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2．2 第一课时 条件概率一、课前准备 1．课时目标(1) 理解条件概率的定义； (2) 了解条件概率的性质；(3) 能熟练应用条件概率公式求概率值． 2．基础预探1．设A 、B 为两个事件，且P （A ）＞0，称(|)P B A =__________为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．一般把(|)P A B 读作A 发生的条件下B 的概率．2．条件概率的性质为：①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在_____和_____之间，即___(|)P B A ≤≤_____；②如果B 和C 是两个互斥事件，则(|)P B C A =____________．二、学习引领1．深入理解条件概率每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率则是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件），求另一事件在此条件下发生的概率．2．古典概型相关的条件概率公式如果研究的试验是古典概型，则P （B|A ）即Ａ发生的条件下Ｂ发生的概率相当于以事件Ａ为新的基本事件空间，P （B|A ）的值也就是事件Ａ中基本事件数与事件AB 的基本事件数之比，Ω为试验的基本事件空间．3．乘法公式与条件概率公式的关系乘法公式与条件概率公式可以相互求解：要求P （AB ），必须知道P （A ｜B ）或P （B ｜A ）；反之，要求P （A ｜B ），必须知道积事件AB 的概率P （AB ）．在解决实际问题时，不要将求P （AB ）的问题误认为是求P （A ｜B ）的问题． 三、典例导析题型一：定义法求条件概率例1 袋中有3只红球，7只黑球，从中随机地不放回地取两次，每次取1球，发现第一次取得1只黑球．试求第二次取得1只也是黑球的概率．思路导析：显然，第一次取到黑球为条件，在此条件下，第二次仍然取得黑球的概率为条件概率．解: 不妨设取到黑球为事件A ，由题意知P(A)=107；(P AB ）272104279015C C ===．由条件概率定义得P(B|A)=()2()3P AB P A =． 规律方法：直接运用条件概率时，第一要分清谁是条件，第二是准确求出P(AB)，当题目中出现已知“在…前提下(条件下)”等字眼时，一般为求条件概率；题目中虽然没有出现上述明显字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也为条件概率．变式训练：如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）=______P A （）；（2）=______P A （B|）.题型二：利用集合关系法求条件概率例2 盒子中有15个外形相同的球，分别标有号码1，2，…，15，其中6个白球，4个黄球，5个黑球，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，求它是黑球的概率是多少?思路导析：本题为在不是白球的条件下，求为黑球的概率，显然为条件概率．要先研究A 、B 之间的关系，再求P （AB ）会比较简单． 解：设“不是白球”为事件A ，“是黑球”为事件B ，“不是白球是黑球”为事件AB ，则951(),()15153P A P B ===. 因为B A ⊆，所以A B =B ，由条件概率公式可得：()P B A =1()()539()()915P AB P B P A P A ===． 方法规律：本题在求()P AB 的概率时，运用了集合之间的关系，避免了复杂的计算，要掌握这种方法技巧．变式训练：某种节能灯使用了800 h 还能继续使用的概率是0.8，使用了1 000 h 还能继续使用的概率是0.5，问已经使用了800 h 的节能灯还能继续使用到1 000 h 的概率是多少?题型三 条件概率公式的应用例3 某商店储存的50个环形节能灯中, 甲厂生产的环形节能灯占60%, 乙厂生产的环形节能灯占40%, 甲厂生产的环形节能灯的一等品率是90%, 乙厂生产的环形节能灯的一等品率是80%，若从这50个环形节能灯中随机抽取出一个环形节能灯(每个环形节能灯被取出的机会均等), 求它是甲厂生产的一等品的概率．思路导析：取出甲厂生产的一等品环形节能灯，其实包含两个过程一个是甲厂生产的，二是一等品的环形节能灯，故为条件概率事件．解: 设事件A 表示“甲厂生产的环形节能灯”, 事件B 表示“环形节能灯为一等品”, 依题意有()0.6P A =, ()0.9P B A =,根据条件概率计算公式得()()()0.60.90.54P AB P A P B A ==⨯=． 所以它是甲厂生产的一等品的概率为0.54．方法规律：事件A 与B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率乘以在A 发生的条件下，事件B 发生的概率，要注意条件概率公式变形的应用．变式训练：设A 、B 是两个事件，若事件A 和事件B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为 ．四、随堂练习1．下面几种概率是条件概率的是（ ）．A ．甲、乙两人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率；B ．甲、乙两人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率；C ．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率；D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，则小明在一次上学中遇到的红灯的概率.2 ．一个口袋内将有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是（ ）. A ．23 B ．14 C ．25D ．153．据统计，大熊猫的平均寿命是12~20岁，一只大熊猫从出生起，活到10岁的概率为0.8，活到20岁的概率为0.4．北京动物园的大熊猫“妞妞”今年已经10岁了，它能活到20岁的概率为( )．A ．0.32B ．0.48C ．0.5D ．0.64．把一枚硬币任意抛掷两次，事件A 为“第一次出现反面"，事件B 为“第二次出现正面”，则()P B A = —————．5． 一个盒子里面装有5只三极管，其中3只一等品，2只二等品，从中取两次,每次一只,做不放回抽样,设事件A={}第一次取到一等品,事件B={}第二次取到一等品则(|)P A B 的概率为 ．6． 根据历年气象资料统计．某地四月份刮东风的概率是830，既刮东风又下雨的概率是730，求在四月份刮东风的条件下，某地四月份下雨的概率．五、课后作业1．张家的3个鸡仔钻进了李家装有3个鸡仔的鸡笼里，现打开笼门，让鸡仔一个一个地走出来，若第一个走出来的是张家的鸡仔，那么第二个走出的也是张家的鸡仔的概率是( )．A ．52 B ．32 C ．51 D ．532．盒子里装有16只球，其中6只是玻璃球，另外10只是木质球．而玻璃球中有2只是红色的，4只是蓝色的；木质球中有3只是红色的，7只是蓝色的, 现从中任取一只球，如果已知取到的是蓝色的球，则这个球是玻璃球的概率为（）.A 1116B411C14D183．掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，则掷出点数之和不小于10的概率为．