优质课直线方程的点斜式和斜截式教案

直线点斜式⽅程斜截式⽅程教案直线的点斜式、斜截式⽅程教学⽬标：1、知识与技能（1）理解直线⽅程的点斜式、斜截式的形式特点和适⽤范围；（2）能正确利⽤直线的点斜式、斜截式公式求直线⽅程；（3）体会直线的斜截式⽅程与⼀次函数的关系。

2、过程与⽅法在已知直⾓坐标系内确定⼀条直线的⼏何要素——直线上的⼀点和直线的倾斜⾓的基础上，通过师⽣探讨，得出直线的点斜式⽅程；学⽣通过对⽐理解“截距”与“距离”的区别。

3、情态与价值观通过让学⽣体会直线的斜截式⽅程与⼀次函数的关系，进⼀步培养学⽣数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学⽣能⽤联系的观点看问题。

教学重点：直线的点斜式⽅程和斜截式⽅程。

教学难点：直线的点斜式⽅程和斜截式⽅程的应⽤。

教学安排：1课时教学⽅法：引导发现法教学⼿段：多媒体教学教学过程：⼀、复习引⼊：问题⼀：1.在平⾯内，需要知道哪⼏个条件，才能确定直线的位置。

2.画出经过点A(-1,3)，斜率为-2的直线。

3.在直⾓坐标系内，点的代数形式是。

直线⽅向的代数形式是。

问题⼆：若直线l经过点A(-1,3)，斜率为-2，点P(x,y)在直线l 上运动，那么点P 的坐标x 和y 之间满⾜什么关系？析：点P 与定点A(-1,3)所确定的直线的斜率恒等于-2，故有： 2)1(3-=---x y 即： )]1([23---=-x y即： 012=-+y x问：1.直线l 上的点的坐标是否都满⾜⽅程？2.以此⽅程的解为坐标的点是否在直线l 上？由此，我们得到经过点A(-1,3)，斜率为-2的直线⽅程是：012=-+y x直线的⽅程概念：⼀般地，如果直线l 上任意⼀点都满⾜⼀个⽅程，满⾜该⽅程的每⼀个实数对(x,y)所确定的电都在直线l 上，我们就把这个⽅程称为直线l 的⽅程。

⼆、新知探究：问：直线l 经过点),(111y x P ，斜率为k ，点P 在直线l 上运动，那么点P 的坐标(x,y)满⾜什么条件？析：当点P(x,y)在直线l 上运动时，1PP 的斜率恒等于k ，即 k x x y y =--11 故 )(11x x k y y -=-可以验证：直线l 上的每个点（包括点1P ）的坐标都是这个⽅程的解；反过来，以这个⽅程的解为坐标的点都在直线l 上。

《直线的方程点斜式》优质课比赛教案章节一：引言教学目标：1. 引导学生回顾已学的直线方程知识，为新课的学习做好铺垫。

2. 激发学生对直线方程点斜式的兴趣。

教学内容：1. 复习直线方程的斜截式和一般式。

2. 引入直线方程点斜式。

教学过程：1. 复习直线方程的斜截式和一般式。

2. 提问：能否用一个斜率和一个点来表示一条直线？3. 引导学生思考并引入直线方程点斜式。

章节二：点斜式方程的推导教学目标：1. 让学生掌握点斜式方程的推导过程。

2. 培养学生分析问题和解决问题的能力。

教学内容：1. 点斜式方程的推导。

教学过程：1. 引导学生观察直线方程斜截式和一般式之间的关系。

2. 提问：如何将直线方程的斜截式转化为一般式？3. 引导学生思考并推导出点斜式方程。

章节三：点斜式方程的运用教学目标：1. 让学生学会运用点斜式方程解决实际问题。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学内容：1. 点斜式方程在实际问题中的应用。

