【X2304】二项式定理1

二项式定理的应用与实例解析二项式定理是代数学中的重要概念之一，它在数学推理和实际问题求解中具有广泛的应用。

本文将介绍二项式定理的概念及其应用，并通过具体的实例进行解析，以帮助读者更好地理解和应用该定理。

一、二项式定理的概念二项式定理是指对于任意非负整数n和实数a、b，有以下的公式：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)二、二项式定理的应用1. 概率计算二项式定理在概率计算中起到了重要作用。

例如，设有一枚正反面均匀的硬币，进行n次独立的抛掷，求正面出现k次的概率。

根据二项式定理，可以得到概率公式：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，p表示正面出现的概率。

2. 组合数学二项式定理在组合数学中应用广泛，可以用于求解组合数、排列数等问题。

例如，求集合中元素的子集个数，可以通过二项式定理计算：对于一个集合，它的子集个数为2^n个，其中n表示集合中元素的个数。

3. 计算多项式展开式系数二项式定理可以用于计算多项式展开式中各项的系数。

例如，对于多项式(a + b)^n，可以通过二项式定理的应用，直接得到展开式中各项的系数。

这对于计算多项式的展开式提供了效率和便利。

三、应用实例解析1. 概率计算实例假设有一枚硬币，进行10次独立抛掷，求正面出现2次的概率。

根据二项式定理的应用，可以得到：P(X = 2) = C(10, 2) * 0.5^2 * 0.5^8 = 45 * 0.25 * 0.00390625 = 0.04395因此，正面出现2次的概率约为0.044。

二项式定理求解技巧和方法二项式定理是高中数学中一个很重要的概念，它描述了一个二次多项式的展开式中，每一项的系数和指数的关系。

在解题过程中，我们可以利用二项式定理来求解一些复杂的多项式表达式。

下面我将介绍一些二项式定理求解的技巧和方法。

1. 使用二项式定理展开二项式定理可以表达为：$ (a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 + \\ldots + C_n^na^0b^n $。

这个定理可以帮助我们将一个二元系数的多项式展开为单项式的和。

我们可以利用这个定理来求解一些复杂的多项式表达式，例如 $(x+1)^n$ 或者 $(2x+3y)^n$。

2. 利用二项式系数的性质二项式系数$C_n^k$ 的计算公式为：$C_n^k = \\frac{n!}{k!(n-k)!}$。

在计算二项式系数时，我们可以利用其性质来简化计算。

例如，对于$C_n^k$ 来说，如果$k>n-k$，我们可以使用$C_n^k = C_n^{n-k}$ 来简化计算。

另外，由于$C_n^k = C_n^{n-k}$，我们也可以利用对称性简化计算。

3. 利用二项式定理求解系数和指数在一些问题中，我们需要求解多项式展开式中某一项的系数和指数。

对于二项式定理，可以通过将多项式展开式中各项的系数和指数与二项式系数进行配对，来求解。

例如，对于$(a+b)^7$ 的展开式，我们要求解其中系数为 35 的项的指数是多少，可以使用二项式系数的计算公式，得到 $C_7^k = 35$，然后求解 $k$ 的值。

