2015年高考数学真题分类汇编 专题10 立体几何 文

2015年高考数学真题分类汇编 专题10 立体几何 文1.【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m【答案】A【解析】采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.【考点定位】直线、平面的位置关系.【名师点睛】本题主要考查空间直线、平面的位置关系.解答本题时要根据空间直线、平面的位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假.本题属于容易题，重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力.2.【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是14圆锥，底面周长是两个底面半径与14圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题.3.【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为32313222233V cm =+⨯⨯=.故选C. 【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的结构特征，并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题，重点考查空间想象能力和基本的运算能力.4.【2015高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）(A) 123π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52π【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为61311612122πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯，故选B.【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积.【名师点睛】本题考查三视图的概念和组合体体积的计算，采用三视图还原成直观图，再利用简单几何体的体积公式进行求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+【答案】D【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.【名师点睛】1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可；3.本题属于基础题，是高考常考题型.6.【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交【答案】A【解析】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ．【考点定位】空间点、线、面的位置关系．【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题．解题时一定要注意选项中的重要字眼“至少”、“至多”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．7.【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60o ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =o ，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【答案】C【解析】由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60o 角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.【名师点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义以及空间线面的位置关系.解答本题时要能够根据给出的线面位置关系，通过空间想象能力，得到一个无限延展的圆锥被一个与之成60o 角的平面截得的图形是椭圆的结论.本题属于中等题，重点考查学生的空间想象能力以及对圆锥曲线的定义的理解.8.【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A .【解析】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故应选A .【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性.9、【2015高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2（C ）4 （D ）8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.10.【2015高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．822+B ．1122+C ．1422+D ．15【答案】B【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为2+2+4+22=8+22， 所以该几何体的表面积为1122+，故选B ．【考点定位】三视图和表面积．【名师点睛】本题考查三视图和表面积计算，关键在于根据三视图还原体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体，属于中档题．11.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（A ）错误!未找到引用源。

三、解答题1. 【2015高考天津，理17】（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,5AC AA ADCD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：//MN 平面ABCD ； (II)求二面角11D AC B --的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长 【答案】(I)见解析； (II)31010； (III) 72-. 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，NMC 1B 11DABD 1NM C 1B 1A 1DABCD 1(III)依题意，可设111A E A B λ=u u u r u u u u r ，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+u u u r ，又(0,0,1)n =r为平面ABCD 的一个法向量，由已知得2221cos ,3(1)(2)1NE n NE n NE n λ⋅===⋅-+++u u u r ru u u r r u u u r r ，整理得2430λλ+-=， 又因为[0,1]λ∈，解得72λ=-，所以线段1A E 的长为72 .【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.4. 【2013天津，理17】如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）217；（Ⅲ）2易得11B C u u u u r ＝(1,0，－1)，CE u u u r ＝(－1,1，－1)，于是11B C u u u u r ·CE u u u r＝0，所以B1C1⊥CE.(2)1B C u u u r＝(1，－2，－1)．设平面B1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z),则10,0,B C CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 即20,0.x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩(3)AE u u u r＝(0,1,0)，1EC u u u u r ＝(1,1,1)．设EM u u u u r ＝λ1EC u u u u r ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM u u u u r ＝AE u u u r ＋EM u u u u r＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB u u u r＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD1A1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM u u u u r ，AB u u u r〉|＝AM AB AM AB⋅⋅u u u u r u u u r u u u ur u u u r 2222(1)2321λλλλλ=+++⨯++.22321λλ=++，解得13λ=,所以AM 2. (方法二)(1)证明：因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1， 所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E ＝5，B1C1＝2，EC1＝3， 从而B1E2＝22111B C EC +， 所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E ，又CC1，C1E ⊂平面CC1E ，CC1∩C1E ＝C1， 所以B1C1⊥平面CC1E ，又CE ⊂平面CC1E ，故B1C1⊥CE.(3)连接D1E ，过点M 作MH ⊥ED1于点H ，可得MH ⊥平面ADD1A1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面 ADD1A1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x . 在Rt △C1D1E 中，C1D1＝1，ED1＝2，得EH ＝123MH x.5. 【2014天津，理17】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．E PDC（Ⅰ）证明：BE DC ^；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ^，求二面角F AB P --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见试题分析；（Ⅱ）直线BE 与平面PBD 3；310． 【解析】试题分析：（Ⅰ）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明BE DC ^。

2015年高考真题解答题专项训练：立体几何（文科）学生版1．（2015.浙江）如图，在三棱锥中，，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线和平面所成的角的正弦值.2．（2015.新课标1卷）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，平面，（I）证明：平面平面；（II）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.3．（2015.湖南）如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。

