高中数学知识点：直线的截距式方程

高中数学中的直线方程解法直线方程是高中数学中的基础知识之一，它是解决几何问题和代数问题的重要工具。

在高中数学中，我们学习了多种直线方程的解法，包括点斜式、一般式和截距式等。

本文将探讨这些直线方程的解法，并分析它们的特点和应用。

一、点斜式点斜式是直线方程中最常见的一种形式。

它的一般形式为：y-y₁ = m(x-x₁)。

其中，(x₁, y₁)是直线上的一点，m是直线的斜率。

通过已知的点和斜率，我们可以很容易地确定直线的方程。

例如，已知直线上的一点为A(2, 3)，斜率为2/3。

我们可以使用点斜式来确定直线的方程。

将已知的点和斜率代入点斜式的公式中，得到：y-3 = (2/3)(x-2)。

将该方程进行化简，即可得到直线的方程。

点斜式的优点是方便快捷，通过已知点和斜率即可确定直线的方程。

但是它的缺点是不适用于垂直于x轴或y轴的直线，因为这些直线的斜率不存在。

二、一般式一般式是直线方程中的另一种常见形式。

它的一般形式为：Ax + By + C = 0。

其中，A、B、C是常数，且A和B不同时为0。

通过已知的系数，我们可以得到直线的方程。

例如，已知直线的一般式为2x - 3y + 6 = 0。

我们可以通过一般式来确定直线的方程。

将一般式进行化简，得到斜率截距式的形式：y = (2/3)x + 2。

从中可以看出，斜率为2/3，截距为2。

一般式的优点是适用于各种类型的直线，包括垂直于x轴或y轴的直线。

但是它的缺点是不直观，不容易从方程中看出直线的斜率和截距。

三、截距式截距式是直线方程中的另一种常见形式。

它的一般形式为：x/a + y/b = 1。

其中，a和b是直线与x轴和y轴的截距。

通过已知的截距，我们可以得到直线的方程。

例如，已知直线与x轴和y轴的截距分别为4和3。

我们可以使用截距式来确定直线的方程。

将已知的截距代入截距式的公式中，得到：x/4 + y/3 = 1。

从中可以看出，直线与x轴和y轴的截距分别为4和3。

直线的两点式与截距式方程适用学科高中数学适用年级高二适用区域全国课时时长（分钟）60分知识点直线的两点式与截距式方程．教学目标（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

教学重点直线方程两点式教学难点两点式推导过程的理解教学过程一、复习写出下列直线的点斜式、斜截式方程,并求直线在y轴上的截距. ①经过点A(-2,3),斜率是-1；②经过点B(-3,0),斜率是0；③经过点()22,C-,倾斜角是 60；二、知识讲解考点1直线的两点式方程① 探讨:已知直线l 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点,如何求直线的点斜式方程? 211121()y y y y x x x x --=-- 两点式方程:由上述知, 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- ⑴, 我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式. 若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？考点2直线的截距式方程②当直线l不经过原点时,其方程可以化为1x ya b+=⑵, 方程⑵称为直线的截距式方程,其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,a b.考点3两点的中点坐标公式中点:线段AB 的两端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,其中212122x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩三、例题精析【例题1】【题干】 ．求过下列两点的直线的两点式方程，再化为截距式方程． ⑴ A(2,1), B (0, -3 ) ； ⑵ A(-4,- 5), B (0,0)【答案】见解析【解析】（1）两点式方程为010313--=++x y ，截距式方程为1343=-y x（2）两点式方程为404505++=++x y ，截距式方程为xy 45=【例题2】【题干】求经过点A (–3，4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程. 【答案】x –y + 7 = 0或4x + 3y = 0.【解析】当直线l在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为1yxa a+=-.将A(–3，4)代入上式，有341a a-+=-，解得a = –7.所以所求直线方程为x –y + 7 = 0.当直线l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y = kx.将A(–3，4)代入方程得4 = –3k，即k =4 3 -.所以所求直线的方程为43y=-x，即4x + 3y = 0.故所求直线l的方程为x –y + 7 = 0或4x + 3y = 0.四、课堂运用【基础】1．已知正方形边长为4，其中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边所在的直线的方程．【答案】见解析 【解析】利用截距式可得 ，022=++y x ，022=-+y x ，022=+-y x ，022=--y x已知ABC ∆中A （-8，2），AB 边上中线CE 所在的直线方程为052=-+y x ，AC 边上中线BD 所在的直线方程为0852=+-y x ，求直线BC 的方程.【答案】0204=--y x【解析】设),(00y x B ，则AB 的中点E 的坐标为)22,28(00+-y x ，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+⋅+-=+-052222808520000y x y x ，解得⎩⎨⎧==4600y x ，同理得C （5，0），故直线BC 为0204=--y x .)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 (k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． 【答案】 见解析 【解析】(1)证明 直线l 的方程是：k(x ＋2)＋(1－y)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1， ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－21＋2k ≥1，解之得k>0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(3)解 由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0， B(0,1＋2k)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2kk <0，1＋2k>0，解得k>0∵S ＝12·OA ·OB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k| ＝12·1＋2k 2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴Smin ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.课程小结（1）、两点式.截距式.中点坐标.（2）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？（3）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？课后作业【基础】过两点A(0,1)，B(－2,3)的直线方程为____________．【答案】x＋y－1＝0.【解析】：由两点式方程可得y－13－1＝x－0－2－0，整理得x＋y－1＝0.【巩固】直线l 经过点P(3,2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点．△OAB 的面积为12，则直线l 的方程是________【答案】 x 6＋y 4＝1， 【解析】 设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a>0，b>0)． 则有3a ＋2b ＝1，且12ab ＝12. 解得a ＝6，b ＝4.所以所求直线l 的方程为x 6＋y 4＝1，【拔高】.若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是()A．2 B．2 2 C．4 D．2 3【答案】 4【解析】因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，利用m2＋n2表示为直线上的点到原点距离的平方的最小值来分析可知，m2＋n2的最小值为4.。

