勤学早九年级数学上第章旋转专题一点通

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).2. 时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是( ).A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）.A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，6.（2015•乌鲁木齐）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（）A．（，1）B．（1，﹣）C．（2，﹣2）D．（2，﹣2）7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A．30° B．45° C．60° D．90°8．在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( ).A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二. 填空题9. （2015•扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=．10.如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________ cm．11．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4cm，以斜边BC上距离B点cm的H为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm2．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：（1）点P5的坐标为__________；（2）落在x轴正半轴上的点P n坐标是_________，其中n满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________.三综合题17. 如图，已知，点P是正方ABCD内一点，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB＝135°．18.如图，已知点D是△ABC的BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．求证： BE + CF＞EF19.（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系.【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C. 2．【答案】C.【解析】分针每5分钟转动30.3．【答案】A.【解析】 因为以M 或O 或N 为旋转中心两个图形能够完全重合. 4．【答案】D. 【解析】因为是菱形，所以可得为等腰直角三角形.5．【答案】C.【解析】△BDC 为正三角形，所以△FDC 为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=,即求得.6．【答案】B. 【解析】根据题意画出△AOB 绕着O 点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP ，OQ ，过Q 作QM⊥y 轴，∴∠POQ=120°， ∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°， ∴∠MOQ=30°，在Rt△OMQ 中，OQ=OP=2， ∴M Q=1，OM=，则P 的对应点Q 的坐标为（1，﹣），故选B 7．【答案】D. 8.【答案】C.【解析】232,1),A (2,4),A （即旋转90°后3A 坐标为（-1,1）.二、填空题9.【答案】5.【解析】作FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°， ∵点F 是DE 的中点， ∴FG ∥CD∴GF=CD=AC=3 EG=EC=BC=2 ∵AC=6，EC=BC=4 ∴AE=2 ∴AG=4根据勾股定理，AF=5．10.【答案】【解析】当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，CF=AC ﹣AF ，当点F 不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC ﹣AF ＜CF ＜AC+AF ，∴当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C 、F 两点之间的距离最小，∴CF=AC﹣AF=4﹣=．故答案为：11．【答案】60°或120°.【解析】正六边形的中心角是60°.12．【答案】1.【解析】证明△FHC 和△FHG 是等腰直角三角形，且腰长为，即得.13．【答案】5.【解析】做DF ⊥BC,EG ⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,可证得△DEG ≌△DCF,即EG=FC,又因为3ADEs△，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】【解析】由旋转可知△APP ′是等腰直角三角形，所以PP ′=15．【答案】(1),（2）落在x 轴正半轴上的点P n 坐标是，其中n 满足的条件是n=8k （k=0，1，2，…）16．【答案】(-1，).【解析】首先求得12,P P 的坐标，即可求得3P 坐标.三.解答题17.【解析】证明：将△APB绕点B沿顺时针方向旋转90°至△CP′B位置(如图)，则有△APB≌△CP′B．∴BP′= BP，CP′＝AP，∠PBP′＝90°，∠APB=∠CP′B．设CP′= AP= k，则BP′= BP=2k，CP= 3k，在Rt△BP′P中，BP′= BP= 2k，∴∠BP′P=45°．=(3k)2= CP2，∴∠C P′P=90°，∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°，即∠APB=135°.18.【解析】证明：将△BDE绕点D沿顺时针方向旋转180°至△CDG位置，则有△BDE≌△CDG．∴BE=CG，ED=DG．∵DE⊥DF，即 DF⊥EG．∴EF=FG，在△FCG中CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF．19.【解析】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．20.【解析】⑴①DE=EF；②NE=BF.③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴ DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时， DE=EF.。

九年级数学上册《旋转》练习一、单选题1．如图，ABC 与A'B'C'是成中心对称，下列说法不正确的是（ ）A ．ABCA'B'C'SS=B ．AB A'B'=，AC A'C'=，BC B'C'= C ．AB//A'B'，AC //A'C'，BC //B'C'D ．ACOA'B'OSS=2．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C ，连接AA 1，若∠AA 1B 1＝15°，则∠B 的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．50°D ．45°3．在如图所示的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转角得到的，点与对应，则角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列图形中，绕某个点旋转90°能与自身重合的有( )①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列几何图形中，绕其对称中心点旋转任意角度后，所得到的图形都和原图形重合，这个图形是( )A ．正方形B ．正六边形C ．五角星D ．圆7．下列四个图案是小明家在瓷砖厂选购的四种地砖图案，其中既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是（ ） A ．B ．C ．D ．8．下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（ ） A ．B ．C ．D ．9．时钟上的分针匀速旋转一周需要60min ，则经过20min ，分针旋转了（ ）A ．20B ．60C ．90D ．12010．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，BE=CF ，连接CE 、DF ．将△BCE 绕着正方形的中心O 按逆时针方向旋转到△CDF 的位置，则旋转角是A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°二、填空题11．在平面直角坐标系中，P 点关于原点的对称点为P 1（﹣3，﹣83），P 点关于x 轴的对称点为P 2（a ，b ）12．如图，在矩形ABCD 中，AD=3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE=EF ，则AB 的长为_____．13．已知点()3,2P ，则点P 关于y 轴的对称点1P 的坐标是________，点P 关于原点O 的对称点2P 的坐标是________．14．已知点()M 2m 1,m 1+-与点N 关于原点对称，若点N 在第二象限，则m 的取值范围是________．15．已知坐标平面上的机器人接受指令“（a ，A ）”﹙a≥0，0°＜A ＜180°﹚后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对方向沿直线行走a ．若机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，则它完成一次指令（2，60°）后，所在位置的坐标为____________. 16．如图，在Rt AOB 中，90A ∠=，60AOB ∠=，在边长为1的小正方形组成的网格中，AOB 的顶点O 、A 均在格点上，点B 在x 轴上，点A 的坐标为()1,2-．()1点A 关于点O 中心对称的点的坐标为________；（2）AOB 绕点O 顺时针旋转60后得到11A OB ，那么点1A 的坐标为________；线段AB 在旋转过程中所扫过的面积是________．三、解答题17．如图，P 是矩形ABCD 下方一点，将△PCD 绕点P 顺时针旋转60°后，恰好点D 与点A 重合，得到△PEA ，连接EB ，问：△ABE 是什么特殊三角形？请说明理由．18．如图，在中，，，点分别在上（点与点不重合），且.将绕点逆时针旋转得到.当的斜边、直角边与分别相交于点（点与点不重合）时，设.（1）求证：；（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围.19．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后'''．的A B C20．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD．(1)求证：OC＝AD；(2)求OC的长．21．明明在办手抄报的时候，他想用图形“○○、△△、＝”(两个圆、两个三角形、两条平行线)为构件，构思具有一定意义的图形，他在图中左边方框中已经设计好了一个，你还能构思出其他的图形吗？请你在图中的右框中画出一个与之不同的图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词．22．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形； （3）在图3中，画出△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°后的三角形．23．如图网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB 、CD 的端点都在小正方形的顶点上．()1图()1中，画一个以线段AB 一边的四边形ABEF ，且四边形ABEF 是面积为7的中心对称图形，点E 、F 都在小正方形的顶点上，并直接写出线段BE 的长；()2在图()2中，画一个以线段CD 为斜边直角三角形CDG ，且CDG 的面积是2，点G在小方形的顶点上．24．等边OAB 在平面直角坐标系中，已知点()2,0A ，将OAB 绕点O 顺时针方向旋转(0360)a a <<得11OA B ．()1求出点B 的坐标；()2当1A 与1B 的纵坐标相同时，求出a 的值； ()3在()2的条件下直接写出点1B 的坐标．25．如图，P 是正ABC 内的一点，若将PAC 绕点A 逆时针旋转到P'AB ， （1）求PAP'∠的度数．（2）若AP 3=，BP 4=，PC 5=，求APB ∠的度数．九（上）数学《旋转》练习答案一、单选题1．如图，ABC 与A'B'C'是成中心对称，下列说法不正确的是（ ）A ．ABCA'B'C'SS=B ．AB A'B'=，AC A'C'=，BC B'C'= C ．AB//A'B'，AC //A'C'，BC //B'C'D ．ACOA'B'OSS=【答案】D2．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C ，连接AA 1，若∠AA 1B 1＝15°，则∠B 的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．50°D ．45°【答案】B3．在如图所示的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D4．如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转角得到的，点与对应，则角的大小为（）A．B．C．D．【答案】C5．下列图形中，绕某个点旋转90°能与自身重合的有( )①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A6．下列几何图形中，绕其对称中心点旋转任意角度后，所得到的图形都和原图形重合，这个图形是( )A．正方形B．正六边形C．五角星D．圆【答案】D7．下列四个图案是小明家在瓷砖厂选购的四种地砖图案，其中既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是（）A．B．C．D．【答案】C8．下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（）A．B．C．D．【答案】D9．时钟上的分针匀速旋转一周需要60min，则经过20min，分针旋转了（）A．20B．60C．90D．120【答案】D10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】C二、填空题11．在平面直角坐标系中，P 点关于原点的对称点为P 1（﹣3，﹣83），P 点关于x 轴的对称点为P 2（a ，b ） 【答案】﹣2．12．如图，在矩形ABCD 中，AD=3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE=EF ，则AB 的长为_____．【答案】13．已知点()3,2P ，则点P 关于y 轴的对称点1P 的坐标是________，点P 关于原点O 的对称点2P 的坐标是________． 【答案】()3,2- ()3,2--14．已知点()M 2m 1,m 1+-与点N 关于原点对称，若点N 在第二象限，则m 的取值范围是________． 【答案】1m 12-<<.15．已知坐标平面上的机器人接受指令“（a ，A ）”﹙a≥0，0°＜A ＜180°﹚后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对方向沿直线行走a ．若机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，则它完成一次指令（2，60°）后，所在位置的坐标为____________.【答案】（-1）16．如图，在Rt AOB 中，90A ∠=，60AOB ∠=，在边长为1的小正方形组成的网格中，AOB 的顶点O 、A 均在格点上，点B 在x 轴上，点A 的坐标为()1,2-．()1点A 关于点O 中心对称的点的坐标为________；（2）AOB 绕点O 顺时针旋转60后得到11A OB ，那么点1A 的坐标为________；线段AB 在旋转过程中所扫过的面积是________． 【答案】()1,2- ()1,2 52π三、解答题17．如图，P 是矩形ABCD 下方一点，将△PCD 绕点P 顺时针旋转60°后，恰好点D 与点A 重合，得到△PEA ，连接EB ，问：△ABE 是什么特殊三角形？请说明理由．【答案】解：△ABE 是等边三角形.理由如下：……………………………………… 1分 由旋转得△PAE ≌△PDC∴CD=AE ，PD=PA,∠1=∠2……………………3分 ∵∠DPA=60°∴△PDA 是等边三角形…………4分 ∴∠3＝∠PAD ＝60°.由矩形ABCD 知，CD ＝AB ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°. ∴∠1＝∠4＝∠2＝30°………………………6分 ∴AE ＝CD ＝AB ，∠EAB ＝∠2+∠4＝60°, ∴△ABE 为等边三角形…………………………7分 18．如图，在中，，，点分别在上（点与点不重合），且.将绕点逆时针旋转得到.当的斜边、直角边与分别相交于点（点与点不重合）时，设.（1）求证：；（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）19．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出△ABC绕点O逆时针旋转90°'''．后的A B C【答案】详见解析.20．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD．(1)求证：OC＝AD；(2)求OC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）OC＝2√3.21．明明在办手抄报的时候，他想用图形“○○、△△、＝”(两个圆、两个三角形、两条平行线)为构件，构思具有一定意义的图形，他在图中左边方框中已经设计好了一个，你还能构思出其他的图形吗？请你在图中的右框中画出一个与之不同的图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词．【答案】见解析22．如图，在4×4的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形； （3）在图3中，画出△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°后的三角形．【答案】（1）如图所示见解析；（2）如图所示见解析；（3）如图所示见解析. 23．如图网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB 、CD 的端点都在小正方形的顶点上．()1图()1中，画一个以线段AB 一边的四边形ABEF ，且四边形ABEF 是面积为7的中心对称图形，点E 、F 都在小正方形的顶点上，并直接写出线段BE 的长；()2在图()2中，画一个以线段CD 为斜边直角三角形CDG ，且CDG 的面积是2，点G 在小方形的顶点上．【答案】见解析24．等边OAB 在平面直角坐标系中，已知点()2,0A ，将OAB 绕点O 顺时针方向旋转(0360)a a <<得11OA B ．()1求出点B 的坐标；()2当1A 与1B 的纵坐标相同时，求出a 的值； ()3在()2的条件下直接写出点1B 的坐标．【答案】(1)( . (2) 120a =或300a = (3)( -或(1, 25．如图，P 是正ABC 内的一点，若将PAC 绕点A 逆时针旋转到P'AB ， （1）求PAP'∠的度数． （2）若AP 3=，BP 4=，PC 5=，求APB ∠的度数．【答案】（1）PAP'60∠=；（2）APB 150∠=.。