（１）证明：平面平面；（２）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE ．（Ⅰ）证明： DE ⊥平面PBC ． 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 5．（（2015.广东）如图，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．（1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．6．（2015.安徽）如图，三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC ，1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=．（Ⅰ）求三棱锥P-ABC 的体积；PM7．（2015.新课标2卷）如图，长方体1111ABCD A B C D -中， 116,10,8AB BC AA ===，点,E F 分别在1111,A B D C 上， 114A E D F ==，过点,E F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）． （2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．8．（2015.福建）如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．9．（2015.重庆）如图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ， ∠ABC=2π，点D 、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF//BC ． (Ⅰ)证明：AB ⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.10．（2015.天津）如图,已知平面ABC,AB=AC=3,,,点E,F分别是BC,的中点.（Ⅰ）求证:EF∥平面;（Ⅱ）求证:平面平面.（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小.11．（2015.四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.（Ⅲ）证明：直线DF平面BEG12．（2015.陕西）如图1，在直角梯形ABCD 中，，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1AOC ； （Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为求a 的值. 13．（2015.山东）如图，三棱台DEF ABC -中， 2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点.（Ⅰ）求证： //BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .14．（2015.北京）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， 且 ， ， 分别为 ， 的中点．(1)求证： 平面 ；(2)求证：平面平面；(3)求三棱锥的体积．参考答案1．（1）见解析；（2）【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷带解析）【解析】（1）利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直；（2）通过添加辅助线，证明平面，以此找到直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中通过确定边长，计算的正弦值.试题解析：（1）设为中点，由题意得平面，所以.因为，所以.所以平面.由，分别为的中点，得且，从而且，所以是平行四边形，所以.因为平面，所以平面.（2）作，垂足为，连结.因为平面，所以.因为，所以平面.所以平面.所以为直线与平面所成角的平面角.由，得.由平面，得.由，得.所以考点：1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.视频2．（1）见解析（2）3+2【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ带解析）【解析】试题分析：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知AC BD，由BE平面ABCD知AC BE，由线面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（Ⅱ）设AB=，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在AEC中，用x表示EG，在EBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥的体积为求出x，即可求出三棱锥的侧面积.试题解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以AC BD，因为BE平面ABCD，所以AC BE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（Ⅱ）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.因为AE EC，所以在AEC中，可得EG=.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力视频3．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷带解析）【解析】试题分析：（１）由面面垂直的判定定理很容易得结论；（２）所求三棱锥底面积容易求得，是本题转化为求三棱锥的高，利用直线与平面所成的角为，作出线面角，进而可求得的值，则可得的长．试题解析：（1）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的边的中点，所以又 ，因此 平面 而 平面 ，所以平面 平面 （2）设 的中点为 ，连结 ,因为 是正三角形，所以又三棱柱 是直三棱柱，所以因此 平面 ，于是 为直线 与平面 所成的角， 由题设， ，所以在 中， ，所以故三棱锥 的体积考点：直线与平面垂直的判定定理；直线与平面所成的角；几何体的体积．视频4．（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥． 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ． DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥． 而PC BC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ．四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.V V = 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷带解析）【解析】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥． 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ． DE ⊂平面PC D ，所以BC DE⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥． 而PC BC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ． 由BC ⊥平面PCD ， DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知， PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D B C E -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅．在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以2DE CE ==，于是12123 4.16BC CD PDV CD PD V CE DE BC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题．视频5．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（广东卷带解析） 【解析】试题分析：（1）由四边形CD AB 是长方形可证C//D B A ，进而可证C//B 平面D P A ；（2）先证C CD B ⊥，再证C B ⊥平面DC P ，进而可证C D B ⊥P ；（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，先证P E ⊥平面CD AB ，再设点C 到平面D P A 的距离为h ，利用C D C DV V -P A P-A=三棱锥三棱锥可得h 的值，进而可得点C 到平面D P A 的距离．试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在R t D ∆P E 中，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以，即，所以点C 到平面D P A 的距离是考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离. 6．（Ⅰ）6；（Ⅱ）13【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析） 【解析】（Ⅰ）解：由题设＝1,可得.由面可知是三棱锥的高,又所以三棱锥的体积 （Ⅱ）证：在平面内，过点B 作，垂足为，过作交于，连接.由面知，所以.由于，故面，又面，所以.在直角中，，从而.由，得.考点：本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.视频7．（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）97或79【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ带解析）【解析】试题分析：（Ⅰ）分别在,AB CD 上取H,G,使10AH DG ==；长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为97或79试题解析：解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作垂足为M,则18EM AA ==,,,因为EHGF 是正方形,所以,于是因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为97（79也正确）. 考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.视频8．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷带解析） 【解析】解法一：（Ⅰ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ， D 为C A 的中点， 所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ． 