3.勤学早九年级数学(上)第21章《一元二次方程》专题卷a——核心考点归纳一点通

一元二次方程答知识专题复习专题一巧用一元二次方程及根的定义探究引路【例1】 若0=x 是关于x 的方程0823)2(22=-+++-m m x x m 的解，某某数m 的值，并讨论此方程解的情况.思路图示 0=x 为方程的解 0822=-+m m 求出m 的值 代入原方程验证.答案因0=x 是此方程的根，所以代入的0822=-+m m 解得21=m ，42-=m .当2=m 时，此方程是一元一次方程03=x ，所以0=x . 当4-=m 时，此方程是一元二次方程0362=+-x x ， 解得01=x ，212=x . 归纳拓展求一元二次方程中的某一个字母的取值X 围时，将方程先化为一般式(有时已经是一般式，就不用转化)，再根据一元二次方程的定义，使这个字母或含这个字母的代数式的值同时满足两条：二次项的系数不等于0且未知数的最高次数是2.或者已知一元二次方程的根求方程中某个字母的值时，所求出的字母的值也应满足两条：二次项的系数不等于0且未知数的最高次数是2.否则，应舍去不符合以上两条的这个字母的值.【迁移应用1】已知0=x 是一元二次方程023)2(22=-++-m x x m 的根，求m 的值.答案 ∵0=x 是方程的根，∴02030)2(2=-+⨯+⨯-m m . ∴022=-m解得2±=m 又∵02≠-m ∴2≠m ∴2-=m .专题二 一元二次方程的解法技巧与运用 探究引路【例2】解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a解析 此方程没指明是什么方程，也没指明a 的取值X 围，因此应分类讨论，分别求解. 答案 (1)当1=a 时，原方程是一元一次方程012=+-x ， ∴21=x . (2)当1≠a 时，∵a a a a ac b 4)1(4)2(422=---=-=△. ①当0<a 时，原方程无实数解. ②当0=a 时，021==x x . ③当0>a 且1≠a 时，1121--=-+=a aa x a a a x ，.【例3】 解方程：(1)04424=+-x x ； (2)08736=--x x解析 “换元法”，可使高次方程化为二次方程达到逐步降次求解的目的. 答案 (1)设y x =2，则原方程可化为0442=+-y y∴221==y y .∴22=x ，2±=x ，即2221-==x x ，.(2)设y x =2，则原方程可化为0872=--y y ， ∴11-=y ，82=y ，∴13-=x 或83=x∴2121=-=x x ， 归纳拓展在解一元二次方程时，要观察方程的结构特点，在没给出解法要求时，可选取简单解法.要先看是否能用因式分解法或直接开平方法，否则就用公式法，一般不用配方法.【迁移应用2】 解方程04)1(5)1(222=+---x x . 答案 设y x =-12，则原方程可化为0452=+-y y ，解得4121==y y ，. 当112=-x 时，52=x ，∴5±=x ，∴21=x ，22-=x .当112-=-x 时，22=x ，∴2±=x ，∴51=x ，52-=x .∴原方程的解为：21=x ，22-=x ，53=x ，54-=x .专题三一元二次方程在日常生活中的应用 探究引路【例4】润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油为36千克。

2.勤学早九年级数学（上）第21章《一元二次方程》周测（二）2. 勤学早九年级数学（上）第21章《一元二次方程》周测（二）考试范围：第21.3实际问题与-元二次方程解答参考时问90分钟满分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数宁大3，则这个两位数为( C )A .25 8 .36 C.25或36 D.无法确定2. 矩形周长为14cm，面积为122cm，则它的长和宽分别为( C )A .2cm，5cm B. 1cm，6cm C.3cm，4cm D . 2cm，6cm3.（2017巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( B )A. 560(l+x)2=315B.560(1-x)2=315C.560(1-2x)2=315D.560(l-x2)=3154.（2017呼伦贝尔）学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是( B )A . x2=21 B. 12x(x-1)=21 C.12x2=21 D. x(x-1)=215.（2017揭阳）一个数的平方是这个数的2倍，则这个数是( C )A .0B .2 C. 0或2 D.6 .(2017宁夏}如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道. 若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x 的方程是( C )A. x2+9x-8=0B. x2- 9x - 8 =0C. x2-9x+8=0D.2 x2-9x+8=07.（2017广州）某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为( B )A. (80-x)(200+8x)=8450B. (40-x)(200+8x)=8450C. (40– x)(200 +40x) =8450D. (40 –x)( 200+x) =84508. （2017兰州）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停. 已知一只股票某天跌停，之后两天时间，又涨回到原价. 若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是( B )A. (1+x)2=1110B．(l+x)2=109C. l+2x=1110D. 1 +2x=1099. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D点在BC上，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重台，则CD 的长度是( B )A . 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm10. 如图，要设计一本书的封面，封面长25cm，宽15cm. 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周边衬所占面积是封面面积的925，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，则上、下边衬的宽为( C )A. 1. 5cmB. 2cm C . 2 .5cm D . 5cm二、填空题（每小题3分，共18分）11.（2017和县）两个连续偶数的积为168，设较大的偶数为x，则得到关于x的方程是_______.[x(x-2)=18] 12. (2017南岗)某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，则平均每月的增长率为_______. (25%)13.（2017道真）如果一个多边形的对角线共有14条，则这个多边形的边数是____. （7）14.（2017洪山）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若接此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有_____人.(1000) 15. 如图，将边长为4的正方形，沿两边剪去两个边长为x 的矩形，剩余部分的面积为9，则x=_____. (1)16. 阅读材料:对于任何实数，我们规定符号a bc d的意义是a bc d=ad-bc. 例如：1 23 4=1×4-2×3= - 2，按照这个规定计算：当2x -4x+4=0时，x+1 2x x-1 2x-3的值是____. (-1)三、解答题（共8题，共72分）17.（本题8分）两数之和为3，它们的平方和为5，求这两个数. (这两个数是2和1)18.（本题8分）从正方形铁片中截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，求原来的正方形铣片的面积.解：原来的正方形铁片边长为xcm ，则x （x-2）=48，得：2x -2x-48=0，∴1x =8，2x = -6（舍），∴2x =6419. (本题8分)(2017大连)制造一种产品，原来每件的成本是300元，由于连续两次降低成本，现在每件的成本是192元. 若两次降低成本的百分率相同. 求第一次降低成本后每件的售价是多少元？（240）20.（本题8分）已知等腰三角形两腰长分别是2x ，2x+3，底为3．求该三角形的周长.解：等腰三角形两腰长分别是2x ，2x+3，解得：x=3或x= -1（），当x=3时，2x =9，2x+3=2×3+3=9. ∴周长为：9+9+3=21.当x=-l 时，2x =l ，2x+3=1 ，1+1<3，不能组成三角形，舍去.故该三角形的周长为21.21.（本题8分）(2017崂山)如图，用长为39米的篱笆（虚线部分），一面靠墙围成矩形ABCD菜园（AB<="" ），且在边bc="">解：设AM=xm ，则x （40-2x ）=128，∴1x =,4，2x =16（舍），∴AB=422.（本题10分）(2017淮安）如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米.(1)当通道宽a 为10米时，花圃的面积=__；(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3∶5？如果可以，试求出此时通道的宽.解：(1) 802m (2) (40-2a) (60-2a)=40×60×58,∴a=523.（本题10分）（2017西安)鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍. 