勤学早数学九年级上册一、一元二次方程。

1. 定义与一般形式。

- 定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

- 例如方程3x^2-5x + 2 = 0，这里a = 3，b=- 5，c = 2。

2. 解法。

- 直接开平方法。

- 对于形如x^2=k(k≥0)的方程，可以直接开平方得到x=±√(k)。

- 例如方程x^2=9，解得x = 3或x=-3。

- 配方法。

- 步骤：先将方程化为ax^2+bx = - c的形式，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方((b)/(2a))^2，将左边配成完全平方式(x+(b)/(2a))^2，再进行开方求解。

- 例如对于方程x^2+6x - 7 = 0，首先将方程变形为x^2+6x=7，然后在两边加上((6)/(2))^2=9，得到(x + 3)^2=16，开方得x+3=±4，解得x = 1或x=-7。

- 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 例如方程2x^2-3x - 2 = 0，这里a = 2，b=-3，c=-2，代入求根公式x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-2)}{2×2}=(3±√(9 + 16))/(4)=(3±5)/(4)，解得x = 2或x=-(1)/(2)。

- 因式分解法。

- 把方程化为一边是零，另一边是两个一次因式积的形式(ax + m)(bx +n)=0，则ax + m = 0或bx + n = 0，从而求解。

- 例如方程x^2-3x + 2 = 0，分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。

勤学早测试卷（2016-2017）数学九年级（上、下）九年级数学（上册）1.九(上)第21章《一元一次方程》周测（一）2.九(上)第21章《一元二次方程》周测（二）3.九(上)第2l章《一元二次方程》单元检测题（月考一）4.九(上)第2l章《一元二次方程》专题一点通（一）（二）5.九(上)第22章《一次函数》周测（一）6.九(上)第22章《二次函数》周测（二）7.九(上)第22章《二次函数》单元检测题8.九(上)第22章《二次函数》专题一点通（一）（二）9.九(上)第22章《二次函数》专题一点通（三）10.九(上)月考（二）11.九(上)第23章《旋转》单元检测题12.九(上)第23章《旋转》专题一点通13.九(上)期中模拟题（月考三）14.九(上)第24章《圆》周测（一）15.九(上)第24章《圆》周测（二）16.九(上)第24章《圆》周测（三）17.九(上)第24章《圆》单元检测题18.九(上)第24章《圆》专题一点通19.九(上)月考(四)20.九(上)第25章《概率初步》单元检测题21.九(上)第25章《概率初步》专题一点通22.九(上)期末模拟题（月考五）九年级数学（下册）23.九(下)第26章《反比例函数》周测（一）24.九(下)第26章《反比例函数》周测（二）25.九(下)第26章《反比例函数》单元检测题（月考一）26.九(下)第26章《反比例函数》专题一点通27.九(下)第27章《相似》周测（一）28.九(下)第27章《相似》周测（二）29.九(下)第27章《相似》单元检测题30.九(下)第27章《相似》专题一点通31.九(下)月考（二）32.九(下)第28章《三角函数》周测（一）33.九(下)第28章《三角函数》单元检测题34.九(下)第28章《三角函数》专题一点通35.九(下)第29章《投影与视图》单元检测题36.九(下)月考（三）（中考模拟题）。

11. 勤学早九年级数学（上）第23章《旋转》单元检测题（考试范围第23章综合测试解答参考时间：120分钟满分1 20分）一、选择题（每小题3分，共30分）l. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是(A)2. P(-2，3)关于原点对称的点的坐标是(D)A(3，-2) B(2，3) C(-2，-3) D(2，-3)3. 下列几何图形中，绕其对称中心点旋转任意角度后，所得到的图形都和原图形重合，这个图形是( D )A正方形B正六边形C五角星D圆4. （2015香坊区）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△A′B'C′，连接BB'，若AC′∥BB'，则∠C′AB ′的度数为(B)A. 45° B . 30° C . 20° D. 15°5. 若点A的坐标为(6，3)，O为坐标原点，将OA绕点O接顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标为(D)A(3，6) B(-3，6) C(-3，-6) D(3，-6)6. 如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A'B'C，则点P的坐标是(B)A(1，1) B(1，2) C(1，3) D(1，4)7. (2015江东）如图，在正方形网格中，将△ABC顺时针旋转后得到△A'B′C′，则下列4个点中能作为旋转中心的是(A)A. 点PB. 点QC. 点RD. 点S8. 如图，两个边长都为2的正方形A BCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕D点旋转，那么它们重叠部分的面积为( C )A．4 B. 2 C. 1 D. 1 29. 如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是(D)A. ↑B. →C. ↓D. ←10. 如图，P是正方形ABCD内一点，∠APB=135°，BP=1，，则PC 的长是(B)A. B. 3 D . 2二、填空题（每小题3分，共18分）1l. 如图，以点O为旋转中心，将∠l按顺时针方向旋转110 °得到∠2，若∠1= 40°，则∠2的大小为_____度. （40）12. 点A(-3，m)与点A′(n，2)关于原点中心对称，则m+n的值是____ . (1)13. 如图，在平面直角坐标系x Oy中，已知点A(3，4)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA'，则点A′的坐标是_______ . (-4，3)14. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D⊥，若CD=4，AD=3，连接CC′，那么CC′的长是______ . (5)15 . (2015河北）如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为_______. (135°)16. 如图，在△BDE中，∠BDE=90°，，点D的坐标是(5，0)，∠BDO=15°，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD 上，则旋转中心的坐标为_______ . (3，).三、解答题（共8题，共72分）17. （本题8分）如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证：△ABC是等腰三角形.解：∠ACD=∠B=∠D，∴AC∥DE，∴∠ACB=∠E=∠A，∴△ABC是等腰三角形.18. (本题8分) 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B'C，连接AA'，若∠1= 20°，求∠B的度数.解：∠CA'B'= 45°-∠1 = 25°，∠B=90°- ∠BAC= 90°-∠CA'B'=90°-25°=65°.19.（本题8分）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点O在AB上，且OB= -1，点P是BC上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段OQ，点Q恰好落在AD上，求BP的长.解：证△AOQ ≌△BPO ，BP=AO=320.（本题8分）如图，在△ABC 中，A(1，-1)、B(l ，-3)、C(4，-3).(1)△1A 1B 1C 是△ABC 关于x 轴的对称图形，则点A 的对称点1A 的坐标是_______; (-1，-1)(2)将△ABC 绕点（0，1)逆时针旋转90 °得到△A 2B 2C 2，则B 点的对应点B 2的坐标是____；（4，2）(3)△1A 1B 1C 与△A 2B 2C 2是否关于某条直线成轴对称？若成轴对称，则对称轴的解析式是_________________ （图略，y= -x+1）21. (本题8分)如图，矩形ABCD 在平面直角坐标系的位置如图，A(0，0)，B(6，0)，D(0，4)(1) 根据图形直接写出点C 的坐标；(2) 已知直线m 经过点P(0，6)且把矩形ABCD 分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m ，并求该直线m 的解析式.解：（1）C (6，4)（2）m 过四边形ABCD 的中心（3，2），则m 的解析式为y= 4-3x+622.（本题10分）△ABC 中，∠A=36°，将△ABC 绕平面中的某一点D 按顺时针方向旋转一定角度得到△1A 1B 1C ．(1)若旋转后的图形如图所示，请在图中用尺规作出点D ，请保留作图痕迹，不要求写作法；(2)若将△ABC 按顺时针方向旋转到△1A 1B 1C 的旋转角度为α(0°<α<180°)，且AC ⊥1A 1B ，直接写出旋转角度α的值为______ (54°)23. （本题10分）(2016武汉原创题)（1）如图1，四边形ABCD 中，AB=7，BC=3，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD 的长；(2)如图2，在(2)的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长.解：（1）将△ABD 绕点A 顺时针旋转90°得△AEC ，连接EB ，则△ABE 为等腰直角三角形，，∠ABF=45°，∵∠ABC=45°，∴∠EBC=90°，∴(2)将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得△AEC ，则△ABE 为等腰直角三角形，-324. （本题12分）(2016武汉改编题)在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF =∠CFF =45°(l ) 将△ADF 绕点A 顺时针旋转90 °，得到△ABG （如图1），求证：BE+DF=EF ；(2) 若直线EF 与AB 、AD 的延长线分别交于点M 、N （如图2），求证：222EF ME NF =+(3) 将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图3），直接写出线段EF 、BE 、DF 之间的数量关系.解：（1）略；(2)将△ANF 绕点A 顺时针旋转90°，得到△AMG ；（3)延长EF 、AD 交于点N ，延长FE 、AB 交于点M ，将△ANF 绕点A 顺时针旋转90°，得到△AMG ，则∠GME=45°+45°=90°，再证△AEG ≌△AEF ，得222222EF EG ME MG ME NF ==+=+=2222BE DF +。