教学过程：1. 出示实际问题，引导学生运用点斜式方程解决。

2. 提问：如何将实际问题转化为点斜式方程？3. 引导学生思考并运用点斜式方程解决问题。

章节四：点斜式方程的拓展教学目标：1. 让学生了解点斜式方程的拓展知识。

2. 培养学生对数学知识的探究精神。

教学内容：1. 点斜式方程的拓展知识。

教学过程：1. 引导学生探究点斜式方程的拓展知识。

2. 提问：点斜式方程有哪些拓展知识？3. 引导学生思考并进行探究。

章节五：总结与评价教学目标：1. 让学生回顾本节课所学内容，巩固知识点。

2. 培养学生自我评价和反思的能力。

教学内容：1. 总结点斜式方程的推导过程和应用。

2. 学生自我评价和反思。

教学过程：1. 引导学生回顾本节课所学内容，巩固知识点。

2. 提问：本节课你学到了什么？3. 学生进行自我评价和反思。

六、点斜式方程的练习教学目标：1. 让学生通过练习，巩固点斜式方程的知识。

2. 培养学生运用点斜式方程解决问题的能力。

《第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计一、问题引入请同学们思考:1.在直角坐标系内确定一条直线,需要几个条件?2.求直线斜率的方法有哪些?3.已知直线l 的斜率k ,且直线l 经过点()000,P x y ,如何求直线l 的方程?设计意图:引导学生复习旧知,提出问题,引入新课题.二、探索研究(一)直线的点斜式方程1.循序渐进:思考1:设12,l l 是平面直角坐标系中的直线,分别判断满足下列条件的12,l l 是否唯一.如果唯一，作出相应的直线,并思考直线上任意一点的坐标(,)x y 应该满足什么条件.（1）已知1l 的斜率不存在;（2）已知1l 的斜率不存在且1l 过点(2,1)A -;（3）已知2l 的斜率为3;（4）已知2l 的斜率为3且2l 过点(1,2)B .教师提出问题,学生分组进行思考讨论,教师让学生行口答,并给予点评.教师:不难看出,满足条件(1)的直线1l 有无数条,但满足条件(2)的直线1l 是唯一的,如图所示.此时若(,)x y 为直线1l 上的点,则必有2x =-;另外,任意横坐为2-的点,一定都在直线1l 上.满足条件(3)的直线2l ,只要倾斜角为60︒即可,因此2l 也有无数条.满足条件(4)的直线2l 是唯一的,如图(2)所示.此时若(,)P x y 为直线2l 上不同于B 的点,则BP k即21y x -=-,化简可得21),y x -=-容易验证,(1,2)B 的坐标也能使上式成立,因此直线2l 上的点都使得上式成立;另外,如果,x y 能使得上式成立,即要么(,)P x y 就是点(1,2)B ,要么BP k =也就是说,点P 一定在直线2l 上.思考2：（2）中直线1l 上点的坐标与方程2x =-的解有什么关系?（4）中直线2l 上点的坐标与方程2y -=1)x -的解有什么关系?由此你能得出什么结论?教师提出问题,学生进行思考,教师让同学回答,并给出一般结论.教师:一般地,如果直线l 上点的坐标都是方程(F x ,)0y =的解,而且以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都在直线l 上,则称(,)0F x y =为直线l 的方程,而直线l 称为方程(,)0F x y =的直线.此时,为了简单起见,“直线l ”也可说成“直线(,)0F x y =”,并记作:(,)0l F x y =.思考3:设点()000,P x y 为直线l 上一定点,而且知道的l 斜率信息,我们怎样得到直线l 的方程?教师提出问题,学生进行思考讨论并进行回答.教师:（1）如果直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为0.x x =（2）如果直线l 的斜率存在且为k ,设(,)P x y 为直线l 上不同于0P 的点,则0P P k k =,即00y y k x x -=-,化简可得 ()00y y k x x -=-.