4．某种零件使用到400天后还能正常使用的概率是0．9，使用到600天后还能正常使用的概率是0.6，问已经使用了400天的零件还能继续使用到600天的概率是．5．已知某产品的次品率为4％，其合格品中75％为一级品，求任取一件为一级品的概率．6．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”；事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求事件A发生时，事件B发生的概率是多少?参考答案2．2 第一课时条件概率2．基础预探1．()()P ABP A2．0 1 0 1 (|)(|)P B A P C A+三、典例导析例1 变式训练答案：2π；14解析：（1）因为圆的半径为1，所以S=π圆；因为正方形EFGH的对角线长为2，所以22 S=正方形，由几何概型的概率计算公式可得2==SP ASπ正圆（）；（2）因为14()4P Bππ==，112()2P ABππ==，所以()P B A=1()122()4P ABP Aππ==．例2变式训练解：设节能灯使用了800 h还能继续使用为事件A，使用了1 000 h还能继续使用为事件B，则由题意知，P(A)=0．8,P(B)=0.5．因为B A⊆，所以A B=B，由条件概率公式可得：() P B A=()()0.55 ()()0.88P AB P BP A P A===．故已经使用了800 h的节能灯还能继续使用到1 000 h的概率是58．例3 变式训练答案：3 5解析：因为31(),()102P AB P B A==，所以()3()()5P ABP AP B A==．四、随堂练习1．答案:Ｂ解析:条件概率指的是在某个事件A 发生的条件下，B 事件发生的概率，事件A 发生是这个试验的前提．显然，B 选项有这样一个前提． 2 ．答案：C解析：因为摸出1个白球后放回，所以第二次是否摸出白球与第一次没有关系，故选C ． 3．答案：C解析： 设A=“能活到10岁”，B=“能活到20岁”，则8.0)(=A P ，4.0)(=B P ，所求概率为)|(A B P ．因为A B ⊆，所以()()0.4(|)0.5()()0.8P AB P B P B A P A P A ====．故选C ． 4．答案：12解析：一救硬币任意抛掷两次，总事件数为11224C C =，事件A 的基本事件数为11122C C =；事件A B 的基本事件数为1，故可知1()2P B A =． 5．答案:0.5解析:现将产品编号1,2,3,为一等品，4,5为二等品,(i,j)分别为第一二次抽到的产品号．全部的基本事件为20,其中事件A 包含的事件数为12而事件AB 包含的事件数为6,所以(|)P A B =0.5．6．解：设某地四月份刮东风为事件A ，某地四 月份下雨为事件B ，则AB 为某地四月份既刮东风又下雨，则 P(A)=830,7()30P AB =,所以7()730()8()830P AB P B A P A ===． 五、课后作业1．答案．A解析： 设“第一个走出的是张家的鸡仔”为事件A ，“第二个走出的是张家的鸡仔”为事件B ，则=)|(A B P ()()P AB P A 2362356A A ==．故选A ．2．答案：B解析：设A 表示任取一球是玻璃球，B 表示任取一球是蓝色的球，则A ⋂B 表示任取一球是蓝色玻璃球，则114(),(),1616P B P AB ==所以()4(|)()11P AB P A B P B ==． 3．答案：12解析：设掷出点数之和不小于10为事件A ， 第一颗掷出6点为事件B ，则3()136()==6()236P AB P A B P B =．4．答案：23解析：设零件使用了400天后还能正常使用为事件A ，使用了600天后还能正常使用为事件B ，因为B A Ü，所以AB B =，因为()0.9P A =，()0.6P B =．所以()()2()()()3P AB P B P B A P A P A ===．5．解：设“任取一件为合格品”为事件A ，“任取一件为一级品”为事件B ， 显然A B B ⋂=,故()14%0.96P A =-=，()0.75P B A =， 所以()()()()0.960.750.72P B P AB P A P B A ===⨯=．6．解：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为116636A A =．事件A 的基本事件数为6×2=12，所以P(A)=121363=, 因为4+5>8，4+6>8，6+3>8，6+4>8，6+5>8，6+6>8，所以在事件A 发生的条件下，事件B 发生，即AB 的事件总数为6． 故P(AB) =61366=． 由条件概率公式，得1()16(|)1()23P AB P B A P A ====,故事件A 发生时事件B 发生的概率是12．。
摆列与组合第四课时组合问题一、课前准备1．课时目标(1)会办理一些复杂的组合问题；(2)能解决的摆列组合综合应用题2．基础预探摆列组合问题的常有策略为：（1）特别元素____安排的策略；（2）合理分类与正确分步的策略；（ 3）摆列、组合混淆问题______的策略；（ 4）正难则反、等价转变的策略；（5）相邻问题______ 办理的策略；（ 6）不相邻问题 ____办理的策略；（ 7）定序问题等概率除法办理的策略；（ 8）分排问题直排办理的策略；（ 9）“小公司”摆列问题中先整体后局部的策略。
二、学习引领1.办理摆列组合问题的基本步骤是什么？第一判断这个问题是组合问题仍是摆列问题，即看拿出的元素可否互换地点：若能则为组合问题，不然为摆列问题；其次要注意两个基来源理的灵巧应用，对问题进行适合的分类与分步，转变为多个简单的问题办理，但要注意有无重复或遗漏.2.怎样解答有限制条件的组合问题？解决有限制条件的组合问题的基本方法有两种：直接法和清除法。
直接法求解时应坚持特别元素优先选用的原则，再办理其余一般元素；若正面办理问题时需要议论的状况比许多，计算量较大，不如从问题的反面下手利用清除法解决。
一般含有“至多”、“起码”等组合问题多用此法解决，表现了正难则反的策略。
3.怎样办理分组分派问题？分组分派问题是一类常有的摆列组合综合应用题，它的常有形式是这样的：n 个不一样元素依据某些条件分派给k 个不一样得对象，称为分组分派问题。
一般有定定向分派和不定向分配两种问题。
解决这个问题的重点是先对元素进行的适合的分组，而后再分派。
将 n 个不一样元素依据某些条件分红k 组，称为分组问题.分组问题有不均匀分组（如将6个元素，分红 3 个一组、 2 个一组一个一组分为 3 组）、均匀分组（如将 6 个元素，分红每2个一组分为 3 组）和部分均匀分组（如将 6 个元素，分红 4 个一组、 1 个一组、 1 个一组分为 3 组）三种状况。
