北师大版数学九年级上反比例函数的图象和性质 (1)

2反比例函数的图象与性质1．掌握画出反比例函数图象的基本步骤，会画反比例函数的图象．2．掌握反比例函数的主要性质．3．能利用反比例函数的图象及性质解决一些实际问题．重点画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质．难点理解反比例函数的性质，并能灵活应用．一、复习导入1．什么是反比例函数？2．画出一次函数y＝4x的图象，图象是什么形状？画一次函数图象的步骤是什么？学生自主思考后给出答案，教师点评．二、探究新知1．反比例函数的图象4教师：反比例函数y＝的图象会是什么形状呢？我们可以用什么方法画这个反比例函x数的图象？学生独立画图象，指名板演．教师点评，引导学生归纳画反比例函数图象的基本步骤．教师：你以为画反比例函数图象时应注意哪些问题？引导学生总结：(1)反比例函数的图象是双曲线；(2)画反比例函数的图象要经过列表、描点、连线这三个步骤；(3)双曲线的两端是无限延伸的，画的时候要“出头”；(4)画双曲线时，取的点越密集，描出的图象就越准确，但计算量会越大，故一般在原点的两侧各取3～5个点即可；(5)连线时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线连接．注意：两个分支不连接．4教师：观察上面的函数图象，如果点P(x，y)在函数y＝的图象上，那么与点P关于x004原点成中心对称的P′的坐标应是什么？这个点在函数y＝的图象上吗？x学生思考回答后，教师进一步讲解：反比例函数的图象既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．对称轴有两条，分别是直线y＝x与直线y＝－x；对称中心是坐标原点，任何一条经过原点的直线只要与双曲线有两个交点，则这两个交点关于原点对称．2．反比例函数的性质课件出示：44画出反比例函数y＝与y＝－的的图象，探究下列问题：x x(1)这两个反比例函数的图象有什么相同点和不同点？(2)在每个象限内，随着x值的增大y的值是怎样变化的？引导学生思考，得出：表达式图象的位置y随x的变化情况4图象在第一、三象限内在每个象限内，y的值随着x值的增大而减小－4y＝图象在第二、四象限内在每个象限内，y的值随着x值的增大而增大x三、举例分析k例1反比例函数y＝的图象如图所示．x(1)判断k为正数还是负数．(2)如果A(－3，y)和B(－1，y)为这个函数图象上的两点，那么y与y的大小关系是1221怎样的？学生思考回答，教师讲评并进一步讲解根据反比例函数的增减性比较函数值大小的方法：利用反比例函数的增减性来比较函数值的大小时，如果给定的两点或几点能够确定在同一象限的分支上时，可以直接利用反比例函数的性质解答；如果给定的两点或几点不能够确定在同一象限的分支上时，则不能利用反比例函数的性质比较，需要根据函数的图象和点的位置用数形结合思想来比较或利用特殊值法通过求值来比较．42例2如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是G和G，设点Px x12在G上，PA⊥x轴于点A，交G于点B，则△POB的面积是多少？12学生分小组讨论后给出答案，教师点评，并提问：双曲线的几何特性是什么呢？引导学生总结双曲线的几何特性：k过双曲线y＝上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，x||k连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于.2四、练习巩固1．教材第153页“随堂练习”．2．教材第155页“随堂练习”第1，2题．五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．反比例函数图象的画法及步骤是什么？3．反比例函数图象与位置的关系是什么？4．反比例函数有哪些性质？六、课外作业1．教材第154页习题6.2第1，3题．2．教材第157页习题6.3第1，2题．本节课的内容主要有两点：一是画反比例函数的图象，二是由图象得出反比例函数的性质．在教学中，通过学生自由探究、观察、类比学习，探索得出反比例函数的图象和性质，使学生经历获取新知的成功体验，充分体现了新课程的教学理念和自主探究的学习方法．学生的学习往往从问题开始，因为这样的学习具有方向性与原动力，因此，我把教学设计的主体设计成又若干个有一定逻辑顺序的问题，即通过复习反比例函数的定义——画出反比例函数的图象——根据图象得出反比例函数的性质——利用函数性质解决问题．层层深入，逐步培养学生的问题意识及利用所学知识解决问题的能力．(2)在每个象限内，随着x值的增大y的值是怎样变化的？引导学生思考，得出：表达式图象的位置y随x的变化情况4图象在第一、三象限内在每个象限内，y的值随着x值的增大而减小－4y＝图象在第二、四象限内在每个象限内，y的值随着x值的增大而增大x三、举例分析k例1反比例函数y＝的图象如图所示．