反比例函数
知识点及考点：
（一）反比例函数的概念： 知识要点：
1、一般地，形如 y =
x
k
( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；
（2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y =
x
k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1
（k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+=
x y ③21x y = ④.x y 21
-=⑤2
x y =-⑥13y x = ；其中是y 关于
x 的反比例函数的有：_________________。
（2）下列函数表达式中，y 是关于x 的反比例函数的有（ ）
①
y=21x -；③ y= y=13x -；⑤ y=1x ；⑥ y=23x
+；⑦ y=32x -；⑧ -2xy=1
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 （3）关于函数y=
1
2
x -，以下说法正确的是（ ） A ．y 是x 的反比例函数 B ．y 是x 的正比例函数 C ．y 是x-2的反比例函数 D ．以上都不对 （4）函数2
2
)2(--=a
x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ）
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．2或－2 （5）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ）
A ．反比例函数
B ．正比例函数
C ．一次函数
D ．反比例或正比例函数 （6）若函数1
1-=
m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．
（7）（2013安顺）若y=(a+1)2
2
a
x
-是反比例函数，则a 的值是 ，该反比例函数为
(二)反比例函数的图象和性质： 知识要点：
1、形状：图象是双曲线。
2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 例题讲解：
（1）（2013邵阳）下列四个点中，在反比例函数y=6
x
-
的图象上的是（ ） A ．（3，-2） B ．（3，2） C ．（2，3） D ．（-2，-3） （2）反比例函数y=
1k
x
-的图象经过点（﹣2，3），则该图象经过 象限 （3）已知函数2
5
(1)m
y m x -=+是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则m 的值是（ ）
A ．2
B ．2-
C ．2±
D ．12
- （4）反比例函数y=
k
x
在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
（5）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ． （6）若反比例函数2
2)12(--=m x
m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于
1
2
的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________；
（2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。
例题讲解：
（1）已知点（－1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）在反比例函数21k y x
--=的图像上， 下列结论中正确的是( )
A ．321y y y >>
B ．231y y y >>
C ．213y y y >>
D ． 132y y y >> （2）在反比例函数x
y 1
-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）
A ．213y y y >>
B ．123y y y >>
C ．321y y y >>
D ．231y y y >> （3）已知（x 1, y 1）,（x 2, y 2）,（x 3, y 3）是反比例函数x
y 4
-=的图象上的三个点,且x 1＜x 2＜0，x 3＞0,则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )
A . y 3＜y 1＜y 2
B . y 2＜y 1＜y 3
C . y 1＜y 2＜y 3
D . y 3＜y 2＜y 1 （4）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4
y x
=- D ．12y x =．
（5）已知反比例函数2
y x
-=
的图象上有两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且12x x <， 则12y y -的值是（ ）
A ．正数
B ．负数
C ．非正数
D ．不能确定
例4
（6）若点（1x ，1y ）、（2x ，2y ）和（3x ，3y ）分别在反比例函数2
y x
=- 的图象上，且 1230x x x <<<，则下列判断中正确的是（ ）
A ．123y y y <<
B ．312y y y <<
C ．231y y y <<
D ．321y y y << 4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 （1）下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是（ ） A ．
B ．y=2x+1
C ．y=﹣x
D ．y=﹣x 2+1
5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x
6
-）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。
（三）反比例函数与面积结合题型。 知识要点：
1、反比例函数与矩形面积： 若P (x ，y )为反比例函数x
k
y =(k≠0)图像上的任意一点如图1所示，过P 作PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，求矩形PMON 的面积.
分析：S 矩形PMON =xy x y PN PM =⋅=⋅ ∵x
k
y =
, ∴ xy=k, ∴ S =k . （1）如图，点B 在反比例函数图象上，矩形ABCO 面积为8，则反比例函数的 表达式为（ ）. （A ）x
y 8
=
（B ）x y 8-=
（C ）x y 8= （D ）x y 8-= （2）如图，点A 在双曲线y=
x 1上，点B 在双曲线y=x
3
上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若矩形ABCD 的面积为
2、反比例函数与三角形面积：
P
y x
O
M N
