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二项式定理二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容。
在高考中，二项式定理的命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。
因此，复时要正确理解二项式定理、二项展开式的概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键。
同时，注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。
其中，非标准二项式定理求解特殊项的问题是难点问题。
二项式定理的公式为(a+b)^n=C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+。
+C(n,k)*a^(n-k)*b^k+。
+C(n,n)*b^n，其中n∈N*。
展开式的第k+1项为C(n,k)*a^(n-k)*b^k。
在求二项展开式的特定项问题时，实质上是考查通项T(k+1)=C(n,k)*b的特点。
一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解。
注意k的取值范围为k=0,1,2，…，n。
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解。
二项式系数是二项展开式中各项的系数，记为C(n,k)。
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等。
二项式系数具有对称性，在二项展开式中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C(n,k)=C(n,n-k)。
二项式系数的增减性与最大值是：当k(n+1)/2时，二项式系数逐渐减小。
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大。
各二项式系数的和等于2，即C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)=2.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C(n,0)+C(n,2)+…=C(n,1)+C(n,3)+…=2^(n-1)。
在高考中，常涉及多项式和二项式问题，主要考查学生的化简能力。
常见的命题角度有：(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；(3)三项展开式中的特定项(系数)问题。
赋值法是一种重要的方法，适用于恒等式，用于求形如(ax＋b)、(ax＋bx＋c)(a，b∈R)的式子展开式的各项系数之和。
二项式定理一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)❶；(2)通项公式：T k ＋1＝C k n an －k b k ，它表示第k ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C 0n ，C 1n ，…，C n n ❷.2.二项式系数的性质(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关.如(a ＋bx )n 的二项展开式中，第k ＋1项的二项式系数是C k n ，而该项的系数是C k n an －k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.考点一 二项展开式中特定项或系数问题考法(一) 求解形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________. (3)(2019·甘肃检测)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________.[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. (2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 5·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·C r 5·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r ＝3，解得r ＝2，由(－1)2·C 25·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3.(3)⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝C r 5(－a )rx 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.[答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量.考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4·(x )n ＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4. 令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2， 于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x ).于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3. (2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. [答案] (1)B (2)25[解题技法]求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式； 第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30D.60(2)将⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x6－k，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.