①而且()000,P x y 的坐标也能使上式成立;另外,如果,x y 能使得上式成立,则要么(,)P x y 就是点()000,P x y ,要么0P Pk k =,也就是说,点P 一定在直线l 上,从而①就是直线l 的方程.因为方程①由直线上一点和直线的斜率确定,所以通常称为直线的点斜式方程.思考4:你能用方向向量来推导直线的点斜式方程吗?教师提出问题,学生进行思考讨论并进行回答.教师:直线的点斜式方程还可以用方向向量来得到:如果已知()000,P x y 是直线l 上一点,而且l 的斜率为k ,则直线的一个方向向量为(1,)a k =;另一方面,设(P x ,y )为平面直角坐标系中任意一点,则P 在直线l 上的充要条件是0P P 与a 共线,又因为()000,P P x x y y =--,所以()00y y k x x -=-.思考5:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?引导学生分组讨论,然后说明理由,使学生掌握直线的点斜式方程的适用范围.教师:归纳总结:1.点斜式方程的局限性:只能表示斜率存在的直线,不能表示与x 轴垂直的直线.2.经过点()000,P x y 的直线有无数条,可分成两类:①斜率存在的直线(如图),方程为()00y y k x x -=-;斜率不存在的直线(如图):0x x =.（二)直线的斜截式方程思考6:已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0,b),求直线l 的方程.学生独立求出直线l 的方程:y kx b =+.②在此基础上,教师给出截距的概念,引导学生分析方程②由哪两个条件确定,让学生理解斜截式方程概念的内涵.教师:一般地,当直线l 既不是x 轴也不是y 轴时:若l 与x 轴的交点为(,0)a ,则称l 在x 轴上的截距为a ;若l 与y 轴的交点为(0,)b ,则称l 在y 轴上的截距为b .一条直线在y 轴上的截距简称为截距.方程y kx b =+由直线的斜率和截距确定,因此通常称为直线的斜截式方程.思考7:观察方程y kx b =+,它的形式具有什么特点?直线y kx b =+在y 轴上的截距是什么? 使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.教师:从直线的截距式方程y kx b =+,可以方便地看出直线的斜率k 和截距b .思考8:你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx b+?直线方程中k和b的几何意义是什么?你能说出一次函数21,3,3=-==-+的截距吗?y x y x y x使学生进一步加深对直线截距式方程的认识和理解.三、应用举例（一)点斜式方程应用举例例1 已知直线l经过点P,且l的斜率为k,分别根据下列条件求直线l的方程：（1）(0,3),2P k=-.P k=;(2)(1,0),3解（1）根据已知可得直线l的点斜式方程为-=⨯-32(0)y x化简得23=+.y x（2）根据已知可得直线l的点斜式方程为0y x=-+.-⨯-,化简得33y-=(3)(1)x教师可以找两个同学上黑板完成,其他同学在练习本上完成,完成后教师进行讲解.（二)斜截式方程应用举例例2 已知直线l经过点(2,3)P-,且l的倾斜角为45︒,求直线l的方程,并求直线l的截距.解因为直线l的斜率tan451k=︒=,所以可知直线l的方程为-=⨯--，31[(2)]y x即5=+.因此直线l的截距为5.y x学生思考讨论并上台讲解,教师给予点评.四、小结归纳教师引导学生概括：（1）本节课我们学习了哪些知识点？（2）直线方程的点斜式、斜截式的特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道什么条件？五、课后作业教材第85页练习A第1~4题.板书设计教学研讨本节内容由8个思考问题构成，每个思考问题要给学生充分的讨论探究时间，这样设计有助于学生自主学习能力的提高.对于例题，这里选择了教材上的例题，数量和难度都有些不足，建议教师可以再安排一些难度较大的例题.。