因为D O⋂PO =O ，所以C A ⊥平面D P O ． （Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时， C 到AB 的距离最大，且最大值为1． 又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=．（Ⅲ）在∆POB 中， 1PO =OB =， 90∠POB =，所以PB ==同理C P =C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ， E ， C'共线时， C E +OE 取得最小值． 又因为OP =OB ， C'C'P =B ，所以C'O 垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而C'C'222O =OE +E =+=，亦即C E +OE 的最小值为2．解法二：（Ⅰ）、（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）在∆POB 中， 1PO =OB =， 90∠POB =，所以45∠OPB =， PB ==C P =所以C C PB =P =B ，所以C 60∠PB =．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ， E ， C'共线时， C E +OE 取得最小值． 所以在C'∆O P 中，由余弦定理得：()2C'1221cos 4560O =+-⨯+1122222=+--⨯⎭2=+从而C'2O ==．所以C E +OE 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．视频9．(1)见解析(2) BC=3或【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（重庆卷带解析）【解析】试题分析：（Ⅰ）先由已知易得PE AC ⊥，再注意平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABC ，再由线面垂直的性质可得到AB PE ⊥，再注意到//EF BC ，而B C A B ⊥，从而有AB EF ⊥，那么由线面垂的判定定理可得AB ⊥平面PFE ，（Ⅱ）设B C =x 则可用x 将四棱锥P DFBC -的体积表示出来，由已知其体积等于7，从而得到关于x 的一个一元方程，解此方程，再注意到0x >即可得到BC 的长．试题解析：证明：如题（20）图.由,DE EC PD PC ==知， E 为等腰PDC ∆中DC 边的中点，故PE AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =， PE ⊂平面PAC ，PE AC ⊥，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE AB ⊥. 因ABC=,,AB EF 2EF BC π∠⊥故.从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ， EF 都垂直， 所以AB ⊥平面PFE .（2）解：设BC=x ,则在直角ABC ∆中，从而11S AB BC=22ABC ∆=⨯由EFBC ，知23AF AE AB AC ==，得AEF ABC ∆~∆,故224S 39AEF ABC S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，即4S 9AEF ABC S ∆∆=. 由1AD=2AE,11421S S =S S 22999AFB AFE ABC ABC ∆∆∆∆=⋅==从而四边形DFBC的面积为DFBC 11S S -=29ABC ADF S ∆∆=718=由（1）知，PE PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高.在直角PEC ∆中， =,体积DFBC 117S 73318P DFBC V PE -=⋅⋅=⋅=, 故得42362430x x -+=，解得，由于0x >，可得333x x ==或.所以3BC =或BC =考点：1. 空间线面垂直关系，2. 锥体的体积，3.方程思想.视频10．（Ⅰ）见试题解析;（Ⅱ）见试题解析;（Ⅲ） .【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷带解析）【解析】（Ⅰ）要证明EF ∥平面 , 只需证明 且EF 平面 ;（Ⅱ）要证明平面 平面 ,可证明 , ;（Ⅲ）取 中点N,连接 ,则 就是直线 与平面 所成角,Rt △ 中,由得直线 与平面所成角为 .试题解析:（Ⅰ）证明:如图,连接 ,在△ 中,因为E 和F 分别是BC, 的中点,所以 ,又因为EF 平面 , 所以EF ∥平面 .（Ⅱ）因为AB=AC,E 为BC 中点,所以 ,因为 平面ABC,所以 平面ABC,从而 ,又 ,所以 平面 ,又因为 平面 ,所以平面 平面 .（Ⅲ）取中点M和中点N,连接,因为N和E分别为,BC中点,所以,,故,,所以,,又因为平面,所以平面,从而就是直线与平面所成角,在△中,可得AE=2,所以=2,因为,所以又由,有,在Rt△中,可得,在Rt△中,因此,所以,直线与平面所成角为.考点：本题主要考查空间中线面位置关系的证明,直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力及推理论证能力.视频11．见解析【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷带解析）【解析】（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH.证明如下因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH于是BCEH为平行四边形所以BE∥CH又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH同理BG∥平面ACH又BE∩BG＝B所以平面BEG∥平面ACH（Ⅲ）连接FH因为ABCD －EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH 因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG又EG ⊥FH ，EG ∩FH ＝O ，所以EG ⊥平面BFHD 又DF ⊂平面BFDH ，所以DF ⊥EG 同理DF ⊥BG 又EG ∩BG ＝G 所以DF ⊥平面BEG.考点：本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.12．（Ⅰ） 证明见解析，详见解析；（Ⅱ） 6a =.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（陕西卷带解析） 【解析】试题分析：（Ⅰ） 在图1中，，E 是AD 的中点，所以四边形ABCE 是正方形，故BE AC ⊥，又在图2中，1,BE AO BE OC ⊥⊥，从而BE ⊥平面1AOC ，又//DE BC 且DE BC =，所以//CD BE ，即可证得CD ⊥平面1AOC ； （Ⅱ）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE平面BCDE BE = ，又由（Ⅰ）知，1A O BE ⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ，即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高，易求得平行四边形BCDE 面积2S B CA B a =⋅=，从而四棱锥1A BCDE -的为，得6a =.试题解析：（Ⅰ）在图1，E 是AD 的中点所以BE AC ⊥，即在图2中，1,BE AO BE OC ⊥⊥ 从而BE ⊥平面1AOC 又//CD BE所以CD ⊥平面1AOC .（Ⅱ）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ， 且平面1A BE平面BCDE BE =又由（Ⅰ）知，1AO BE ⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ， 即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高，由图1，平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=， 从而四棱锥1A BCDE -的为，得6a =. 考点：1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空间几何体的体积. 13．证明见解析【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷带解析）【解析】（Ⅰ）证法一：连接,.DG CD 设CD GF M ⋂=,连接MH ，在三棱台DEF ABC -中， 2AB DE G =，分别为AC 的中点，可得//,DF GC DF GC =，所以四边形DFCG 是平行四边形，则M 为CD 的中点，又H 是BC 的中点，所以//HM BD , 又HM ⊂平面FGH ， BD ⊄平面FGH ，所以//BD 平面FGH .证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点，可得//,,BH EF BH EF =所以HBEF 为平行四边形，可得//.BE HF 在ABC ∆中， G H ，分别为AC BC ，的中点， 所以//,GH AB 又GH HF H ⋂=， 所以平面//FGH 平面ABED ， 因为BD ⊂平面ABED ， 所以//BD 平面FGH .（Ⅱ）证明：连接HE .因为G H ，分别为AC BC ，的中点，所以//,GH AB 由,AB BC ⊥得GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，所以//,,EF HC EF HC =因此四边形EFCH 是平行四边形，所以//.CF HE 又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.又,HE GH ⊂平面EGH ， HE GH H ⋂=，所以BC ⊥平面EGH ， 又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面.EGH 考点：1.平行关系；2.垂直关系.视频14．（1）见解析；（2）见解析；（3）.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷带解析）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线得出OM ∥VB ，利用线面平行的判定定理证明VB ∥平面MOC ；（Ⅱ）证明OC ⊥平面VAB ，即可证明平面MOC ⊥平面VAB ；（Ⅲ）利用等体积法求三棱锥A-MOC 的体积即可试题解析：（Ⅰ）证明：∵O ，M 分别为AB ，VA 的中点，∴OM∥VB，∵VB平面MOC，OM平面MOC，∴VB∥平面MOC；（Ⅱ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，又∵平面VAB⊥平面ABC，平面 ∩平面VAB=AB，且OC平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，所以.所以等边三角形的面积.又因为平面，所以三棱锥的体积等于.又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积为.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；用向量证明平行视频答案第15页，总15页。