2．4 第一课时 正态分布一、课前准备 1．课时目标(1) 理解正态分布的定义； (2) 了解正态分布图像的性质；(3) 能利用正态分布图像的对称性求概率． 2．基础预探1．如果随机变量X 的概率密度函数为()2()2,(),,x u u x x σσϕ--=∈-∞+∞，其中实数u和σ（σ＞0）为参数.我们称,()u x σϕ的图象为_____________曲线，简称_____曲线. 2．一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()ba P a Xb x dx μσϕ<≤=⎰，则称X 的分布为正态分布.正态分布完全由参数μσ和确定，因此正态分布常记作________. 3.如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～______________.把_____________的正态分布叫做标准正态分布. 二、学习引领1．现实生活中有哪些正态分布在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等，一般都服从正态分布.所以，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中. 一般地，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计. 2．正态曲线的特点（1）曲线位于ｘ轴上方，与ｘ轴不相交，故此曲线以ｘ轴为渐近线，函数的值域为正实数集的子集；（2）曲线是先增后减，以直线x μ=为对称轴，在x μ=；（3）曲线与ｘ轴之间的面积为1；（4）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿ｘ轴平移；当μ一定时，曲线的对称轴位置固定，但形状由σ确定： σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.3．利用正态曲线的对称性求概率的步骤①根据正态密度函数的性质或者均值得到对称轴x μ=，做出函数的草图； ②观察已知的概率值与要求的概率值在图像上对应的部分是否具备某种对称关系； ③利用性质：正态密度曲线下方，x 轴上方之间的总面积为1，通过适当的运算得到需要的概率值.例如：我们可用标准正态总体N （0,1）求概率值的过程来说明这种对称性.如图，0()P X x <的概率值为阴影部分的面积：根据正态密度函数的性质可知：0()P X x <+0()P X x ≥=1.易知，非阴影部分的概率值为00()1()P X x P X x ≥=-≤.根据标准正态曲线关于ｙ轴对称，所以000()()1()P X x P X x P X x <-=≥=-≤..当然，通过其它的一些对称，还可以得到更复杂的性质.同样的，对称轴为μ的正态分布也具备类似的性质，只不过对称轴位置不同而已. 三、典例导析题型一 正态曲线的特点例1 设三个正态分布()211,N μσ、()222,N μσ、()233,N μσ123(,,0)σσσ>的密度函数图象如图所示，则1μ、2μ、3μ按从小到大．．．．的顺序排列是__ _____；1σ、2σ、3σ按从小到大．．．．的顺序排列是 .思路导析：正态曲线的对称轴为x μ=，形状的“胖瘦”由σ确定，观察图像即可知其取值特点.解析：由于正态曲线对称轴为x μ=，所以213μμμ<<；当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“高瘦”；σ越大，曲线越“矮胖”，所以132σσσ<<. 所以填213μμμ<<；132σσσ<<．方法规律：解决正态曲线问题应抓住图像的特点：曲线关于直线x=μ对称，因此位置由数学期望μ确定；形状的“胖瘦”由方差σ确定，可简记为“大胖小瘦”.变式训练：如图是三种不同的正态曲线N(0，2σ)的图象，那么1σ、2σ、3σ的大小关系是( )A ． 12310σσσ>>>>B ． 12301σσσ<<<<C ． 12310σσσ>>>>D ．12301σσσ<<=<题型二 正态曲线的对称性例2 已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,(4)0.2P ξ>=,则(0)P ξ<=（ ） A ．0.8 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.2思路导析：作出正态分布2(2,)N σ的草图，观察(4)P ξ>与(0)P ξ<的对称关系便可得到相应的概率值.解：因为随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，所以正态分布的图象关于x=2 对称，其图象如图所示，所以(0)P ξ<=(4)0.2P ξ>=，故选D ．规律总结：求正态分布在给定区间上的概率问题时，要将所给区间化为已知其概率值的区间，一般要利用数形结合的思想去解决．利用正态图象的对称性，可避免复杂的计算，简化解题过程．变式训练：已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(44)0.6P ξ-≤≤=，则(4)P ξ>= .题型三 概率密度函数的性质例３ 标准正态分布的概率密度函数是22()()x f x x R -=∈.（1）求证：()f x 是偶数函数；（2）利用指数函数的性质说明()f x 的增减性;（3）求()f x 的最大值.思路导析：标准正态分布函数与指数函数比较密切，我们可以借助研究指数函数的方法来研究它.解：（1）对任意x R ∈，有22()22()()x x f x f x ----===，所以()f x 是偶数函数.（2）任取120,0x x <<，且12x x <，有2212x x >，所以221222x x e e--<，所以12()()f x f x <.即当ｘ＜0时，()f x 是递增的。
2.3 第二课时 离散型随机变量的方差一、课前准备 1．课时目标(1) 理解离散型随机变量的方差的定义；(2) 能熟练应用离散型随机变量的方差公式求方差；(3) 能熟练应用二项分布、两点分布、超几何分布的方差公式求方差. 2．基础预探1则2()i x EX -描述了(1,2,,)i x i n = 相对于均值EX 的偏离程度，而DX =________。
为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度.我们称DX 为随机变量X 的方差.X 的标准差，记作_______. 2.两点分布：若X 服从两点分布，则DX =_______. 3.二项分布：若~(,)X B n p ，则DX =__________.二、学习引领1.随机变量方差的意义①随机变量X 的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值相对于它的均值EX 的稳定与波动、集中与离散的程度. ②DX 越小，稳定性越高，波动越小. ③显然DX≥0，且标准差与随机变量本身有相同单位. ④由方差的定义DX =2()i x EX -可知，计算方差DX 必须先求均值E(X)，并且由此定义进一步可得到公式22()()()DX E X E X =-..2.随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随着抽样样本而客观存在；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的.对于简单随机样本，随着样本容易的增加，样本方差越来越接近于总体方差. 3.求随机变量的方差的步骤①分析试验的特点，若为两点分布、二项分布，则直接套用公式；②否则，根据题意设出随机变量，分析随机变量的取值；③列出分布列；④利用离散型随机变量的均值公式求得均值；⑤利用离散型随机变量的方差公式12()ni i i DX x EX p ==-∑求得方差。
三、典例导析题型一 一般离散型随机变量方差的计算例1 A B ，两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2．根据市场分析，X 1和X 2的分布在A B ，两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差1DY ，2DY .思路导析：根据分布列先求出两个随机变量的均值，在此基础上再求得其方差。
