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数理统计学考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是描述数据集中趋势的统计量？A. 方差B. 标准差C. 平均数D. 极差答案：C2. 假设检验中，若原假设为H0：μ=μ0，备择假设为H1：μ≠μ0，则该检验属于：A. 单尾检验B. 双尾检验C. 左尾检验D. 右尾检验答案：B3. 以下哪个分布是描述二项分布的？A. 正态分布B. t分布C. F分布D. 泊松分布答案：A4. 以下哪个选项是描述数据离散程度的统计量？A. 众数B. 中位数C. 极差D. 均值答案：C5. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 偏度B. 方差C. 标准差D. 均值答案：A6. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 众数D. 标准差答案：C7. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 标准差D. 均值答案：C8. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 均值B. 方差C. 偏度D. 众数答案：C9. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 极差B. 标准差C. 均值D. 偏度答案：C10. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 均值B. 众数C. 方差D. 偏度答案：C二、多项选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪些统计量可以用来描述数据的集中趋势？A. 均值B. 中位数C. 众数D. 方差答案：ABC2. 以下哪些统计量可以用来描述数据的离散程度？A. 极差B. 方差C. 标准差D. 均值答案：ABC3. 以下哪些统计量可以用来描述数据的分布形态？A. 偏度B. 峰度C. 均值D. 方差答案：AB4. 以下哪些分布是描述连续型随机变量的？A. 正态分布B. 泊松分布C. 二项分布D. t分布答案：AD5. 以下哪些检验是用于检验总体均值的？A. t检验B. 方差分析C. 卡方检验D. F检验答案：A三、计算题（每题10分，共50分）1. 给定一组数据：2, 4, 6, 8, 10，求其平均数和标准差。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
数理统计自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项是描述数据集中趋势的度量？A. 方差B. 标准差C. 平均数D. 极差答案：C2. 假设检验中，如果p值小于显著性水平α，我们通常会：A. 拒绝零假设B. 接受零假设C. 无法确定D. 需要更多数据答案：A3. 以下哪个选项是描述数据离散程度的度量？A. 均值B. 中位数C. 众数D. 标准差答案：D4. 在简单线性回归分析中，回归系数β1表示：A. 自变量每变化一个单位，因变量的变化量B. 自变量每变化一个单位，因变量的平均变化量C. 自变量每变化一个单位，因变量的最小变化量D. 自变量每变化一个单位，因变量的最大变化量答案：B5. 以下哪个选项是描述数据分布形态的度量？A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：C6. 在统计学中，置信区间的宽度与以下哪个因素无关？A. 样本大小B. 置信水平C. 标准差D. 总体均值答案：D7. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的度量？A. 极差B. 标准差C. 均值D. 方差答案：C8. 在假设检验中，如果零假设是正确的，但被错误地拒绝，这种情况称为：A. 第一类错误B. 第二类错误C. 正确拒绝D. 正确接受答案：A9. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的度量？A. 极差B. 标准差D. 方差答案：C10. 在统计学中，以下哪个选项不是数据的预处理步骤？A. 数据清洗B. 数据转换C. 数据标准化D. 数据解释答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是描述数据分布的度量？A. 均值B. 方差D. 峰度E. 极差答案：ABCD12. 在统计学中，以下哪些是假设检验的类型？A. 单尾检验B. 双尾检验C. 配对检验D. 方差分析E. 回归分析答案：ABCD13. 以下哪些是描述数据离散程度的度量？A. 极差B. 标准差D. 均值E. 四分位数间距答案：ABCE14. 在统计学中，以下哪些是数据的预处理步骤？A. 数据清洗B. 数据转换C. 数据标准化D. 数据解释E. 数据可视化答案：ABCE15. 以下哪些是描述数据分布形态的度量？A. 均值B. 方差D. 峰度E. 极差答案：CD三、填空题（每题3分，共30分）16. 如果一组数据的平均数是50，中位数是45，众数是40，则这组数据的偏度是________。
本科数理统计试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪项不是数理统计中的基本概念？A. 总体B. 样本C. 变量D. 常数2. 随机变量X的概率分布函数F(x)满足什么条件？A. 非负B. 单调递增C. 右连续D. 所有选项3. 以下哪个统计量是度量数据离散程度的？A. 均值B. 方差C. 众数D. 标准差4. 假设检验中，拒绝原假设的决策规则是基于什么？A. p值B. 置信区间C. 样本均值D. 样本方差5. 以下哪项不是参数估计的方法？A. 最大似然估计B. 贝叶斯估计C. 插值估计D. 矩估计6. 两个独立随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)为0意味着什么？A. X和Y是独立的B. X和Y是相同的C. X和Y的方差为0D. X和Y的均值相等7. 以下哪项是描述总体分布特征的参数？A. 样本均值B. 样本方差C. 总体均值D. 总体方差8. 在回归分析中，如果自变量和因变量之间存在线性关系，那么回归系数的符号表示什么？A. 正相关B. 负相关C. 无相关D. 强相关9. 以下哪项是描述数据集中趋势的统计量？A. 极差B. 四分位数C. 变异系数D. 标准差10. 以下哪项是假设检验中的两类错误？A. 第一类错误和第二类错误B. 系统误差和随机误差C. 抽样误差和非抽样误差D. 总体误差和样本误差二、填空题（每题2分，共20分）1. 统计学中的“大数定律”表明，随着样本量的增大，样本均值会______总体均值。