(2)⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6x 3－k. 令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项； 第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n－r的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.[题组训练]1.(2018·洛阳第一次统考)若a ＝∫π0 sin x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中的常数项为( )A.－15B.15C.－240D.240解析：选D 由a ＝∫π0 sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r ，令3－32r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 26·24＝240. 2.(2019·福州四校联考)在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)解析：二项展开式中，含x 5的项是C 562x 5－x 3C 2624x 2＝－228x 5，所以x 5的系数是－228.答案：－2283.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)的展开式中的常数项为________. 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，得r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322.答案：6322考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A.63x B.4x C.4x 6xD.4x或4x 6x (2)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解析] (1)令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . (2)⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r ， 因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.[答案] (1)A (2)255 (3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可.(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[题组训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A.1B.243C.121D.122解析：选B 令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，①令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.2.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.解析：令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1. 答案：－3或13.已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________.解析：由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n ＝121，则12n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8.答案：C 715(3x )7和C 815(3x )8考点三 二项展开式的应用[典例精析]设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11D.12[解析] 由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…－C 2 0172 018521＋1，又13整除52， 所以只需13整除1＋a ， 又0≤a ＜13，a ∈Z ， 所以a ＝12. [答案] D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.[题组训练]1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析：选C ∵81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1＝(3x ＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.2.1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数为________. 解析：∵1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910， ∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数为1. 答案：1[课时跟踪检测]A 级1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)⎝⎛⎭⎫2x2－x 43的展开式中的常数项为( )A.－32B.3 2C.6D.－6解析：选D 通项T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23－r·(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r·(－1)r x －6＋6r，当－6＋6r ＝0，即r＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－90121解析：选C 由二项式定理，得a 1＝－C 1524＝－80，a 2＝C 2523＝80，a 3＝－C 3522＝－40，a 4＝C 452＝10，所以a 2＋a 4a 1＋a 3＝－34. 