4. 应用二项式定理进行变形有时候，在解决实际问题时，我们需要对给定的表达式进行变形，以便更好地应用二项式定理。

在变形过程中，我们可以使用二项式定理的展开式，将表达式转化为二项式定理的形式。

例如，对于表达式 $(x+y)^4 - (x-y)^4$，我们可以将其变形为$(u+v)^4 - (u-v)^4$ 的形式，然后应用二项式定理进行展开。

二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项,其中k n C 叫做二项式系数,1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.〔请同学完成如下二项展开式〕0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-,1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++①1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++②① 式中分别令x=1和x=-1,如此可以得到012nn n n n C C C +++=,即二项式系数和等于2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和,即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1如此可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质〔1〕对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即m n mn n C C -=.〔2〕二项式系数kn C 增减性与最大值： 当12n k +<时,二项式系数是递增的；当12n k +≥时,二项式系数是递减的. 当n 是偶数时,中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时,中间两项12n nC -和12n nC+相等,且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f<x >= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f<1>⑵a 0-a 1+a 2-a 3……+<-1>na n =f<-1> ⑶a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、"n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式； [练习1]求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.在n 的展开式中,第6项为常数项.（1） 求n ； 〔2〕求含2x 的项的系数；〔3〕求展开式中所有的有理项. [练习2]假如n 展开式中前三项系数成等差数列.求：〔1〕展开式中含x 的一次幂的项；〔2〕展开式中所有x 的有理项. 3.二项展开式中的系数例3.22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992,求21(2)n x x-的展开式中：〔1〕二项式系数最大的项；〔2〕系数的绝对值最大的项[练习3]*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.<1>求展开式中含32x 的项；<2>求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中,3x 项的系数是 ； 5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5〔04某某改编〕3)21(-+xx 的展开式中,常数项是 ； 6、求中间项例6求〔103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8〔00某某〕在二项式11)1(-x 的展开式中,系数最小的项的系数是 ； （2） 一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在〔7)y x -的展开式中,系数绝对值最大项是 ；9、利用"赋值法〞与二项式性质3求局部项系数,二项式系数和例11．假如443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+, 如此2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；[练习1]假如2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-, 如此=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；[练习2]设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-, 如此=++++6210...a a a a ； [练习3]92)21(xx -展开式中9x 的系数是；。