第一章直线教案直线方程的点斜式、斜截式教案教学目标1．通过教学，学生能掌握直线方程的两种表现形式，即点斜式、斜截式．2．通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题；尊重从特殊→一般→特殊的认识规律．3．培养学生的探索、概括能力，同时也培养学生思维的科学性与创造性．教学重点与难点引导学生根据直线这一结论探讨确定一直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程．教学过程师：在初中，我们学习过一次函数y=kx+b及其图象l(一条直线)，下面请同学们思考以下几个问题：1．对函数y=kx+b来说，当不区分自变量x和y时，我们可以将y=kx+b叫做什么？(二元一次方程) 2．对于直线l来说，k和b在l中表示什么？(“k”表示直线l的方向，其值满足k=tanθ，因此，把k 叫做直线l的斜率；“b”表示直线l与y轴交点的纵坐标，又叫做直线l在y轴上的纵截距．)3．方程y=kx+b与直线l之间存在着什么样的关系？(以这个方程的解为坐标的点都是这条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．)师：你怎么知道以方程y=kx+b的解为坐标的点都是直线l上的点呢？你都验证了吗？生：……师：事实上，可以证明证明：设P(x1，y1)在l上，则由相似三角形性质，所以y1=kx1+b，即(x1，y1)是方程y=kx+b的解．反之：设(x1，y1)是y=kx+b的解，则师：通过上述问题，我们弄清了方程y=kx+b的解和直线l上的点之间的关系，它们是一种什么关系呢？生：一一对应关系．师：很好！有了这种一一对应关系，那么我们在研究直线时，就可以通过方程来考虑，这也正是解析几何研究问题的基本思想．现在我们不妨考虑一下，如果把直线当做结论，那么，确定一条直线需要几个条件？生：两个条件．师：哪两个条件？生甲：需要知道k和b的值就可以了．生乙：因为两点确定一条直线，所以只要知道两个点就可以确定一条直线．师：两位同学说得都很好，还有其它条件吗？生：……师：好！大家提出了许多种，今天先讨论其中的两种．若已知k、b，求直线方程．生：设P(x，y)为l上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式得：师：推导过程很正确！我们能不能把题目再引申一下，使其更具有一般性？生：把条件改为：已知直线l的斜率为k，且经过点P1(x1，y1)，求直线l的方程．师：条件改得很好！能解决这个问题吗？生：设P(x，y)为l上任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得：师：在解决上面的两个问题中，大家都用到了k值，若k不存在的情况下其直线方程怎么表示？生：若k不存在，则直线方程为x=0或x=x1．师：很好！把上面的问题归纳一下，应分为几种情况加以考虑？生：两种．1)当k存在时，经过点P1(x1，y1)的直钱方程为y-y1=k(x-x1)；2)当k不存在时，经过点P1(x1，y1)的直线方程为x=x1．师：总结得不错！通过总结，大家注意到，在运用方程y=kx+b和y-y1=k(x-x1)解决问题时的前提条件是k 存在．另外要知道这两个方程之间的联系，即方程y=kx+b是方程y-y1=k(x-x1)的特殊形式，但两个方程表示的图形都是直线．为了以后应用起来方便，我们不妨给这两个方程分别取个名字．下面请大家集思广益，给这两个方程取个贴切、易记的名字．生：直线方程y-y1=k(x-x1)是由直线上一点和直线的斜率确定的，因此，可以叫做直线方程的点斜式；直线方程y=kx+b是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的，所以，可以叫做直线方程的斜截式．师：这两个名字都指出了方程存在的前提条件，因此，便于同学们理解和记忆，以后大家可以继续使用．下面请大家根据今天课上所讨论的内容解决有关问题．例1 已知直线l的倾斜角为0°，求直线l经过一点P1(x1，y1)的方程．(打投影仪)学生口答：利用点斜式得直线l的方程是y=y1．