3.若二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( ) A.560 B.－560 C.280D.－280解析：选A 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1,1＋a ＝－1，a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式的通项T r ＋1＝C r 7·(x 2)7－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 7·(－2)r ·x 14－3r.令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560.4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A.29B.210C.211D.212解析：选A 由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.5.二项式⎝⎛⎭⎫1x －2x 29的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( ) A.－671 B.671 C.672D.673解析：选B 令x ＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫1x 9－r ·(－2x 2)r ＝C r 9(－2)r ·x 3r －9，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中的常数项为C 39(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.6.(2018·石家庄二模)在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A.－5 B.－15 C.－25D.25解析：选B 由题意含x 4项的系数为－2C 35＋C 45＝－15.7.(2018·枣庄二模)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C.1D.2解析：选D ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310.令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210.所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2. 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1D.1或－3解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.9.(2019·唐山模拟)(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析：(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C 3623(－1)3＝－160.答案：－16010.(2019·贵阳模拟)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，解得a ＝－1，所以二项式为⎝⎛⎭⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.答案：011.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为________. 解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5－r .令r ＝5，得常数项为C 55＝1，令r ＝3，得常数项为C 35·2＝20，令r ＝1，得常数项为C 15·C 24＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51.答案：5112.已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n ；(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项.解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8(n ＝1舍去). (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4(r ＝0,1，…，8)， 要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.(3)设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－r C r 8，则a r ＋1a r ＝2－r C r82－(r －1)C r －18＝9－r 2r ≥1， a r ＋1a r ＋2＝2－r C r 82－(r ＋1)C r ＋18＝2(r ＋1)8－r≥1， 解得2≤r ≤3.当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，B 级1.在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x 2项的系数是( )A.35B.－35C.－56D.56解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－x －1)r ＝(－1)r C r 8x8－2r，令8－2r ＝2，得r ＝3，故展开式中含有x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56.2.