旋转一.知识框架二．知识概念1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

）2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。

3．中心对称图形与中心对称：中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。

中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

4.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形。

关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

一、精心选一选 (每小题3分，共30分)1．下面的图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．平面直角坐标系内一点P （－2,3）关于原点对称的点的坐标是 （ ）A ．（3，－2）B ． (2,3）C ．（－2，－3）D ． (2，－3）3．3张扑克牌如图1所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180º后得到如图（2）所示，则她所旋转的牌从左数起是（ ）A ．第一张B ．第二张C ．第三张D ．第四张 4．在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是（ ）5．如图3的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ） A ．向右平移7格B ．以AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB 为对称轴作轴对称C ．绕AB 的中点旋转1800，再以AB 为对称轴作轴对称D ．以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格6．从数学上对称的角度看，下面几组大写英文字母中，不同于另外三组的一组是（ ）A ．A N E GB ．K B X NC ．X I H OD ．Z D W H7．如图4，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )． A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对8．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（ ）A ︒30B ︒45C ︒60D ︒909．如图5所示，图中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90°后形成的个数是（ ） A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个ABCABCDCDE图4图5图图1210．如图6，ΔABC 和ΔADE 都是等腰直角三角形，∠C 和∠ADE 都是直角，点C 在AE 上，ΔABC 绕着A 点经过逆时针旋转后能 够与ΔADE 重合得到图7，再将图23—A —4作为“基本图形”绕 着A 点经过逆时针连续旋转得到图7.两次旋转的角度分别为（ ）A ．45°，90°B ．90°，45°C ．60°，30°D ．30°，60 二、耐心填一填（每小题3分，共24分）11．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被_____________平分.12．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_____________．13．时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的旋转角是_____________． 14．如图8，△ABC 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB ′C ′，则△ABB ′是 三角形.15．已知ａ＜0，则点Ｐ（ａ2，－ａ＋3）关于原点的对称点Ｐ1在第＿＿＿象限16．如图9，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C 恰好在AB 上，∠AOD ＝90°，则∠D 的度数是 ．17．如图10，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积是＿＿＿.18．如图,四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD ，AE ⊥BC 于E ，若线段AE=5，则S 四边形ABCD＝ 。