第十章 立体几何一．基础题组1.【2007四川，理4】如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )（A ）BD ∥平面CB 1D 1 （B ）AC 1⊥BD（C ）AC 1⊥平面CB 1D 1 （D ）异面直线AD 与CB 1所成角为60°2.【2007四川，理14】如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 .BB 13.【2008四川，理9】设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( )（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条【点评】：此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性； 【突破】：数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图形的对称性；4.【2010四川，理15】如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .【命题意图】本题考查立体几何中的二面角、线面角的求法.关键是利用三垂线定理及其逆定DB 1Bα∙AB∙β理把要求的角作出来.5.【2011四川，理3】1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A )12l l ⊥，23l l ⊥13l l ⇒ （B ）12l l ⊥，23l l ⇒13l l ⊥(C )233l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面（D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面6.【2011四川，理15】如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .7.【2012四川，理6】下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8. 【2012四川，理14】如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 分别是棱CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。

2015广东高考文科数学试题分类汇编：立体几何详细解答一、选择题：1、某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 【解析】：本题考查两个方面的内容：一、三视图；二、立体图形的体积计算； 一、三视图：1、如果三个三视图中有两个三角形，这个立体图形一定是椎体，另一个三视图用来说明其为锥体的那一种；2、如果三个三视图中有两个矩形，这个立体图形一定是柱体，另一个三视图用来说明其为柱体的那一种；3、如果三个三视图中有两个梯形，这个立体图形一定是台体，另一个三视图用来说明其为台体的那一种；二、立体图形的体积计算：1、锥体的体积计算：⨯=31V 底面积⨯高2、柱体的体积计算：=V 底面积⨯高3、台体的体积计算：=V 大椎体体积-小椎体体积解：本题目是由两个立体图形组成的一个组合图形，一般情况下，我们需要分为两个部分各自处理。

上半部分：三视图为三个矩形，说明这个立体图形为四棱柱。

=V 底面积⨯高=16224=⨯⨯下半部分：三视图为两个矩形一个半圆，说明这个立体图形为圆柱的一半。

ππ842212=⨯⨯⨯=V所以：该组合立体图形的体积为π816+。

2、已知正四棱锥1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．33C ．23D ．13【解析】本题考查线与面的夹角计算，线与面的夹角计算有两种方法： 方法一：第一步：线中两个端点一般情况下一个在平面上，一个在平面，由不在平面上的点找到在该平面上的投影点。

（该点和投影点之间的连线垂直于该平面） 第二步：连接线重在平面的端点和投影点，形成一个直角三角形。

第三步：三角形中在平面的边与该直线之间的夹角就是线与面的夹角。

第四步：在直角三角形中利用三角函数求该角的三角函数值。

如图所示：其中'PAP ∠为直线'PP 和平面α的夹角，在'PAP Rt ∆中计算'PAP ∠的三角函数值。

2015全国高考数学试题汇编文科立体几何（试题版）[2015·安徽卷] 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．48 B．32＋817 C．48＋817 D．80 [2015·北京卷] 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A．32 B．16＋16 2 C．48 D．16＋32 2[2015·广东卷] 如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A ．4 3B ．4C ．23D ．2[2015·湖南卷] 设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18C.92π＋12D.92π＋18 [2015·辽宁卷] 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A．4 B．2 3 C．2 D. 3 [2015·课标全国卷] 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )[2015·陕西卷] 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2πD.2π3[2015·天津卷] 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m 3.[2015·浙江卷] 若某几何体的三视图如图1－1所示，则这个几何体的直观图可以是( )[2015·福建卷] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．[2015·浙江卷] 若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交[2015·广东卷] 正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15 C．12 D．10 [2015·四川卷] l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面[2015·湖北卷] 设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是( )A．V1比V2大约多一半B．V1比V2大约多两倍半C．V1比V2大约多一倍D．V1比V2大约多一倍半[2015·辽宁卷] 已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC ＝45°，则棱锥S－ABC的体积为( )A.33B.233C.433D.533[2015·课标全国卷] 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．[2015·四川卷] 如图1－3，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．[2015·全国卷] 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．[2015·安徽卷] 如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD 上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．(1)证明直线BC∥EF；(2)求棱锥F－OBED的体积．[2015·北京卷] 如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．[2015·江苏卷] 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD ＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.[2015·课标全国卷] 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．[2015·陕西卷] 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD 把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．[江苏卷] 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.[2015·辽宁卷] 如图，四边形ABCD 为正方形， QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值．[2015·湖南卷] 如图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，点C在AB上，且∠CAB＝30°，D为AC的中点．(1)证明：AC⊥平面POD；(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．[2015·浙江卷] 如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．(1)证明：AP⊥BC；(2)已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2，求二面角B－AP－C的大小．[2015·福建卷] 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD 上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积．[2015·江西卷] 如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD . (1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求PA 的长；(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE .[2015·山东卷] 如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.[2015·四川卷] 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连结AP交棱CC1于点D.(1)求证：PB1∥平面BDA1；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值．[2015·天津卷] 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明PB∥平面ACM；(2)证明AD⊥平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．。