已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn 的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析：选C 因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63.3.(2019·济南模拟)⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________.解析：令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中含x 4项的系数即是⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的含x 3项与含x 5项系数的和.又⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 3项与含x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－484.设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝( ) A.iB.－iC.－1＋iD.－i －1解析：选D 因为x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，所以C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i 2 019－1＝－i －1.5.已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A.39B.310C.311D.312解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312.6.设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6展开式中的常数项为________. 解析：a ＝⎠⎛01 2x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6＝⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15. 答案：15。
二项式定理的定义二项式定理是高中数学中非常重要的定理，在大学的数学、物理、统计等学科中也有广泛的应用。
它可以将二次式展开为多项式，方便我们进行计算和研究。
那么，什么是二项式定理呢？一、定义二项式定理又称为牛顿（Isaac Newton）二项式公式，是一种非常重要的数学定理。
它由镇上的数学家牛顿首先提出，经过一系列证明和推广之后，成为了现代数学中不可或缺的一部分。
二项式定理的表述如下：$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$$其中，$a$和$b$是任意实数，$n$为正整数，$C_n^k$是组合数，表示从$n$个元素中选取$k$个元素的组合数。
公式的左边表示一个二次式的展开式，右边则表示该二次式展开式中各项系数的求法。
二、过程如何推导二项式定理呢？这里我们可以用数学归纳法来证明其有效性。
我们假设二项式定理对于任意正整数$m$都成立，即：$$(a+b)^m = \sum_{k=0}^{m}C_m^ka^{m-k}b^k$$现在我们需要证明，当$m$加1时，二项式定理仍然成立，即：$$(a+b)^{m+1} = \sum_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^ka^{m-k+1}b^k$$ 证明过程如下：- 将$(a+b)^{m+1}$展开，得到$a(a+b)^{m} + b(a+b)^{m}$- 根据归纳假设，我们可以将$(a+b)^m$表示为$\sum_{k=0}^{m}C_m^ka^{m-k}b^k$，然后将其带入上式中的每一个因式中- 将所有同类项合并，最终得到$\sum_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^ka^{m+1-k}b^k$，这正是二项式定理右边的式子，故定理得证三、应用二项式定理在数学、物理、统计等多个领域中都有广泛应用。
比如，在概率统计中，我们需要计算二项分布，而二项分布的密度函数就可以用二项式定理推导得到。
在物理学中，二项式定理可以被用来计算气体分子的速度和位置等物理参数。
二项式定理公式大全一、二项式定理基本公式。
1. 二项式定理。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，n∈N^*。
- 例如，当n = 3时，(a +b)^3=C_3^0a^3b^0+C_3^1a^2b^1+C_3^2a^1b^2+C_3^3a^0b^3。
- 计算各项系数：- C_3^0=(3!)/(0!(3 - 0)!)=1- C_3^1=(3!)/(1!(3 - 1)!)=(3!)/(1!2!)=3- C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=(3!)/(2!1!)=3- C_3^3=(3!)/(3!(3 - 3)!)=1- 所以(a + b)^3=a^3+3a^2b + 3ab^2+b^3。
2. 二项展开式的通项公式。
- 二项式(a + b)^n展开式的第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n - kb^k（k =0,1,·s,n）。
- 例如，在(x + 2)^5中，其通项公式为T_k + 1=C_5^kx^5 - k2^k。
当k = 2时，T_3=C_5^2x^5 - 22^2。
- 计算C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=(5×4)/(2×1)=10- 所以T_3=10x^3×4 = 40x^3二、二项式系数的性质。
1. 对称性。
- 在二项式(a + b)^n的展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。
- 例如，在(a + b)^5的展开式中，C_5^1=C_5^4，C_5^2=C_5^3。
