中心极限定理实验仿真
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167EDUCATION FORUM 教育论坛摘要:中心极限定理是学员学习《概率论与数理统计》课程中的难点内容,论文通过引入军事案例,将数学建模思想融入课堂教学中,同时利用MATLAB软件对中心极限定理进行随机模拟,用图像将结果直观演示的方法,进行形象化教学,使得抽象的定理具体化、直观化,加深学员对中心极限定理的理解与掌握,进而使得学员将所学内容用于解决实际问题,达到教学目的,优化教学效果。
关键词:数学建模;中心极限定理;MATLAB一、前言中心极限定理是《概率论与数理统计》课程中十分重要的一个定理。
它是数理统计部分的理论基础,给出了大量随机变量和的分布近似于服从正态分布的条件,揭示了正态分布产生的源泉,解释了个体千变万化群体却呈现出规律性的自然现象的原因。
而正态分布有很多完美的结论,因此中心极限定理在很多领域也都有特别重要的应用。
然而,由于中心极限定理理论性较强,比较抽象,因此学员在学习过程中很难做到熟练掌握和深刻理解,更谈不上对实际问题建立数学模型,用已知定理解决实际问题了。
MATLAB是一种用于分析数据、开发并应用算法的编程语言,它具有强大的数据可视化与数学统计分析功能,编程环境简单易用,使得其成为数学学习的一个重要辅助工具。
在欧美国家,MATALB已经成为应用线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具,成为攻读学位的大学生、硕士生必须掌握的基本技能。
在设计研究单位和工业部门,MATLAB被广泛应用于研究和解决具体实际问题。
鉴于此,本文将数学建模思想融入到中心极限定理的教学中,并借助MATLAB软件对中心极限定理进行仿真模拟,通过图形将模拟结果直观演示,从而让学员对该定理有直观的理解,进而将定理应用于实际。
二、将数学建模思想融入中心极限定理的教学中数学建模是一种利用数学工具解决实际问题的重要手段。
当需要从定量的角度去分析和研究一个实际问题时,我们需要了解背景知识、做出简化假设、用数学符号和语言将其表述为数学式子,也就是建立数学模型,然后通过计算机对模型进行求解,这就是数学建模思想。
中心极限定理的仿真实验目的:模拟投掷一枚骰子出现的点数的试验,重复进行104次,统计出现的点数和,并将数据标准化处理后,画出频率直方图,通过观察比较验证数据的正态性。
所用的软件:Microsoft EXCEL步骤如下:1 打开excel软件,在A2格子中输入=INT(6*RAND())+1,按回车就会产生一个1-6中的某一个随机整数,并且出现1-6中每一个整数的概率是相同的。
2鼠标点击A2格子,并移动到格子的右下角,出现”+”后往下拖动鼠标直到出现A501时停下来,这样就得到了500个随机数据,都是在1-6中随机取值的。
(当然你越往下拖,产生的随机整数越多,试验效果越好)3 在第二列重复第1步和第2步,第三列,第四列……直到CZ列都和第二列同样操作,这样产生了104列随机数据。
4 在DB列分别求出每行数据的和,用的函数是“SUM”,接着依次求出500行数据的和。
5 复制DB列到DC列,注意值复制数值。
6 对DC列数据进行排序,7对DC列数据进行标准化处理,即每个数据减去平均值再除以标准差(均值函数为average,样本方差函数为var)8处理后的数据放在DE列。
根据最大值和最小值,把数据分到20个区间,这里数据范围从-2.7到2.7,故每个区间长度为0.27,这样得到(-2.7,-2.43],……,(2.43,2.7)共20个区间(也可以分15个区间,这时区间长度为0.36)。
9统计每个区间里的数据个数,用函数countif(区域,条件),详见EXCEL文件。
10 画出频率直方图,大家可以看到,投掷104次骰子后出现的点数和数据标准化后出现标准正态分布的特征。
请大家按照以上方法,产生200列数据,每列1000个数据,按照以上步骤做好中心极限定理的仿真实验。
按个步骤写出实验过程,并将计算结果或图标截图后放在每个步骤后面,完整一份实验报告。
中心极限定理应用[五篇范例]第一篇:中心极限定理应用中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景,最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
它们表明了当n充分大时,方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布,在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。
【关键词】:中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。
随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来,而研究大量的随机现象常常采用极限的形式,由此导致了对极限定理的研究。
极限定理的内容很广泛,中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。