2. 如果随机变量X服从标准正态分布，则其概率密度函数为______。
3. 在统计学中，一个数据集的中位数是将数据集从小到大排列后位于______位置的数值。
4. 相关系数的取值范围是______。
5. 假设检验的原假设通常表示为______，备择假设表示为______。
6. 在回归分析中，如果回归系数为正，则表示自变量和因变量之间存在______关系。
7. 统计学中的“中心极限定理”说明，即使总体分布未知，只要样本量足够大，样本均值的分布将近似为______分布。
2023─2024学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷(A 卷)参考答案与评分标准一、填空题(每空3分，共30分)1．在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加样本容量.2．设随机变量X 具有数学期望()E X μ=与方差2()D X σ=，则有切比雪夫不等式{}2P X μσ-≥≤14.3．设X 为连续型随机变量,a 为实常数，则概率{}P X a ==0.4．设X 的分布律为,{}1,2,k k P X x p k === ，2Y X =,若1nkk k xp ∞=∑绝对收敛(n为正整数),则()E Y =21kk k xp ∞=∑.5．某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为17.6．设X 服从参数为λ的poisson 分布,则(2)E X =2λ.7．设(2,3)Y N ，则数学期望2()E Y =7.8．(,)X Y 为二维随机变量,概率密度为(,)f x y ,X 与Y 的协方差(,)Cov X Y 的积分表达式为(())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰.9．设X 为总体N （3，4）中抽取的样本14,,X X 的均值,则{}15P X ≤≤＝2(2)1Φ-.(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示)10.随机变量2(0,)X N σ ,n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，221()(1)ni i Y k X χ==∑ ,则常数k =21n σ.A 卷第1页共4页二、概率论试题(45分)1、(8分)题略解：用A B C 、、，分别表示三人译出该份密码,所求概率为P A B C （）（2分）由概率公式P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）（4分）1-1-1-p q r =1-（）（）（）（2分）2、(8分)设随机变量()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====，求数学期望()E X Y +与方差(23)D X Y -.解：(1)()E X Y +=E X E Y （）+（）=1+3=4（3分）(2)(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-（3分）8361244XY ρ=+--（2分）3、(8分)某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命i T 相互独立，记161ii T T ==∑，用中心极限定理计算{1920}P T ≥的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示).解：i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000（3分）{1920}0.8}1P T P ≥=≈-Φ（0.8）（5分）(4分)4、(10分)设随机变量X 具有概率密度11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它,21Y X =+.(1)求Y 的概率密度()Y f y ；(2)求概率312P Y ⎧⎫-<<⎨⎩⎭.解:(1)12Y Y y F y y F y ≤>时（）=0,时（）=1（1分）A 卷第2页共4页212,{}{1}()d Y y F y P Y y P X y f x x<≤≤=+≤=（）=（2分）02d 1x x y ==-（2分）概率密度函数2()=Y Y y f y F y ≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它（2分）(2)3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222.（3分）5、(11分)设随机变量(,)X Y 具有概率分布如下,且{}1103P X Y X +===.XY-101013p114q112(1)求常数,p q ；(2)求X 与Y 的协方差(,)Cov X Y ,并问X 与Y 是否独立?解:(1)1111134123p q p q ++++=+=，即（2分）由{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X pP X Y X P X P X p +====+========+，，（2分）可得16p q ==（1分）X 01Y -11P1212P7121614(2)EX 1（）=2,E Y 1（）=-3,E XY 1（）=-6（3分）,-Cov X Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0（2分）由..ij i j P P P ≠可知X 与Y 不独立（1分）三、数理统计试题(25分)1、(8分)题略.A 卷第3页共4页证明:222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ-- ,22(1)X n S σ-相互独立（4分）2(1)Xt n - ,即(1)X t n - （4分）2、(10分)题略解：似然函数2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑（4分）由2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑可得221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑为2,μσ的最大似然估计(2分)由221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==可知11ˆni i x n μ==∑为μ的无偏估计量，2211ˆ()ni i x n σμ==-∑为2σ的有偏估计量(4分)3、(7分)题略解：01: 4.55: 4.55H H μμ=≠（2分）检验统计量x z =，拒绝域0.025 1.96z z ≥=（2分）而0.185 1.960.036z ==>（1分）因而拒绝域0H ，即不认为总体的均值仍为4.55（2分）A 卷第4页共4页。