- 计算C_5^1=(5!)/(1!(5 - 1)!)=5，C_5^4=(5!)/(4!(5 - 4)!)=5；C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=10，C_5^3=(5!)/(3!(5 - 3)!)=10。
§9.3 二项式定理（二十九）一、知识导学1.二项式定理：上列公式所表示的定理叫做二项式定理.右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有ｎ＋1项.其中各项的系数叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即＝.2.二项式系数的性质：（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式得到.（2）增减性与最大值.二项式系数，当ｒ＜时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值.当ｎ是偶数时，中间的一项取得最大值；当ｎ是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值.（3）各二项式系数的和.的展开式的各个二项式系数的和等于.二、疑难知识导析1．二项式定理是代数公式和的概括和推广，它是以乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的.同学们可对定理的证明不作要求，但定理的内容必须充分理解.2．对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开式.通项公式＝在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是的二项展开式的第ｒ＋1项，而不是第ｒ项.3．二项式定理的特殊表示形式（1）.这时通项是＝.（2）.这时通项是＝.（3）.即各二项式系数的和为.4．二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即三、经典例题导讲[例1]已知，求的值.错解：由二项展开式的系数的性质可知：的展开式的各个二项式系数的和等于，显然，就是展开式中的，因此的值为－1.错因：上述解答忽略了是项的系数，而不是二项式系数.正解：由二项展开式的结构特征，是项的系数，而不是二项式系数.观察式子特征，如果＝1，则等式右边为，出现所求式子的形式，而就是展开式中的，因此，即1＝1＋，所以，＝0评注这是二项式定理的一个典型应用—赋值法，在使用赋值法时，令、ｂ等于多少，应就具体问题而定，有时取“1”，有时取“－1”，或其他值.[例2]在多项式的展开式中，含项的系数为.错解：原式＝＝∴项的系数为0.错因：忽视了ｎ的范围，上述解法得出的结果是在ｎ不等于6的前提下得到的，而这个条件并没有提供.正解：原式＝＝∴当ｎ≠6时，项的系数为0.当ｎ＝6时，项的系数为1说明：本解法体现了逆向运用二项式定理的灵活性，应注意原式中对照二项式定理缺少这一项.[例3]的末尾连续零的个数是( )A．7 B．5 C．3 D．2解：上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0.所以的末尾连续零的个数是3.故选C.[例4]已知的展开式前三项中的的系数成等差数列.（1）求展开式中所有的的有理项；（2）求展开式中系数最大的项.解：（1）展开式前三项的系数分别为.由题设可知：解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）.当ｎ＝8时，＝.据题意，4－必为整数，从而可知必为4的倍数，而0≤≤8，∴＝0,4，8.故的有理项为：，，.（2）设第＋1项的系数最大，显然＞0，故有≥1且≤1.∵＝，由≥1，得≤3.∵＝，由≤1，得≥2.∴＝2或＝3，所求项分别为和.评注：1.把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键，除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质.2.运用通项公式求二项展开的特定项，如求某一项，含某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是运用通项公式根据题意列方程，在求得ｎ或ｒ后，再求所需的项（要注意ｎ和ｒ的数值范围及大小关系）.3.注意区分展开式“第＋1项的二项式系数”与“第＋1项的系数”.[例5]已知的展开式中含项的系数为24，求展开式中含项的系数的最小值.解：解法一由中含项的系数为24，可得.从而，.设中含项的系数为ｔ，则ｔ＝.把代入上式，得ｔ＝.∴当ｎ＝6时，ｔ的最小值为120，此时ｍ＝ｎ＝6.解法二由已知，设中含项的系数为ｔ，则ｔ＝≥2＝2（72－12）＝120.当且仅当ｍ＝ｎ＝6时，ｔ有最小值120.∴展开式中含项的系数的最小值为120.评注：构造函数法是一种常用的方法，尤其在求最值问题中应用非常广泛.四、典型习题导练1．化简：2.设，则的值为3.（1+x）(2+x)(3+x)…(20+x)的展开式中x19的系数是.4.式子的展开式中的常数项是（）A、－15B、20C、－20D、155．已知二项式中，＞0，ｂ＞0,2ｍ＋ｎ＝0但ｍｎ≠0，若展开式中的最大系数项是常数项，求的取值范围.6．用二项式定理证明：能被整除（ｎ∈，ｎ≥2）.。
0 1 n nnn⎪ 2 3 3 4 01n二项式定理二项式定理二项式定理二项展开式二项式系数二项展开式的通项(a ＋b )n ＝C n a n ＋C n a n －1b ＋…＋C k a n －k b k ＋…＋C n b n (n ∈N *)公式右边的式子C k (k ∈{0，1，2，…，n })T k ＋1＝C k a n －k b k通项公式中的注意点(1)T k ＋1 是展开式中的第 k ＋1 项，而不是第 k 项；(2)公式中 a ，b 的指数和为 n ，且 a ，b 不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(4)对二项式(a －b )n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a ＋b )n 展开式中共有 n 项．()(2)在公式中，交换 a ，b 的顺序对各项没有影响．( )(3)C k a n －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第 k 项．