2.1 第二课时 离散型随机变量及其分布列（2）1．课时目标(1) 理解离散型随机变量的分布列的定义与性质； (2) 了解两点分布的定义； (3) 理解超几何分布的定义. 2．基础预探1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,i n x x x x X 取每一个值(1,2,,)i x i n =的概率()i i P X x p ==，以表格形式表示如下：这个表格称为离散型随机变量X 的___________，简称为X 的___________.（2）X 的分布列从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律性.为了表达简单，也用等式(),1,2,,i i P X x p i n ===表示X 的分布列.2.离散型随机变量的分布列的性质 （1）____,1,2,,;i p i n ≥= （2）1______ni i p ==∑.3.如果随机变量X 我们称这样的分布为两点分布列.如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称(1)p P X ==为成功概率.4.在含有M 件次品的N 件产品中，任取ｎ件，其中恰有X 件次品数，则事件{}X k =发生的概率为(),0,1,2,,,_____P k m Xk ===其中{}min ,m M n =，且,,n N M N ≤≤*,,n M N N ∈，为超几何分布列.如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布.二、学习引领1.求离散型随机变量的分布列的步骤 （1）首先确定随机变量X 的取值；（2）分析每个X 的取值对应的随机事件；（3）求出每个随机事件的概率值； （4）列表对应，得到分布列. 2. 求()<<P a X b 对应的概率由于离散型随机变量取的各个可能值对应的事件之间彼此互斥。
因此离散型随机变量在某一范围<<a X b 内取值的概率()<<P a X b 等于<<a X b 范围内可能取到的各个X 值对应的概率值之和． 3.两点分布深入理解两点分布又称0－1分布.由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以这种分布还称为伯努利分布.两点分布的应用非常广泛，如抽取的一次彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮一次是否命中等等，都可以用两点分布来研究. 4.超几何分布深入理解超几何分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它的主要特点是：给出的随机实验中的所有的元素仅有两类组成，然后从中抽取一部分，求特定分类中元素的个数为ｎ的概率值。
第2课时排列的综合应用1．掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理排列的综合应用阅读教材P18例3～P20，完成下列问题．1．解简单的排列应用题的基本思想2．解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．【解析】从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A34种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A34＝48个．【答案】482．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．【解析】把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A44＝24种．【答案】243．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．【解析】翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有A35种选法，由分步乘法计数原理知共有4×A35＝240种选派方案．【答案】240[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]无限制条件的排列问题(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【精彩点拨】(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．【自主解答】(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．[再练一题]1．(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种. 【导学号：97270012】【解析】(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，应有A35＝5×4×3＝60.【答案】(1)720(2)60排队问题7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)老师甲必须站在中间或两端；(2)2名女生必须相邻而站；(3)4名男生互不相邻；(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．【精彩点拨】 解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．【自主解答】 (1)先考虑甲有A 13种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：A 13A 66＝2 160(种)．(2)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22·A 66＝1 440(种)．(3)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33·A 44＝144(种)．(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·A 77A 44＝420(种)．解决排队问题时应注意的问题1．对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的元素作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列．2．对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的元素，再将不相邻的元素以插空的方式排入．3．对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可．4．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．[再练一题]2．3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须站两端．【解】 (1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A 36种站法，然后再排其他位置，有A 44种站法，所以共有A 36·A 44＝2 880种不同站法．(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A22种站法，其余5人全排列，有A55种站法．故共有A22·A55＝240种不同站法．