x(1)判断k为正数还是负数．(2)如果A(－3，y)和B(－1，y)为这个函数图象上的两点，那么y与y的大小关系是1221怎样的？学生思考回答，教师讲评并进一步讲解根据反比例函数的增减性比较函数值大小的方法：利用反比例函数的增减性来比较函数值的大小时，如果给定的两点或几点能够确定在同一象限的分支上时，可以直接利用反比例函数的性质解答；如果给定的两点或几点不能够确定在同一象限的分支上时，则不能利用反比例函数的性质比较，需要根据函数的图象和点的位置用数形结合思想来比较或利用特殊值法通过求值来比较．42例2如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是G和G，设点Px x12在G上，PA⊥x轴于点A，交G于点B，则△POB的面积是多少？12学生分小组讨论后给出答案，教师点评，并提问：双曲线的几何特性是什么呢？引导学生总结双曲线的几何特性：k过双曲线y＝上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，x||k连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于.2四、练习巩固1．教材第153页“随堂练习”．2．教材第155页“随堂练习”第1，2题．五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．反比例函数图象的画法及步骤是什么？3．反比例函数图象与位置的关系是什么？4．反比例函数有哪些性质？六、课外作业1．教材第154页习题6.2第1，3题．2．教材第157页习题6.3第1，2题．本节课的内容主要有两点：一是画反比例函数的图象，二是由图象得出反比例函数的性质．在教学中，通过学生自由探究、观察、类比学习，探索得出反比例函数的图象和性质，使学生经历获取新知的成功体验，充分体现了新课程的教学理念和自主探究的学习方法．学生的学习往往从问题开始，因为这样的学习具有方向性与原动力，因此，我把教学设计的主体设计成又若干个有一定逻辑顺序的问题，即通过复习反比例函数的定义——画出反比例函数的图象——根据图象得出反比例函数的性质——利用函数性质解决问题．层层深入，逐步培养学生的问题意识及利用所学知识解决问题的能力．(2)在每个象限内，随着x值的增大y的值是怎样变化的？引导学生思考，得出：表达式图象的位置y随x的变化情况4图象在第一、三象限内在每个象限内，y的值随着x值的增大而减小－4y＝图象在第二、四象限内在每个象限内，y的值随着x值的增大而增大x三、举例分析k例1反比例函数y＝的图象如图所示．x(1)判断k为正数还是负数．(2)如果A(－3，y)和B(－1，y)为这个函数图象上的两点，那么y与y的大小关系是1221怎样的？学生思考回答，教师讲评并进一步讲解根据反比例函数的增减性比较函数值大小的方法：利用反比例函数的增减性来比较函数值的大小时，如果给定的两点或几点能够确定在同一象限的分支上时，可以直接利用反比例函数的性质解答；如果给定的两点或几点不能够确定在同一象限的分支上时，则不能利用反比例函数的性质比较，需要根据函数的图象和点的位置用数形结合思想来比较或利用特殊值法通过求值来比较．42例2如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是G和G，设点Px x12在G上，PA⊥x轴于点A，交G于点B，则△POB的面积是多少？12学生分小组讨论后给出答案，教师点评，并提问：双曲线的几何特性是什么呢？引导学生总结双曲线的几何特性：k过双曲线y＝上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，x||k连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于.2四、练习巩固1．教材第153页“随堂练习”．2．教材第155页“随堂练习”第1，2题．五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．反比例函数图象的画法及步骤是什么？3．反比例函数图象与位置的关系是什么？4．反比例函数有哪些性质？六、课外作业1．教材第154页习题6.2第1，3题．2．教材第157页习题6.3第1，2题．本节课的内容主要有两点：一是画反比例函数的图象，二是由图象得出反比例函数的性质．在教学中，通过学生自由探究、观察、类比学习，探索得出反比例函数的图象和性质，使学生经历获取新知的成功体验，充分体现了新课程的教学理念和自主探究的学习方法．学生的学习往往从问题开始，因为这样的学习具有方向性与原动力，因此，我把教学设计的主体设计成又若干个有一定逻辑顺序的问题，即通过复习反比例函数的定义——画出反比例函数的图象——根据图象得出反比例函数的性质——利用函数性质解决问题．层层深入，逐步培养学生的问题意识及利用所学知识解决问题的能力．。