2015全国高考数学试题汇编文科立体几何（答案分析版）[2015安徽卷]一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A . 48B . 32 + 8 C. 48+ 8 D . 80C 【解析】由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱（如图所示, 所以该直四棱柱的表面积为S= 2 (2 + 4 4+ 4 4+ 2 4 + 2 4 = 48+ 8.[2015北京卷]某四棱锥的三视图如图1 —1所示，该四棱锥的表面积是（啊辄1割A . 32B . 16+ 16 C. 48 D . 16+ 32B 【解析】由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以其表面积为44+ 4 42 = 16+ 16,故选 B.[2015 •东卷]如图，某几何体的正视图（主视图，侧视图（左视图和俯视图分别是等边三角形, 等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（C 【解析】由三视图知该几何体为四棱锥，棱锥高h== 3,底面为菱形，对角线长分别为2, 2，所以底面积为2 2= 2,所以V = Sh= 2 3= 2.[2015湖南卷]设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A . 9 n+ 42B . 36 n+ 18 C. * 12 D.先 18D 【解析】由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：V = V1 + V2 =n-3+ 3 3 2 = n+ 18,故选D.[2015辽宁卷]一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为1-3所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是(2,它的三视图中的俯视图如图A . 4B . 2 C. 2 D.B 【解析】由俯视图知该正三棱柱的直观图为下图，其中M , N是中点，矩形MNC 1C为左视图.[2015课标全国卷]在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为(D 【解析】由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如图，故侧视图选 D.[2015陕西卷]某几何体的三视图如图所示，则它的体积为(A . 8 —B . 8 —C. 8 —2 n D.A 【解析】主视图与左视图一样是边长为2的正方形，里面有两条虚线，俯视图是边长为2的正方形与直径为2的圆相切，其直观图为棱长为2的正方体中挖掉一个底面直径为2的圆锥，故其体积为正方体的体积与圆锥的体积之差，V正=23= 8, V锥=n2h= (r = 1, h = 2,故体积V = 8 ―,故答案为A.［2015天津卷］一个几何体的三视图如图所示(单位：m，则该几何体的体积为__________ m3.4【解析】根据三视图还原成直观图，可以看出，其是由两个形状一样的，底面长和宽都为1,高为2的长方体叠加而成，故其体积V = 211 + 112= 4.22015浙江卷］若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是[2015福建卷]如图1 —3,正方体ABCD —A1B1C1D1中，AB = 2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF //平面AB1C，则线段EF的长度等于___________ .【解析】•/ EF //平面ABIC , EF?平面ABCD，平面ABCD 平面ABIC = AC ,••• EF // AC ,又••• E是AD的中点，• F是CD的中点，即EF是厶ACD的中位线，• EF = AC = 2 =.[2015浙江卷]若直线I不平行于平面a且I? a,则(A . a内的所有直线与I异面B . a内不存在与I平行的直线C. a内存在唯一的直线与I平行D . a内的直线与I都相交B【解析】在a内存在直线与I相交，所以A不正确；若a内存在直线与I平行，又：I? a, 则有I // a,与题设相矛盾，• B正确，C不正确；在a内不过I与a交点的直线与I异面，D不正确.[2015 广东卷]正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有(A . 20B . 15 C. 12 D . 10D 【解析】一个下底面5个点，每个下底面的点对于5个上底面的点，满足条件的对角线有2条，所以共有52 = 10条.[2015四川卷]11 ,12 ,13是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A .11 丄12 , 12 丄13? 11 // 13B . 11 丄12 , 12 // 13? 11 丄13C. 11 // 12 // 13? 11 , 12, 13 共面D . 11 , 12 , 13 共点？ 11 , 12 , 13 共面B 【解析】对于A，直线11与13可能异面；对于C,直线11、12、13可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面；对于D，直线11、12、13相交于同一个点时不一定共面.所以选B. [2015湖北卷]设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是（A . V1比V2大约多一半B . V1比V2大约多两倍半C. V1比V2大约多一倍D . V1比V2大约多一倍半D 【解析】设球的半径为R,则V1 = n3•设正方体的边长为a,则V2 = a3.又因为2R= a,所以V1 = n 3 £3, V1 —V2= a3~ 1卫3.[2015辽宁卷]已知球的直径SC= 4, A、B是该球球面上的两点，AB= 2, / ASC= Z BSC=45 °则棱锥S- ABC的体积为（A. B. C. D.C 【解析】如图1 —6，由于SC是球的直径，所以Z SAC= Z SBC= 90 °又Z ASC= Z BSC=45°所以△ SAC、△ BSC为等腰直角三角形，取SC中点D，连接AD、BD.由此得SC丄AD, SC丄BD，即SC丄平面ABD.所以Vi —= V L—+ VX—= S A 二己：SC.由于在等腰直角三角形△ SAC中/ASC= 45° SC= 4,所以AD = 2•同理BD = 2.又AB = 2，所以△ ABD为正三角形，所以V m = S△上SC= XX22 •in60M=，所以选 C.[2015课标全国卷]已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.【解析】如图，设球的半径为R,圆锥底面半径为r，则球面面积为4T R2,圆锥底面面积为n2,由题意n2 = T R2，所以r = R,所以001 = = = R,所以SO1 = R+ R= R, S1O1 = R—R= R,所以==.[2015四川卷]如图1 —3,半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 ______________________ .