[探究共研型]数字排列问题探究1偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？【提示】偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．探究2在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?【提示】在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．探究3如何从26,17,31,48,19中找出大于25的数？【提示】先找出十位数字比2大的数，再找出十位数字是2，个位数字比5大的数即可．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？【精彩点拨】这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．【自主解答】(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．解排数字问题常见的解题方法1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．[再练一题]3．用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数．(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(2)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项．【解】(1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有A45个；第二类，个位上的数字是5的五位数，有A14·A34个．故满足条件的五位数的个数共有A45＋A14·A34＝216(个)．(2)符合要求的比1 325大的四位数可分为三类：第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共A14·A35个；第二类，形如14□□，15□□，共有A12·A24个；第三类，形如134□，135□，共有A12·A13个．由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 325大的四位数共有：A14·A35＋A12·A24＋A12·A13＝270(个)．(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A44个数，∴240 135的项数是A55＋3A44＋1＝193，即240 135是数列的第193项．[构建·体系]1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．240【解析】由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.【答案】 C2．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A．1 440种B．960种C．720种D．480种【解析】从5名志愿者中选2人排在两端有A25种排法，2位老人的排法有A22种，其余3人和老人排有A44种排法，共有A25A22A44＝960种不同的排法．【答案】 B3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个. 【导学号：97270013】【解析】先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．【答案】1444．(2016·莆田高二检测)两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．【解析】分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．【答案】245．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？【解】法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240种．法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240种．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有()A．25种B．55种C．A55种D．53种【解析】其不同的轮映方法相当于将5所大学的全排列，即A55.【答案】 C2．某天上午要排语文，数学，体育，计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有()A．6种B．9种C．18种D．24种【解析】先排体育有A13种，再排其他的三科有A33种，共有3×6＝18(种)．【答案】 C3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A．34种B．48种C．96种D．144种【解析】先排除A，B，C外的三个程序，有A33种不同排法，再排程序A，有A12种排法，最后插空排入B，C，有A14·A22种排法，所以共有A33·A12·A14·A22＝96种不同的编排方法．【答案】 C4．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有()A．24种B．36种C．48种D．72种【解析】分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A24种排法；第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A24种排法，有2A24种排法．由分类加法计数原理，共有A24＋2A24＝36种不同的安排方案．【答案】 B5．(2016·韶关检测)用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有()A．288个B．240个C．144个D．126个【解析】第1类，个位数字是2，首位可排3,4,5之一，有A13种排法，排其余数字有A34种排法，所以有A13A34个数；第2类，个位数字是4，有A13A34个数；第3类，个位数字是0，首位可排2,3,4,5之一，有A14种排法，排其余数字有A34种排法，所以有A14A34个数．由分类加法计数原理，可得共有2A13A34＋A14A34＝240个数．【答案】 B二、填空题6．从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有________个. 【导学号：97270014】【解析】若得到二次函数，则a≠0，a有A13种选择，故二次函数有A13A23＝3×3×2＝18(个)．【答案】187．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．【解析】先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A44种，因此共有不同的分法4A44＝4×24＝96(种)．【答案】968．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是________．【解析】可分为三步来完成这件事：第一步：先将3,5进行排列，共有A22种排法；第二步：再将4,6插空排列，共有2A22种排法；第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A15种排法．