二项式定理【考点1：二项展开式与通项】[方法技巧]二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a ＋b )2(c ＋d )m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )m ，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2；(3)分别得到(a ＋b )n ，(c ＋d )m 的通项公式，综合考虑．求形如(a ＋b ＋c )n 展开式中特定项的步骤1．（2024·辽宁·一模）4()x y z ++的展开式共（ ） A ．10项B ．15项C ．20项D ．21项 2．（2024·广东·模拟预测）若()()()2660126666x a a x a x a x =+−+−++−，则5a =（ ） A ．6 B ．16 C ．26D ．363．（2023高二下·江苏宿迁·期中）化简：021*******C 3C 3C 3C 3n n n n n n n n −−−⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅= ． 4．（2023高二·全国·竞赛）若43(1)1n n x x ax bx +=+++++，且502a b =，则n = ．5．（2024高二下·全国·课时练习）化简：5432(21)5(21)10(21)10(21)5(21)1x x x x x +−+++−+++−得到 .6．（2024高二下·江苏·课前预习）（1）求4⎛ ⎝的展开式.（2）化简：()()()()()()1122111C 1C C C C 11rnnn n r n rnn n n n nx x x x −−−+−+++−+−+++−.【考点2：二项式系数与项的系数】1．（2024·北京怀柔·模拟预测）在32132x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（ ）A ．94B ．94−C ．92D ．92−2．（2024·陕西宝鸡·一模）622x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式中的第四项为（ ） A ．3160x B ．3160x −C ．240D ．240−3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知()5322ax x x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为0，则=a （ ）A ．3B ．3−C ．2D ．2−4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）6(1)x −的展开式中3x 的系数为 ．5．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在73x⎛ ⎝的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）6．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知1(1)2nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项为280，则n = .7．（2024·江西·模拟预测）若()*1nn x ⎫−∈⎪⎭N 的二项展开式的第7项为常数项，则n = .8．（2024高二下·广东梅州·阶段练习）设n的展开式的第7项与倒数第7项的比是1:6，求展开式中的第7项．【考点3：二项展开式中的系数和】【知识点：赋值法在求各项系数和中的应用】(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)．①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[易错提醒](1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．1．（23-24高二上·黑龙江·期末）在43nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，各二项式系数之和为A ，各项系数之和为B ，若240B A −=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期末）61()x x−的展开式中，下列结论正确的是（ ）A ．展开式共6项B ．常数项为20−C ．所有项的二项式系数之和为64D ．所有项的系数之和为03．（23-24高三下·陕西安康·开学考试）()3nx −展开式的二项式系数之和是256，则n = .4．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）若3nx⎛⎝的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含2x 的项的系数为 .5．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知()232nx x −−展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中6x −的系数为 （用数字作答）6．（23-24高二上·江苏常州·期末）26()x y −的展开式中，各项系数的绝对值之和为 ．7．（2024高二下·江苏·专题练习）若na x ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x 2的系数为 .8．（23-24高三下·河北·开学考试）已知二项式()0.01nx +的二项式系数的和为1024，则n = .试估算1x =时，()0.01n x +的值为 .（精确到0.001）【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】【知识点：求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤】第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组⎩⎨⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案．1．（23-24高三下·山东·开学考试）若22nx ⎫+⎪⎭展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n =（ ） A ．9B ．10C ．11D ．122．（23-24高三下·甘肃·开学考试）已知nx ⎛⎝的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．12358xB ．727xC ．2358x D ．27x3．（多选）（2024高三下·江苏·专题练习）关于6212x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式，下列说法中正确的是（ ）A ．展开式中二项式系数之和为32B ．展开式中各项系数之和为1C ．展开式中二项式系数最大的项为第4项D ．展开式中系数最大的项为第4项4．（多选）（23-24高三上·重庆·阶段练习）对于二项式10m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（m 为常数且0m ≠），以下正确的是（ ）A ．展开式有常数项B ．展开式第六项的二项式系数最大C ．若2m =，则展开式的二项式系数和为103D ．101m x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭在[]1,3x ∈上恒成立，则0m ≥5．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）设n 为正整数， ()2n a b +展开式的二项式系数的最大值为x ，()21n a b ++展开式的二项式系数的最大值为y ，若95x y =，则n = .6．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）设0a >，已知2na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则22212ax x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中2x 的系数为7．（23-24高二下·江苏·课前预习）在822)x 的展开式中， (1)系数的绝对值最大的项是第几项？(2)求二项式系数最大的项. (3)求系数最大的项.8．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知m ，n 是正整数，(1)(1)m n x x +++的展开式中x 的系数为15.(1)求展开式中2x 的系数的最小值； (2)已知12(23)m n x +−+展开式中的二项式系数的最大值为a ，项的系数的最大值为b ，求a b +.【考点5：二项式定理的应用】 【知识点：二项式定理的应用】 1．（2022·全国·高二单元测试）0.997的计算结果精确到0.001的近似值是（ ） A ．0.930 B ．0.931 C ．0.932 D ．0.933 2．（2022·全国·高二单元测试）关于(√x −1)2021及其二项展开式，下列说法正确的是（ ）A ．该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为22021B ．该二项展开式中第8项为−C 20217x 1007 C ．当x =100时，(√x −1)2021除以100的余数是9D ．该二项展开式中不含有理项 3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=(1−2x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+⋅⋅⋅+a 6x 6(a i ∈R,i =0,1,2,3,⋅⋅⋅,6)的定义域为R ．（ ） A ．a 0+a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 6=−1 B ．a 1+a 3+a 5=−364C ．a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+6a 6=12D ．f(5)被8整除余数为74．（2022·江苏省镇江中学高二期末）下列说法正确的是（ ）A ．若(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，则|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=310−1B ．1.0510精确到0.1的近似值为1.6C ．5555被8除的余数为1D ．若1+2C n 1+22C n 2+⋯+2n C n n =2187，则C n 1+C n 2+⋯+C n n=1275．（2007·全国·高考真题）9192除以100的余数是______．6．（2022·全国·高二课时练习）若512020+a能被13整除，则实数a的值可以为________．（填序号）①0；②11；③12；④25．7．（2007·湖南·高考真题）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第__________行中从左至右第14与第15个数的比为2:3．第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14644第5行15101051⋯⋯⋯⋯8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数n，第2n 行中最大的数为x，第2n+1行中最大的数为y，且13x=7y，则n的值为______．9．（2022·全国·高二课时练习）已知f(x)=(2x+3)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a9(x+1)9．(1)求a1+a2+a3+⋯+a9的值；(2)求f(20)−20被6整除的余数。

【最新整理，下载后即可编辑】二项式定理二项式知识回顾 1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k k n nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ①0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=.（2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的.当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC +相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1)⑶a0+a2+a4+a6……=2)1 ()1(-+ff⑷a1+a3+a5+a7……=2)1 ()1(--ff经典例题1、“n ba)(+展开式：例1．求4)13(xx+的展开式；【练习1】求4)13(xx-的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含2x的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22x的展开式的二项式系数和比(31)n)nx-的展开式的二项式系数和大992，求21-的展开式中：（1）二项式系数最(2)nxx大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx 展开式中9x 的系数是 ；。