九年级数学上册第二十三章旋转笔记重点大全单选题1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(−5,1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转90°得OB，则点B 的坐标为（）A．(−5,1)B．(−1,−5)C．(−5,−1)D．(−1,5)答案：B分析：根据题意证得△AOC≌△OBD，可得结论．解：如图，根据题意得∶∠AOB=90°，∠ACO=∠BDO=90°，OA=OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，∴△AOC≌△OBD，∴BD=OC，OD=AC，∵点A的坐标为(−5,1)，∴BD=OC=1，OD=AC=5，∴B(−1,−5)．故选：B．小提示：本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．2、如图，正方形OABC的边长为√2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．(−√2,0)B．(−√2,0)C．(0,√2)D．(0,2)答案：D分析：连接OB，由正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，推出∠A1OB1=45°，得到△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，利用勾股定理求出O B1即可．解：连接OB，∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，∴∠AOA1=45°，∠AOB=45°，∴∠A1OB1=45°，∴△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，∵∠B1A1O=90°,A1B1=OA1=√2，∴OB1=√A1B12+OA12=√2+2=2，∴B1（0，2），故选：D．小提示：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质．关键是根据旋转角证明点B1在y轴上．3、在平面直角坐标系中，点(3,2)关于原点对称的点的坐标是（）A．(2,3)B．(−3,2)C．(−3,−2)D．(−2,−3)答案：C分析：根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),故选C．小提示：本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识．4、以图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换，不能得到图（2）的是（）A．绕着OB的中点旋转180°即可B．先绕着点O旋转180°，再向右平移1个单位C．先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位D．只要向右平移1个单位答案：D分析：根据旋转、平移和轴对称的定义进行分析即可．由旋转、平移和轴对称的性质可知：经过A、B、C的变化，图（1）均可得到图（2），经过D的变化不能得到图（2）；故选：D小提示：本题主要考查了旋转、平移和轴对称的性质，熟练地掌握各个性质是解题的关键．5、如图，在平面直角坐标系中，OA1＝OB1，∠A1OB1＝120°，将ΔA1OB1绕点O顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为120°的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形A2OB2，点A1（1，0）的对应点为A2(−1，−√3)；第二次变化后得到等腰三角形A3OB3，点A2的对应点为A3(−32，3√32)；第三次变化后得到等腰三角形A4OB4，点A3的对应点为A4（4，0）⋯⋯依此规律，则第2022个等腰三角形中，点B2022的坐标是（）A．（2022，0）B．(−2022，−2022√3)C．(−1011，1011√3)D．(−1011，−1011√3)答案：D分析：利用循环的规律，找到第2022个等腰三角形与第一个循环的图形的第几个位置相同，再根据第一个循环中的点坐标进行求值即可．解：由题意可知，旋转规律为4次一个循环，即第2022次为：505个循环余2，∴点B2022位置与B3相同，在第三象限，∵B3坐标为(−32，−3√32)，∴点B2022坐标为(−20222，−2022√32)，即为(−1011，−1011√3)．故选：D．小提示：本题主要考查的是坐标系与几何图形的规律问题，准确找到循环规律是解题的关键．6、如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（）A．AB=AN B．AB∥NC C．∠AMN=∠ACN D．MN⊥AC答案：C分析：根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN=∠B，而∠CAB不一定等于∠B，∴∠ACN不一定等于∠CAB，∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，∴∠BAC=∠MAN，∵AM=AN，AB=AC，∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，∴∠B=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；∵AM=AN，而AC不一定平分∠MAN，∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；故选：C．小提示：本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．7、在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）A．y=−x2−4x+5B．y=x2+4x+5C．y=−x2+4x−5D．y=−x2−4x−5答案：A分析：先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．解:当x=0时，y=5，∴C（0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y），∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，由2×0−x=−x，2×5−y=10−y；∴对应的原抛物线上点的坐标为(−x,10−y)；代入原抛物线解析式可得：10−y=(−x)2−4⋅(−x)+5，∴新抛物线的解析式为：y=−x2−4x+5；故选：A．小提示：本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．8、将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，顶点A的坐标为(1,√3)，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（）A．(−1,√3)B．(−√3,1)C．(−√33,1)D．(−1,√33)答案：A分析：根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及OA长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2023次属于循环中的第1次，最后即可得出答案．解：由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可第一次旋转时：过点A′作x轴的垂线，垂足为C，如下图所示：由A的坐标为(1,√3)可知：OB=1，AB=√3，在RtΔAOB中，∠AOB=90°−∠A=60°，OA=2由旋转性质可知：ΔAOB≌ΔA′OB′，∴∠A′OB′=∠AOB=60°，OA′=OA，∴∠A′OC=180°−∠A′OB′−∠AOB=60°，在ΔA′OC与ΔAOB中：{∠A′OC′=∠AOB=60°∠A′CO=∠ABO=90°OA′=OA∴ΔA′OC′≌ΔAOC(AAS)，∴OC =OB =1，A ′C =AB =√3，∴此时点A 对应坐标为(−1，√3)，当第二次旋转时，如下图所示：此时A 点对应点的坐标为(−2，0)．当第3次旋转时，第3次的点A 对应点与A 点中心对称，故坐标为(−1，−√3)．当第4次旋转时，第4次的点A 对应点与第1次旋转的A 点对应点中心对称，故坐标为(1，−√3)． 当第5次旋转时，第5次的点A 对应点与第2次旋转的A 点对应点中心对称，故坐标为(2，0)． 第6次旋转时，与A 点重合．故前6次旋转，点A 对应点的坐标分别为：(−1，√3)、(−2，0)、(−1，−√3)、(1，−√3)、(2，0)、(1,√3)．由于2023÷6=337⋅⋅⋅⋅⋅⋅1，故第2023次旋转时，A 点的对应点为(−1，√3)．故选：A ．小提示：本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，熟练利用条件证明全等三角形，；通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关键．9、如图，点O 是等边三角形ABC 内一点，OA =2，OB =1，OC =√3，则ΔAOB 与ΔBOC 的面积之和为（ ）A ．√34B ．√32C ．3√34D ．√3答案：C分析：将ΔAOB绕点B顺时针旋转60°得ΔBCD，连接OD，得到△BOD是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得∠COD=90°，从而求解．解：将ΔAOB绕点B顺时针旋转60°得ΔBCD，连接OD，∴OB=OD，∠BOD=60°，CD=OA=2，∴ΔBOD是等边三角形，∴OD=OB=1，∵OD2+OC2=12+(√3)2=4，CD2=22=4，∴OD2+OC2=CD2，∴∠DOC=90°，∴ΔAOB与ΔBOC的面积之和为S△BOC+S△BCD=S△BOD+S△COD=√34×12+12×1×√3=3√34．故选：C．小提示：本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将ΔAOB与ΔBOC的面积之和转化为S△BOC+S△BCD，是解题的关键．10、已知点P(m−3,m−1)关于原点的对称点P′在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．答案：D分析：先确定点P 所在的象限，然后根据点所在象限的坐标特点列不等式组求解即可．解：∵点P(m −3,m −1)关于原点的对称点P′在第四象限，∴点P 在第二象限，∴ {m −3<0m −1>0， 解得：1<m <3，故选：D ．小提示：本题主要考查了点的坐标特征，掌握第二象限的点的横坐标小于零、纵坐标大于零是解答本题的关键．填空题11、△ABC 中，AB =8，AC =6，AD 是BC 边上的中线，则AD 长度的范围是__________．答案：1＜AD ＜7分析：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接CE ．根据SAS 证明△ABD ≌△ECD ，得CE =AB ，再根据三角形的三边关系即可求解．解：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，{DE =AD∠ADB =∠CDE DB =DC，∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴CE =AB ．在△ACE 中，CE -AC ＜AE ＜CE +AC ，即2＜2AD ＜14，故1＜AD＜7．故答数为：1＜AD＜7．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．12、如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是 ___．答案：√6+√2分析：连接OB，过点O作OE⊥C'B于E，则∠OEC'=∠OEB=90°，由正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，所以∠OC'E=45°，OA=OC'=AB=2，∠A=90°，根据勾股定理得到BE的长，从而得到BC'.解：如图，连接OB，过点O作OE⊥C'B于E，则∠OEC'=∠OEB=90°，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，点A′恰好落在线段BC′上，∴∠OC'E=45°，OA=OC'=AB=2，∠A=90°，∴OB=2√2，OE=EC'=√2，在Rt△OBE中，由勾股定理得：BE=√OB2−OE2=√(2√2)2−(√2)2=√6，∴BC'=BE+EC'=√6+√2．所以答案是：√6+√2小提示：本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是作辅助线构造特殊三角形．13、已知坐标系中点A(−2,a)和点B(b,3)关于原点中心对称，则a+b=__________．答案：-1分析：直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可得出答案．解：∵坐标系中点A（-2，a）和点B（b，3）关于原点中心对称，∴b=2，a=-3，则a+b=2-3=-1．所以答案是：-1．小提示：此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．14、如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（-2，2），C（-1，0）．将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是_____________．答案：（1，-1）分析：由旋转的性质可得A的对应点为D，B的对应点为E，C的对应点为F，同时旋转中心在AD和BE的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标．解：由旋转的性质，得A的对应点为D，B的对应点为E，C的对应点为F作BE和AD的垂直平分线，交点为P∴点P的坐标为（1，-1）所以答案是：（1，-1）小提示：本题考查坐标与图形变化—旋转，图形的旋转需结合旋转角求旋转后的坐标，常见的旋转角有30°，45°，60°，90°，180°．15、若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝___．答案：2分析：根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，∴a-1+5=0，5+1-b=0，∴a=-4，b=6，∴a+b=2．所以答案是：2小提示：本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．解答题16、如图，已知等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE 上？请写出结论，并说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论：若不成立，请说明理由．答案：（1）相等，在，理由见解析；（2）成立，证明见解析；（3）成立．分析：（1）连接DE、DF、EF，NF，根据等边三角形的性质和三角形中位线的性质，先证得△DBF是等边三角形，可得△DMB≌△DNF，可得∠DBM=∠DFN，从而得到∠NFD+∠DFE=180°，再由△DMN是等边三角形，从而证得△DMF≌△DNE，得到EN=MF，即可求证；（2）连接DF，NF，EF，等边三角形的性质，可证得△DMB≌△DNF，得到BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，从而NF∥BD，再由EF是△ABC的中位线，可得EF∥BD，从而F在直线NE上，即可求证；（3）连接DF、DE，EF，根据等边三角形的性质和三角形中位线的性质，可得△DBF是等边三角形，从而证得△DNE≌△DMF，即可求证．解：（1）EN=MF，点F在直线NE上，理由如下：如图1，连接DE、DF、EF，NF，∴AB=AC=BC，∠ABC=60°，又∵点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，∴DE、DF、EF为等边△ABC的中位线，DE=12BC,EF=12AB,DF=12AC，∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE=60°∵D、F分别是AB、BC的中点，∴BD=BF，∴△DBF是等边三角形，∴∠BDF=60°，∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠MDN=∠BDF=60°，DB=DF，∴∠MDN-∠BDN=∠BDF-∠BDN，即∠MDB=∠NDF，在△DMB和△DNF中，∵DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，∴△DMB≌△DNF，∴∠DBM=∠DFN，∵∠ABC=60°，∴∠DBM=120°，∴∠NFD=120°，∴∠NFD+∠DFE=120°+60°=180°，∴N、F、E三点共线，∴F在直线NE上；∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠FDE+∠NDF=∠MDN+∠NDF，∴∠MDF=∠NDE，在△DMF和△DNE中，∵DF=DE，∠MDF=∠NDE，DM=DN，∴△DMF≌△DNE，∴MF=NE，（2）成立，理由如下：如图2，连接DF，NF，EF，∵△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点，∴∠ABC=60°，BD=BF，∴△DBF是等边三角形，∴∠BDF=∠DBF=60°，∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠MDN=∠BDF=60°，DB=DF，∴∠MDN-∠FDM=∠BDF-∠FDM，即∠MDB=∠NDF，在△DMB和△DNF中，∵DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，∴△DMB≌△DNF，∴∠DBM=∠DFN=60°，BM=FN，∴∠DFN=∠FDB=60°，∴NF∥BD，∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，BF=12BC=12AB，∴EF∥BD，EF=12AB，∴F在直线NE上，BF=EF，∴MF=EN；（3）MF与EN相等的结论仍然成立，理由如下：如图3，连接DF、DE，EF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，又∵点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，∴DE、DF、EF为等边△ABC的中位线，DE=12BC,EF=12AB,DF=12AC，∴DE=DF=EF，∴△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°，∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=∠FDE=60°，DM=DN，∴∠EDM+∠NDE=∠EDM+∠FDM，∴∠NDE=∠FDM，在△DNE和△DMF中，∵DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，△DNE≌△DMF，∴MF=NE．小提示：本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，熟练掌握等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定是解题的关键．17、已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．答案：(1)见解析(2)∠DPQ大小不变，理由见解析(3)CP=AQ，证明见解析分析：（1）连接BD，由等边三角形的性质可得AC垂直平分BD，继而得出AB=BC=CD=AD，便可证明；（2）连接PB，过点P作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，可证明△APE是等边三角形，由等腰三角形三线合一证明∠APF=∠EPF，∠QPF=∠BPF，即可求解；（3）由等腰三角形三线合一的性质可得AF = FE，QF = BF，即可证明．（1）连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∵点B，D关于直线AC对称，∴AC垂直平分BD，∴DC=BC,AD=AB，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：∵将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，∴PQ=PD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，连接PB，过点P作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，则∠APE=∠ACB=60°,∠AEP=∠ABC=60°，∴∠APE=∠BAC=60°=∠AEP，∴△APE是等边三角形，∴AP=EP=AE，∵PF⊥AB，∴∠APF=∠EPF，∵点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，∴PB = PD，∠DPA =∠BPA，∴PQ = PD，∵PF⊥AB，∴∠QPF=∠BPF，∴∠QPF -∠APF=∠BPF -∠EPF，即∠QPA = ∠BPE，∴∠DPQ =∠DPA - ∠QPA=∠BPA-∠BPE = ∠APE= 60°；（3）AQ= CP，证明如下：∵AC = AB，AP= AE，∴AC - AP = AB–AE，即CP= BE，∵AP = EP，PF⊥AB，∴AF = FE，∵PQ= PD，PF⊥AB，∴QF = BF，∴QF - AF = BF–EF，即AQ= BE，∴AQ= CP．小提示：本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键．18、如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．答案：见解析.分析：根据关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心作图.连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，则点O即为对称中点．小提示：本题考查的是中心对称的性质，掌握关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键.。

九年级上册数学旋转必做大题附答案详解九年级上册数学旋转必做大题附答案1、已知：P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB大小。

2、在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG=CG 且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．3、如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′.（1）求点O与O′的距离；（2）证明：∠AOB=150°；（3）求四边形′的面积．（4）直接写出△AOC与△AOB的面积和4、（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．5、正方形ABCD中，E是CD边上一点，（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是，∠AFB=∠（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ（3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2．6、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F 分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．7、如图，P是等边△ABC内的一点，且PA = 5，PB =12，PC = 13，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为 .8、已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（6分）（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（2分）（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F 分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（2分）新课标第一网②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．（5分）9、（1）问题发现如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；（2）类比引申如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC 上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程．参考答案一、简答题1、135°(用旋转三角形解决绕点B顺时针旋转三角形BAP得到三角形BCE，连接PE)2、解：（1） EG=CG，EG⊥CG．（2分）（2）EG=CG，EG⊥CG．（2分）证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE=CM，∠EMC=90°，又∵BE=EF，∴EF=CM．∵∠EMC=90°，FG=DG，∴MG=FD=FG．∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD．∵EF=CM，∴FM=DM，∴∠F=45°．又FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC．∴△GFE≌△GMC．∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．（2分）∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE+∠EGM=90°，∴∠MGC+∠EGM=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．（2分）3、解：（1）∵等边△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。