中心极限定理主要描述了在一定条件下,相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律:当n→∞时的极限符合正态分布。
因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位,也使得中心极限定理有了广泛的应用。
二、定理及应用1、定理一(林德贝格—勒维定理)若ξk1,=a,ξ2,…是一列独立同分布的随机变量,且EξDξk=kσ⎰x2(σ2>0),k=1,2,…则有limp(k=1n→∞∑ξn-na≤x)=σnn12π-∞e-t22dt。
当n充分大时,∑ξk=1k-naσn~N(0,1),k=1∑ξnk~N(na,nσ)22、定理二(棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理)在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中出现的概率为错误!未找到引用源。
, 错误!未μ找到引用源。
为n次试验中事件A出现的次数,则limp(n→∞n-npnpq≤x)=⎰2π1x-∞e-t22dt其中q=1-p。
这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布,因此当n充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率。
同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率,求随机变量的个数。
面连小草也长不出来的。
第八章 系统仿真结果分析采用统计方法来估计系统的性能,利用统计分析方法要求样本数据具有统计独立性,但实际上在很多情况下这个条件并不能满足。
解决这一难题的途径无非两条:一是对样本序列进行处理,使之尽量满足统计独立性条件;二是在经典统计方法的基础上进行修正使之适合于处理相关的样本序列。
终态仿真是指仿真实验在某个持续事件段上运行。
稳态仿真则是通过系统的仿真实验,希望的得到一些系统性能测度指标在系统达到稳态时的估计值。
有必要采用方差减小技术,即在相同的仿真运行次数下获得较小方差的仿真输出结果。
§8.1终态仿真的结果分析8.1.1 重复运行法所谓重复运行方法是指选用不同的独立随机数序列,采用相同的参数、初始条件以及用相同的采样次数n 对系统重复进行仿真运行。
对于一终态仿真的系统,由于每次运行是相互独立的,因此可以认为每次仿真运行结果()n i X i ,,2,1⋅⋅⋅=是独立同分布的随机变量,是服从正态分布的随机变量。
随机变X 量的期望值E (X )地估计值μ为:面连小草也长不出来的。
n n S t Xnj n jn/)(211,112∑=--±=αμ(8.1)其中, ()[]()1/)(212--=∑=n X n X n S nj j(8.2)∑==nj jnXX 11 (8.3)α为置信水平。
根据中心极限定理,若产生的样本点X j 越多,即仿真运行的次数越多,则X j 越接近于正态分布,因此在终态仿真中使用仿真方法运行的重复次数n 不能选取得太小。
8.1.2序贯程序法在终态仿真结果分析得重复运行法中,通过规定次数得仿真 可以得到随机变量取值的置信区间,置信区间的长度与仿真次数的平方根成反比。
显然,若要缩小置信区间的长度就必然增加仿真次数n 。
这样就产生了另一个方面的问题,即在一定的精度要求下,规定仿真结果的置信区间,无法确定能够达到精度要求的仿真次数。
这样就可以对置信区间的长度进行控制,避免得出不适用的结论。
基于Mathematica的中心极限定理的实验分析
易秀英;王三宝
【期刊名称】《湖北理工学院学报》
【年(卷),期】2010(026)001
【摘要】基于Mathematiea讨论了二项分布与正态分布之间的关系,对棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理进行实验研究,通过图像演示和相对误差分析,给出二项分布的极限分布及其相应的准确度分析,并得出了一些计算概率的近似公式.
【总页数】4页(P29-32)
【作者】易秀英;王三宝
【作者单位】黄石理工学院师范学院,湖北,黄石,435003;黄石理工学院师范学院,湖北,黄石,435003
【正文语种】中文
【中图分类】TB115
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基于MATLAB的De Moivre-Laplace中心极限定理的随机
模拟
任丽;李顺初
【期刊名称】《四川理工学院学报(自然科学版)》
【年(卷),期】2016(029)002
【摘要】针对De Moivre-Laplace中心极限定理,首先利用特征函数和独立同分布下的中心极限定理得到理论上证明,然后利用MATLAB软件随机模拟分析二项分布与正态分布之间的关系,并对图像进行误差分析,最后证明数值结果与实验结果的一致性.通过这两种不同角度的论证,给出De Moivre-Laplace中心极限定理直观的解释和说明,这种将数学实验与数学原理结合的方法,不仅使数学原理化抽象为具体,便于理解和实践,而且扩展了数学原理和计算机软件的应用.