北师大版数学九年级上册5.2《反比例函数的图象与性质》说课稿1一. 教材分析《反比例函数的图象与性质》是北师大版数学九年级上册第五章第二节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了函数的概念、正比例函数的图象与性质的基础上，进一步引导学生研究反比例函数的图象与性质。

通过本节内容的学习，使学生能够理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象与性质，提高学生对函数知识的认识和理解。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对正比例函数的图象与性质有了初步的认识。

但学生在学习过程中，对反比例函数的理解可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索反比例函数的图象与性质，提高学生的学习兴趣和积极性。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象与性质。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生自主探索的能力，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习函数的兴趣，培养学生的抽象思维能力，使学生体验到数学的乐趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的概念，反比例函数的图象与性质。

2.教学难点：反比例函数图象的特点，反比例函数性质的推导。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生自主探索，提高学生的学习兴趣和积极性。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示反比例函数的图象与性质，使学生更直观地理解反比例函数的知识。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习正比例函数的图象与性质，引出反比例函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.自主探索：引导学生观察反比例函数的图象，分析反比例函数的性质，培养学生自主探索的能力。

3.教师讲解：对反比例函数的图象与性质进行讲解，解释反比例函数图象的特点，推导反比例函数的性质。

4.案例分析：通过具体的反比例函数案例，使学生更好地理解反比例函数的图象与性质。

知识点讲解反比例函数的性质（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大。

注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点。

比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。

在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2，且保持不变。

用描点法画反比例函数的图象步骤：列表---描点---连线。

（1）列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值。

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确。

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。

（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。

视频讲解反比例函数中的面积类型视频讲解图文解析教学设计【教材分析】《反比例函数的图象与性质》安排在北师大版教材九年级上册，共分两课时，本节课是第二课时．在第一课时中，学生已经学会如何画反比例函数的图象，并对k＞0和k＜0时函数图象的特点有了初步的认识，本节课主要是在第一课时的基础上，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质疑、讨论、交流、总结中增强学生对图象的感知能力，加深对反比例函数性质和几何意义的理解和掌握。

注意数形结合以及分类思想运用。

【学情分析】特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步体会函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图象和性质做好知识上和方法上的铺垫．学生对于画函数图象已经积累了一定的经验，所以画函数图象的过程不仅在于“画”，更在于“探究”．为引导学生体会函数三种表示方法之间的联系和转化积累经验．九年级的学生已经具备了研究函数图象性质的许多方法，但是学习能力有所不同数形结合的抽象能力存在较大差异．所以需要教师在教学中不仅关注教法，更关注学法指导．同时，因为反比例函数较为抽象，所以学生学完性质直接应用的难度很大．这就需要教师精心设计教学方案帮助学生理解和掌握反比例函数的性质。