九年级数学上册 旋转几何综合专题练习（word 版一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）1．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角00)90(θ︒︒<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ，若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ︒=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6.（1）连接OP ，求线段OP 的长；（2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60︒到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标； （3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标，【答案】（1）37OP =2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为：（32，3）或（6，12）． 【解析】【分析】 （1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ=︒，由AP=6，则AC=3，33PC =OP 的长度；（2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时，此时点D 是对角线的交点，求出点D 的坐标即可；②取OJ=JN=CJ ，构造直角三角形OCN，作∠CJN的角平分线，与直线OP相交与点D，然后由所学的性质，求出点D的坐标即可．【详解】解：（1）如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，连接OP，∵AP∥OB，∴∠PAC=60θ=︒，∵PC⊥OA，∴∠PCA=90°，∵点P的斜坐标是()3,6，∴OA=3，AP=6，∴1 cos602ACAP︒==，∴3AC=，∴226333PC=-=，336OC=+=，在Rt△OCP中，由勾股定理，得226(33)37OP=+=；（2）根据题意，过点Q作QE∥OC，QF∥OB，连接BQ，如图：由旋转的性质，得OP=OQ，∠POQ=60°，∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，∴∠COP=∠BOQ，∵OB=OC=6，∴△COP≌△BOQ（SAS）；∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，∴∠EBQ=60°，∵EQ∥OC，∴∠BEQ=60°，∴△BEQ是等边三角形，∴BE=EQ=BQ=3，∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，∵点Q在第四象限，∴点Q的斜坐标为（9，3 ）；（3）①取OM=PC=3，则四边形OMPC是平行四边形，连接OP、CM，交点为D，如图：由平行四边形的性质，得CD=DM，OD=PD，∴点D为OP的中点，∵点P的坐标为（3，6），∴点D的坐标为（32，3）；②取OJ=JN=CJ，则△OCN是直角三角形，∵∠COJ=60°，∴△OCJ是等边三角形，∴∠CJN=120°，作∠CJN的角平分线，与直线OP相交于点D，作DN⊥x轴，连接CD，如图：∵CJ=JN ，∠CJD=∠NJD ，JP=JP ，∴△CJD ≌△NJD （SAS ），∴∠JCD=∠JND=90°，则由角平分线的性质定理，得CD=ND ；过点D 作DI ∥x 轴，连接DJ ，∵∠DJN=∠COJ=60°，∴OI ∥JD ，∴四边形OJDI 是平行四边形，∴ID=OJ=JN=OC=6，在Rt △JDN 中，∠JDN=30°，∴JD=2JN=12；∴点D 的斜坐标为（6，12）；综合上述，点D 的斜坐标为：（32，3）或（6，12）． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找圆心D 的位置来解决问题，属于中考创新题型．注意运用分类讨论的思想进行解题．2．综合与探究：如图1，Rt AOB 的直角顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴正半轴上，4OA =，2OB =，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，抛物线23y ax x c =++经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，直线AC 与x 轴交于点H ．（1）求点C 的坐标及抛物线的表达式；（2）如图2，已知点G 是线段AH 上的一个动点，过点G 作AH 的垂线交抛物线于点F （点F 在第一象限），设点G 的横坐标为m ．①点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为________；②如图3，当直线FG 经过点B 时，求点F 的坐标，判断四边形ABCF 的形状并证明结论；③在②的前提下，连接FH ，点N 是坐标平面内的点，若以F ，H ，N 为顶点的三角形与FHC 全等，请直接写出点N 的坐标．【答案】（1）点C 的坐标为(6,2)，21322y x x =-++；（2）①143m -+；②点F 的坐标为(4,6)，四边形ABCF 为正方形，证明见解析；③点N 的坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或384,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】（1）根据已知条件与旋转的性质证明ABO BCD ≌，根据全等三角形的性质得出点C 的坐标，结合点E 的坐标，根据待定系数法求出抛物线的表达式；（2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，由点A 、C 的坐标求出直线AC 的表达式，进而得解；②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，根据等腰三角形三线合一得出AG CG =，结合①由平行线分线段成比例得出点G 的坐标，根据待定系数法求出直线BG 的表达式，结合抛物线的表达式求出点F ；利用勾股定理求出AB BC CF FA ===，结合90ABC ︒∠=可得出结论； ③根据直线AC 的表达式求出点H 的坐标，设点N 坐标为(,)s t ，根据勾股定理分别求出2FC ，2CH ，2FN ，2NH ，然后分两种情况考虑：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ，若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，分别列式求解即可．【详解】解：（1）4=OA ，2OB =，∴点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，AB BC ∴=，90ABC ︒∠=，90ABO DBC ︒∴∠+∠=，在Rt AOB 中，90ABO OAB ︒∴∠+∠=，=OAB DBC ∴∠∠，CD x ⊥轴于点D ，90BDC ︒∴∠=，90AOB BDC ︒∴∠=∠=．AB BC =，ABO BCD ∴△≌△，2CD OB ∴==，4BD OA ==，6OB BD ∴+=，∴点C 的坐标为(6,2)，∵抛物线23y ax x c =++的图象经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ， 236182c a c =⎧∴⎨++=⎩， 解得，122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的表达式为21322y x x =-++； （2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，∵直线AC 经过点()6,2C ，(0,4)A ，∴624k b b +=⎧⎨=⎩， 解得，134k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即143y x =-+， ∴点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为：143m -+， 故答案为：143m -+．②过点G 作GM x ⊥轴于点M ， OM m ∴=，143GM m =-+， AB BC =，BG AC ⊥，AG CG ∴=，90AOB GMH CDH ︒∠=∠=∠=，OA GMCD ∴， 1OM AG MD GC∴==， 132OM MD OD ∴===，3m ∴=，1433m -+=，∴点G 为(3,3)， 设直线BG 的表达式为y kx b =+，将(3,3)G 和(2,0)B 代入表达式得，2033k b k b +=⎧⎨+=⎩， 36k b =⎧∴⎨=-⎩，即表达式为36y x =-， 点F 为直线BG 和抛物线的交点，∴得2132362x x x -++=-， 14x ∴=，24x =-（舍去），∴点F 的坐标为(4,6)，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，4PF ∴=，2AP =，2FQ =，4CQ =，在Rt AFP △中和Rt FCQ △中，根据勾股定理，得25AF FC ==，同理可得25AB BC ==，AB BC CF FA ∴===，∴四边形ABCF 为菱形，90ABC ︒∠=，∴菱形ABCF 为正方形；③∵直线AC ：143y x =-+与x 轴交于点H ， ∴1403x -+=， 解得，x ＝12，∴(12,0)H ，∴222(64)(26)20FC =-+-=，222(126)(02)40CH =-+-=，设点N 坐标为(,)s t ，∴222(4)(6)FN s t =-+-，222(12)(0)NH s t =-+-，第一种情况：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ，∴2222(4)(6)20(12)40s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩， 解得，11425265s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2262s t =⎧⎨=⎩（即点C ）， ∴4226,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 第二种情况：若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，∴2222(4)(6)40(12)20s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩， 解得，1138545s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22104s t =⎧⎨=⎩， ∴384,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭或(10,4)N ， 综上所述，以F ，H ，N 为顶点的三角形与△FHC 全等时，点N 坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫⎪⎝⎭或384,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题是函数与几何的综合题，考查了待定系数法求函数的表达式，全等三角形的判定与性质，菱形与正方形的判定，旋转的性质，勾股定理等知识，其中对全等三角形存在性的分析，因有一条公共边，可对另外两边进行分类讨论，本题有一定的难度，是中考压轴题．3．我们定义：如图1，在△ABC 看，把AB 点绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC 的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD= BC ；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD 长为 ．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD ，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【答案】（1）①12；②4；（2）AD=12BC，证明见解析；（3）存在，证明见解析，39．【解析】【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=12AB′即可解决问题；②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；（2）结论：AD=12BC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可；【详解】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AB=AB′=AC′，∵DB′=DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=120°，∴∠B′=∠C′=30°，∴AD=12A B′=12BC，故答案为12．②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=12B′C′=12BC=4，故答案为4．（2）结论：AD=12 BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC=AM，∴AD=12BC．