九月份以单价100元销售，售出了200副. 十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格. 十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元. 设十月份销售单价降低x 元.(1) 填表：（2) 如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？（80元）24.（本题12分）（2017改编题）等腰Rt △ABC 的直角边AB=BC=10cm ．点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1 cm ／秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D. 设P 点运动时间为t ，△PCQ 的面积为S.(1）分别写出O<t10时，S 与t 之间的等量关系式；</t(2) 当点P 运动几秒时，△PCQ 面积=△ABC 面积？(3) 作PE ⊥AC 于点E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？若不变，求DE 的长；若改变，求DE 的取值范围.提示：(1)当t< bdsfid="227" p=""><>2t（10-t）=12（10t-2t）；当t >10秒时，P在线段AB延长线上，此时CQ=t，PB=t -10，∴S=12（2t-10t）.（2）∵△ABC面积=AB?BC=50，∴当t＜10秒时，△PCQ面积=1 2（10t-2t）=50，整理得：2t-10t+100=0，无解；当t＞10秒时，△PCQ面积=12（2t-10t）=50，整理得：2t-10t-100=0，解得：1x2x，∴当点P运动（PCQ面积=△ABC面积.（3）当点P、Q运动时，线段DE的长不会改变.过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，易证△APE≌△QCM，∴t，∴四边形PEQM是长方形，且DE是对角线EM的一半，又∵，∴，∴当点P、Q运动时，线段DE的长不会改变.。

第21章 一元二次方程一、一元二次方程的定义1、下列方程是一元二次方程的有(1)y 2+y=12 (2)x 3+x 2=3 (3)x+2y=12(4)0212=-xx (5)x+1=0 (6)632=x(7)22)32(14+=-x x (8)062)(2=--x x (9)21503x x -=(10)2134x x x +=(11)2110x x--= (12)2111x x =+-（13）3(x ＋1)2＝2(x ＋1)（14）ax 2＋bx ＋c ＝02、一元二次方程的一般形式的有（1）ax 2＋bx ＋c ＝0（2）ax 2＋bx ＋c (a ≠0)（3） ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) （4）ax 2＋bx ＋c ＝0(b ≠0)（5）ax 2＝0(a ≠0) （6）ax 2＋bx =0(a ≠0)(7) ax 2＋c ＝0(a ≠0)3、若（m 2－4）x 2＋3x －5＝0是关于x 的一元二次方程，则 （ ）A. m ≠2B. m ≠－2C. m ≠－2，或m ≠2D. m ≠－2，且m ≠24、 若关于x 的方程kx 2＋2x －1＝0是一元二次方程，则k .5、方程（m －1）x 2－(2m －1)x ＋m ＝0当m 时，方程是关于x 的一元二次方程.6、已知关于x 的方程()()021122=-++-x k x k（1）当k 为何值时，此方程为一元一次方程？（2）当k 为何值时，此方程为一元二次方程？并写出二次项系数、一次项系数、常数项7、已知关于x 的方程（m －n ）x 2+mx+n=0，你认为： （1）当m 和n 满足什么关系时，该方程是一元二次方程？ （2）当m 和n 满足什么关系时，该方程是一元一次方程？二、一元二次方程的项1、一元二次方程02=-x x 的常数项为 2、方程3x 2－3x+3=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（ ） A ．3B ．－3C ．3D ．－93、关于x 的一元二次方程()0235122=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m ＝4、将下列方程先化为一般形式，写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项 （1）3x (x ＋1)＝1 （2）（1－x ）（1＋x ）=2（3）4x (x ＋1)＝16 （4）2x (x ＋3)＝x （2－x ）三、 一元二次方程的根（1）已知1是关于x 的方程（m ＋2）x 2－x ＋4＝0的根，则m ＝ . （2）已知-1是关于x 的方程3x 2－x ＋a ＝0的根则a ＝ .（3）已知方程x 2+mx －8=0的一个根是x=－3，求m ＝ .另一个根是 （4）若x=1是一元二次方程ax 2＋bx -2＝0的根，则a+b＝ .（5）已知m 是方程x 2－x －2＝0的根，则m m -2＝ . （6）若方程()321=---x m m是关于x 的一元二次方程，则m ＝四、 根的判别式（1）已知方程x 2+2x －b=0有两个不相同的实数根，求b 的取值范围 （2）已知方程x 2+4x+a=0有两个相同的实数根，求a 的取值范围 （3）已知方程3 x (x+1) +m=0无实数根，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程kx 2+3x －2=0有实数根，则k 的取值范围（5）若关于x 的一元二次方程x 2－2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围 （6）关于x 的一元二次方程2x 2－3x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（7）关于x的方程x2－kx+k－2=0的根的情况（8）关于x的一元二次方程（m－1）x2－2mx+m=0有两个实数根，m的取值范围（9）关于x的方程x2－(2k－1)x+k2=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（）A.－2B.－1C. 0D. 1（10）关于x的方程mx2－(m+2)x+2=0(m≠0).求证：方程总有两个实数根（11）关于x的方程x2－6x+(4m+1）=0有实数根，求：m的取值范围五、求方程的两根和与积（1）若方程x2－x－1=0的两根为x1、x2，则x1＋x2= ， x1x2= 。

【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；九年级数学上册第21 章《一元二次方程》知识点梳理2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：1 2 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为 2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为 0．要点二、一元二次方程的解法1. 基本思想一元二次方程 −降−次−→ 一元一次方程 2. 基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. 一元二次方程根的判别式一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中， b 2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式， 通常用“ ∆ ”来表示，即∆ = b 2 - 4ac（1） 当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2） 当△=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3） 当△<0 时，一元二次方程没有实数根.2. 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b， x x = c . 1 2 a 1 2 a注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.要点诠释：1. 一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1) 不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0 的一个根是0，则a 的值为（）A．1 B．﹣1 C．1 或﹣1D．【思路点拨】根据方程的解的定义，把 x=0 代入方程，即可得到关于 a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【答案】B；【解析】解：根据题意得：a2﹣1=0 且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选 B．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【变式】关于 x 的方程(a2−2a −8) x2+ (a + 2) x −1 = 0 ,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2- =0； (2) (x+a)2= ；(3) 2x2-4x-1=0；(4) (1- )x2=(1+ )x．【答案与解析】(1)原方程可化为 0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1= ，x2=- ．(2)原方程可化为 x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2= a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1= a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1= ，x2= .