高中数学公式总结与知识点归纳高中数学是一门逻辑性强、应用性广泛的学科，公式是数学学习中不可缺少的一部分。

下面是高中数学常用公式总结与知识点归纳。

一、函数与方程1.直线方程：一般式、点斜式、两点式、截距式2.二次函数：顶点式、轴对称式、一般式3.分式函数：定义域、值域、图像性质4.指数函数：指数函数的性质、常用公式5.对数函数：对数函数的性质、常用公式6.幂函数：幂函数的性质、常用公式7.三角函数：正弦、余弦、正切等的定义、性质、常用公式二、数列与数学推理1.数列的概念：通项公式、递推公式、求和公式2.等差数列：常用公式、等差数列的性质3.等比数列：常用公式、等比数列的性质4.递归数列：斐波那契数列、倒数数列等的定义与性质5.数学推理：数学归纳法、逻辑推理等方法三、平面几何与立体几何1.二次曲线：椭圆、双曲线、抛物线等的定义、性质、常用公式2.三角形：三角形的性质、重要定理（如海伦公式、三角形内切圆、外接圆性质等）3.圆：圆的定义、性质、弦、弧、切线公式4.立体几何：立体图形的面积与体积计算公式四、概率与统计1.概率：事件的概率计算、事件的并、交、补等运算2.统计：频率、频数、均值、中位数、众数的计算与应用五、解析几何1.点、直线、平面、坐标系等基本概念2.直线的位置关系：平行、垂直、相交等3.抛物线、椭圆、双曲线等的解析方程六、数论与离散数学1.数论基本概念：素数、公倍数、最大公约数、最小公倍数等2.基本性质：同余、模运算等3.离散数学：排列、组合、概率论等的基本概念与计算公式以上只是高中数学公式和知识点的简单总结与归纳，实际上高中数学知识非常广泛深入，需要详细学习和掌握。

在学习过程中，积极总结公式与知识点，将其应用于解题，深化对数学知识的理解与掌握。

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，直线上一点和直线的斜率或直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．(二)斜截式直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1 直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．此题由老师归纳成两点求直线的方程问题，由学生自己完成．解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用X围．五、布置作业1．(1.5练习第1题)写出以下直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°．解：2．(1.5练习第2题)以下直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；3．(1.5练习第3题)写出以下直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过以下两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．解：(图略)六、板书设计。