()(4)(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．()答案：(1)× (2)× (3)× (4)√⎛x －1⎫16的二项展开式中，第 4 项是( )⎝ x ⎭A ．C 16x 12C ．－C 16x 10B ．C 16x 10D ．C 16x 8答案：CC n ·2n ＋C n ·2n －1＋…＋C k ·2n －k ＋…＋C n 等于( )A ．2nC ．3nB ．2n －1D ．1答案：C(1＋2x )5 的展开式的第三项的系数为________，第三项的二项式系数为________．答案：40 10(1)用二项式定理展开 1＋x ⎪ ；⎝【解】(1)法一： 1＋x ⎪ ＝1＋C 14 x ⎪＋C 24 x ⎪ ＋C 34 x ⎪ ＋ x ⎪ ＝1＋ ＋ 2＋3＋4.x x x x ⎝法二： 1＋ ⎪ ＝ ⎪ (x ＋1)4＝ ⎪ ·(x 4＋C 14x 3＋C 24x 2＋C 34x ＋1)＝1＋ ＋ 2＋ 3＋4.x x x x ⎝ x ⎭ ⎝x ⎭⎝x ⎭5 5 5 5 50 1 n 0 1n 4444已知( x － )n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162，求：探究点 1 二项式定理的正用与逆用⎛ 1⎫4 ⎭(2)化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．⎛ 1⎫4 ⎛1⎫ ⎛1⎫2 ⎛1⎫3 ⎛1⎫4 4 6 4 1 ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1⎫4 ⎛1⎫4 ⎛1⎫4 4 6 4 1(2)原式＝C 0(x －1)5＋C 1(x －1)4＋C 2(x －1)3＋C 3(x －1)2＋C 4(x －1)＋C 5(x －1)0－1 ＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a －b )n 的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．[注意] 逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a －b )n 的形式．1.设 n 为自然数，化简 C n ·2n －C n ·2n －1＋…＋(－1)k ·C k ·2n －k ＋…＋(－1)n ·C n＝________．解析：原式＝C n ·2n ·(－1)0＋C n 2n －1·(－1)1＋…＋(－1)k ·C k 2n －k ＋…＋(－1)n ·C n ·20＝(2－1)n ＝1.答案：12．求(a ＋2b )4 的展开式．解：(a ＋2b )4＝C 0a 4＋C 1a 3(2b )＋C 2a 2(2b )2＋C 3a ·(2b )3＋C 4(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.探究点 2 求二项展开式中的特定项或其系数2x(1)n 的值；(2)展开式中含 x 3 的项．＝－2Cnx＝(－2)C9x解：因为Tr＋1＝(－2)C x r r，若Tr＋1为常数项，则9－3r＝0，所以r＝3，因此常数项为第解：因为Tr＋1＝(－2)C9x3即展开式中的有理项共5项，它们是T2＝－18x，T4＝－672，T6＝－，T8＝－2，3所以＝3，r＝1，所以第二项为含x的项：2，x x2212121992x92n－6【解】(1)因为T3＝Cn(x)n－2(－x)2＝4Cnx2，2T2＝Cn(x)n－1(－x)n－312，依题意得4Cn＋2Cn＝162，所以2Cn＋Cn＝81，所以n2＝81，n＝9.2(2)设第r＋1项含x3项，则Tr＋1＝C r(x)9－r(－x)r9－3rr r9－3r2T2＝－2C19x3＝－18x3.1．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的常数项．9－3r24项(－2)3C3＝－672.2．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的所有有理项．9－3rr r若Tr＋1为有理项，当且仅当9－3r为整数．因为0≤r≤9，r∈N，所以r＝1，3，5，7，9，40324608，36T10＝－512.(1)求二项展开式特定项的步骤2x 2x666 5335 35 388 8(2)正确区分二项式系数与该项的系数二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关．1二项式(2x － )6 的展开式中的常数项为________．解析：T r ＋1＝C r (2x )6－r(－1)r( 1)r1 ＝(－1)r C r 26－r (2)r x 6－2r，令 6－2r ＝0，得 r ＝3，所以 T 4＝(－1)3C 3＝－20. 答案：－20探究点 3 二项式定理的灵活应用(1)(x 2＋x ＋y )5 的展开式中，x 5y 2 的系数为()A ．10C ．30B ．20D ．60(2)(2018·三明高二检测)(x －y )(x ＋y )8 的展开式中 x 2y 7 的系数为________．(用数字填写 答案)【解析】 (1)法一：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含 y 2 的项为 T 3＝C 2(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3 中含 x 5 的项为 C 1x 4·x ＝C 1x 5.所以 x 5y 2 的系数为 C 2C 1＝30.故选 C.法二：(x 2＋x ＋y )5 为 5 个 x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取 y ，两个取 x 2，一个取 x 即可，所以 x 5y 2 的系数为 C 2C 2C 1＝30.故选 C.(2)依题意，(x ＋y )8 的二项展开式的通项为 T k ＋1＝C k x 8－k y k ，0≤k ≤8，k ∈Z.当 k ＝7 时，T 8＝C 7xy 7＝8xy 7；当 k ＝6 时，T 7＝C 6x 2y 6＝28x 2y 6.所以(x －y )(x ＋y )8 的展开式中含 x 2y 7 的项为 x ·8xy 7＋(－y )·28x 2y 6＝－20x 2y 7，故 x 2y 7 的系数为－20.1.