下载文档原格式
１绍兴文理学院数学专业论文应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则并列举克拉默法则的应用院系：数理信息学院专业：数学与应用数学（师范）2012级曹炼壹 陈楚群 陈杭宇 陈瑶 陈羽白指导老师：何济位目录一、摘要及关键词 (3)二、克拉默法则介绍 (3)三、克拉默法则的局限与推广 (4)四、应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则（1）矩阵秩与线性方程组解的关系关系 (5)(2)应用关系推导克拉默法则 (6)五、克拉默法则的应用 (8)六、结束语 (11)七、参考文献 (12)２３一、摘 要：线性代数是代数学的一个重要组成部分,广泛应用于现代科学的许多分支,其核心问题之一就是线性方程组的求解问题,对此,通常有两种解决方法,即消元法与克拉默法则。
而克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题,其简洁、优美的表述方式堪称符号化的一个典范。
本文描述了克拉默法则产生的背景与局限，归纳了克拉默法则及其推广及其证明方法，并用典型例题说明了克拉默法则的应用。
关键词：克拉默法则；线性方程组；矩阵秩；克拉默法则的应用二、克拉默法则介绍克拉默法则（Cramer's Rule ），也称克莱姆法则，是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
线性代数是代数学的一个重要的组成部分，广泛地应用与现代科学的许多分支。
其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。
对此通常有两种方法，即消元法和克拉默法则。
在中古代，《九章算术》的成书年代就已经将消元法运用自如了，它与现代的矩阵初等变换法则非常相似，而在西方，类似的方法到1826年才被高斯（1777-1855）发现并创建，因而称之为高斯消元法。
至于克拉默法则，它是瑞士数学家克拉默（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的，它是按行列式形式来求解线性方程组的，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，其简洁、优美的表述方式堪称数学学科符号化的一个典范。
第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。
2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。
3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。
3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。
4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。
（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。
矩阵的秩与线性方程组线性代数的应用技巧矩阵是线性代数中的重要概念，对于解决线性方程组以及其他相关问题非常有用。
在矩阵的运算中，秩是一个重要的指标，它可以帮助我们判断矩阵的性质以及求解线性方程组的解。
一、矩阵的秩的定义矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关行数，用r(A)表示。
换言之，矩阵的秩是指矩阵经过初等行变换后，行阶梯形矩阵中非零行的个数。
二、线性方程组的解与矩阵的秩的关系线性方程组可以用矩阵来表示，对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的矩阵B，线性方程组可以表示为AX=B。
1. 当矩阵A的秩小于n时，即r(A) < n，存在自由变量，线性方程组有无穷多个解。
这是因为秩小于n时，矩阵A的行向量之间存在线性相关性，会导致方程组中存在冗余的方程，从而使得方程组的解不唯一。
2. 当矩阵A的秩等于n时，即r(A) = n，不存在自由变量，线性方程组有唯一解。
这是因为秩等于n时，矩阵A的行向量之间线性无关，不会存在冗余的方程，方程组的解是唯一的。
三、矩阵的秩的计算方法1. 初等行变换法：通过初等行变换把矩阵A化为行阶梯形矩阵，然后矩阵的秩等于行阶梯形矩阵中非零行的个数。
2. 矩阵的秩与其特征值的关系：矩阵A与其特征值λ有关，矩阵A 的秩等于特征值λ不等于0的个数。
四、矩阵的秩在实际应用中的意义矩阵的秩在很多实际问题中都有广泛的应用，包括物理、工程、经济等领域。