【总页数】5页(P80-84)
【作者】任丽;李顺初
【作者单位】西华大学理学院应用数学研究所,成都610039;西华大学理学院应用数学研究所,成都610039
【正文语种】中文
【中图分类】O021;O024
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中心极限定理证明一、例子高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:因为很大,于是所以利用标准正态分布表,就可以求出的值.某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得,,故取.于是取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有其中,即有四、林德贝格-勒维中心极限定理若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有证明:设的特征函数为,则的特征函数为又因为,所以于是特征函数的展开式从而对任意固定的,有而是分布的特征函数.因此,成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:p222ex32,33,34,35五、林德贝尔格条件设为独立随机变量序列,又令,对于标准化了的独立随机变量和的分布当时,是否会收敛于分布?除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有(2)若是离散型随机变量,的分布列为如果对于任意的,有则称满足林德贝尔格条件.以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明:令,则于是从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理引理1对及任意的,证明:记,设,由于因此,,其次,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2对于任意满足及的复数,有证明:显然因此,由归纳法可证结论成立.引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地证明定义随机变量其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理定理设为独立随机变量序列,又.令,则(1)与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分记(2)显然(3)(4)以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5)这时因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明(7)先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:(8)事实上,由(3)知,又因为故对一切,把在原点附近展开,得到因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有(9)这时(10)对任意的,只要充分小,就可以有(11)因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有(12)因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,当时,当时,因此(14)对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)上述被积函数的实部非负,故而且(16)因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有则对于任意的,有一,大数定律的证明二,中心极限定理的证明§5.3中心极限定理我们曾特别强调了正态分布在概率论与数理统计中的地位与作用.为什么客观实际中许多随机变量服从正态分布?是经验猜测还是确有科学的理论依据,下面我们就来解释这一问题.我们已经知道,炮弹的弹着点射击误差服从正态分布,我们来分析其原因.要知道误差是什么样的随机变量,有必要研究一下造成误差的原因是什么?每次射击后,炮弹会因为震动而造成很微小的偏差x1,炮弹外形细小的差别而引起空气阻力不同而出现的误差x2,炮弹前进时遇到的空气流的微小扰动而造成的误差x3,……等等,有许多原因,每种原因引起一个微小的误差都是随机的,而弹着点的总误差x 是许多随机误差的总和,即x=?xk,而且xk之间可以看成是相互独立的,因此要讨论x的分布就要讨论这些相互独k立的随机变量之和的分布.在概率论中,我们把研究在一定条件下,大量独立随机变量和的极限分布是正态分布的那些定理通常叫做中心极限定理.本节只介绍两个条件简单,也较常用的中心极限定理.定理4(同分布中心极限定理)设随机变量x1,x2,…,xn…相互独立,服从同一分布,且具有有限的数学期望和方差,e(xk)=?,d(xk)=(k=1,2,…)则随机变量2?xk-n?k=1n的分布函数对任意的x,满足n??nxk-n?k=1?n?x1?2??e-?xt22dt中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景,最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
验证大数定理:1、实验原理:证明大数定理即证明样本均值趋近于总体均值。
2、实验步骤:在excel中,用公式 =RAND( )*9+1 生成2000个1到10之间的随机数。
选择样本的前50个,前100个,前150个…前2000个,分别求出均值。