1、 离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni i p2、 设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y相互独立的条件是)()(),(y F x F y x F Y X ∙=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、 设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=n i iXY 122)(1μσ，则EY=n解：∑=-=n i iXY 122)(1μσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n二、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=6122)(51i iX X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。
解：因为),(~2σμN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i iX X，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi i i i X X P X X P sP s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752三．设总体X 的概率密度为f(x)=(1),(01)0a x x α⎧+<<⎨⎩，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极大似然估计量。
数理统计试题及答案一、选择题1. 在一次试验中，事件A和事件B是互斥事件，概率分别为0.4和0.3。
则事件“A或B”发生的概率是多少？A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.7答案：D. 0.72. 一批产品的重量服从正态分布，均值为100g，标准差为5g。
若随机抽取一件产品，其重量大于105g的概率是多少？A. 0.6827B. 0.1587C. 0.3413D. 0.0228答案：B. 0.15873. 一家量化投资公司共有1000名员工，调查结果显示，有700人拥有股票，400人拥有债券，300人既拥有股票又拥有债券。
随机选择一名员工，问其既拥有股票又拥有债券的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.2D. 0.15答案：A. 0.34. 设X和Y为两个随机变量，已知X的期望为2，方差为4；Y的期望为5，方差为9，且X与Y的协方差为6。
则X + Y的期望为多少？A. 5B. 7C. 6D. 9答案：B. 7二、计算题1. 一箱产品中有10个次品，从中随机抽取3个，求抽到1个次品的概率。
解答：总共的可能抽取组合数为C(10,3) = 120。
抽取到1个次品的组合数为C(10,1) * C(90,2) = 4005。
所以，抽到1个次品的概率为4005/120 = 33.375%。
2. 已知某城市的男性身高服从正态分布，均值为172cm，标准差为5cm；女性身高也服从正态分布，均值为160cm，标准差为4cm。
问男性身高高于女性身高的概率是多少？解答：需要计算男性身高大于女性身高的概率，可以转化为计算两个正态分布随机变量之差的概率。
设随机变量X表示男性身高，Y表示女性身高，则X - Y服从正态分布，其均值为172cm - 160cm = 12cm，方差为5cm^2 + 4cm^2 =41cm^2。
要计算男性身高高于女性身高的概率，即计算P(X - Y > 0)。
首先，标准化X - Y，得到标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - Y - 12) / sqrt(41)所以，P(X - Y > 0) = P(Z > (0 - 12) / sqrt(41)) = P(Z > -2.464)查标准正态分布表可知，P(Z > -2.464) ≈ 0.9937所以，男性身高高于女性身高的概率约为99.37%。
数理统计考试试卷一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X -________；2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，若已知0.32)16(201.0=χ,则}8{1612∑=≥i i X P =________；3、设总体),(~2σμN X ，若μ和2σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________；4、设n X X X ,..,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，在显著性水平0.05下，检验假设00:μμ≥H ,01:μμ<H ，拒绝域是________。
1、)210(，N ； 2、0.01； 3、nS n t )1(2-α； 4、202σσ<； 5、05.0z z -≤。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，α是未知参数，以下函数是统计量的为（）。
（A ）)(321X X X ++α （B ）321X X X ++ （C ）3211X X X α（D ）231)(31α-∑=i i X2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，212)(1X X n S i n i n -=∑=，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。
（A ）σμ）-X n ( （B ）n S X n )(μ- （C ）σμ）--X n (1 （D ）n S X n )(1μ--3、设n X X X ,,,21 是来自总体的样本，2)(σ=X D 存在， 212)(11X X n S i ni --=∑=, 则（ ）。