(4)将方程整理，得(1- )x2-(1+ )x=0用因式分解法，得x[(1- )x-(1+ )]=0∴x1=0，x2=-3-2 ．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴(3x-2)(3x-2-1)＝0．∴3x-2＝0 或 3x-3＝0，∴x=2，x= 1．1 3 2(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴(t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴(t-1)(2t-1)＝0，∴t-1＝0 或2t-1＝0．∴t= 1，t=1 ．1 2 2类型三、一元二次方程根的判别式的应用1 23．（2015•荆门）若关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+5﹣a=0 有实数根，则 a 的取值范围是（） A ．a≥1B ． a ＞1C ． a≤1D ． a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+5﹣a=0 有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∴a≥1．故选 A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出 a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2- 2x + t + 2 = 0 的两个不相等的实数根， （1）求 t 的取值范围； （2）设 s = x 2+ x 2 ，求 s 关于 t 的函数关系式．【答案与解析】(1) 因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即 t ＜-1． (2)由一元二次方程根与系数的关系知： x 1 + x 2 = 2 ， x 1x 2 = t + 2 ， 从而 s = x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x = 22 - 2(t + 2) = -2t ，即 s = -2t (t < -1) ．1 2 1 2 1 2【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于 x 的一元二次方程 x 2 = 2(1- m )x - m 2 的两实数根为 x ， x ．1 2（1） 求 m 的取值范围；（2） 设 y = x 1 + x 2 ，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为 x 2 + 2(m -1)x + m 2 = 0 ．∵ 原方程有两个实数根．∴ △= [2(m -1)]2 - 4m 2 = -8m + 4 ≥ 0 ，∴ m ≤ 1． 2（2） y = x + x = -2m + 2 ，且 m ≤ 1 ． 1 2 2因为 y 随 m 的增大而减小，故当m 1时，取得最小值 1．2类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为 10cm，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为 xcm，由题意得 4x2＝10×8×(1-80%)．解得 x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2 符合题意，x2＝-2 不符合题意舍去．∴x＝2．答：截去的小正方形的边长为 2cm．【总结升华】设小正方形的边长为 x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的 80%，所以 4 个小正方形面积是原矩形面积的 20%．举一反三：【变式】（2015 春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m），现在欲砌 50m 长的墙，砌成一个面积 300m2的矩形花园，则 BC 的长为多少 m?【答案】解：设 AB=x 米，则 BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去）， 50﹣2x=50﹣30=20．答:BC 的长为 20m．6．某旅行社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元，空床可全部租出；若每床每晚提高 2 元，则减少 10 张床位租出；若每床每晚收费再提高 2 元，则再减少 10 张床位租出．以每次提高 2 元的这种方法变化下去，为了每晚获得 1120 元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高 x 个2 元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得 x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴ 当 x＝2 时，2x＝4；当 x＝3 时，2x＝6．答：每床每晚提高 4 元或6 元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高 x 个2 元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高 2 元，出租出去的床位减少 10 张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．一元二次方程及其解法（一）直接开平方法【学习目标】1.理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2.掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3.理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1 是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1 是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为 0.要点二、一元二次方程的解法1.直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则 x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1) ；(2) ．【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】不满足（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的概念-例 1】【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①x2 +x +1 ；②9x2 - 6x = 0 ；③1y2= 0 ；④5x2-1+ 4 = 0 ；2 2x⑤x2+xy - 3y2= 0 ；⑥3y2= 2 ；⑦(x +1)(x -1) =x2．【答案】②③⑥.【解析】①x2 +x +1不是方程；④5x2-12x+4 = 0 不是整式方程；⑤ x2+xy - 3y2= 0 含有 2 个未知数，不是一元方程；⑦(x + 1)(x -1) =x2化简后没有二次项，不是 2 次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x2-4x+2=0； (2) ．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中 c=-2 不能写为 c=2，(2)题中不能写为．举一反三：关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的形式-例 3】【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2 = 5x - 2 ；（2）a(x +1)(x -1) = 2 -x ．【答案】（1）3x2 - 5x+2=0 ，二次项系数是 3、一次项系数是-5、常数项是 2.（2）a(x +1)(x -1) = 2 -x 化为ax2 +x -a - 2 = 0, 二次项系数是 a、一次项系数是 1、常数项是-a-2.⎩ ⎩类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2+px+q ＝0 的两根分别为 x 1＝2，x 2＝1，那么 p ，q 的值分别是( ) A ．-3，2 B ．3，-2 C ．2，-3 D ．2，3【答案】A ；【解析】∵ x ＝2 是方程 x 2+px+q ＝0 的根，∴ 22+2p+q ＝0，即 2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即 p+q ＝-1 ②⎧2 p + q = -4, ⎧ p = -3,联立①，②得⎨ p + q = -1, 解之得： ⎨q = 2.【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用 2，1 代替方程中未知数 x 的值，得到两个关于 p 、q 的方程，解方程组可求 p 、q 的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程4. （2016 春•仙游县月考）求下列 x 的值 （1）x 2﹣25=0 （2）（x+5）2=16．【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．