例2 已知直线l的倾斜角为90°时，求直线l经过一点P1(x1，y1)的方程．(打投影仪)学生口答：因为直线l的斜率不存在，所以经过点P1(x1，y1)的直线方程为x=x1．例3 一条直线经过点P1(-2，3)，倾斜角α=45°，求直线的方程，并画出图形．(打投影仪)师：这是课本的例题，解完后自行对照课本．(同时请一位同学板演)师：通过前面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需要几个独立条件？生：两个．师：如果已知直线l过一点，能否确定直线在坐标系中的位置？生：不能确定，可以得到无数条经过这一点的直线．(教师可以用电脑演示)师：若只知道直线l的斜率呢？生：可以得到无数条斜率相同的直线．(教师用电脑演示)师：像这样的问题在我们今后学完有关直线的问题以后再做进一步探讨．本节课需要大家理解；确定一条直线必须具备两个独立条件，并且会根据所给条件求出直线的方程．下面，请大家回忆一下本节课所讨论的内容．生：知道了直线方程的两种表现形式：点斜式、斜截式．师：应用这两个方程时应注意什么？生：注意方程存在的条件是k存在．师：在今天这节课上，有的同学还提到了另外几种确定一条直线的条件，请同学们课下思考．作业：第20页，练习1，2，3．第26页，习题二：1，2(1)、(2)、(3)．设计说明本节课的教学过程主要有以下几个部分：1．复习引入，通过问题逐步引导学生发现方程y=kx+b与直线l的一一对应关系，从而为研究直线即可通过研究方程而得到．2．提出问题：1)确定一条直线需要具备几个独立条件？2)根据条件求出直线的方程．3．需猜想：1)确定一条直线需要知道k、b即可；2)确定一条直线需要知道直线l经过两个已知点；3)……4．根据猜想：已知k、b，求直线l的方程；已知k，点P1(x1，y1)，求经过点P1和斜率为k的直线方程．5．得到直线方程的点斜式、斜截式及方程存在的条件．6．已知一个条件，不能确定唯一的一条直线，进一步体会确定一条直线需要具备两个独立条件．7．例题、小结、作业．第一个环节的设计主要考虑了初、高中数学教材中相关知识点的衔接．因为搞好初、高中数学教学的衔接，从教学管理的角度看，适应学生的心理特征及认知规律．为此，从初中代数中的一次函数y=kx+b引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题，即求直线的方程的问题上去．在引入过程中，注意先帮助学生弄清直线与方程为一一对应关系，理解了要研究直线可从研究方程入手，以及要研究方程的特征，也可以从研究直线考虑，突出了解析几何研究问题的思想方法．第二、三、四环节的设计体现了解析法的基本思想在于把几何问题代数化，图形性质坐标化，其框图如下：考虑到传统的教学模式都是根据已知条件求结论，按照“MM教育方式”，应培养学生的探索性，因此在注重学生思维的科学性上，设计了根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件是什么？然后再根据猜想得到的条件求直线的方程．从教学内容上没有脱离教材，但从教法上比较注重创设问题情境，揭示知识的形成发展过程，不仅要让学生知其然，更应让学生知其所以然，帮助学生把研究的对象从复杂的背景中分离出来，突出知识的本质特点，讲清知识的来龙去脉，揭示新知识(根据已知条件，求出直线的方程)的提出过程，使学生对所学知识理解得更加深刻．关于直线的许多问题中，都要涉及到斜率和截距的问题，用斜率和截距来解决有关问题也是高中学生学习的需要．另外，在学生得出直线方程的点斜式和斜截式之后，教师要有意识地引导学生注意这两个方程的存在条件是k存在，若k不存在时应作为特殊情况加以考虑，在此涉及到了分类讨论的思想．在高中数学中，用斜率和截距来解决直线及其方程的问题，其中以下两种题型必不可少．1．已知直线方程研究其几何性质的问题例1 如果AC＜0且BC＜0，那么Ax+By+C=0不通过[ ]．分析由AC＜0且BC＜0可得AB＞0，直线Ax+By+C=0的限，故选(C)．显然，直线的斜率和截距是刻画直线几何性质的，是研究这类问题的关键．2．求直线方程例2 在平面直角坐标系xoy中，过点P(-3，4)且与直线OP夹角例3 过点(5，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是____．