一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X -________；2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，若已知0.32)16(201.0=χ,则}8{1612∑=≥i i X P =________；3、设总体),(~2σμN X ，若μ和2σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________；4、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，在显著性水平0.05下，检验假设00:μμ≥H ,01:μμ<H ，拒绝域是________。
1、)210(，N ； 2、0.01； 3、nS n t )1(2-α； 4、202σσ<； 5、05.0z z -≤。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，α是未知参数，以下函数是统计量的为（）。
（A ）)(321X X X ++α （B ）321X X X ++ （C ）3211X X X α（D ）231)(31α-∑=i i X2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，212)(1X X n S i n i n -=∑=，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。
（A ）σμ）-X n ( （B ）n S X n )(μ- （C ）σμ）--X n (1 （D ）n S X n )(1μ--3、设n X X X ,,,21 是来自总体的样本，2)(σ=X D 存在， 212)(11X X n S i ni --=∑=, 则（ ）。
安徽大学2011—2012学年第一学期 《数理统计》考试试卷（B 卷）（闭卷 时间120分钟）院/系 年级 专业 姓名 学号一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1、设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X L 是X 的样本，则（ ）.（A ）1~(0,1)1X N -； （B ）1~(0,1)3X N -； （C ）1~(0,1)9X N -； （D~(0,1)X N ． 2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，212)(1X X n S i n i n-=∑=，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。
（A ）σμ）-X n ( （B ）n S X n )(1μ-- （C ）σμ）--X n (1 （D ）n S X n )(μ-3、若总体X ～),(2σμN ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间（ ）.（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.4、在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是（ ）.（A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立.5、在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则（ ）.（A ）ˆn E ()=0ε； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）6、设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X L 和129(,,)Y Y Y L 是分别来自X 和Y的样本，则U =服从的分布是_______ .7、设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ ______________.8、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________.9、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；10、多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是ˆβ=_______ ________.三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11、已知总体X 的概率密度函数为1, 0(),0, xe xf x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它其中未知参数0θ>,12(,,,)n X X X L 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．12、设n X X X ,,,21Λ是来自总体X ～)(λP 的样本，0λ>未知，求λ的最大似然估计量.13、已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X L 和212(,,,)n Y Y Y L 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.14、合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本修正标准差为007.0=S 公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025α=，结果会怎样？ (023.19)9(2025.0=χ, 919.16)9(205.0=χ, 535.17)8(2025.0=χ, 507.15)8(205.0=χ)15、设总体X ～)1,(a N ，a 为未知参数，R a ∈，n X X X ,,,21Λ为来自于X 的简单随机样本，现考虑假设：00:a a H =，01:a a H ≠(0a 为已知数）取05.0=α，试用广义似然比检验法检验此假设（写出拒绝域即可）.（96.1025.0=u ，65.105.0=u ，024.5)1(2025.0=χ，841.3)1(205.0=χ）四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）16、设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X L 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．