（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵3，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=1BM=7，2∴DE=EM﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，PB=PC，在Rt△CDF中，∵3CF=6，∴tan∠3∴∠CDF=60°=∠CPF，易证△FCP≌△CFD，∴CD=PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，3，∴2222DN PD++39．=(3)6【点睛】本题考查四边形综合题．4．(1)观察猜想如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是_____；(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.(3)解决问题若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．【答案】（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝【解析】解：（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝．即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．5．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中， AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）；（2）；（3）不变化，证明见解析.【解析】试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，DA旋转了，从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为.（3）延长BA交DE轴于H点，通过证明和可得结论.（1）∵A点第一次落在DF上时停止旋转，∴DA旋转了.∴DA 在旋转过程中所扫过的面积为.（2）∵MN ∥AC ，∴,.∴.∴.又∵，∴. 又∵,∴. ∴.∴.∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形ABCD 旋转的度数为.(3)不变化，证明如下：如图， 延长BA 交DE 轴于H 点，则，，∴.又∵.∴． ∴．又∵, ,∴．∴.∴.∴. ∴在旋转正方形ABCD 的过程中，值无变化.考点：1.面动旋转问题；2．正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性质.6．综合与实践 问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展教学活动老师给每个小组发了两个等模直角三角形ABC 和DEC ，其中90,2,2ACB DCE AC CD ︒∠=∠===观案发现（1）将两个等腰直角三角形如图①摆放，设DE 的中点是,F AE 的中点是,H BD 的中点是G ，则HFG ∠=______度；操作证明（2）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，使点A C E 、、三点在一条直线上，如图②，其余条件不变，小明通过测量发现，此时FH FG =，请你帮助小明证明这个结论. 探究发现（3）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，旋转角为()0180αα︒︒<<，DEC 在旋转的过程中，当直线FH 经过点C 时，如图③，请求出线段FG 的长.（4）在旋转过程中，在Rt ABC 和Rt CDE △中，始终有由,AC BC CE CD ⊥⊥，你在图③中还能发现哪两条线段在旋转过程中始终互相垂直？请找出并直接写出这两条线段.【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）31BD =-；（4）AD BE ⊥ 【解析】 【分析】（1）根据题意，运用中点的性质找到线段之间的位置关系即可求解；（2）根据旋转的性质及等腰三角形ABC 可知()ACD BCE SAS ∆≅∆，进而通过中位线定理即可得到FH FG =；（3）根据旋转的性质及勾股定理，先求出BF 的长，再由BD BF DF =-即可求出BD 的长；（4）根据旋转的性质及垂直的判定可知AD BE ⊥. 【详解】 （1）,,90CE CD AC BC ECA DCB ==∠=∠=︒，BE AD ∴=，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点， //,//HF AD FG BE ∴， AD BE ⊥，HF GF ∴⊥， 90HFG ∴∠=︒；（2）证明：如下图，连接AD BE ，，由旋转可知CE CD =，90ECD ACD ∠=∠=︒， 又∵AC=BC ，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点，11,22FH AD FG BE ∴==，FH FG ∴=；（3）解：由题意可得CF DE CFD CFE ⊥∆∆，，都是等腰直角三角形，2CD =1CF DF ∴==，2BC AC ==，223BF BC CF ∴=-=，31BD BF DF ∴=-=-，G 是BD 的中点，31DG -∴=， 31BD BF DF ∴=-=-；（4）AD BE ⊥.连接AD ，由（3）知，CF DE ⊥， ∵ECD ∆是等腰直角三角形， ∴F 是ED 中点， 又∵H 是AE 中点， ∴AD ∥HF ， ∵HF ⊥ED ， ∴AD BE ⊥. 【点睛】本题主要考查了中的的性质，中位线定理，三角形全等，勾股定理等三角形综合证明，熟练掌握三角形的相关知识点是解决本题的关键.错因分析：（1）不能熟练运用重点的性质找到线段之间的关系；（2）未掌握旋转的性质；（3）不能将题目探究中的发现进行推广.7．如图，在直角坐标系中，已知点A （-1，0）、B （0，2），将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ．（1）点C 的坐标为（ ， ）； （2）若二次函数的图象经过点C ． ①求二次函数的关系式；②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y 对应的取值范围；Z_X_X_K]③在此二次函数的图象上是否存在点P （点C 除外），使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ∴点C的坐标为(－3，1) ．(2)①∵二次函数的图象经过点C(－3，1)，∴.解得∴二次函数的关系式为②当-1≤x≤4时，≤y≤8；③过点C作CD⊥x轴，垂足为D，i) 当A为直角顶点时，延长CA至点，使，则△是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点作⊥轴，∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，∴△≌△，∴AE＝AD＝2，＝CD＝1,∴可求得的坐标为(1，－1)，经检验点在二次函数的图象上；ii）当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证△≌△∴BF＝OA＝1，可得点的坐标为（2， 1），经检验点在二次函数的图象上．同理可得点的坐标为（－2， 3），经检验点不在二次函数的图象上综上：二次函数的图象上存在点(1，－1)，（2，1）两点，使得△和△是以AB为直角边的等腰直角三角形．【解析】(1)根据旋转的性质得出C点坐标；（2）①把C点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y的取值范围；③分二种情况进行讨论.8．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．（2）设OD＝t，①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②t＝2或14.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）①当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=t；当6＜t＜10时，此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14．【详解】（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；（2）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝23，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝23+4；②存在，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴t＝2；当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴t＝14，综上所述：当t＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．9．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形，如图2．①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】（1）DE⊥AG （2）①当∠为直角时，α=30°或150°.②315°【解析】分析：（1）延长ED交AG于点H，证明≌，根据等量代换证明结论；（2）根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到，分两种情况求出的度数；（3）根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF′长的最大值和此时的度数．详解：如图1，延长ED交AG于点H，点O是正方形ABCD两对角线的交点，，，在和中，，≌，，，，，即；在旋转过程中，成为直角有两种情况：Ⅰ由增大到过程中，当时，，在中，sin∠AGO=，，，，，即；Ⅱ由增大到过程中，当时，同理可求，．综上所述，当时，或．如图3，当旋转到A、O、在一条直线上时，的长最大，正方形ABCD的边长为1，，，，，，，此时．点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想.10．（问题提出）如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF试证明：AB=DB+AF（类比探究）（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．【答案】证明见解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出△EDB与FEA全等的条件BE=AF，再结合已知条件和旋转的性质推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出△EDB≌FEA，所以BD=AF，等量代换即可得出结论．（2）先画出图形证明∴△DEB≌△EFA，方法类似于（1）；（3）画出图形根据图形直接写出结论即可．【详解】（1）证明：DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE，∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∵∠DBE=120°，∴∠EAF=∠DBE，又∵A，E，C，F四点共圆，∴∠AEF=∠ACF，又∵ED=DC，∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，∴∠D=∠AEF，∴△EDB≌FEA，∴BD=AF，AB=AE+BF，∴AB=BD+AF．类比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE，∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∴∠FCG=∠FEA，又∠FCG=∠EAD∠D=∠EAD，∴∠D=∠FEA，由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，∴∠DBE=∠FAE=60°∴△DEB≌△EFA，∴BD=AE， EB=AF，∴BD=FA+AB．即AB=BD-AF．（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）如图③，，ED=EC=CF，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，∴△CEF 是等边三角形，∴EF=EC ，又∵ED=EC ，∴ED=EF ，∵AB=AC ，BC=AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，又∵∠CBE=∠CAF ，∴∠CAF=60°，∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC=180°-60°-60°=60°∴∠DBE=∠EAF ；∵ED=EC ，∴∠ECD=∠EDC ，∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC ， 又∵∠EDC=∠EBC+∠BED ，∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC ， ∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC ，∴∠BDE=∠AEF ，在△EDB 和△FEA 中，DBE EAF BDE AEF ED EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△EDB ≌△FEA （AAS ），∴BD=AE ，EB=AF ，∵BE=AB+AE ，∴AF=AB+BD ，即AB ，DB ，AF 之间的数量关系是： AF=AB+BD ．考点：旋转变化，等边三角形，三角形全等，。