【答案与解析】解：（1）∵x 2﹣25=0， ∴x 2=25， ∴x=±5．（2）∵（x+5）2=16， ∴x+5=±4，∴x=﹣1 或﹣9．【总结升华】应当注意，形如 =k 或（nx+m ）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式 1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x 2=361；(2)2y 2-72=0；(3)5a 2-1=0；(4)-8m 2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19 或 x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6 或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2= ，∴a=或 a=- ．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2= ，∴m=或m=- ．【变式 2】解下列方程：(1) （2015 •东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0；(2)（2014 秋•滨州校级期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25，∴ 2x+3=5 或 2x+3=-5．∴x1=1，x2=-4．(2)∵（1﹣2x）2=x2﹣6x+9，∴（1﹣2x）2=（x﹣3）2，∴1﹣2x=±（x﹣3），∴1﹣2x=x﹣3 或1﹣2x=﹣（x﹣3），4∴x1=，x2=﹣2．3一元二次方程的解法（二）配方法【学习目标】1.了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为 1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式a2± 2ab +b2= (a ±b)2．知识点二、配方法的应用1.用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3.用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4.用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （2016•淄博）解方程：x2+4x﹣1=0．【思路点拨】首先进行移项，得到 x2+4x=1，方程左右两边同时加上 4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【答案与解析】解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣．【总结升华】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0；(2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为 x2-4x=2．两边都加 4，得 x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2= 或 x-2=- ．于是，原方程的根为x=2+ 或x=2- ．(2)将常数项移到方程右边 x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2 或 x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式M = 10a2 +b2 - 7a + 8 ，N =a2 +b2 + 5a +1 ，则M -N 的值（）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数【答案】B；【解析】（作差法）M -N = 10a2+b2- 7a + 8 - (a2+b2+ 5a +1)=10a2 +b2 - 7a + 8 -a2 -b2 - 5a -1= 9a2 -12a + 7 = 9a2 -12a + 4 + 3 = (3a - 2)2+ 3 > 0 ．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.3．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5 的值一定小于 0．【答案与解析】解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，∵（x﹣）2≥0，∴﹣8（x﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣ ＜0， 即﹣8x 2+12﹣5 的值一定小于 0．【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【变式】求代数式 x 2+8x+17 的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0 时，代数式 x 2+8x+17 的最小值是 1.4．已知 a2- 3a + b 2 - b + 37= 0 ，求 a - 4 2 16的值．【思路点拨】解此题关键是把 37拆成 9+ 1，可配成两个完全平方式．16 4 16【答案与解析】将原式进行配方，得⎛ a 2- 3a + 9 ⎫ + ⎛ b 2 - b +1 ⎫ = 0 ，4 ⎪ 2 16 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 3 ⎫2 ⎛ 1 ⎫2即 a - 2 ⎪ + b - 4 ⎪ = 0 ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴ a - 3 = 0 且b - 1= 0 ，24∴ a = 3，b = 1． 2∴ a - 4 4= 3 - 2= 3 - 2 = - 1 ． 2 2【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于 0 的形式，进而求出 a ．b 的值．b b1 4【学习目标】一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 a、b、c 的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程ax2+bx +c = 0 (a ≠ 0) ，用配方法将其变形为：(x + b)22a=b2- 4ac4a2.①当∆=b2-4ac > 0 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：x1,2 =2a .②当∆=b2 - 4ac = 0 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：x =-b1,2 2a .③ 当∆=b2 - 4ac < 0 时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为 0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x2+3x+1=0； (2) 2x2 = 4x -1 ；(3) 2x2+3x-1=0．【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1∴x==．∴x1= ，x2= ．(2)原方程化为一般形式，得2x2 - 4x +1 = 0 ．-b ±∵a = 2 ，b =-4 ，c =1 ，∴b2- 4ac = (-4)2- 4 ⨯ 2 ⨯1 = 8 > 0 ．∴ x =4 ± 2 2= 1±2，即x =1+2，x= 1-2．2 ⨯ 2 2 1 2 2 2(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1= ，x2= ．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对 a、b、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定 a，b，c 的值并计算b2 - 4ac 的值；(3)若b2 - 4ac 是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x2﹣3x﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==，∴x1=，x2= ．2．用公式法解下列方程：(1) （2014•武汉模拟）2x2+x=2； (2) （2014 秋•开县期末）3x2﹣6x﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x2+x﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x== = ，-1± 3 -1- 3 -1+ 3 ∴x 1=，x 2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1= ，x 2= （3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x== ，解得 x 1=，x 2= ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出 a 、b 、c 的值，在b 2- 4ac ≥ 0 的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2x 2+ 2x = 1；【答案】解：移项，得2x 2 + 2x -1 = 0 ．∵ a = 2 ，b = 2 ，c = -1 ， b 2 - 4ac = 22 - 4 ⨯ 2 ⨯(-1) = 12 > 0 ，∴ x =-2 ± 12 = ， 2 ⨯ 2 2∴ x 1 =2 ， x 2 = 2 ．