(2017·高考全国卷Ⅰ) 1＋x 2⎪(1＋x )6 展开式中 x 2 的系数为()解析：选 C.(1＋x )6 展开式的通项 T r ＋1＝C r 6x r ，所以 1＋x 2⎪(1＋x )6 的展开式中 x 2 的系数为1×C 26 655555552．(x 2－ )n 的展开式中，常数项为 15，则 n 的值为()4 4 44【答案】 (1)C (2)－20(1)两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题①分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．②找到构成展开式中特定项的组成部分．③分别求解再相乘，求和即得．(2)三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．⎛ 1 ⎫ ⎝⎭A ．15C ．30B ．20D ．35⎛ 1 ⎫ ⎝⎭＋1×C 4＝30，故选 C.2．求(x 2＋3x ＋2)5 的展开式中 x 的系数．解：法一：因为(x 2＋3x ＋2)5＝(x ＋2)5(x ＋1)5＝(C 0x 5＋C 1x 4·2＋…＋C 5·25)·(C 0x 5＋C 1x 4＋…＋C 5)，所以展开后含 x 的项为 C 4x ·24·C 5＋C 5·25·C 4x ＝240x ，所以(x 2＋3x ＋2)5 的展开式中 x 的系数为 240.法二：把(x 2＋3x ＋2)5 看成 5 个(x 2＋3x ＋2)相乘，每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项，x 项可由 1 个因式取 3x ，4 个因式取 2 得到，即 C 13x ·C 4·24＝240x ，所以(x 2＋3x ＋2)5 的展开式中 x 的系数为 240.1．S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3，则 S 等于( )A ．x 4C ．(x －2)4B ．x 4＋1D ．x 4＋4解析：选 A.S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝C 0(x －1)4＋C 1(x －1)3＋C 2(x － 1)2＋C 3(x －1)＋C 4＝[(x －1)＋1]4＝x 4，故选 A.1xA ．3C ．5 B ．4D ．6令 2n －3r ＝0，得 n ＝ r (n ，r ∈N *)，解：T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r ·(－x 3)r ＝(－1)r C r 9x 6 ，令 ∈Z(0≤r ≤9)，所以当 r ＝3 时， ＝4，当 r ＝9 时， ＝3，n n650 1 2 nn解析：选 D.展开式的通项为 T r ＋1＝C r ·(x 2)n －r ·(－1)r ·(x －1)r ＝(－1)r ·C r ·x 2n －3r .32若 r ＝2，则 n ＝3 不符合题意，若 r ＝4，则 n ＝6，此时(－1)4·C 4＝15，所以 n ＝6.3．(2016·高考全国卷Ⅰ)(2x ＋ x )5 的展开式中，x 3 的系数是________．(用数字填写答案)解析：由(2x ＋ x )5 得 T r ＋1＝C r (2x )5－r ( x )r ＝r r25－r C r5x 5－2，令 5－2＝3 得 r ＝4，此时系数为 10.答案：1034．求二项式( x － x )9 展开式中的有理项．1 1 27－r 27－r 6得 r ＝3 或 r ＝9，27－r6T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4，27－r6T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3.综上：展开式中的有理项为－84x 4 与－x 3.知识结构深化拓展1.二项展开式的特点(1)项数：共有(n ＋1)项．(2)二项式系数：依次为组合数 C n ，C n ，C n ，…，C k ，…，C n . (3)每一项的次数是一样的，都为 n 次，展开式依a 的降幂、b 的升幂排列．2．求二项展开式的特定项常见题型及处理措施(1)求第 k 项．T k ＝C k －1a n －k ＋1b k －1.(2)求常数项．对于常数项，隐含条件是字母的指⎛ x 3 1 ⎫n5 55⎝ ⎭ 解析：选 B.T k ＋1＝C kn (2x 3)n －k x 2⎪ ＝2n －k C k n x 3n －5k ，⎝ ⎭ 令 3n －5k ＝0，则 n ＝ k ，4．(2018·浙江宁波北仑中学高二下学期期中 )二项式 x 2＋ x ⎭数为 0(即 0 次项)．(3)求有理项．对于有理数，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．(4)求整式项，求二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.[A 基础达标]1．(x ＋2)n 的展开式共有 11 项，则 n 等于()A ．9C ．11B ．10D ．8解析：选 B.因为(a ＋b )n 的展开式共有 n ＋1 项，而(x ＋2)n 的展开式共有 11 项，所以 n ＝10. 故选 B.22．(x 2＋x 3)5 展开式中的常数项为()A ．80C ．40B ．－80D ．－402 解析：选 C.T k ＋1＝C k (x 2)5－k (x 3)k＝C k 2k x 10－5k ，令 10－5k ＝0 得 k ＝2.所以常数项为 T 3＝C 222＝40.3．在 2 ＋x 2⎪(n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则 n 的最小值是()A ．3C ．8⎛ 1 ⎫k53又 n ∈N *，k ∈N ，所以 n 的最小值为 5.B ．5D ．10⎛ ⎝2 ⎫10 ⎪ 的展开式中的有理项共有解析：选 C.二项式 x 2＋ ⎪ 的展开式中，通项公式为 T r ＋1＝C r 10·2r·x20－ .令 20－ 为5．二项式 ax ＋ ⎪ 的展开式的第二项的系数为－ 3，则⎛a x 2dx 的值为( )6 ⎭ 33 3解析：选 A .