专题23.7《旋转》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.特别说明：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C特别说明：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比【典型例题】类型一、旋转三要素1．如图，E是正方形ABCD的边AB上任意一点（不与点A，B重合），DAE△按逆时针方向旋转后恰好能够与DCF重合．(1)旋转中心是________，旋转角为________；(2)请你判断DFE△的形状，并说明理由．【答案】(1) 点D ；90° (2) 等腰直角三角形，理由见分析 【分析】（1）由已知可知，旋转中心为点D ，旋转角∠ADC = 90°，即可求解； （2）由旋转的性质可得DE = DF ，∠EDF = ∠ADC = 90，可得结论． (1)解：由题意得：旋转中心是点D ；旋转角为∠ADC ，在正方形ABCD 中，∠ADC =90°， ∠旋转角为90°； 故答案为：点D ；90°(2)解：根据题意得：DE DF =，90EDF ADC ∠=∠=︒，∠DEF 是等腰直角三角形．【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 举一反三：【变式1】在ABC 中，30B ACB ∠+∠=︒，4AB =，ABC 逆时针旋转一定角度后与ADE 重合，且点C 恰好成为AD 中点，如图． (1) 旋转中心是点______，AE =______； (2) 求直线BC 与直线DE 的夹角．【答案】(1) A ,AC (2)30 【分析】（1）根据旋转后A 点与自身对应，则旋转中心为点A ，进而根据12AC AD =，可知AE 与AC 对应，即可求解；（2）延长BC 交ED 于点F ，取AB 中点G ，连接EG ，证明AEG △是等边三角形，进而求得1,120,902EG AB BG EGB BEA ==∠=︒∠=︒在EBF △中，根据三角形内角和定理求得EFB ∠，即直线BC 与直线DE 的夹角．(1)解：∠旋转后A 点与自身对应，∠旋转中心为点A ， 12AC AD =，则AC 旋转后与AD 不对应，则AC 与AE 对应 故答案为：A ,AC(2)延长BC 交ED 于点F ，取AB 中点G ，连接EG ，30ABC ACB ∠+∠=︒，4AB =，180150BAC B ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒∴ABC 逆时针旋转150︒后与ADE 重合， ∴150CAE BAC ∠=∠=︒,BCA DEA ∠=∠36060EAG EAC DAB ∴∠=︒-∠-∠=︒ G 是AB 的中点，122AG AB ∴== 1,22AD AB AC AD === ∴2AE AC ==∴AEG 是等边三角形60AGE ∴∠=︒ 120EGB ∴∠=︒又2EG AG AE BG ====30∴∠=∠=︒GBE GEB∴∠=∠+∠=︒90BEA BEG GEABEF中∠+∠FBE BEF=∠+∠+∠+∠CBA ABE BEA AED=∠+∠+∠+∠ABE BEA CBA AED()==︒+︒︒12030150∴∠=︒EFB30即直线BC与直线DE的夹角为30【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．【变式2】如图，点P是正方形ABCD内一点，连接P A，PB，PC，将∠ABP绕点B 顺时针旋转到∠CBP′的位置．（1）旋转中心是点__________，旋转角度是__________．（2）连接PP′，∠BPP′的形状是__________ 三角形．（3）若P A＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．【答案】（1）B，90°；（2）等腰直角；（3）6【分析】（1）根据旋转的定义解答；（2）根据旋转的性质可得BP=BP′，又旋转角为90°，然后根据等腰直角三角形的定义判定；（3）∠根据勾股定理列式求出PP′，先根据旋转的性质求出∠BP′C=135°，再求出∠PP′C=90°，然后根据勾股定理列式进行计算即可得解．解：（1）∠P是正方形ABCD内一点，∠ABP绕点B顺时针旋转到∠CBP′的位置，∠旋转中心是点B，点P旋转的度数是90度，故答案为：B ，90°；（2）根据旋转的性质BP=BP′，旋转角为90°，∠∠BPP′是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角；（3）在等腰Rt ∠BPP '中，∠PB ＝BP '＝4，∠PP ′= ∠∠BP ′C ＝∠BP A ＝135°，∠∠PP ′C ＝∠BP ′C －∠BP ′P ＝135°－45°＝90°， ∠P 'C ＝P A ＝2 在Rt ∠PP ′C 中，PC 6==【点拨】本题考查旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和正方形的性质．类型二、利用旋转性质求值或证明2．如图，点E 是正方形ABCD 内一点，将BEC △绕点C 顺时针旋转90°至DFC △． (1) 若30EBC ∠=︒，80BCE ∠=︒，求DFC ∠； (2) 若3CE =，求CEF △的面积．【答案】(1) 70DFC ∠=︒ (2) CEF △的面积为92【分析】（1）根据三角形内角和定理，先算出70BEC ∠=︒，根据旋转性质，得出70DFC BEC ∠=∠=︒；（2）根据旋转性质得出90ECF ∠=︒，3CF CE ==，即可算出∠CEF 的面积． (1)解：∠30EBC ∠=︒，80BCE ∠=︒，∠18070BEC EBC BCE ∠=︒-∠-∠=︒，∠将BEC △绕点C 顺时针旋转90°至DFC △， ∠70DFC BEC ∠=∠=︒．(2)∠将BEC △绕点C 顺时针旋转90°至DFC △， ∠90ECF ∠=︒，3CF CE ==， ∠11933222CEF S CE CF ∆=⨯⨯=⨯⨯=．【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，旋转的性质，根据旋转得出90ECF ∠=︒，3CF CE ==，是解题的关键．举一反三：【变式1】已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD AB ⊥于点D ．在边BC 上取一点E ，连接DE ，将线段DE 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ，连接AF ，交线段CD 于点G ．(1) 如图，若点E 与点C 重合，求证：FCG ADG △△≌； (2) 探究线段AG 与GF 之间满足的数量关系，并说明理由；(3) 若10AB =，请直接写出点C 与点F 之间的最小距离，不必写解答过程． 【答案】(1)见分析(2)AG =GF ，理由见分析(3)5 【分析】（1）根据题意，∠ABC 是等腰直角三角形，CD ∠AB ，所以CD =AD ，根据旋转的性质，CD =CF ，所以CF =AD ，又因为∠GCF =∠GDA =90°，∠CGF =∠DGA ，所以FCG ADG △△≌（ASA ）；（2）作EH ∠BC ，交CD 于点H ，连接FH ，则可证明∠FEH ≌∠CED (SAS )，得到FH =DC =AD ，∠EHF =∠ECD =45°，从而证明∠FHG =90°，又因为对顶角相等，可证明∠FGH≌∠AGD (AAS )，所以AG =GF ；（3）根据（2）中的结论，CF ，所以当CE 取最小值0时CF有最小值5．解：(1)根据题意，∠ABC 是等腰直角三角形，∠CD AB ⊥∠CD 是斜边AB 的中线 ∠CD =AD∠线段DE 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ∠∠FCG =∠ADG =90°，CD =CF ∠AD =CF在△FCG 和ADG 中FCG ADG CF ADFGC AGD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠FCG ADG △△≌（ASA ） (2)AG =GF ，理由如下：作EH ∠BC ，交CD 于点H ，连接FH ，如图，∠∠ABC 是等腰直角三角形，CD ∠AB∠∠BCD =12ACB ∠=45°，CD =AD =12AB∠EH ∠BC∠∠EHC =∠BCD =45° ∠CE =HE∠∠FED +∠DEH =∠DEH +∠HEC ∠∠FEH =∠DEC 又∠EF =ED∠∠FEH ≌∠CED (SAS )∠FH =DC =AD ，∠EHF =∠ECD =45° ∠∠CHF =∠CHE +∠EHF =45°+45°=90° ∠∠FHG =90°=∠ADG 又∠∠FGH =∠AGD ∠∠FGH ≌∠AGD (AAS ) ∠AG =GF (3)连接CF ，∠FH =AD =12AB =11052⨯=，CH∠CF当CE 最小时CF 最小，CE 最小值为0，∠CF 5=点C 与点F 之间的最小距离为5．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式2】如图，P 是等边ABC 内的一点，且5,4,3PA PB PC ===，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．(1) 旋转角为_____度； (2) 求点P 与点Q 之间的距离；(3)求BPC∠的度数；S．(4)求ABC的面积ABC【答案】+9．【分析】（1）根据∠QCB是∠P AB绕点B逆时针旋转得到，可知∠ABC为旋转角即可得出答案，（2）连接PQ，根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP ＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断∠PBQ 是等边三角形，所以PQ＝PB＝4；（3）先利用勾股定理的逆定理证明∠PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．（4）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解．解：(1)∠∠ABC是等边三角形，∠∠ABC＝60°，∠∠QCB是∠P AB绕点B逆时针旋转得到的，∠旋转角为60°故答案为：60；(2)连接PQ，如图1，∠∠ABC是等边三角形，∠∠ABC＝60°，BA＝BC，∠∠QCB是∠P AB绕点B逆时针旋转得到的，∠∠QCB∠∠P AB，∠BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，∠BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，∠∠PBQ是等边三角形，∠PQ＝PB＝4；(3)∠QC ＝5，PC ＝3，PQ ＝4， 而32+42＝52， ∠PC 2+PQ 2＝CQ 2，∠∠PCQ 是直角三角形，且∠QPC ＝90°， ∠∠PBQ 是等边三角形， ∠∠BPQ ＝60°，∠∠BPC ＝∠BPQ +∠QPC ＝60°+90°＝150°； (4)如图2，过点C 作CH ∠BP ，交BP 的延长线于H ， ∠∠BPC ＝150°， ∠∠CPH ＝30°， ∠CH 12=PC 32=，PH=， ∠BH ＝4 ∠BC 2＝BH 2+CH 2232⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2425⎛+ ⎝⎭＝ ∠S △ABC =2， ∠S △ABC 25=+=9．【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．类型三、中心对称图形与轴对称图形3、如图，在平面直角坐标系中，ABC 为格点三角形（顶点为网格线的交点），∠ABC ＝90°，点A 的坐标为（1，4）．已知ABC 与DEF 关于点(),0a 成中心对称（点D ，E ，F 分别为A ，B ，C 的对应点，0a ≥且4a ≠）．连接AF ，CD ．(1) 若0a =，画出此时DEF 的位置；(2) 线段AF 与CD 的位置和大小关系是______；(3) 若四边形AFDC 是一个轴对称图形，则a 的值为______． 【答案】(1)见分析(2)AF CD ∥，且AF CD =(3)1 【分析】（1）当0a =时，点（a ，0）即为原点，作出ABC 关于原点成中心对称的图形即可；（2）设对称中心为点P （a ，0），根据中心对称的性质，即可得出结论； （3）当四边形AFDC 是菱形或矩形时，可得出a 的值． (1)如图，DEF 即为所画；(2)如图所示，AF CD ∥，且AF CD =故答案为：AF CD ∥，且AF CD =(3)∠ABC 是直角三角形，且B （1，0），∠ABC 与DEF 关于点()1,0成中心对称时，四边形AFDC 是菱形，如图，∠1,a = 故答案为：1【点拨】本题考查作图-中心对称、轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．举一反三：【变式1】已知：BD 是ABC 的角平分线，点E ，F 分别在BC AB ，上，且DE AB ，BE AF =．(1) 如图1，求证：四边形ADEF 是平行四边形；(2) 如图2，若ABC 为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．【答案】(1)证明见分析(2)等边ABC ，等边BEF ，等边CDE ，等腰BDE ，等腰梯形ABED ，等腰梯形ACEF【分析】（1）由角平分线可知ABD CBD ∠=∠，由平行可知BDE ABD ∠=∠，可得CBD BDE ∠=∠，DE BE AF ==，进而结论得证；（2）由题意可得四边形ADEF 是菱形，,,D E F 是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．(1)证明：∠BD 是ABC 的角平分线∠ABD CBD ∠=∠ ∠DE AB ∥ ∠BDE ABD ∠=∠ ∠CBD BDE ∠=∠ ∠DE BE AF == ∠DE AF ∥，DE AF = ∠四边形ADEF 是平行四边形．(2)解：由（1）知四边形ADEF 是平行四边形∠EF AC∠ABC 是等边三角形 ∠60EFB C B ∠=∠=∠=︒ ∠BE EF DE == ∠四边形ADEF 是菱形 ∠,,AF BF BE CE CD AD === ∠,,D E F 是等边三角形的中点 ∠,BG EF BD EF ⊥⊥∠由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边ABC ，等边 BEF ，等边CDE △，等腰BDE ，等腰梯形ABED ，等腰梯形ACEF ．