由分步乘法计数原理得，共有A222A22A15＝40种不同的排法．【答案】40三、解答题9．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？【解】(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A33.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A33·A44＝144种排法．(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A44种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入四人形成的空(包括两端)，有A25种排法，共有A44·A25＝480种排法．10．(2016·上饶二模)有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中任取3个标号不同的球，颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数．【解】所标数字互不相邻的方法有135,136,146,246，共4种方法.3个颜色互不相同有4A33＝4×3×2×1＝24种，所以这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数有4×24＝96种．[能力提升]1．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．10种B．12种C．9种D．8种【解析】先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．【答案】 B2．(2016·武汉调研)安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是()A．180 B．240C．360 D．480【解析】不同的排法种数先全排列有A66，甲、乙、丙的顺序有A33，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种顺序，所以不同排法的种数共有4×A66A33＝480种．【答案】 D3．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不能安排在10月1日和2日，不同的安排方法共有________种(用数字作答)．【解析】法一：(直接法)先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20种排法，其余5天再进行排列，有A55＝120种排法，所以共有20×120＝2 400种安排方法．法二：(间接法)不考虑甲、乙两人的特殊情况，其安排方法有A77＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040种方法，其中不符合要求的有A22A55＋A12A15A22A55＝2 640种方法，所以共有5 040－2 640＝2 400种方法．【答案】 2 4004．(2016·山东临沂月考)有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)女生互不相邻．【解】(1)法一：元素分析法．先排甲有6种，再排其余人有A88种，故共有6·A88＝241 920(种)排法．法二：位置分析法．中间和两端有A38种排法，包括甲在内的其余6人有A66种排法，故共有A38·A66＝336×730＝241 920(种)排法．法三：等机会法.9个人全排列有A99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是A99×69＝241 920(种)．法四：间接法．A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)．(2)先排甲、乙，再排其余7人．共有A22·A77＝10 080(种)排法．(3)插空法．先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2 880(种)排法.。
2.3.2 离散型随机变量的方差1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点) 3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的方差的概念阅读教材P 64～P 66上面第四自然段，完成下列问题． 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为则(x i －E (X ))2描述了i D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．1．下列说法正确的有________(填序号)．①离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； ②离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平； ③离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的波动水平； ④离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平．【解析】 ①错误．因为离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平．②错误．因为离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．③错误．因为离散型随机变量的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平．④正确．由方差的意义可知． 【答案】 ④2．已知随机变量ξ，D (ξ)＝19，则ξ的标准差为________．【解析】 ξ的标准差D (ξ)＝19＝13.【答案】 133．已知随机变量ξ的分布列如下表：则ξ的均值为________【解析】 均值E (ξ)＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13； 方差D (ξ)＝(x 1－E (ξ))2·p 1＋(x 2－E (ξ))2·p 2＋(x 3－E (ξ))2·p 3＝59. 【答案】 －13 59教材整理2 离散型随机变量的方差的性质阅读教材P 66第5自然段～P 66探究，完成下列问题． 1．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． 2．离散型随机变量方差的线性运算性质 设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )．1．若随机变量X 服从两点分布，且成功概率P ＝0.5，则D (X )＝________，E (X )＝________.【解析】 E (X )＝0.5，D (X )＝0.5(1－0.5)＝0.25. 【答案】 0.25 0.52．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________. 【导学号：97270050】【解析】 由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝89.