类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2016•沈阳）一元二次方程 x 2﹣4x=12 的根是（） A ．x 1=2，x 2=﹣6 B ．x 1=﹣2，x 2=6 C ．x 1=﹣2，x 2=﹣6D ．x 1=2，x 2=6【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【答案】B【解析】解：方程整理得：x 2﹣4x ﹣12=0， 分解因式得：（x+2）（x ﹣6）=0，解得：x1=﹣2，x2=6，故选 B【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2) (3x -1)(x -1) = (4x +1)(x -1) ．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即(2x + 3)2= 0 ，∴x =x =-3 ．1 2 2(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以x1=1 ，x2=-2 ．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉 x＝1 这个根．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3 x(2 x+1) =4 x+2【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X1=-6,x2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0x =-1, x =2.1 2 2 35．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程两个根二次三项式因式分解x2﹣2x+1=0x1=1，x2=1 x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）x2﹣3x+2=0x1=1，x2=2 x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）x1= ，x 2=﹣13x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）2x2+5x+2=2（x+）（x+2）x1=﹣，x2=﹣2将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1、x2，则ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【学习目标】1.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠ 0) 中，b 2- 4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式，通常用“ ∆”来表示，即∆=b 2- 4ac（1）当△>0时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计1 2 算b 2 - 4ac 的值；④根据b 2 - 4ac 的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中，（1） 方程有两个不相等的实数根⇒b 2 - 4ac ﹥0； （2） 方程有两个相等的实数根⇒b 2 - 4ac =0； （3） 方程没有实数根⇒b 2 - 4ac ﹤0.要点诠释：（1） 逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一条件；（2） 若一元二次方程有两个实数根则 b 2 - 4ac ≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1. 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b ， x x = c . 1 2 a 1 2 a注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x 1、x 2 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：① x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x ； 1 2 1 2 1 2② 1 +1 x 1 x 2= x 1 + x 2 ； x 1 • x 2 ③ x x 2 + x 2 x = x x (x + x ) ； 1 2 1 2 1 2 1 2。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程全部重要知识点单选题1、如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3B．4C．4.8D．5答案：D分析：观察图形可知阴影部分小长方形的长为(x+40−2x2)cm，再根据去除阴影部分的面积为950cm2，列一元二次方程求解即可．解：由图可得出，40×30−2x2−2x⋅(x+40−2x2)=950整理，得，x2+20x−125=0解得，x1=5,x2=−25（不合题意，舍去）．故选：D．小提示：本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．2、若α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，且αβ−2α−2β=−11，则b的值是（）A．－3B．3C．－5D．5答案：C分析：根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=−b,αβ=−1，代入αβ−2α−2β=−11得到关于b的方程，求出b的值即可．解：∵α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，∴α+β=−b,αβ=−1，∴αβ−2α−2β=αβ−2(α+β)=−1+2b=−11∴b=−5故选：C小提示：本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-ba ，两根之积为ca是解题的关键．3、若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有两个实数根答案：B分析：先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，∵a﹣b＝3，∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，b＜﹣2，b2﹣4（3+b）=b2﹣4b﹣12=(b+2)(b﹣6)∵b+2＜0，b-6＜0，∴(b+2)(b-6) ＞0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；故选：B．小提示：本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．4、我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A ．3(x −1)x =6210B ．3(x −1)=6210C ．(3x −1)x =6210D ．3x =6210 答案：A分析：设这批椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为3（x −1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．解：∵这批椽的数量为x 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为3（x −1）文，依题意得：3（x −1）x ＝6210， 故选：A ．小提示：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5、已知两个关于x 的一元二次方程M:ax 2+bx +c =0，N:cx 2+bx +a =0，其中ac ≠0，a ≠c ．下列结论错误．．的是（ ） A ．若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根 B ．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程N 也有一个正根和一个负根 C ．若5是方程M 的一个根，则15是方程N 的一个根D ．若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是x =1 答案：D分析：利用根的判别式判断A ；利用根与系数的关系判断B ；利用一元二次方程的解的定义判断C 与D ． 解：A 、如果方程M 有两个相等的实数根，那么△=b 2-4ac =0，所以方程N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B 、若方程M 有一个正根和一个负根，那么△=b 2-4ac >0，c a<0，所以a 与c 符号相反，ac<0，所以方程N 也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；C 、如果5是方程M 的一个根，那么25a +5b +c =0，两边同时除以25，得125c +15b +a =0，所以15是方程N 的一个根，结论正确，不符合题意；D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么ax 2+bx +c =cx 2+bx +a ，（a -c ）x 2=a -c ，由a ≠c ，得x 2=1，x =±1，结论错误，符合题意；故选：D．