大纲文数15.G832 n【解析】本题主要考查球的性质、球与圆柱的组合体、均值不等式的应用.如图1—4为轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S,球半径R= 4,则2+ r2 = R2,即h = 2.因为S= 2 n h = 4 nr = 4 nW 4 n T R2，取等号时，内接圆柱底面半径为R,高为R,—S球一S圆柱=4T R2—2K R2 = 2K R2= 32 n.[2015全国卷]已知正方体ABCD —A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_______________ .【解析】取A1B1的中点F，连EF，则EF // BC,/ AEF是异面直线AE与BC所成的角，设正方体的棱长为a,可得AE= a, AF =玄，在厶AEF中，运用余弦定理得cos/ AEF =，即异面直线AE与BC所成角的余弦值为.[2015安徽卷]如图1 —4, ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD 上，OA = 1, OD = 2, △ OAB , △ OAC , △ ODE , △ ODF 都是正三角形.(1证明直线BC // EF;(2求棱锥F —OBED的体积.【解答】(1证明：设G是线段DA与EB延长线的交点，由于△ OAB与厶ODE都是正三角形，OA = 1, OD = 2，所以OB 綊DE , OG = OD = 2.同理，设G'是线段DA与FC延长线的交点，有OC綊DF, OG = OD = 2，又由于G和G'都在线段DA 的延长线上，所以G与G'重合.在厶GED和厶GFD中，由OB綊DE和OC綊DF，可知B和C分别是GE和GF的中点.所以BC是厶GEF的中位线，故BC // EF.(2 由OB= 1, OE = 2，/ EOB = 60 °知S A EOB =.而厶OED是边长为2的正三角形，故S A OED =.所以SOBED = S A EOB + S A OED =.过点F作FQ丄DG,交DG于点Q,由平面ABED丄平面ACFD知，FQ就是四棱锥 F —OBED 的高，且FQ =，所以VF —OBED = FQ-S四边形OBED =.[2015北京卷]如图1 —4,在四面体PABC中，PC丄AB , PA丄BC,点D , E, F, G分别是棱AP , AC ,BC , PB的中点.(1求证：DE //平面BCP;(2求证：四边形DEFG为矩形；(3是否存在点Q,至U四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.课标文数17.G4[2015北京卷]【解答】（1证明：因为D, E分别为AP, AC的中点,图1 — 5 所以DE // PC.又因为DE?平面BCP , PC?平面BCP , 所以DE //平面BCP.（2因为D、E、F、G分别为AP、AC、BC、PB的中点，所以DE // PC // FG ,DG // AB // EF,所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC丄AB,所以DE丄DG ,所以平行四边形DEFG为矩形.（3存在点Q满足条件，理由如下：连接DF , EG,设Q为EG的中点.由（2 知，DF AEG = Q,且QD = QE = QF = QG = EG.分别取PC、AB的中点M, N，连接ME、EN、NG、MG、MN.与（2同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q,且QM = QN = EG.所以Q为满足条件的点.[2015 •苏卷]如图1 - 2,在四棱锥P—ABCD中，平面PAD丄平面ABCD , AB = AD，/ BAD =60° E、F分别是AP、AD的中点.求证：(1直线EF //平面PCD ;(2平面BEF丄平面PAD.课标数学16.G4 , G5[2015 -江苏卷]本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.【解答】证明：(1在厶PAD中，因为E, F分别为AP, AD的中点，所以EF // PD.又因为EF?平面PCD , PD?平面PCD ,图1 — 3所以直线EF //平面PCD .(2连结BD，因为AB = AD,Z BAD = 60 °所以△ ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BF丄AD.因为平面PAD丄平面ABCD , BF?平面ABCD ,平面PAD 门平面 ABCD = AD ，所以BF 丄平面 PAD.又因为BF?平面BEF ，所以平面 BEF 丄平面 PAD.1[2015课标全国卷]如图1 — 8,四棱锥P — ABCD 中，底面60 ° AB = 2AD , PD 丄底面 ABCD.(1证明：PA 丄BD ;(2设PD = AD = 1，求棱锥 D — PBC 的高.课标文数18.G5 , G11[2015 -课标全国卷]【解答】(1证明:余弦定理得BD = AD ,从而 BD2 + AD2 = AB2, 故 BD 丄 AD.又PD 丄底面 ABCD ，可得BD 丄PD ,所以BD 丄平面 PAD ，故PA 丄BD.(2如图，作DE 丄PB ,垂足为E.已知PD 丄底面 ABCD ，贝U PD 丄BC.ABCD 为平行四边形，/ DAB = 因为/ DAB = 60° AB = 2AD ，由 由(1知BD 丄AD ，又BC // AD ，所以BC 丄BD . 图1 — 8故BC丄平面PBD, BC丄DE.贝U DE丄平面PBC.由题设知PD = 1,贝U BD = , PB= 2.根据DE PB = PD BD 得DE =.即棱锥D —PBC的高为.[2015陕西卷]如图1 —8，在厶ABC中，/ ABC = 45° / BAC = 90° AD是BC上的高，沿AD把厶ABD折起，使/ BDC = 90° (1证明：平面ADB丄平面BDC ;(2若BD = 1,求三棱锥D —ABC的表面积.图1 —8课标文数16.G5[2015陕西卷]【解答】(1 v折起前AD是BC边上的高, •••当厶ABD折起后，AD丄DC，AD丄DB.又DB A DC = D.• AD丄平面BDC.•/ AD 平面ABD，•平面ABD丄平面BDC.(2 由(1 知，DA 丄DB, DB 丄DC , DC 丄DA,DB = DA = DC = 1.AB = BC= CA=.从而S A DAB = S A DBC = =S\ DCA = X1 X1 =.S A ABC = ">Sin60 =.表面积S= X3+=.2015江苏卷］如图1 —2，在四棱锥P —ABCD中，平面PAD丄平面ABCD , AB= AD，/ BAD =60° E、F分别是AP、AD的中点.求证：（1直线EF //平面PCD ;（2平面BEF丄平面PAD.课标数学16.G4 , G5［2015 -江苏卷］本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.【解答】证明：（1在厶PAD中，因为E, F分别为AP, AD的中点，所以EF / PD.又因为EF?平面PCD, PD?平面PCD ,所以直线EF //平面PCD.(2连结BD，因为AB = AD，/ BAD = 60 °所以△ ABD为正三角形，因为F是AD的中点, 所以BF丄AD.