因为 T r ＋1＝C r6(ax )6－r ⎪ ＝C r 6a 6－r ⎪ x 6－r ，因为展开式的第二项的系数为－ 3，6 6 因为⎛ x d x ＝⎛ x d x ＝ x 3⎪＝ － ⎪－ － ⎪＝ ，所以选 A . 3 ⎪－2 ⎝ 3⎭ ⎝ 3⎭ 36．在 2x 2－x ⎪ 的展开式中，中间项是________．解析：由 n ＝6 知，中间项是第 4 项，T 4＝C 36(2x 2)3· －x ⎪ ＝C 36(－1)3·23·x 3＝－160x 3.⎝5 5 52525()A ．4 项C ．6 项⎛ ⎝2 ⎫10 5r 5rx ⎭ 2 2B ．5 项D ．7 项整数，可得 r ＝0，2，4，6，8，10，共 6 项．故选 C.⎛ 3⎫6 ⎝ ⎠－27A.7C ．3 或B ．310D ．3 或－⎛ 3⎫r ⎛ 3⎫r ⎝ 6 ⎭ ⎝ 6 ⎭所以 C 1a 5 3＝－ 3，所以 a ＝－1，1 ⎪－1 ⎛ 1⎫ ⎛ 8⎫ 7 a2 －1 2 ⎠ ⎠－2－2⎛ 1⎫6 ⎝⎭⎛ 1⎫3 ⎭答案：－160x 37．(2016·高考山东卷)若(ax 2＋ 1 x )5的展开式中 x 5 的系数是－80，则实数 a ＝________．解析：(ax 2＋ 1 x )5 的展开式的通项 T r ＋1＝C r (ax 2)5－r ·( 1 5r 5 x )r ＝C r a 5－rx 10－ 2 ，令 10－2r ＝5，得 r ＝2，所以 C 2a 3＝－80，解得 a ＝－2.答案：－28．(1＋x )2·(1－x )5 的展开式中含 x 3 的项是________．解析：法一：(1＋x )2·(1－x )5＝(1－x 2)2(1－x )3＝(1－2x 2＋x 4)·(1－3x ＋3x 2－x 3)，所以x 3 的系数为 1×(－1)＋(－2)×(－3)＝5.故含 x 3 的项为 5x 3.法二：因为(1＋x )2 的通项：T r ＋1＝C r ·x r ，(1－x )5 的通项：T k ＋1＝(－1)k ·C k ·x k ，所以(1＋x )2·(1－x )5 的通项：(－1)k ·C r ·C k ·x k ＋r (其中 r ∈{0，1，2}，k ∈{0，1，2，3，3x 3x 3－2 2C n 2 ⎪⎩ ⎩ ⎩ 5 2 5 5k k 3 3 1 3 3 44，5})．令 k ＋r ＝3，⎧k ＝1， ⎪⎧k ＝2， ⎪⎧k ＝3， 则有⎨ 或⎨ 或⎨⎪r ＝2 ⎪r ＝1 ⎪r ＝0.所以 x 3 的系数为－C 1＋C 1·C 2－C 3＝5，故含 x 3 的项为 5x 3. 答案：5x 329．已知(3 x － )10，求：(1)展开式第四项的二项式系数；(2)展开式中第四项的系数；(3)第四项．2解：(3 x － )10 的展开式的通项是：2 T k ＋1＝C 10(3x )10－k(－3x )k2 3 ＝(－3)k ·C 10·310－k ·x 5－2k .(1)展开式第四项的二项式系数为当 k ＝3 时，C 10＝120. (2)展开式中第四项的系数为2(－3)3·C 10·37＝－77 760.(3)展开式中的第四项为：2 3 T 4＝(－3)3·C 310·37·x 5－2×3＝－77 760 x .10．设(x － 2)n 的展开式中第二项与第四项的系数之比为 1∶2，求含 x 2 的项．解：(x － 2)n 的展开式中第二项与第四项分别为：T 2＝C n ·x n －1·(－ 2)＝－ 2nx n －1， T 4＝C n ·x n －3·(－ 2)3＝－2 2C n x n －3.－ 2n1根据题意得到 ＝ ，整理得 n 2－3n －4＝0，解得 n ＝4 或 n ＝－1(没有意义，舍去)．设(x － 2)4 的展开式中含 x 2 的项为第(r ＋1)项，则 T r ＋1＝C r ·x 4－r ·(－ 2)r (r ＝0，1，2，3，4)，根据题意有 4－r ＝2，解得 r ＝2，430 1 2 1 3 5 (－ 1 )k ＝(－1)k (2)n －k C k x 2n －2k .即当 k ＝8 时，2n － k ＝0，即 2n －20＝0，解得 n ＝10.(2)令 2n － k ＝5，得 k ＝ (2n －5)＝6，所以 x 5 的系数为(－1)6( )4C 610＝ . (3)要使 2n － k ，即 为整数，只需 k 为偶数，由于 k ＝0，1，2，3，…，9，10，故符0 1 666n⎝⎭ 2＋ r 2 2 5所以(x － 2)4 的展开式中含 x 2 的项为 T 3＝C 2·x 2·(－ 2)2＝12x 2.[B 能力提升]11． 若对于任意实数 x ，有 x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则 a 2 的值为( )A ．3C ．9B ．6D ．12解析：选 B.x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 2×2＝6.12． 已知 C n ＋2C n ＋22C n ＋…＋2n C n ＝729，则 C n ＋C n ＋C n 的值为()A ．64C ．63B ．32D ．31解析：选 B .C n＋2C n ＋…＋2n C n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，所以 n ＝6，所以 C 1＋C 3＋C 5＝32.1 113．已知在( x 2－ )n 的展开式中，第 9 项为常数项．求：2 x(1)n 的值；(2)展开式中 x 5 的系数；(3)含 x 的整数次幂的项的个数．1解：二项展开式的通项为 T k ＋1＝C k(2x 2)n －k ·1 5 x(1)因为第 9 项为常数项，525 2 1 105 2 5 2 85 40－5k2 2合要求的有 6 项，分别为展开式的第 1，3，5，7，9，11 项．⎛x 1 ⎫514．(选做题)求 2＋x ＋ 2⎪ 的展开式中整理后的常数项．x 1 x 1 1解：法一：(2＋x ＋ 2)5 在 x >0 时可化为( x )10，因而通项 T r ＋1＝C 10( )10－r ( x )10－2r ，则 r ＝5 时为常数项，即 C 10·( 1 2 )5＝63 2.532x 52x 32x 32 2 5x 2＋2 2x ＋2 1 1 法二：(化三项式为二项式)原式＝( )5＝ ·[(x ＋ 2)2]5＝ ·(x ＋ 2)10.求原展开式中的常数项，转化为求(x ＋ 2)10 的展开式中含 x 5 的项的系数，即 C 10·( 2)5.C 5 ·（ 2）5 63 2 所以所求的常数项为 10 ＝ .。