1. 线性回归分析：在线性回归分析中，我们可以通过计算相关系数矩阵的秩来判断自变量之间的相关性。
如果相关系数矩阵的秩小于自变量的个数，说明自变量之间存在冗余，可以进行变量选择。
2. 图像处理：在图像处理中，我们可以使用矩阵的秩来判断图像的压缩比例或图像的清晰度。
秩越小的矩阵代表图像的冗余信息越多，而秩越大的矩阵则代表图像的信息丢失越少，图像越清晰。
3. 线性规划：在线性规划中，我们可以通过计算约束矩阵的秩来判断约束条件是否完全满足，进而判断解的可行性。
矩阵的秩与方程组的解的个数矩阵是线性代数中重要的概念之一，它广泛应用于数学、工程和计算机科学等领域。
矩阵的秩是对于矩阵进行描述和分析的重要性质之一。
在解决线性方程组的问题中，我们经常遇到矩阵的秩与方程组的解的个数之间的关系。
本文将探讨矩阵的秩与方程组的解的个数之间的联系及其应用。
首先，我们来了解矩阵的秩的定义。
矩阵的秩是指一个矩阵中的线性无关行（或列）向量的最大个数。
换句话说，矩阵的秩是由其行（或列）向量所生成的向量空间的维度。
通过计算行（或列）向量组的最简形式（即行最简（或列最简）矩阵）中非零行（或列）的个数，我们可以确定矩阵的秩。
一个重要的结论是，对于一个方程组形如Ax=b的线性方程组，其中A是一个m×n的矩阵，b是一个m维列向量，x是一个n维列向量。
这个方程组有解的充要条件是矩阵A的秩等于增广矩阵[A|b]的秩。
换句话说，方程组的解的存在与否取决于矩阵A和增广矩阵[A|b]的秩之间是否相等。
根据矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关系，我们可以进一步讨论方程组解的个数与矩阵的秩之间的联系。
1. 当方程组有唯一解时，矩阵的秩等于方程组中未知数的个数。
这是因为当方程组有唯一解时，增广矩阵的秩等于矩阵的秩，并且它们都等于未知数的个数。
这意味着在这种情况下，矩阵的秩与方程组的解的个数是相等的。
2. 当方程组有无穷多解时，矩阵的秩小于方程组中未知数的个数。
这表明在这种情况下，方程组的解的个数是无穷多的。
矩阵的秩小于未知数的个数意味着方程组中存在自由变量。
自由变量的存在使得方程组可以有无穷多种解。
3. 当方程组无解时，矩阵的秩与方程组的解的个数都为零。
矩阵的秩为零意味着矩阵的所有元素都为零，而方程组的无解则意味着方程组的所有等式不能同时满足。
因此，在这种情况下，方程组的解的个数为零。
总结起来，方程组的解的个数与矩阵的秩之间存在着密切的关系。
方程组的解的存在与秩等于增广矩阵的秩有关，而方程组的解的个数则取决于矩阵的秩与未知数的个数之间的关系。
【关键字】知识本章结构常用方法：1、矩阵化等价标准形，求出矩阵的秩，则标准形2、求矩阵的逆3、消元法求线性方程组的解增广矩阵行最简阶梯4、求矩阵的秩5、判断向量能否由向量组线性表示以为列向量的矩阵行最简阶梯6、求向量组的秩和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示以为列向量的矩阵行最简阶梯7、用根底解系表示(非)齐次线性方程组的全部解增广矩阵行最简阶梯一、用消元法求解非齐次线性方程组1、，进而求出和2、观察和的关系：(1) ，方程组无解；(2) ，方程组有解：①、，方程组有唯一解；②、，方程组有无穷多个解.3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。
定理3.1线性方程组有解，且当时方程组有唯一解；当，方程组有无穷多个解.二、用消元法求解齐次线性方程组：1、，进而求出；2、观察：(1) ，方程组有唯一解，即只有零解；(2) ，方程组有无穷多个解，即有非零解；3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。
定理3.2齐次方程组有非零解推论当，即当方程个数小于未知元个数时，齐次线性方程组有非零解三、维向量的概念及线性运算（看作特殊的矩阵）书P121－123四、向量与向量组的线性组合（向量由向量组线性表示）对非齐次线性方程组，设，，则线性方程组可表示，从而.定义3.5 （P124）对于给定向量，如果存在一组数，使成立，则称向量是向量组的线性组合，或称向量可由向量组线性表示。
线性组合的判别定理设向量，向量，则五、向量组的线性相关性对齐次线性方程组，设，，则齐次线性方程组可表示为.它一定有零解，考虑其是否有非零解：定义3.7（P128）对于向量组，如果存在一组不全为零的数使成立，则称向量组线性相关；否则称向量组线性无关.注：（1）线性无关.（2）一个零向量线性相关；一个非零向量线性无关.（3）包含零向量的任何向量组都是线性相关的.（4）仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的分量对应成比例。