《反比例函数的图象与性质(一)》教学设计本节课的内容是反比例函数的图象与性质，旨在进一步熟悉作函数图象的主要步骤即列表、描点、连线.理解函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合.逐步明确研究函数的一般要求，反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的空间，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，进行语言表述，在相互交流中发展从图象中获取信息的能力.同时可以使学生更牢固地掌握由他们自己发现的反比例函数的主要性质.在教学中，应主要让学生进行操作活动.通过描点、连线，了解反比例函数的图象是两支双曲线，且是独立的两支双曲线，由于k值的不同，分布的象限不同，函数值随自变量的变化而相应的变化以不问，山学生自己亲自得山的结果更容易掌握及汇忆牢固，由学生自己进行语言描述能发展学生的语言表达能力，同时通过互相补充修小，可以增进彼此问的合作交流意识和友谊.教学目标知识与能力会作反比例函数的图象；体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合.过程与方法通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；通过观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力.进一步提高从函数图象小获取信息的能力，通过观察、计算等数学方法探索并掌握反比例函数的主要性质.情感与价值观让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.教学重点画反比例函数的图象；并从函数图象中获取信息，探索并研究反比例函数的主要性质. 教学难点反比例函数的图象特点及性质的探究. 教学过程创设问题情境，引入新课我们在前面学习了正比例函数和一次函数的图象，知道它们的图象都是一条直线，正比例函数的图象是过原点的一条直线，在画图象时需找(1，k)点即可，一次函数的图象也是一条直线，是不过原点的一条直线.画图象时只需找(0，b)和(-kb ,0),过这两点作直线即可.那么反比例y ＝xk (k ≠0)的图象是直线呢?还是曲线，这就需要我们动手去做一做，才能得出结论.本节课就让我们一齐来实践吧.1.画反比例函数的图象 列表：描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点. 连线：用光滑的曲线顺次连结各点，即可得到函数y=x4的图象(如下图).现在出现三种不同类型的图象，请大家认真思考后选出正确的图象是哪一个?第一种正确.第二种也正确，只不过取的点较少，又没有对称地取数，所以画出的图象好象不正确.第三种是错误的，因为应用光滑的曲线连接，而不是用折线连接.2.议一议你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?与同伴进行交流.在列表时，自变量的值可以任意选，但如果选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可以简化计算，又便于描点；列表、描点时，要尽量多取一些数值.多描一些点，这样方便连线；在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线. 3.做一做请大家用同样的方法作反比例函数y ＝x4-的图象.[生]列表描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数y ＝x4-的图象，如下图.4.想一想观察y ＝x4和y ＝x4-的图象，它们有什么相同点和不同点?[生]相同点：(1)图象都是由两支曲线组成； (2)它们都不与坐标轴相交；(3)它们都不过原点；不同点：（1）它们所在的象限不同.y ＝x4的两支曲线在第一和第三象限；y ＝x4-的两支曲线在第二和第四象限；（2）是轴对称图形，也是中心对称图形. （3）当k>0时，图象的两支曲线在第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限. 课堂练习：P 137随堂练习1.面积是常数S 时，三角形的底y 与高x 的函数关系是什么函数.图象.2. 画出反比例函数y=x5 或y=x5-的图象归纳提炼一、本节课我们学习了画反比例函数的步骤为：列表、描点、连线.进一步巩固了画函数图象的步骤，同时在画反比例函数图象时要注意以下几点： 1.列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可以简化计算.又便于描点；2.列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线；3.在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线.二、在画出函数y ＝x4和y ＝x4 的图象后.比较它们的异同点.相同点：(1)图象都是由两支曲线组成： (2)它们都不与坐标轴相交； (3)它们都不过原点；(4)它们都是轴对称图形，也是中心对称图形.不同点：它们所在的象限不同，当k>0时，图象的两支曲线分别在第一、三象限内；当k<0时，图象的两支曲线分别位于第二、四象限. 课后作业： 习题5.2 活动与探究已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且当x=2与x=3时，y 的值都等于19.y 与x 间的系数关系式，并求x ＝4时y 的值. 解：设y 1＝k 1x,y 2=22x k . ∴y=y 1+y 2=k 1x+22x k .当x ＝2时，y ＝19； 当x ＝3时，y ＝19.∴212121943199k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得12536k k =⎧⎨=⎩∴关系式为y ＝5x+236x . 当x ＝4时，y ＝5×4+1636=20+49＝2241。