分析两坐标轴截距相等包含了两种情况：截距不为零，截距为直线过原点和点(5，2)，可求得直线方程为2x-5y=0，所以所求直线方程为x+y-7=0或2x-5y=0．例4 求过点P(0，1)的直线l的方程，使l夹在两直线l1∶x-3y+10=0与l2∶2x+y-8=0之间的线段恰被P 点平分．解设过点P(O，1)的直线方程为y=kx+1(斜率k不存在时，显然不满足条件)，与直线l1、l2分别交于A、B两点(如图1-19)上述几例是用待定系数法求直线方程，解这类题的要点是：通过对已知条件的分析，寻求满足直线方程的两个独立条件，列出直线方程求待定系数．在使用直线方程时要注意，方程成立的条件，如点斜式、斜截式要求斜率存在，截距式要求截距不为零等．为了使学生理解求一条直线的方程需要具备两个独立条件，在本节课的最后部分我们强调直线若满足一个条件，那么这条直线是不能唯一确定的，所以在直线这一章学完以后，还要准备适当地补充直线系的概念及直线系的基本类型题．一般地，我们把满足一个共同条件的直线的集合(直线的系列)称为一个直线系，把满足直线系的方程叫做直线系方程．直线系的基本类型有：平行直线系(直线系中的所有直线的斜率k是同一个常数)；共点直线系(直线系中的直线都过同一个点)．引理若两相交曲线为C1∶f(x，y)= 0，C2∶g(x，y)=0，则曲线系C∶f(x，y) +λg(x，y)=0(参数λ∈R)，必通过C1与C2的所有的交点．定理已知两条相交直线l1∶a1x+b1y+c1=0和l2∶a2x+b2y+c2=0，则a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0是过l1和l2交点的直线系(不包括l2)，式中的λ是一个任意实数．例1 填写满足下列条件的直线系方程(1)斜率为-2的直线系方程是(y=-2x+b)．(3)经过点(-2，-3)的直线系方程是(y+3=k(x+2)或x=-2)．例2 应用上述定理，求经过l1∶2x-3y+2=0与l2∶3x-4y-2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程．(1)过原点；(2)平行于直线2x-y-6=0；(3)垂直于直线4x+3y-4=0．解过l1、l2交点的直线系是：l∶2x-3y+2+λ( 3x- 4y- 2)= 0，①即：(2+3λ)x+(-3-4λ)y+(2-2λ)=0，②(1)因为l过原点，所以2-2λ=0，λ=1代入②得：5x-7y=0．(2)因为l平行于直线2x-y-6=0，2x-y-18=0．(3)因为l垂直于4x+3y-4=0，所以4(2+3λ)-3(3+4λ)=0，即-1=0，此方程无解．这说明①中不存在与直线4x+3y-4=0相垂直的直线，事实上，①不含l2，而l2恰恰是过l1，l2交点且与4x+3y-4=0垂直的直线，所以所求直线就是l2∶3x-4y-2=0．例3 不论m取什么值，直线(2m-1) x+(m+3) y-m+11=0必过一定点，试证明之，并求此定点．x=2，y=-3．将x=2，y=-3代入直线系方程左边，则(2m-1)·2+(m+ 3)·(-3)- m+ 11= 0，即证明直线系过定点( 2，- 3)．解法二将原方程变形为：(-x+3y+11)+m(2x+y-1)=0，这是经过以下两直线交点的直线系解方程组，得这两条直线交点坐标为(2，-3)，不论m取何值时，已知直线必过点(2，-3)．以上是教案设计过程中的几点说明，此外，在教学过程中还应重视数学思想方法和数学语言的教学．因为数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为解决问题能力的桥梁．数学语言是进行数学思维和数学交流的工具，注重数学语言训练，有助于理解数学知识和方法，有助于数学交流，有助于学生的数学应用意识的培养．为此，本教案中涉及到了由特殊→一般→特殊的认知规律，运用了归纳、猜想等合情推理方法，在每个环节的设计中，要求学生对每一个问题都要独立思考，在学生遭遇挫折后，要引导他们进行正确归因，帮助他们找出症结，加强个别指导，激发不同层次的学生的学习兴趣．。