产生磁效应．相当于—个等效圆形电流所产生的磁场．这一等效圆形电流叫做分子电流．这种分子电流的磁矩m P 具有确定的量值，叫做分子磁矩（固有磁矩）．在顺磁质中，每个分子的分子磁矩m P 不为零，当没有外磁场时，由于分子的热运动，每个分子磁矩的取向是无序的．因此在一个宏观的体积元中，所有分子磁矩的矢量和0m =∑P ．磁介质不显磁性．当有外磁场时，各分子磁矩都要受到磁力矩的作用．在磁力矩m =⨯M P B 作用下，所有分子磁矩m P 将力图转到外磁场方向，从而在磁介质内部出现总体分子磁矩的有序排列（被磁化），这些有序排列的分子磁矩产生沿外磁场方向的附加磁场B'，使磁场B 增强．但由于分子热运动的影响，分子磁矩沿外磁场方向的排列只是略占优势．这就是顺磁质的磁化机理．在抗磁质中，组成分子的每个电子的磁矩不为零，但每个分子的所有分子磁矩正好相互抵消．也就是说抗磁质的分子磁矩为零，即0m =P ．所以当无外磁场时，磁介质不显现磁性．当抗磁质放人外磁场中时，，介质分子中的每个电子的运动相当于一闭合回路，磁场穿过每个闭合回路的磁通量增加，根据楞次定律，回路中将产生一感应电流，形成—个与外磁场方向相反的附加磁场，来反抗穿过该闭合回路的磁通量的增加．由于所有分子的产生附加磁场B'与外磁场方向相反，于是抗磁质内的磁感应强度被减弱，这就是抗磁质的磁化效应．实际上，在外磁场中顺磁质分子也要产生—个与外磁场方向相反的附加磁矩，但这个磁效应与由于分子磁矩沿外场方向排列的磁效应相比小得多，可以忽略不记．6.铁磁质（1）1r μ>>，其数量级为251010，属于强磁；（2）其磁化过程曲线是磁滞回线，,M H B H --间都是非线性变化，出现剩磁，饱和和磁滞现象；（3）当温度升高到某一温度时，铁磁性就完全消失，材料由铁磁转变为顺磁．这个温度叫做居里温度或居里点；（4）铁磁质的磁性起源于“磁畴”． 铁磁质中的电子自旋磁矩可以在小区域内自发地平行排列起来，形成一个小的自发磁化区，这种自发磁化的小区域叫做磁畴．没有外磁场作用时，各磁畴的自发磁化磁矩的取向是无规则的．因而宏观上不显示磁性．若在铁磁质中加上外磁场，当逐渐增大外磁场时，磁矩的方向与外磁场方向接近的那些磁畴的体积会逐渐增大，而那些磁矩方向与外磁场方向相反的磁畴体积则逐渐缩小，继而其它磁畴的磁矩方向也将在不同程度上转向外磁场方向．这样由于磁畴磁矩方向的有序程度提高了，因而宏观上呈现出磁性．最后当外磁场增大到一定程度时，所有磁畴的磁矩都沿外磁场方向整齐排列，这时铁磁质的磁化就达到了饱和．这种磁化状态建立后，由于存在原子间的相互作用，使这种状态不易被扰动，因此，既使外磁场撤销，介质也可以有剩磁．磁滞现象也可以用磁畴的边界很难按原形状恢复来说明．7. 对于各向同性的弱磁性物质有磁介质时的安培环路定理有磁介质时的安培环路定理可表示为i l d ∑⎰H l =I上式表明，在任何磁场中，磁场强度矢量H 沿任何闭合路径l 的线积分（即l d ⋅⎰H l ），等于此闭合路径l 所围绕的传导电流的代数和i∑I ． （1）此式说明，磁场强度H 的环流仅与穿过回路的传导电流有关，而与磁化电流无关．但决不能说明H 本身与磁化电流无关；（2）0μ=-BH M 普遍成立，适合于任何磁介质；0r μμμ=B H =H 仅适合于对于各向同性的弱磁性物质；（3）可根据i l d ∑⎰H l =I 先求出H ，求解思路和真空中的安培环路定理的应用一样．然后根据0r μμμ=B H =H 求出各向同性的弱磁性物质的磁感应强度．…例题分析例8-1 设直导线长为L ，通有电流I ，导线旁任意一点P 与导线距离为0r (如图所示)．现计算P 点的磁感应强度．例8-1图 载流直导线磁场的计算以P 点在导线上的垂足O 点为原点，距离O 点为l 处取一电流元Id l ，它在P 点产生的磁感应强度d B 的大小为024I d l s i nθdB rμπ= d B 的方向垂直纸面向里．可以看出，任意电流元Id l 在P 点产生的磁感应强度d B 的方向都相同．因此在求总磁感应强度B 的大小时，只需求dB 的代数和，即求上式的标量积分B dB =⎰.从图中可以看出： 0,sin r r θ= 0,l r c t g θ=- 02sin r d dl θθ= 将积分变量换成θ后得2100120sin (cos cos )44I I d B r θθμμθθθθππ==-⎰ 式中1θ和2θ分别是导线两端的电流元与它们到P 点的矢径的夹角．磁感应强度B 的方向垂直纸面向里．若导线无限长，10,θ=2,θπ=则有002I B r μπ= 上式表明，无限长载流直导线周围的磁感应强度B 的大小与场点到导线的距离成反比．例 8-2一无限长载流平板宽度为a ，沿长度方向通过均匀电流I ，求与平板共面且距平板一边为b 的任意点P 的磁感强度．例8-2图解：以p 点为原点，向左为x 轴正方向．任取一微小宽度dx 作为无限长直导线，则有00ln 22b a b a b b I dx I a b a B dB x a bμμππ+++===⎰⎰ 例 ×-３ 无限长圆柱形载流导线磁场的计算设导线的半径为R ，电流I 沿轴线方向均匀流过横截面，如图8-4-2．由于电流分布对圆柱轴线具有对称性，因而磁场分布对轴线也具有对称性，磁感应线应该是在垂直轴线平面内以轴线为中心的同心圆，方向绕电流的方向右旋，而且在同一圆周上磁感应强度B 的大小相等．