17、设1,,n X X L 是来自两参数指数分布()/1(;,),,0x p x e x μθθμμθθ--=>>的样本，证明(1)(,)X X 是(,)μθ充分统计量.五、综合分析题（本大题共10分）18、现收集了16组合金钢中的碳含量X 及强度Y 的数据，求得162116162110.125,45.788,()0.3024,()()25.5218,()2432.4566.ii ii ii i x y xx xx y y yy =====-=--=-=∑∑∑(1)建立Y 关于X 的一元线性回归方程x y 10ˆˆˆββ+=; (2)对Y 与X 的线性关系做显著性检验（05.0=α,60.4)14,1(05.0=F , 1448.2)14(025.0=t ,7613.1)14(05.0=t ）.安徽大学2011—2012学年第一学期《数理统计》（B 卷）考试试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题2分，共10分）1、A2、D3、C4、C5、B二、填空题（每小题2分，共10分）6、)9(t7、1212ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D θθθθ=< 8、2/αμσn9、202σσ< 10、1ˆσ-'2Cov(β)=()X X三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11、解：（1）()101()x v E X xf x dx xe dx θθθ-∞∞-∞====⎰⎰，用111n i i v X X n ===∑$代替，所以∑===ni iX Xn11ˆθ． ………………5分（2）11ˆ()()()()ni i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是无偏估计． (10)分12、解: 总体X 的分布律为{}(,),1,2,!xp x P X x e x x λλλ-====L设12(,,,)n x x x L 为样本12(,,,)n X X X L 的一个观察值，似然函数111()(),!!iixxnnnn i i i i i i L P X x eex x λλλλλ--=======∏∏∏ …………………………4分对数似然函数[]1ln ()ln ln(!)ni i i L n x x λλλ==-+-∑，1111ˆ(ln ())0,0,n ni i i i d L n x x d n λλλλ===-+==∑∑ 2221ˆ1(ln ())0n ii x d nL x d x λλλλ===-⋅=-<∑， 所以ˆx λ=是λ的最大似然估计值，λ的最大似然估计量为ˆX λ=. …………10分 13、解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 ,[]/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭， 所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．………10分14、解：（1）()()2222021:0.005,~8n S H σχχσ-≤=，则应有：()()2220.050.0580.005,(8)15.507P χχχ>=⇒=，具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005χ⨯==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差指标未达到要求． ………………5分（2）新设 20:0.005,H σ≤ 由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005χχ⨯=⇒==< 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求． ………………10分15、解：似然函数为∑==--ni i a X n n e a x x L 12)(212/1)2(1);,,(πΛ， 从而 ∑==--ni i a X n n e a x x L 120)(212/01)2(1);,,(πΛ又参数a 的极大似然估计为X ，于是∑==--∈ni i X X n n Ra e a x x L 12)(212/1)2(1);,,(sup πΛ得似然比函数为})(2ex p{);,,();,,(sup ),,(200111a X na x x L a x x L x x n n R a n -==∈ΛΛΛλ， ………………5分给定05.0=α，得)ln 2)(()|),,((05.00200001λλλ>-==>=a X n P a a x x P n Λ，因为当0H 成立时，20)(a X n -～)1(2χ，此即0205.0ln 284.3)1(λχ==，从而上述问题的拒绝域是}84.3)({200>-=a X n W . ………………10分四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）16、证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦． ………………5分另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===，即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ． ………………10分17、证明 样本的联合密度函数为1(1)(1)()111(,,;,)()().ni i x nx n nnn x x P x x eI eI μμθθμμθμθθ=----->>∑==L ………………5分取(1)(1)11(,),(;)(),(,,)1,2nx n n x n t x x g t eI h x x μθμθθ-->===L 故由因子分解定理，(1)(,)X X 是(,)μθ充分统计量. ………………10分 五、综合分析题（本大题共10分）18、解: (1)根据已知数据可以得到回归系数的估计为1611162101()()25.521884.3975,0.3024()45.78884.39750.12535.2389.ii i ii xx y y xx y x βββ==--===-=-=-⨯=∑∑)))故Y对X的回归方程为ˆ35.238984.3975.=+yx . ………………………5分 (2)该问题即需要检验假设0:10=βH 由于4805.278ˆ1=-=xyyy l l Q β， 从而 9761.2153=-=Q l U yy于是 2863.108)2/(=-=n Q UF ，又 60.4)14,1(05.0=F ，可见 )14,1(05.0F F >，因此拒绝原假设，即回归效果显著。