因为平面PAD丄平面ABCD , BF?平面ABCD ,平面PAD门平面ABCD = AD，所以BF丄平面PAD.又因为BF?平面BEF，所以平面BEF丄平面PAD.[2015 •宁卷]如图1 —8,四边形ABCD为正方形,QA 丄平面ABCD , PD // QA , QA = AB = PD.(1证明：PQ丄平面DCQ ;(2求棱锥Q —ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值.课标文数18.G7[2015辽宁卷]【解答】(1由条件知PDAQ为直角梯形. 因为QA丄平面ABCD，所以平面PDAQ丄平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC丄AD ,所以DC丄平面PDAQ，可得PQ丄DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ = PQ= PD,贝U PQ丄QD.所以PQ丄平面DCQ.(2 设AB = a.由题设知AQ为棱锥Q —ABCD的高，所以棱锥Q —ABCD的体积V1 = a3.由(1知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ= a, △ DCQ的面积为a2,所以棱锥P—DCQ的体积V2 = a3.故棱锥Q —ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.1[2015湖南卷]如图1 —5，在圆锥PO中，已知PO=,O O的直径AB = 2,点C在上，且/ CAB = 30° D为AC的中点.(1证明：AC丄平面POD ;(2求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.课标文数19.G5 , G11[2015 -湖南卷]【解答】(1因为OA = OC, D是AC的中点，所以AC丄OD. 又PO丄底面O O , AC?底面O O,所以AC丄PO.而OD, PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC丄平面POD.(2由(1知，AC丄平面POD，又AC?平面PAC,所以平面POD丄平面PAC.在平面POD中，过O作OH丄PD于H，贝U OH丄平面PAC.图1 — 6连结CH，贝U CH是OC在平面PAC上的射影, 所以/ OCH是直线OC和平面PAC所成的角.在Rt△ ODA 中，OD = OA sin30 =.在Rt△ POD 中，OH ===.在Rt△ OHC 中，sin/OCH ==.故直线OC和平面PAC所成角的正弦值为.图1 —7[2015浙江卷]如图1 —7,在三棱锥P—ABC中，AB = AC, D为BC的中点，PO丄平面ABC, 垂足O落在线段AD 上.(1 证明：AP I BC;(2 已知BC = 8, PO = 4, AO= 3, OD = 2，求二面角B—AP —C 的大小.课标文数20.G11 [2015浙江卷]【解答】（1证明：由AB= AC, D是BC中点，得AD丄BC,又PO丄平面ABC, 得PO丄BC ,因为PO Q AD = O,所以BC丄平面PAD，故BC丄AP. (2如图，在平面APB内作BM丄PA于M，连CM. 因为BC丄PA，得PA丄平面BMC，所以AP I CM.故/ BMC为二面角B—AP - C的平面角.在Rt△ ADB 中，AB2= AD2 + BD2= 41,得AB=.在Rt△ POD 中，PD2 = PO2+ OD2,在Rt△ PDB 中, PB2= PD2 + BD2,所以PB2 = PO2+ OD2+ BD2 = 36,得PB= 6.在Rt△ POA 中，PA2= AO2 + OP2= 25,得PA= 5. 又cos / BPA= = ,从而sin / BPA=.故BM= PBsin / BPA= 4.同理CM= 4.因为BM甘MC2= BC2所以/ BM= 90°,即二面角B- AP— C的大小为90°.图1-5[2015 •福建卷]如图1 —5，四棱锥P— ABCD中, PU底面ABCD AB丄AD,点E在线段AD 上，且CE// AB.(1求证：CEL平面PAD(2 若PA= AB= 1, AD- 3, CD-,/ CDA= 45°，求四棱锥P—ABCD勺体积.课标文数20.G12[2015 •福建卷]【解答】(1证明：因为PAL平面ABCD CE?平面ABCD图1 — 6所以PAL CE因为AB丄AD, CE// AB所以CEL AD.又PA n AD- A,所以CEL平面PAD.(2 由(1 可知CEL AD.在Rt△ ECD中，DE- CD- cos45°= 1, CE- CD- sin45 ° = 1.又因为AB= CE- 1, AB// CE所以四边形ABCE为矩形.所以S 四边形ABC—S 矩形ABCEF S A ECD- AB - AE+ CE- DE- 1X 2+ X 1 X 1=. 又PAL平面ABCD PA= 1 , 所以V四棱锥P—ABC- S四边形ABCD PA- XX 1 -. 2[2015 •江西卷]如图1 —7,在厶ABC 中，/ B=, AB= BC= 2, P为AB边上一动点，PD// BC 交AC于点D,现将△ PDA沿PD翻折至△ PDA，使平面PDA丄平面PBCD.(1当棱锥A—PBCD的体积最大时，求PA的长;(2若点P为AB的中点，E为A C的中点，求证：A B丄DE课标文数18.G12[2015 •江西卷]【解答】(1 令PA= x(0<x<2，贝U A P= PD= x, BP= 2—x.因为A'P丄PD,且平面A PD丄平面PBCD 故A'P丄平面PBCD.所以VA'—PBCD= Sh= (2 —x(2 + xx = (4x —x3.令f(x = (4x —x3，由 f ‘ (x = (4 —3x2= 0，得x=.当x€时，f ' (x>0，f(x单调递增；当x€时，f ' (x<0，f(x单调递减，所以，当x=时，f(x取得最大值，即：当VA'—PBCD最大时，PA=.(2证明：设F为A'B的中点，连接PF, FE.则有EF綊BC，PD綊BC，所以EF綊PD,四边形DEFP为平行四边形，所以DE// PF,又A P= PB,所以PF丄A B,故DEL A'B.[2015 •山东卷]如图1 —5，在四棱台ABCD- A1B1C1D1中，D1D L平面ABCD底面ABCD是平行四边形，AB= 2AD, AD= A1B1, / BAD= 60°.(1 证明：AA1L BD(2 证明：CC1 //平面A1BD.图1 — 5课标文数19.G12[2015 •山东卷]【解答】证明：（1证法因为D1D L平面ABCD且BD?平面ABCD图1 — 6所以D1D L BD.又因为AB= 2AD, / BAD= 60°,在厶ABD中，由余弦定理得BD2 = AE2 + AB2 —2AD- AB DOS60°= 3AE2.所以AD2+ BD2= AB2所以AD L BD.又AD A D1D= D,所以BDL平面ADD1A1.又AA1?平面ADD1A1所以AA1丄BD.证法因为D1DL平面ABCD且BD?平面ABCD所以BDL D1D取AB的中点G连接DG.在厶ABD 中,由AB= 2AD得AG= AD,又/ BAD= 60°，所以△ ADG为等边三角形.因此GD= GB.故/ DB&/ GDB又/ AGD= 60°,所以/ GDB= 30°,故/ ADB=Z ADG/ GDB= 60°+ 30°= 90 所以BD L AD. 