直线方程相关知识点总结一、直线的定义直线是平面上的一个几何图形，它由无数个点组成，这些点都在同一条直线上。

直线是最简单的平面几何图形，也是最基本的图形之一。

在数学中，直线可以用数学语言和符号来描述。

在笛卡尔坐标系中，直线可以表示为一元一次方程。

一元一次方程实际上描述了坐标系中的一条直线，因此，直线方程和一元一次方程是密切相关的。

二、直线的方程在笛卡尔坐标系中，一条直线可以用一元一次方程来表示。

一元一次方程的一般形式为y = kx + b，其中k和b是常数，k称为直线的斜率，b称为直线的截距。

斜率k表示直线的倾斜程度，截距b则表示直线与y轴的交点。

因此，一元一次方程y = kx + b就是一条直线的方程。

1. 斜率斜率是直线的一个重要属性，它描述了直线的倾斜程度。

在数学中，直线的斜率可以用两点的坐标来表示。

设直线上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则直线的斜率k可以表示为：\[k = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}\]也可以表示为：\[k = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]其中，Δy表示y2 - y1，Δx表示x2 - x1。

斜率k的正负决定了直线的倾斜方向，如果k > 0，则直线向右上倾斜；如果k < 0，则直线向左下倾斜；如果k = 0，则直线平行于x轴；如果k不存在，则直线垂直于x轴。

2. 截距截距是直线与y轴的交点，它描述了直线在y轴上的位置。

在一元一次方程y = kx + b中，b就是直线的截距。

当x = 0时，y = b，所以截距b就是直线与y轴的交点的纵坐标。

3. 点斜式除了一般形式的直线方程y = kx + b外，直线方程还可以用点斜式表示。

点斜式表示法是指直线上的一个点A(x1, y1)以及直线的斜率k，通过这两个条件就可以确定一条直线的方程。

点斜式的一般形式为：\[y - y1 = k(x - x1)\]其中，k是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一个点。

高中数学：直线和圆的方程知识点总结1. 引言高中数学中，直线和圆的方程是重要的知识点。

理解直线和圆的方程能够帮助我们准确描述和解决几何问题。

本文将总结和介绍直线和圆的方程的相关知识点。

2. 直线的方程2.1. 点斜式方程直线的点斜式方程是直线方程的一种常见形式。

给定直线上一点P (x₁, y₁) 和直线的斜率 k，点斜式方程可以表示为：y - y₁ = k(x - x₁)其中，(x, y) 表示直线上任意一点。

点斜式方程可以方便地描述直线的位置和方向。

2.2. 截距式方程直线的截距式方程是直线方程的另一种常见形式。

给定直线与x轴和y轴的截距分别为 a 和 b，截距式方程可以表示为：x/a + y/b = 1截距式方程可以直观地描述直线与坐标轴的交点。

2.3. 一般式方程直线的一般式方程是直线方程的一种标准形式。

给定直线上任意一点的坐标 (x, y) 和直线的系数 A、B、C，一般式方程可以表示为：Ax + By + C = 0一般式方程可以用于判断两条直线的位置关系。

3. 圆的方程3.1. 标准方程圆的标准方程是圆的方程的常见形式。

给定圆心坐标 (h, k) 和半径 r，标准方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²标准方程可以方便地描述圆的位置和形状。

3.2. 参数方程圆的参数方程是圆的方程的另一种常见形式。

给定圆心坐标 (h, k) 和半径 r，参数方程可以表示为：x = h + rcosθy = k + rsinθ其中，θ 是圆上任意一点的极角。

参数方程可以用于描述圆上的点的坐标。

3.3. 一般方程圆的一般方程是圆的方程的一种一般形式。

给定圆心坐标 (h, k) 和半径 r，一般方程可以表示为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F 是圆的参数。

一般方程可以用于推导标准方程或参数方程。

4. 总结直线和圆的方程是高中数学中的重要知识点。

直线的两点式方程、直线的一般式方程【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．(2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 3．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．[解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.解析：(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0.又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2.答案：(1)x ＝2 (2)－2题型二、直线的截距式方程及应用【例2】 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6， 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. 【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程． 解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ， 则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋yb＝1.∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2aa ＋2.∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.题型三、直线方程的一般式应用【例3】 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2， 需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2， ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 【类题通法】1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，(1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程． 解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ， ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝ －34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. ∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. (2)法一：设直线l 的斜率为k . ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k ·(－2)＝－1， ∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0， ∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 2．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋yb ＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0.答案：x －y ＋3＝04．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程． 解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点， 由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点， 由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。