二项式定理知识点及典型题型总结(经典)强烈推荐二项式定理是高中数学中的重要概念之一。

它表示了一个二元多项式的n次幂可以用二项式系数展开成一系列项的和。

其中，二项式系数是组合数，表示从n个元素中选取r个元素的方案数。

展开式共有n+1项，每一项的系数即为二项式系数。

展开式的指数有一些特点：a的指数从n开始递减，b的指数从0开始递增，a和b的指数之和为n。

需要注意的是，展开式是一个恒等式，a，b可以取任意的复数，n为任意的自然数，一般n≥2.二项式系数具有一些性质。

首先是对称性，即在二项展开式中，与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等。

其次是增减性与最值，二项式系数先增后减，在中间取得最大值。

当n 是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值。

此外，二项式系数的和也有一些特殊的形式。

奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，这可以通过二项式定理的特殊情况得到。

另外，奇数项的系数和与偶数项的系数和也可以用展开式表示出来。

总之，二项式定理是高中数学中的基础概念之一，具有很多特殊的性质。

熟练掌握这些概念和性质，对于高中数学的研究和应用都有很大的帮助。

题型一：利用通项公式求xn的系数例1、在二项式(4x+3)2n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？解析：由条件知系数等于二项式系数，Cn=45，解出n=10，代入展开式中可得：T7=C10,7(4x)7(3)3=210(4)7(3)3=所以含有x3的项的系数为.例2、求展开式(1+x)5中x4的系数。

解析：根据二项式定理可得：1+x)5=C5,0(1)5x0+C5,1(1)4x1+C5,2(1)3x2+C5,3(1)2x3+C5, 4(1)x4+C5,5x5所以x4的系数为C5,4=5.题型二：利用通项公式求常数项例3、求展开式(2x+3)6中的常数项。

解析：根据二项式定理可得：2x+3)6=C6,0(2x)6(3)0+C6,1(2x)5(3)1+C6,2(2x)4(3)2+C6,3( 2x)3(3)3+C6,4(2x)2(3)4+C6,5(2x)(3)5+C6,6(3)6所以常数项为C6,0(2x)6(3)0=2^6=64.题型五：奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和。

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这知识内容赋值求某些项系数的和与差里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例2】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字典例分析作答）．【例3】 ()82x -展开式中不含4x 的项的系数和为A ．1-B ．92C ．102D ．152【例4】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【例5】 6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则0a +126a a a +++=______．【例6】 在二项式42nx x ⎛+ ⎪⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例7】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例8】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例9】 设(5nx 的展开式的各项系数之和为M ， 二项式系数之和为N ，若240M N -=， 则展开式中3x 的系数为（ ）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【例10】 若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是 ．【例11】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【例12】 在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．【例13】 若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例14】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例15】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例16】 若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【例17】 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求017||||||a a a +++．【例18】 若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【例19】 若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【例20】 若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则13599a a a a ++++=（ ）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【例21】 已知()77012712x a a x a x a x -=++++，求：⑴ 1237a a a a ++++；⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【例22】 若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例23】 若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【例24】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例25】 若()2009200901200912x a a x a x -=+++，则20091222009222a a a +++的值为（ ） A ．0B ．2C ．1-D ．2-【例26】 已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值；⑵设22343,2n n n n ab T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】 请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin22sin cos x x x =．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x x x --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk k n k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例28】 证明：220C (1)2nk n n k k nn -==+∑．【例29】 证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【例30】 求证：121C 2C C 2nn n n n n n -+++=⋅【例31】 求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【例32】 设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（ ）A ．1 B．1 C．1 D．1【例33】 设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+二项式定理.版块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.学生版1【例34】 已知数列0123a a a a ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==，，， 求证：对于任意正整数n ，01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n nn n n n n n f x a x a x x a x x a x----=-+-++-+是一次多项式或零次多项式．【例35】 若0()C ni i n i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（ ）A ．2B ．12 C ．1 D ．3。