小提示：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系、一元二次方程的解等知识，掌握它们是关键．6、若x=2是关于x的一元二次方程ax2−x−b=0的一个根，则2+8a−2b的值为（）A．0B．2C．4D．6答案：D分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程ax2−x−b=0得4a-b=2，再把2+8a−2b变形为2+2（4a-b），最后整体代入求值即可．解：∵x=2是关于x的一元二次方程ax2−x−b=0的一个根，∴4a-2-b=0，∴4a-b=2，∴2+8a−2b=2+2(4a−b)=2+2×2=2+4=6，故选：D．小提示：本题主要考查了一元二次方程的解，将代数式进行适当变形是解答本题的关键．7、直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是（）.A．0个B．1个C．2个D．1个或2个答案：D分析：根据直线y=x+a不经过第二象限，得到a≤0，再分两种情况判断方程的解的情况.∵直线y=x+a不经过第二象限，∴a≤0，∵方程ax2+2x+1=0，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆=b2−4ac=4−4a，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D.小提示：此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a 的取值范围，再分类讨论.8、若直角三角形的两边长分别是方程x 2−7x +12=0的两根，则该直角三角形的面积是（ ） A ．6B ．12C ．12或3√72D ．6或3√72答案：D分析：根据题意，先将方程x 2−7x +12=0的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可． 解方程x 2−7x +12=0得x 1=3，x 2=4当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为12×3×4=6；当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为√42−32=√7，面积为12×√7×3=3√72； 则该直角三角形的面积是6或3√72， 故选：D ．小提示：本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．9、已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x 2−6x +8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．2或4 答案：A分析：解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．解：x 2－6x+8=0 （x －4）（x －2）=0 解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A．小提示：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．10、把一元二次方程(x+1)(x−1)=3x化成一般形式，正确的是（）A．x2−3x−1=0B．x2−3x+1=0C．x2+3x−1=0D．x2+3x+1=0答案：A分析：先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为x2−3x−1=0,从而可得答案．解：∵(x+1)(x−1)=3x，∴x2−1=3x,∴x2−3x−1=0,∴方程的一般形式为：x2−3x−1=0,故选A小提示：本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)”是解本题的关键．填空题11、若m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，则代数式m2+n2-2mn＝_____．答案：21分析：先根据根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整体代入的方法计算．解：∵m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，∴m+n＝3，mn＝﹣3，∴m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn＝32﹣4×（﹣3）＝21．所以答案是：21．小提示：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b，ax1x2=c．a12、“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了_________人．答案：4分析：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x)人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程求解即可．设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x)人被传染，由题意得1+x+x(1+x)=25解得x=4或−6（舍去）所以，每轮传染中平均一个人传染了4人所以答案是：4．小提示：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13、观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．答案：不存在分析：首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是n(n+1)；最后根据图形中的2“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1×(1+1)2；n=2时，“○”的个数是3=2×(2+1)2，n=3时，“○”的个数是6=3×(3+1)2，n=4时，“○”的个数是10=4×(4+1)2，……∴第n个“○”的个数是n(n+1)2，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022∴3n−n(n+1)2=2022①，n(n+1)2−3n=2022②解①得：无解解②得：n1=5+√162012,n2=5−√162012所以答案是：不存在小提示：本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．14、如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则a与b数量关系是______．答案：b=√5+12a分析：根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为(a+b)，右图是一个长方形，长、宽分别为(b+a+b)、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a+b)2=b(b+a+b)，解方程即可求出答案．解：依题意得(a+b)2=b(b+a+b)，整理得：a 2+b 2+2ab =2b 2+ab ， 则a 2-b 2+ab =0， 方程两边同时除以b 2， 则(a b )2−1+ab =0， 解得：ab =−1±√52， ∵a b不能为负， ∴ab=−1+√52，∴b =√5+12a ， 所以答案是：b =√5+12a ． 小提示：此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目．解题的关键是要正确理解题目的意思，会根据题目隐含条件找到数量关系，最后利用数量关系列出方程解决问题15、如果一元二次方程x 2+3x −2=0的两个根为x 1，x 2，则x 13+3x 12−x 1x 2+2x 2=______．答案：-4分析：根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-3，x 1x 2=-2，根据一元二次方程根的意义得到x 12+3x 1−2，然后利用整体代入的方法计算，即可求得结果． 解：由题意得：x 1+x 2=−3 ， x 1x 2=−2，∴x 13+3x 12−x 1x 2+2x 2=x 1(x 12+3x 1−2)+2(x 1+x 2)−x 1x 2=0+2×(−3)+2 =-4．所以答案是：-4．小提示：本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系的公式和理解一元二次方程根的意义． 解答题16、把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)(2√2−x)(2√2+x)=(3+x)2．答案：(1)5x2+x﹣4＝0，二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4(2)2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1分析：根据多项式的乘法化简，再化为一元二次方程的一般形式，进而求得二次项系数、一次项系数以及常数项．（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；（2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．小提示：本题考查了多项式的乘法，一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．17、已知关于x的方程x2−2mx+m2−9=0．(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2=6，求m的值．