【点拨】本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式2】 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出ABC 向左平移4个单位长度后得到的111A B C △，并写出点1C 的坐标； （2）作出ABC 关于原点O 对称的222A B C △，并写出点2C 的坐标；222A B C △可看作111A B C △以点（________，________）为旋转中心，旋转________°得到的．（3）已知ABC 关于直线l 对称的333A B C △的顶点3A 的坐标为()4,2--，请直接写出直线l 的函数解析式________．【答案】（1）图见详解，C 1（-1，2）；（2）图见详解，C 2（-3，-2），（-2，0），180；（3）y =-x【分析】（1）根据平移的性质即可画出ABC 向左平移4个单位后的111A B C △；（2）根据中心对称的性质即可作出ABC 关于原点O 对称的222A B C △，再根据旋转的性质即可得出结论；（3）根据轴对称的性质，可以知道直线必过点（-1，1），即可求出解析式． 解：（1）如图所示，点C 1的坐标（-1，2）；（2）如图所示，点C 2的坐标（-3，-2），222A B C △可看作111A B C △以点（-2，0）为旋转中心，旋转180°得到的；（3）因为A 的坐标为（2，4），A 3的坐标为（-4，-2），所以直线必过点（-1，1），所以直线的解析式为y =-x ．【点拨】本题主要考查了平移，轴对称，中心对称的作图，熟练其概念准确的画出图形是解决本题的关键．类型四、直角坐标系中的中心对称图形4、已知∠ABC的三个顶点的坐标分别为A（－5，0）、B（－2，3）、C（－1，0）．(1)画出∠ABC关于坐标原点O成中心对称的∠A′B′C′；(2)将∠ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的∠A′′B′′C′′；(3)若以A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D′坐标为．【答案】(1)见分析(2)见分析(3)（6，－2）【分析】（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°的点A″、B″、C″的坐标，然后顺次连接即可；（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．(1)如图所示，∠A′B′C′就是求作的图形；(2)如图所示，∠A′′B′′C′′就是求作的三角形；(3)如图所示，点D′坐标为（6，－2）；【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （1，1），B （4，2），C （3，4）．(1) 若ABC 经过平移后得到111A B C △，已知点C 的对应点1C 的坐标为()2,4-，画出111A B C △；(2) 请画出△ABC 关于原点对称的△A 2B 2C 2． 【答案】(1)见分析(2)见分析 【分析】（1）根据C 点的平移方式依次得到A 点和B 点的对应点的位置，顺次相连即可； （2）根据中心对称的定义确定对应点的位置后顺次连接即可． (1)如图，△A 1B 1C 1即为所求． (2)如图，△A 2B 2C 2即为所求．【点拨】本题考查了平面直角坐标系内的图形的平移和中心对称，解题关键是牢记平移作图与中心对称图形的作图方法．【变式2】 已知抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7．(1) 二次函数的图象与已知抛物线关于y 轴对称，求它的解析式；(2) 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与已知抛物线关于原点对称，求a ，b ，c 的值． 【答案】(1)y ＝﹣2x 2﹣8x ﹣7(2)a ＝2，b ＝8，c ＝7 【分析】（1）抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于y 轴对称的抛物线x 互为相反数，y 不变进行求解即可；（2）抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于原点对称的抛物线x 、y 均互为相反数进行求解即可；(1)解：抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于y 轴对称的抛物线x 互为相反数，y 不变，∠y ＝﹣2（﹣x ）2+8（﹣x ）﹣7＝﹣2x 2﹣8x ﹣7；(2)抛物线y ＝﹣2x 2+8x ﹣7的图象关于原点对称的抛物线x 、y 均互为相反数，∠﹣y ＝﹣2（﹣x ）2+8（﹣x ）﹣7＝﹣2x 2﹣8x ﹣7， 即y ＝2x 2+8x +7∠二次函数y ＝ax 2+bx +c 中的a ＝2，b ＝8，c ＝7．【点拨】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．类型五、旋转几何综合拓展5、∠ABC 和∠DEC 是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =．(1)【观察猜想】当∠ABC 和∠DEC 按如图1所示的位置摆放，连接BD 、AE ，延长BD 交AE 于点F ，猜想线段BD 和AE 有怎样的数量关系和位置关系．(2)【探究证明】如图2，将∠DCE 绕着点C 顺时针旋转一定角度()090αα︒<<︒，线段BD 和线段AE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图3，在∠ACD 中，45ADC ∠=︒，CD =4=AD ，将AC 绕着点C 逆时针旋转90°至BC ，连接BD ，求BD 的长．【答案】(1)BD AE = ，BD AE ⊥(2)成立，理由见分析(3)【分析】（1）通过证明BCD ACE ≅，即可求证；（2）通过证明BCD ACE ≅，即可求证；（3）过点C 作CH CD ⊥，垂足为C ，交AD 于点H ，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解．解：(1)BD AE = ，BD AE ⊥，证明如下：在BCD △和ACE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =，BCD ACE ∴≅，,BD AE CBD CAE ∴=∠=∠，90ACB ∠=︒，90CBD BDC ∴∠+∠=︒，BDC ADF ∠=∠，90CAE ADF ∴∠+∠=︒，BD AE ∴⊥；(2)成立，理由如下：∠ACB DEC ∠=∠，∠ACB ACD DCE ACD ∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠，在BCD △和ACE 中，∠AC BC =，BCD ACE ∠=∠，CD CE =，∠BCD ACE ≌，∠BD AE =，CBD CAE ∠=∠，∠BGC AGF ∠=∠，∠CBD BGC CAE AGF ∠+∠=∠+∠，∠90ACB ∠=︒，∠90CBD BGC ∠+∠=︒，∠90CAE AGF ∠+∠=︒，∠90AFB ∠=︒，∠BD AE ⊥；(3)如图，过点C 作CH CD ⊥，垂足为C ，交AD 于点H ，由旋转性质可得：90ACB ∠=︒，AC BC =，∠CH CD ⊥，∠90DCH ∠=︒，∠90ADC CHD ∠+∠=︒，且45ADC ∠=︒，∠45CHD ∠=︒，∠CHD ADC ∠=∠，∠CD CH ==在Rt DCH 中：2DH =，∠90ACB DCH ∠=∠=︒，∠ACB ACH DCH ACH ∠+∠=∠+∠，即ACD BCH ∠=∠，在ACD △和BCH 中，∠AC BC =，ACD BCH ∠=∠，CD CH =，∠ACD BCH ≌△△，∠4BH AD ==，CBH DAC ∠=∠，∠12CBH DAC ∠+∠=∠+∠，∠90ACB ∠=︒，∠190CBH ∠+∠=︒，∠290DAC ∠+∠=︒，∠90∠=°，BHA∠BH AD⊥，∠BHD△是直角三角形，在Rt BDH中，BD=【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．举一反三：【变式1】如图1，在∠ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为∠ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求证：∠BDA∠∠BFE；（2）∠CD+DF+FE的最小值为；∠当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∠BF．（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．【答案】（1）见解答；（2）；∠见解答；（3）是，∠MPN=30°．【分析】（1）由旋转60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS证出全等即可；（2）∠由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE 最小值为CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋转知AB=BE，∠CBE=90°，最后根据勾股定理求出CE即可；∠先由∠BDF 为等边三角形得∠BFD =60°，再由C 、D 、F 、E 共线时CD +DF +FE 最小，∠BFE =120°=∠BDA ，最后ADF =∠ADB -∠BDF =120°-60°=60°，即证；（3）由中位线定理知道MN ∠AD 且PN ∠EF ，再设∠BEF =∠BAD =α，∠P AN =β，则∠PNF =60°-α+β，∠FNM =∠F AD =60°+α-β，得∠PNM =120°．（1）证明：∠∠DBF =∠ABE =60°，∠∠DBF -∠ABF =∠ABE -∠ABF ，∠∠ABD =∠EBF ，在∠BDA 与∠BFE 中，BD BF ABD EBF AB BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠BDA ∠∠BFE （SAS ）；（2）∠∠两点之间，线段最短，即C 、D 、F 、E 共线时CD +DF +FE 最小，∠CD +DF +FE 最小值为CE ，∠∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =1，∠BE =AB =2，BC∠∠CBE =∠ABC +∠ABE =90°，∠CE=∠证明：∠BD =BF ，∠DBF =60°，∠∠BDF 为等边三角形，即∠BFD =60°，∠C 、D 、F 、E 共线时CD +DF +FE 最小，∠∠BFE =120°，∠∠BDA ∠∠BFE ，∠∠BDA =120°，∠∠ADF =∠ADB -∠BDF =120°-60°=60°，∠∠ADF =∠BFD ，∠AD ∠BF ；（3）∠MPN 的大小是为定值，理由如下：如图，连接MN ，∠M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，∠MN ∠AD 且PN ∠EF ，∠AB =BE 且∠ABE =60°，∠∠ABE 为等边三角形，设∠BEF =∠BAD =α，∠P AN =β，则∠AEF =∠APN =60°-α，∠EAD =60°+α，∠∠PNF =60°-α+β，∠FNM =∠F AD =60°+α-β，∠∠PNM =∠PNF +∠FNM =60°-α+β+60°+α-β=120°，∠∠BDA ∠∠BFE ，∠MN =12AD =12FE =PN ， ∠∠MPN =12(180°-∠PNM )=30°． 【点拨】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键 ．【变式2】 如图1，正方形ABCD 的边长为4，点P 在边AD 上（P 不与,A D 重合），连接,PB PC ．将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到PE ，将线段PC 绕点P 逆时针旋转90°得到PF ．连接EF EA FD ,,．（1）求证：∠PDF ∆的面积212S PD =； ∠EA FD =；（2）如图2，EA FD.的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．【答案】（1）∠见详解；∠见详解；（2）4≤MN＜【分析】≌，即可得到结论；（1）∠过点F作FG∠AD交AD的延长线于点G，证明PFG CPD∠过点E作EH∠DA交DA的延长线于点H，证明PEH BPA≌，可得≌，结合PFG CPDGD=EH，同理：FG=AH，从而得AHE FGD≌，进而即可得到结论；（2）过点F作FG∠AD交AD的延长线于点G，过点E作EH∠DA交DA的延长线于点EF，HG= 2AD=8，EH+FG= AD=4，然后求出当点P与点D重H，可得∠AMD=90°，MN=12合时，EF最大值=P与AD的中点重合时，EF最小值= HG=8，进而即可得到答案．解：（1）∠证明：过点F作FG∠AD交AD的延长线于点G，∠∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，∠∠FPG=∠CPD，又∠∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，∠PFG CPD ≌（AAS ），∠FG =PD ，∠PDF ∆的面积21122S PD FG PD =⋅=； ∠过点E 作EH ∠DA 交DA 的延长线于点H ，∠∠EPH +∠PEH =90°，∠EPH +∠BP A =90°，∠∠PEH =∠BP A ，又∠∠PHE =∠BAP =90°，PB =PE ，∠PEH BPA ≌（AAS ），∠EH =P A ，由∠得：FG =PD ，∠EH +FG =P A +PD =AD =CD ，由∠得：PFG CPD ≌，∠PG =CD ，∠PD +GD = CD = EH +FG ，∠FG + GD = EH +FG ，∠GD =EH ，同理：FG =AH ，又∠∠AHE =∠FGD ，∠AHE FGD ≌，∠EA FD =；（2）过点F 作FG ∠AD 交AD 的延长线于点G ，过点E 作EH ∠DA 交DA 的延长线于点H ，≌，由（1）得：AHE FGD∠∠HAE=∠GFD，∠∠GFD+∠GDF=90°，∠∠HAE+∠GDF=90°，∠∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，∠∠MAD+∠MDA=90°，∠∠AMD=90°，∠点N是EF的中点，EF，∠MN=12∠EH=DG=AP，AH=FG=PD，∠HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，此时EF最大值当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，此时EF最小值= HG=8，【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．。