二项式定理及应用知识点：1、二项式定理：()()*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n110；第1+r 项()n r b a C T r r n r n r ,,1,01 ==-+；第1+r 项的二项式系数为r n C 与b a ,无关，而系数与b a ,有关；二项式系数的性质.2、常用题型：利用通项求展开式的特定项；整除或求余问题；利用二项式定理证明等式（不等式）；近似运算；一般系数问题等.1、 对于二项式()*∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+N n x x n 31，四位同学作了四种判断： ① 存在*∈N n ，展开式中有常数项 ②对任意*∈N n ，展开式中没有常数项 ③对任意*∈N n ，展开式中没有x 的一次项 ④存在*∈N n ，展开式中有x 的一次项 上述结论中正确的是______2、)2()21(5x x +-展开式中含3x 项的系数是______3、当,50,,,522212142<≤∈+=++++≥∈-*q N q p q p n N n n 且其中时，且 则q 的值是________________4、若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3212展开式中含有常数项，则最小正整数n 为______________ 5、若4n C 是()n r C r n ,,2,1,0 =中的最大值，则n 可能取的值是___________ 6、不等式121321421---<<x x x C C C 的解为____________7、3333233133C C C +++ 除以9的余数为____________ 8、605.1精确到01.0的近似值是_______________9、在()()1002100211--+-+x x x x 展开式中，x 的偶次项系数和为______________ 10、若()44332210432x a x a x a x a a x ++++=+，则()()2212420a a a a a +-++的值为_____________11、在二项式()103xx -的展开式中，共有____项有理项；分别为______________ 12、在二项式()111-x 的展开式中，系数最小的项的系数为_________13、在()52211524⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x 的展开式中，常数项为________14、()()()()()543211111-+---+---x x x x x 的展开式中2x 的系数是_______ 15、在)()3)(2)(1(n x x x x ++++ 展开式中，含1-n x项的系数为________ 16、若()()()()101022101011132-++-+-+=+x a x a x a a x ，则1020a a a +++ =___ 17、在()532c b a --展开式中共有______项,其中含c b a 22的系数是_________18、若n 为奇数，则777712211---++++n n n n n n n C C C 被9除得的余数是_______19、a n n n -+⋅+5322能被25整除，则最小自然数a =20、设n 为满足450221<+++n n n n nC C C 的最大自然数，则n =_______21、求证：()()2,2231>∈⋅+>*-n N n n n n22*、当1,>∈n N n 时，求证：3112<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<nn。