【答案】 89[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]离散型随机变量的方差的性质及应用(1)已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，则p等于()A.17 B.16C.15 D.14(2)已知η的分布列为：②设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．【精彩点拨】(1)利用二项分布的方差计算公式求解．(2)①利用方差、标准差定义求解；②利用方差的线性运算性质求解．【自主解答】(1)np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝6 7，∴p＝1 7.【答案】 A(2)①∵E(η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D(η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D(η)＝8 6.②∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.1．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．2．若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)，若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，其中p为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程．[再练一题]1．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，D(X)＝32，求n，p的值．【解】由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝3 2，得1－p＝1 2，∴p＝12，n＝6.求离散型随机变量的方差、标准差编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．【精彩点拨】首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E(ξ)和D(ξ)的值．【自主解答】ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P(ξ＝0)＝2A33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了．A32ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝1A33＝16.所以，ξ的分布列为E(ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1；D(ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1．已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，(1)求均值；(2)求方差．2．已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．3．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．4．对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．[再练一题]2．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．【解】这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，C1015ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝C28C12C310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝C18C22C310＝115.∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D(ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.[探究共研型]均值、方差的综合应用探究1A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床B机床试求E(X1)，E2【提示】E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.探究2在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能．因为E(X1)＝E(X2)．探究3在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．【精彩点拨】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．【自主解答】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．[再练一题]3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：【解】甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．[构建·体系]1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎨⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1) D ．m (1－m )【解析】 随机变量ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )． 【答案】 D 2．已知X 的分布列为则D (X )等于( ) A ．0.7 B ．0.61 C ．－0.3 D ．0【解析】 E (X )＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3， D (X )＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61. 【答案】 B3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好．【解析】 因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定． 【答案】 乙4．如果X 是离散型随机变量，E (X )＝6，D (X )＝0.5，X 1＝2X －5，那么E (X 1)和D (X 1)分别是________，________.【解析】 因为E (X 1)＝E (2X －5)＝2E (X )－5＝2×6－5＝7，D (X 1)＝D (2X －5)＝4D (X )＝4×0.5＝2.【答案】 7 25．已知离散型随机变量X 的分布列如下表：若E (X )＝0，D (X )＝】 【解】 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，(－1)×a ＋0×b ＋1×c＋2×112＝0，(－1－0)2×a ＋(0－0)2×b ＋(1－0)2×c ＋(2－0)2×112＝1，解得a ＝512，b ＝c ＝14.