答案：(1)见解析(2)3分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=2m即可找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．（1）根据题意可知：Δ=(2m)2−4(m2−9)=36>0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）有题意得：x 1+x 2=2m∴x 1+x 2=2m =6，解得m =3小提示：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．18、综合与探究：如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x 2+x =0的两个根是x 1=0，x 2=−1，则方程：x 2+x =0是“邻根方程”．(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x 2+x −6=0； ②2x 2−2√5x +2=0．(2)已知关于x 的一元二次方程x 2−(m −2)x −2m =0（m 是常数）是“邻根方程”，求m 的值．答案：(1)x2＋x −6＝0不是“邻根方程”；2x 2−2√5x +2=0是“邻根方程”(2)m ＝−1或−3分析：（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，可以确定方程是否是“邻根方程”；（2）先解方程，求出根，再根据新定义列出关于m 的方程，注意有两种情况．（1）解：①解方程得：(x +3)(x −2)=0，∴x 1=−3，x 2=2，∵2≠−3+1，∴x 2+x −6=0不是“邻根方程”；②x =2√5±√20−164=2√5±24=√5±12， ∴x 1=√5+12，x 2=√5−12， ∵ √5+12−√5−12=1，∴2x 2−2√5x +2=0是“邻根方程”；（2）解：x2−(m−2)x−2m=0(x−m)(x+2)=0，∴x1=m，x2=−2，∵方程x2−(m−2)x−2m=0(m是常数）是“邻根方程”，∴m=−2+1或m=−2−1，∴m=−1或−3.小提示：本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．。

第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）21.2解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。

1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系数化1：将二次项系数化为13.移项：将常数项移到等号右侧4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方：左右同时开平方7.求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

21.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程基础知识点归纳总结单选题1、方程3x2+10=2x2+6根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根名C．没有实数根D．无法判断答案：C分析：根据一元二次方程根的判别式判断即可．原方程变形为，3x2+10−2x2−6=0，即x2+4=0，则a=1，b=0，c=4，∴Δ=b2−4ac=0−4=−4即Δ<0；故原方程没有实数根．故选C．小提示：本题考查一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是找准方程的各系数．2、若关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a>−1且a≠0C．a≥−1且a≠0D．a>−1答案：B分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，解得：a＞-1且a≠0，故选：B．小提示：本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．3、若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为2022，则方程a(x+1)2+b(x+1)=−5必有根为（）A．2022B．2020C．2019D．2021答案：D分析：设t=x+1，即a(x+1)2+b(x+1)=−5可改写为at2+bt+5=0，由题意关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为x=2022，即at2+bt+5=0有一个根为t=2022，所以x+1=2022，x=2021．由a(x+1)2+b(x+1)=−5得到a(x+1)2+b(x+1)+5=0，对于一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)=−5，设t=x+1，所以at2+bt+5=0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为x=2022，所以at2+bt+5=0有一个根为t=2022，则x+1=2022，解得x=2021，所以一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)=−5有一根为x=2021．故选：D．小提示：本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．4、用配方法解一元二次方程x210x＋11＝0，此方程可化为（）A．（x－5）2＝14B．（x＋5）2＝14C．（x－5）2＝36D．（x＋5）2＝36答案：A分析：移项后两边都加上一次项系数一半的平方,写成完全平方式即可．x210x＋11＝0，x2-10x=-11，x2-10x+25=-11+25，即（x-4）2=14，故选：A．小提示：本题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．5、南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（）A．x⋅(60+x)=864B．x⋅(60−2x)=864C．x⋅(30−x)=864D．x⋅(60−x)=864答案：D分析：设它的宽为x步，则长为(60-x)步，根据面积列出方程即可得出结果．解：设它的宽为x步，则长为(60-x)步，∴x(60-x)=864，故选：D．小提示：题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．6、已知x＝a是一元二次方程x2−2x−3=0的解，则代数式2a2−4a的值为（）A．3B．6C．﹣3D．﹣6答案：B分析：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，再变形，得a2-2a=3，然后方程两边同乘以2，即可求解．解：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，∴a2-2a=3，∴2a2-4a=6，故选：B．小提示：本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题的关键．7、已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ，则代数式(m +n )2022的值为（ ） A ．1B ．0C ．32022D ．72022答案：A分析：直接利用根与系数的关系得出两根之和，进而得出答案．解：∵关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ，∴1+n =-m ，解得：m +n =-1，故（m +n ）2022=1．故选：A ．小提示：此题主要考查了根与系数的关系，正确得出m +n 的值是解题关键．8、设方程x 2−3x +2=0的两根分别是x 1,x 2，则x 1+x 2的值为（ ）A ．3B ．−32C ．32D ．−2答案：A分析：本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可． 由x 2−3x +2=0可知，其二次项系数a =1，一次项系数b =−3，由韦达定理：x 1+x 2 =−b a =−(−3)1=3，故选：A ．小提示：本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．9、有一块矩形铁皮，长50cm ，宽30cm ，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为800cm 2．设切去的正方形的边长为x cm ，可列方程为（ ）A．4x2=800B．50×30−4x2=800C．(50−x)(30−x)=800D．(50−2x)(30−2x)=800答案：D分析：根据题意求得底面的长为(50−2x)，宽为(30−2x)，即可求解．设切去的正方形的边长为x cm，则底面的长为(50−2x)，宽为(30−2x)，则(50−2x)(30−2x)=800故选：D小提示：本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．10、关于x的方程x2−3kx−2=0实数根的情况，下列判断正确的是（）A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根C．没有实数根D．有一个实数根答案：B分析：根据根的判别式直接判断即可得出答案．解：对于关于x的方程x2−3kx−2=0，∵Δ=(−3k)2−4×1×(−2)=9k2+8>0，∴此方程有两个不相等的实数根．故选B．小提示：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．