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r rnC a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rnC b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系知识内容求展开式中的指定项数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅，()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．【例1】62⎛⎝的展开式中的第四项是 ．【例2】6⎛⎫的展开式中，3x 的系数等于_ ___．【例3】((3511+-的展开式中x 的系数是A ．4-B ．2-C ．2D ．4典例分析【例4】 若9a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．【例5】 5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()x ∈R 展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于A ．1-B ．12C ．1D ．2【例6】 若2012(12)n n n x a a x a x a x -=++++，则2a 的值是（ ）A ．84B ．84-C ．280D ．280-【例7】8()x -的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-【例8】 若()554541031x a x a x a x a +=++⋅⋅⋅++，则2a 的值为（ ）A ．270B ．2702xC ． 90D ．902x【例9】 的展开式中的系数是_______（用数字作答）．【例10】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．64(1(1+x 25(42)x x ++x【例11】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．【例12】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．【例13】 求展开式中含项系数．【例14】 在的展开式中，项的系数是 ．（用数字作答）【例15】 的展开式中的系数等于________．（用数字作答）【例16】展开式中的系数是_______（用数字作答）．【例17】 在的展开式中的系数是（ ）25(42)x x ++2x 25(42)x x ++3x 294(31)(21)x x x +-+2x 26(1)(1)(1)x x x ++++++2x 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-2x 291()2x x-9x 8(1)(1)x x -+5xA ．−14B ．14C ．−28D ．28【例18】 在的展开式中，含的项的系数是（ ）A ．15-B ．85C ．120-D ．274【例19】 在的展开式中，含项的系数是 （用数字作答）【例20】 求展开式中的系数．【例21】 的展开式中的系数是_______（用数字作答）．【例22】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．【例23】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----4x 56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-3x 26(1)x x +-5x 64(1(1+x 25(42)x x ++x 25(42)x x ++2x【例24】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．【例25】 求展开式中含项系数．【例26】 在的展开式中，项的系数是 ．（用数字作答）【例27】 的展开式中的系数等于________．（用数字作答）【例28】展开式中的系数是_______（用数字作答）．25(42)x x ++3x 294(31)(21)x x x +-+2x 26(1)(1)(1)x x x ++++++2x 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-2x 291()2x x-9x【例29】 在的展开式中的系数是（ ）A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例30】 在的展开式中，含的项的系数是（ ）（A ）15- （B ）85 （C ）120- （D ）274【例31】 在的展开式中，含项的系数是 （用数字作答）【例32】 求展开式中的系数．【例33】 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）A ．B ．C ．D ．【例34】的展开式中的系数是______，的系数为______．8(1)(1)x x -+5x (1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----4x 56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-3x 26(1)x x +-5x 521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭4x 10-105-534(12)(1)x x +-x 2x【例35】 的展开中含的项的系数为（ ）A ．B ．C ．D ．【例36】 的展开式中的系数是（ ）A ．B ．C ．3D ． 4【例37】 求展开式中的系数；【例38】 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）A ．B ．C ．D ．【例39】的展开式中的系数是（ ） A ．B ．C ．D ．【例40】 在的展开式中，的系数为 （用数字作答）411(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2x 461012((6411+x 4-3-()()31011x x -+5x 521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭4x 10-105-56(2)x +3x 2040801604(1x【例41】 在的展开式中，的系数为 _____ （用数字作答）【例42】 的二项展开式中含的项的系数为（ ） A ．B ．C ．D ．【例43】 若的二项展开式中的系数为则 ．（用数字作答）【例44】 设常数，展开式中的系数为，则＝_____．【例45】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 ．((333(1)11x +++++x 91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x 36-84-3684261()x ax +3x 5,2a =0a>24(ax 3x 32a 26(1)kx +k 8x k =【例46】 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等 ．【例47】的二项展开式的第项的系数为（） A ．B ．C ．D ．【例48】 若的二项展开式中的系数为则．（用数字作答）【例49】 若与的展开式中含的系数相等，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【例50】 已知，则二项式 展开式中含项的系数是 ．【例51】 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么．5(cos 1)x θ+2x 45()4x +3x cos θ=106210-252-210252261()x ax +3x 5,2a =__________21()n x m ++2(1)(*0)n mx n m +∈≠N ，n x m 12(]23，2[1)3，(0)-∞，(0)+∞，()π0sin cos a x x dx =+⎰6⎛ ⎝2x 7(1)ax +3x 2x 4x 1a >_______a =【例52】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于，则______．【例53】的展开式中的系数为 ．【例54】 若的展开式中，的系数是的系数的倍，求；【例55】的展开式中，的系数与的系数之和等于__________．【例56】 已知为实数，展开式中的系数是，则_______．26(1)kx +k 8x 120k=4(33x y (1)n x +3x x 7n 10()x y -73x y 37x y a 10()x a +7x 15-a =【例57】 二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大，求第项的系数．【例58】 求的二项展开式中含的项的二项式系数与系数．【例59】 若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中项的系数为_______．【例60】 令为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为．41nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭44491x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x 12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x n a 1()(1)n n f x x +=+1n x -1{}na 2009______【例61】 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求的值．【例62】 已知，则 ．【例63】 在展开式中，与的系数分别为，如果3ab =，那么的值为（） A ． B ． C ． D ．【例64】 若的展开式中的系数是， 则实数的值是_______．7(1)ax +(1)a >3x 2x 4x a ()52551110ax x bx a x +=++++b =()1n x +3x 2x a b ，b 706055405(1)ax -3x 80-a【例65】 设常数，展开式中的系数为，则 ．【例66】 若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则等于（ ） A ．B ．C ．D ．【例67】 设为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为_____【例68】 已知展开式的第二项与第三项的系数比是，则________．【例69】 在的展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，则第项为______0a>42ax ⎛ ⎝3x 32a =12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭21x 41x 5-n 46810n a 1()(1)n n f x x +=+1n x -1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1:2n =220(1)x -4r 2r +4r【例70】 若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是．【例71】【例72】 已知展开式中最后三项的系数的和是方程的正数解，它的中间项是，求的值．【例73】【例74】 设数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项． ⑴用表示通项与前项和；⑵若用表示10(1)x +_____lg lg 2(21)x n x ++2lg(7272)0y y --=410+x {}n a 311232C m m m a +-=Αq 421()4x x +n x ，n a n n S 1212C C C n n n n n n A S S S =+++n x ，n A。