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较【解析】∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻整齐．【答案】 B2．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1【解析】由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.【答案】 B3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝13，k＝3,6,9.则D(X)等于()A．6B．9C．3D．4【解析】E(X)＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D(X)＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.【答案】 A4．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)＝( )A.158B.154C.52 D ．5【解析】 两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14，因此D (ξ)＝10×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝158.故选A.【答案】 A5．已知X 的分布列为( )则①E (X )＝－13，②D (X )＝2327，③P (X ＝0)＝13. 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】 E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确；D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确；③P (X ＝0)＝13显然正确．【答案】 C 二、填空题6．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.【解析】 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.【答案】 257．(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．【解析】 由独立重复试验的方差公式可以得到D (ξ)＝np (1－p )≤n ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1－p 22＝n4，等号在p ＝1－p ＝12时成立，所以D (ξ)max ＝100×12×12＝25，D (ξ)max ＝25＝5.【答案】 12 58．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．【解析】 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题知X ～B (25,0.6)，所以E (X )＝25×0.6＝15，D (X )＝25×0.6×0.4＝6， E (Y )＝E (4X )＝4E (X )＝60，D (Y )＝D (4X )＝42× D (X )＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 【答案】 60,96 三、解答题9．海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1，X 2(单位：s)，其分布列如下：根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量． 【解】 ∵E (X 1)＝0，E (X 2)＝0，∴E (X 1)＝E (X 2)．∵D (X 1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；D (X 2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D (X 1)<D (X 2)．由上可知，A 面大钟的质量较好．10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值． 【解】 (1)X 的分布列为：∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2.又∵E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4即为所求． [能力提升]1．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113【解析】 ∵E (X )＝23x 1＋13x 2＝43.∴x 2＝4－2x 1，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 12×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 22×13＝29.∵x 1＜x 2，∴⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.【答案】 C2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －k，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) 【导学号：97270052】A ．8B ．12 C.29 D ．16【解析】 由题意可知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，23，∴23n ＝E (ξ)＝24，∴n ＝36. 又D (ξ)＝n ×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝29×36＝8.【答案】 A3．变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)的值是________． 【解析】 由a ，b ，c 成等差数列可知2b ＝a ＋c ， 又a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝23. 又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，∴a ＝16，c ＝12， 故分布列为∴D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59.【答案】 594．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2-3-3所示．图2-3-3将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．【解】 (1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216，则X 的分布列为因为X～B方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。