例8-3图 无限长圆柱形载流导线磁场的计算过任意场点P ，在垂直轴线的平面内取一中心在轴线上半径为r 的圆周为积分的闭合路径，称为安培环路L ，积分方向与磁感应线的方向相同．由于L 上B 的量值处处相等，且B 的方向沿L 各点的切线方向，即与积分路径d l 的方向一致，所以沿L 的B 的环流为2L d rB π⋅=⎰B l若以'I 表示穿过环路L 的电流，则由安培环路定理得02'L d rB I πμ⋅==⎰B l或 0'2I B rμπ= 如果r R >(P 点在导线外)，全部电流穿过环路L ，'I I =，于是有02I B rμπ= (r R >) 上式表明，在圆柱形导线外部，磁场分布与全部电流沿轴线流过所激发的磁场相同，B 的大小与r 成反比．方向与电流方向构成右手螺旋关系．如果r R <(P 点在导线内部)，导线中的电流只有一部分穿过环路L ，导线穿过L 的电流22'22r r I I I R R ππ==，代入上式得022rIB R μπ=(r R <) 可见在圆柱形导线内部，磁感应强度与离开轴线的距离r 成正比，方向与I 构成右手螺旋关系．例 8-４ 如图所示，长直电流1I 附近有一等腰直角三角形线框，通以电流2I ，二者共面．求△ABC 的各边所受的磁力． 解： 2d AAB BI =⨯⎰F l BdaI I d I aI F AB πμπμ22210102== 方向垂直AB 向左 2d CAC AI =⨯⎰F l B 方向垂直AC 向下，大小为⎰++πμ=πμ=ad dAC dad I I r I rI F ln 22d 210102 同理 BC F 方向垂直BC 向上，大小⎰+πμ=ad dBc rI lI F 2d 102 ∵ ︒=45cos d d rl ⎰++πμ=︒πμ=ad aBC d ad I I r r I I F ln 245cos 2d 2101204、无限大载流平面的磁场分布设电流均匀地流过一无限大平面导体薄板，电流面密度为i (即通过与电流方向垂直的单位长度的电流)，如下图所示．求空间中一点的磁感应强度．将无限大载流薄板视为由无限多根平行排列的长直电流组成．对板外任意场点P ，相对对称地取一对宽度相等的长直电流idl 和idl'，它们在P 点产生的磁场分别为B d和B d ' ，如图(b)所示．由对称性可知，它们的合磁场//B d的方向平行于载流平面，因而无数对对称长直电流在P 点产生的总磁场也一定平行于载流平面．相同的分析可知，对平面另一侧的场点，其总磁场也与载流平面平行，但方向与P 点磁场方向相反．即载流平面两侧B 的方向相反．又由于载流平面无限大，故磁场分布对载流平面具有对称性，即在与平面等距离的各点处B的大小相等．根据磁场分布的面对称性，取一相对载流平面对称的矩形回路abcda (见图)为安培环路L ，bcdaabcdLd d d d d ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰B l B l B l B l B l由于在回路的ab 及cd 段上B 的大小处处相等，且B 的方向与积分路径的方向相同，在回路的bc 和da 段上B 的方向处处与积分路径垂直，即0cabd d d ⋅+⋅=⎰⎰B l B l ，所以沿回路B 的环流为02bdLacd d d Bab iab μ⋅=⋅+⋅==⎰⎰⎰B l B l B l故i B 021μ=无限大均匀载流平面两侧的磁场大小相等，方向相反，并且都是均匀磁场．例 8-５ 一电子在B =20×10-4T R =2.0cmh=5.0cm (1)(2)磁场B的方向如何?例 8-５图解: (1) cos m R eBυθ=2cos mh eBπυθ=67.5710υ==⨯1s m -⋅ 例 8-６ 一长直同轴电缆的截面，导体的内、外半径分别为1R 和2R ．已知电缆芯线导体的相对磁导率为1r μ，两导体之间的绝缘材料的相对磁导率为2r μ．若电流由内导体流入而从外导体流出，则求：（1）磁介质内、外的磁场强度的分布？ （2）磁介质内外的磁感应强度的分布？解：长直载流导线的磁力线是一组以o 为圆心的同心圆．因磁场分布具有轴对称性，所以课取以o 为圆心，r 为半径的圆形闭合回路L 为安培环，设L 的绕向为顺时针．（1）根据安培环路定理有i Ld I =∑⎰H l当1r R <时，则有21212r IH r R πππ= 即 1212rIH R π=其方向沿顺时针方向． 当12R r R <<时，则有22H r I π= 即 22I H rπ=其方向沿顺时针方向．当2R r <时，则有32H r I I π=- 即 30H =（2）根据0r B H μμ=可得 当1r R <时，011212r IrB R μμπ=，其方向沿顺时针方向 当12R r R <<时，0222r IB rμμπ=，其方向沿顺时针方向 当2R r <时，30B =自测题一、选择题1.下列结论中你认为正确的是 （ ） （A ）一个点电荷在它的周围空间中任一点产生的电场强度均不为零，一个电流元在它的周围空间中任一点产生的磁感应强度也均不为零；（B ）用安培环路定理可以求出有限长一段直线电流周围的磁场；（C ）B 的方向是运动电荷所受磁力最大的方向（或试探载流线圈所受力矩最大的方向）；（D ）上结论均不正确。