又AD A D1D= D,所以BDL平面ADD1A1 又AA1?平面ADD1A1所以AA1丄BD.设 ACH BD= E ,连接 EA1. 因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以EC = AC由棱台定义及 AB = 2AD= 2A1B1知， A1C1// EC 且 A1C1= EC所以四边形A1ECC 伪平行四边形. 因此 CC1// EA1,又因为EA1?平面 A1BD CC1?平面 A1BD所以CC1//平面A1BD.[2015 •四川卷]如图1 — 5,在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，/ BAC= 90 延长A1C1至点P ,使C1P = A1C1,连结 AP 交棱CC1于点D. AB= AC = AA1= 1,(1 求证：PB1// 平面 BDA1;(2求二面角A — AID- B 的平面角的余弦值. (2 连接 AC A1C1.[2015 •四川卷]【解答】解法(1连结AB1与BA1交于点O,连结OD.•/ C1D/ AA1, A1C1= C1P, ••• AD= PD,又AO= B1Q • OD/ PB1.图1 — 6又OD?平面BDA1, PB1?平面BDA1,• PB1 //平面BDA1.(2过A作AEL DA1于点E ,连结BE.•/ BAL CA BAL AA1,且AA们AC= A,• BAL平面AA1C1C.由三垂线定理可知BE L DA1.•/ BEA为二面角A- AID- B的平面角.在Rt △ A1C1D 中，A1D= =,又S A AA1D=X 1 X 1=XX AE• AB .在Rt △ BAE 中，BE= =, • cos / BEA==.故二面角A—A1A B的平面角的余弦值为[2015 •天津卷]如图1 —7,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为平行四边形，/ ADC= 45AD= AC= 1, O为AC的中点，POL平面ABCD PO= 2, M为PD的中点.(1证明PB//平面ACM(2证明ADL平面PAC(3求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.课标文数17.G12[2015 •天津卷]图1 —8【解答】(1证明：连接BD, MO在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点.又M为PD的中点，所以PB// MO因为PB?平面ACM MC?平面ACM所以PB//平面ACM.(2证明：因为/ ADC= 45°，且A» AC= 1，所以/ DAC= 90°,即卩AD L AC又PC L平面ABCD AD?平面ABCD 所以POL AD.而AS PO= O,所以ADL平面PAC.(3取DO中点N,连接MN, AN.因为M为PD的中点，所以MN/ PQ 且MN k PO= 1.由PO L平面ABCD得MN L平面ABCD所以/ MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.在Rt△ DAO中，AD=1, AO=，所以DO=.从而AN^ DO=.在Rt △ ANM中, tan / MAN= ==，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为•20.(本小题满分13分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.中，侧棱；底面，且：，点.是「的(I)证明：；平面•’.试判断四面体，—是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(U)记阳马「'的体积为，四面体■ !-的体积为'，求的值.【答案】(I)因为「底面■，所以Q '1.由底面：为长方形，有■ ■'，而轮童，所以. 平面•..「平面•.，所以- ■.又因为；，点，是「的中点，所以「.而•’，所以；平面尹皆/.四面体■兀』是- 一个鳖臑; (n) J【解析】试题分析：（I）由侧棱：底面• •易知，3 ..;而底面 ,•为长方形，有〃「丄，由线面垂直的判定定理知B「丄平面，进而由线面垂直的性质定理可得处丄DF ；在\PCD中，易得DE1 PC，再由线面垂直的判定定理即可得出结论.由决’丄平面••，，平面•’，进一步可得四面体，■ ■的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（n）结合（I）证明结论，并根据棱锥的体积公式分别求出'',即可得出所求结果.试题解析：（I）因为逹:亠底面,所以「■'.由底面•为长方形，有■ ■',而财门，所以.平面• . . ■. 平面••，所以- 1 .又因为- ，点’是「的中点，所以「..而「，所以；平面'.由，平面，平面•■，可知四面体厂，:的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是罢:溟乙筑線££逆：烈遽盘（n）由已知，」是阳马…•的高，所以' •：「；由卄V= -S^f DE=~ AC CE DE（I）知，…是鳖臑，■的高，厂，所以r）E - CE —^CD在I △「中，因为「'，点•是「的中点，所以一，于是BCCEDE 2S PD CE DE66。

专题十 立体几何1.【2015高考安徽，理5】已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线（D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面2.【2015高考北京，理4】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）（第6题图）(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 4.【2015高考新课标2，理9】已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36π B.64π C.144π D.256π5.【2015高考山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）（A ）23π 错误！未找到引用源。

（B ）43π错误！未找到引用源。

（C ）53π 错误！未找到引用源。

（D ）2π6.【2015高考浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤7.【2015福建，理7】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α 的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.【2015高考上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．9、【2015高考上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ．10.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。