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《1.5.1 二项式定理》教案教学目标:知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题情感､态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法｡教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用授课类型:新授课 教具:多媒体､实物投影仪教学过程:一､复习引入:⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++;⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式, 即展开式应有下面形式的各项:4a ,3a b ,22a b ,3ab ,4b ,展开式各项的系数:上面4个括号中,每个都不取b 的情况有1种,即04C 种,4a 的系数是04C ;恰有1个取b 的情况有14C 种,3a b 的系数是14C ,恰有2个取b 的情况有24C 种,22a b 的系数是24C ,恰有3个取b 的情况有34C 种,3ab 的系数是34C ,有4都取b 的情况有44C 种,4b 的系数是44C ,∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++.二､讲解新课:二项式定理:01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式,即展开式应有下面形式的各项:n a ,n a b ,…,n r r a b -,…,n b ,⑵展开式各项的系数:每个都不取b 的情况有1种,即0n C 种,n a 的系数是0n C ; 恰有1个取b 的情况有1n C 种,n a b 的系数是1n C ,……, 恰有r 个取b 的情况有r n C 种,n r r a b -的系数是rn C ,……, 有n 都取b 的情况有n n C 种,n b 的系数是nn C ,∴01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ,这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫()na b +的二项展开式,⑶它有1n +项,各项的系数(0,1,)rn C r n =L 叫二项式系数,⑷r n rr n C ab -叫二项展开式的通项,用1r T +表示,即通项1r n r r r nT C a b -+=. ⑸二项式定理中,设1,a b x ==,则1(1)1n r r n n x C x C x x +=+++++L L三､讲解范例: 例1.展开41(1)x+.解一: 411233444411111(1)1()()()()C C C xxxxx+=++++23446411x x x x =++++. 解二:4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x ⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++.例2.展开6.解:6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+ 32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+. 例3.求12()x a +的展开式中的倒数第4项解:12()x a +的展开式中共13项,它的倒数第4项是第10项,9129933939911212220T C x a C x a x a -+===.例4.求(1)6(23)a b +,(2)6(32)b a +的展开式中的第3项. 解:(1)24242216(2)(3)2160T C a b a b +==,(2)24242216(3)(2)4860T C b a b a +==.点评:6(23)a b +,6(32)b a +的展开后结果相同,但展开式中的第r 项不相同例5.(1)求9(3x +的展开式常数项; (2)求9(3x +的展开式的中间两项 解:∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅, ∴(1)当390,62r r -==时展开式是常数项,即常数项为637932268T C =⋅=; (2)9(3x +的展开式共10项,它的中间两项分别是第5项､第6项, 489912593423T C xx --=⋅=,15951092693T C x --=⋅= 例6.(1)求7(12)x +的展开式的第4项的系数;(2)求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解:7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==,∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280. (2)∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-, ∴923r -=,3r =,∴3x 的系数339(1)84C -=-,3x 的二项式系数3984C =.例7.求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,然后再用一次二项式定理,,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开解:(法一)42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅,显然,上式中只有第四项中含x 的项,∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C(法二):42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=. 例8.已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36,求展开式中含2x 项的系数最小值分析:展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式,由展开式中含x 项的系数为36,可得3642=+n m ,从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解:()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=,即218m n +=,()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-, ∵218m n +=, ∴182m n =-,∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+,∴当378n =时,t 取最小值,但*n N ∈, ∴ 5n =时,t 即2x 项的系数最小,最小值为272,此时5,8n m ==.例9.已知n 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项 解:由题意:1221121()22n n C C ⋅=+⋅,即0892=+-n n ,∴8(1n n ==舍去)∴818(rr rr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr rC x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项,则04316=-r,即0316=-r , ∵r Z ∈,这不可能,∴展开式中没有常数项; ②若1+r T 是有理项,当且仅当4316r-为整数, ∴08,r r Z ≤≤∈,∴ 0,4,8r =,即 展开式中有三项有理项,分别是:41x T =,x T 8355=,292561-=x T 例10.求60.998的近似值,使误差小于0.001.解:66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-L ,展开式中第三项为2260.0020.00006C =,小于0.001,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=,一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四､课堂练习:1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项.3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数,并求第4项的系数.5.用二项式定理展开:(1)5(a;(2)5(2. 6.化简:(1)55)x 1()x 1(-++;(2)4212142121)x 3x 2()x 3x 2(----+7.()5lg xx x +展开式中的第3项为610,求x .8.求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案:1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+==2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3. 2311(2rn r r n r rr r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =,第4项的系数3372280C =5. (1)552(510105a a a a a b =++(2)515328x =+-.6. (1)552(1(122010x x +=++;(2)1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒==8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C - 五､小结 :二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明;二项式定理及通项公式的特点六､课后作业: 课后习题 七､板书设计(略)。
章与1． 5.1 二式定理安排：1[ 根源 :Z+xx+]学目1、掌握二式系数的四个性。
2、培育察、抽象归纳及剖析解决的能力。
要点，点二式系数的四个性的用建构数学活一情境察以下各睁开式，你能什么？⑴(a b)2 a 22ab b2C20a2C21ab C22b2；⑵(a b)3a33a2 b3ab2b3C30 a3C13 a2b C32 ab2C33b3(3)(a b)4C40 a4C41a3b C42 a2b2C43a3b C44b45（4）（ a+b）＝：1、二式定理：2、二式定理的明。
（a+b）n是 n 个（ a+b）相乘，每个（ a+b）在相乘，有两种， a 或 b，由分步数原理可知睁开式共有 2n（包含同），此中每一都是 a k b n-k的形式，k=0，1，⋯， n；于每一 a k b n-k，它是由 k 个（ a+b）了 a，n-k 个(a+b) 了 b 获得的，它出的次数相当于从 n 个（a+b）中取 k 个 a 的合数，将它归并同，就得二睁开式，就是二式定理。
3、它有 n 1，各的系数C n r(r0,1,n) 叫二式系数，4、C n r a n r b r叫二睁开式的通，用T r1表示，即通 T r 1C n r a n r b r．5、二式定理中， a 1,b x，(1 x)n 1 C n1 x C n r x r x n[根源: ]活二数学用1．睁开以下各式：（ 1）(a b)6(2)(11x) 42、求(1 2 x)7的睁开式中第 4 项的二项式系数和系数。
3、求( x21x)6的二项睁开式中的常数项。
活动三讲堂反应单1．求（ 1）(2 a3b)6，（2） (3b2a) 6的睁开式中的第3项．2．（ 1 ）求(x3)9的睁开式常数项；3x（2）求(x3)9 的睁开式的中间两项3x1013、求x的睁开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．23 x[ 根源:]活动四讲堂小结二项式定理常有问题及解决办法有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿你曾落过的泪，最后都会变为阳光，照亮脚下的路。