填空题11、某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为_____．答案：2.6(1+x)2=7.146−4分析：根据题意可求出第三年的可变成本为(7.146-4)万元，再用x表示出第三年的可变成本，即可列出等式，即得出答案．设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为：2.6(1+x)2=7.146−4．所以答案是：2.6(1+x)2=7.146−4．小提示：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．12、设x1，x2是关于x的方程x2−6x+k=0的两个根，且x1=2x2，则k=______．答案：8分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=6、x1⋅x2=k，再根据x1=2x2求得x2＝2，代入k的表达式，求解即可．解：x1，x2是关于x的方程x2−6x+k=0的两个根，∴x1+x2=6，x1⋅x2=k，∵x1=2x2，∴2x2+x2=3x2=6，即x2=2，则k=x1⋅x2=2(x2)2=2×4=8，所以答案是：8．小提示：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．13、如图1，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD 向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，则AD边的长为________．答案：5分析：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为5，得到AB与BC的积为20；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为9，得到AB与BC的和为9，构造关于AB的一元二方程可求解．解：由图象与题意知可知，当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为5，∴12AB⋅12BC=5，即AB⋅BC=20．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为9，∴AB+BC=9．则BC=9−AB，代入AB·BC=20，得AB2−9AB+20=0，解得AB=4或AB=5，∵AB<AD，即AB<BC，∴AB=4，BC=5，∴AD=BC=5．所以答案是：5．小提示：本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．14、一元二次方程(x−2)(x+7)=0的根是_________．答案：x1=2，x2=−7分析：由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．解：由题意可知：x −2=0或x +7=0，∴x 1=2或x 2=−7，所以答案是：x 1=2或x 2=−7．小提示：本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．15、对于实数m ，n ，先定义一种断运算“⊗”如下：m ⊗n ={m 2+m +n ，当m ≥n 时n 2+m +n ，当m <n 时，若x ⊗(−2)=10，则实数x 的值为___．答案：3分析：根据定义，分x ≥－2和x ＜－2两种情况进行解方程，得出x 的值．解：当x ≥－2时，x 2+x －2=10，解得：x 1=3，x 2=－4（不合题意，舍去）；当x ＜－2时，（－2）2+x －2=10，解得：x =8（不合题意，舍去）；∴x =3．所以答案是：3．小提示：本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分x ≥－2和x ＜－2两种情况进行解方程是解题的关键．解答题16、已知长方形硬纸板ABCD 的长BC 为40cm ，宽CD 为30cm ，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm （纸板的厚度忽略不计）(1)EF＝ cm，GH＝ cm；（用含x的代数式表示）(2)若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．答案：(1)（30-2x）；（20-x）(2)5cm分析：（1）根据所给出的图形可直接得出EF与GH即可；（2）根据（1）得到EF与GH，结合M的面积列出方程（30-2x）（20-x）=300，求出x的值即可．（1）解：由图示可得：EF=（30-2x）cm，GH=（40÷2-x）cm=（20-x）cm．故答案为（30-2x），（20-x）．（2）解：设剪掉的小正方形边长为x cm，x＜30由题意可得（30-2x）（20-x）=300解得：x=5或x=30（舍去）．答：剪掉的小正方形的边长5cm．小提示：本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用等知识点，根据图示列出一元二次方程是解答本题的关键．17、解方程：(1)x2﹣4x+2＝0：(2)（x﹣1）2﹣x+1＝0．答案：(1)x1=2+√2，x2=2−√2(2)x1=1,x2=2分析：（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程利分解因式法求出解即可．（1）x2﹣4x+2＝0方程整理得：x2-4x=-2，配方得：x2-4x+4=2，即（x-2）2=2，开方得：x-2=±√2解得，x1=2+√2，x2=2−√2；（2）（x﹣1）2﹣x+1＝0（x﹣1）2﹣(x-1)＝0(x−1)(x−2)=0x−1=0,x−2=0∴x1=1,x2=2小提示：此题考查了解一元二次方程-公式法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．18、解方程：(1)(x−1)2−9=0．(2)x2−2x−5=0．答案：(1)x1=4，x2=−2；(2)x1=1+√6，x2=1−√6．分析：（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．（1）解：(x−1)2−9=0，∴x−1=±3，解得：x1=4，x2=−2；（2）解：x2−2x−5=0，x2−2x=5，x2−2x+1=5+1，(x−1)2=6，∴x−1=±√6，∴x1=1+√6，x2=1−√6．小提示：本题考查了直接开平方法和配方法解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．。

一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .acx x abx x )2(a 2ac 4b b x )1(212122,1=-=+-±-=，； ※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 ac x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 ⇔ ab-= 0且Δ≥0 ⇔ b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数 ⇔ ac=1且Δ≥0 ⇔ a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根 ⇔ ac = 0且a b-≠0 ⇔ c = 0且b ≠0；（4）有两个零根 ⇔ac = 0且a b-= 0 ⇔ c = 0且b=0；（5）至少有一个零根 ⇔ ac=0 ⇔ c=0； （6）两根异号 ⇔ac＜0 ⇔ a 、c 异号； （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值⇔ ac ＜0且a b-＞0⇔ a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值⇔ ac ＜0且a b-＜0⇔ a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根 ⇔ac ＞0，a b-＞0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根 ⇔ac ＞0，a b-＜0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2+bx+c=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程： 第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法：.0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧===------分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x1x 2)x 1x (x1x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-⇒=-4x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为 ；⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒==.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或 ；.0x ,0x :.1x x B sin A cos ,1A cos A sin ,90B A B sin x ,A sin x )4(2122212221>>=+==+︒=∠+∠==注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121>>注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。