③利用excel作出上述求出值的样本均值折线图(图一)和总体均值折线图(图二):图一图二从图一和图二中可以看出样本均值最终趋于水平,即趋于总体均值,大数定理得证。
验证中心极限定理:1、实验原理:证明中心极限定理即证明N个独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布。
本次实验采用独立同分布于0-1分布B(1,0.5)的随机变量序列Ek,k=1,2,3······来验证中心极限定理。
因为Ek,k=1,2,3······之间是独立同分布,所以。
由中心极限定理可知,当n的取值足够大时,这一随机变量的分布与正太分布具有很好的近似,下面用MATLAB软件分别画出n 取不同值时的分布及对应的正太分布的图像,通过对比这两条曲线的相似度来验证中心极限定理。
2、实验步骤:当n=10时,对应正态分布为N(5,2.5)。
MATLAB结果图:MATLAB源程序:②当n=20时,对应正态分布为N(10,5)。
MATLAB结果图:MATLAB源程序:当n=30时,对应正态分布为N(15,7.5)。
MATLAB结果图:MATLAB源程序:④当n=40时,对应正态分布为N(20,10)。
MATLAB结果图:MATLAB源程序:⑤观察得出,当N足够大时,其密度函数服从正态分布,即满足中心极限定理。
基于高斯随机性的弹道轨迹仿真刘宏义;肖瑜【摘要】用中心极限定理生成高斯随机性相当简单和高效,通过在极坐标中组合均匀随机性和高斯随机性,模拟弹道轨迹的变化,产生的高斯分布,符合真实射击时弹着点自然散布规律。
而且许多倾向于具有正态分布的物理系统和特性都可以使用高斯随机性来建模。
%It is quite simple and efficient to create Gaussian random by using the Center ultimate theory. By means of combining the even randomicity and Gaussian random in polar coordinates to simulate ballistic trajectory, create Gaussian distribution. This is actually in accordance with the natural distribution pattern of the real impact points. What's more, a great number of physic system and characteristic, which have normal school character, can be modeled by using Gaussian Random.【期刊名称】《电子科技》【年(卷),期】2012(025)012【总页数】3页(P37-39)【关键词】高斯分布;高斯随机性;中心极限定理;正态分布;弹道轨迹【作者】刘宏义;肖瑜【作者单位】中国人民解放军边防学院信息化研究实验室,陕西西安710108;中国人民解放军边防学院信息化研究实验室,陕西西安710108【正文语种】中文【中图分类】TP391.9一个非常流行的高质量GRNG是polar-rejection[2]。
中心极限定理例题
中心极限定理是理论统计学中一个重要定理,它指出,在大量的独立
重复试验中,假如各试验的结果服从均匀分布,则样本平均值的分布服从
正态分布,其分布的期望值和方差均取决于变量的分布期望和方差。
让我们来看一个例子,即一张硬币正反面的均匀抛掷实验:投掷一张
硬币1000次,记录每一次抛掷得正反面的次数,然后把实验结果求平均值:对每一次抛掷可以视为一个随机变量,正反面均可能出现;抛1000次,期望值为500,方差为25。
按中心极限定理,平均值服从正态分布,
期望值也为500,而方差为25/1000=0.025。
因此,可以看到,当抛掷次数足够多时,即使原始随机变量服从均匀
分布,其抽样本的均值也服从正态分布,这就是中心极限定理的主要思想。
中心极限定理的仿真实验
目的:模拟投掷一枚骰子出现的点数的试验,重复进行104次,统计出现的点数和,并将数据标准化处理后,画出频率直方图,通过观察比较验证数据的正态性。
所用的软件:Microsoft EXCEL
步骤如下:
1 打开excel软件,在A2格子中输入=INT(6*RAND())+1,按回车就会产生一个1-6中的某一个随机整数,并且出现1-6中每一个整数的概率是相同的。
2鼠标点击A2格子,并移动到格子的右下角,出现”+”后往下拖动鼠标直到出现A501时停下来,这样就得到了500个随机数据,都是在1-6中随机取值的。
(当然你越往下拖,产生的随机整数越多,试验效果越好)
3 在第二列重复第1步和第2步,第三列,第四列……直到CZ列都和第二列同样操作,这样产生了104列随机数据。
4 在DB列分别求出每行数据的和,用的函数是“SUM”,接着依次求出500行数据的和。
5 复制DB列到DC列,注意值复制数值。
6 对DC列数据进行排序,
7对DC列数据进行标准化处理,即每个数据减去平均值再除以标准差(均值函数为average,样本方差函数为var)
8处理后的数据放在DE列。
根据最大值和最小值,把数据分到20个区间,这里数据范围从-2.7到2.7,故每个区间长度为0.27,这样得到(-2.7,-2.43],……,(2.43,2.7)共20个区间(也可以分15个区间,这时区间长度为0.36)。
9统计每个区间里的数据个数,用函数countif(区域,条件),详见EXCEL文件。
10 画出频率直方图,大家可以看到,投掷104次骰子后出现的点数和数据标准化后出现标准正态分布的特征。
请大家按照以上方法,产生200列数据,每列1000个数据,按照以上步骤做好中心极限定理的仿真实验。
按个步骤写出实验过程,并将计算结果或图标截图后放在每个步骤后面,完整一份实验报告。