《勤学早》九年级数学大培优全一册(教师用解析版)

30.勤学早九年级数学（下）第27章《相似》专题一点通一、利用相似证明线段相等1已知△ABC 中，︒=∠90ACB ，分别过A ，B 两点作经过点C 的直线的垂线，垂足分别为D ，E ，在线段DE 上取一点F ，使∠EBF=∠ABC 。

(1)如图l ，当AC= BC 时，写出图中所有与CD 相等的线段，并选取一 条给出证明；<2)如图2．当AC ≠BC 时，在(1)中与CD 相等的线殷中找出一条仍然与CD 相等的线殷，并给出证明；D BFAD BEAF图1 图2提示：（1）CD EF BE ==,证明CAD BCE ∆≅∆; (2)EF CD =.理由是：BCA BEF ∆∆∽，∴BC BE CA EF =,∵CDA BEC ∆∆∽,∴CABCCD BE =, ∴BC BE CA CD = , ∴CACDCA EF =, ∴.CD EF =. 二、巧用对顶三角形相似解题2.D 为 Rt △ABC 的斜边AB 上一点，点E 在AC 上，连接DE ，CD ，且BCD ADE ∠=∠ ，CF ⊥CD 交DE 的延长线于点F ，连接AF.1>如图①，若AC=BC ，求证:AB AF ⊥;2)如图②，若AC ≠BC ，当D 在AB 上运动时，求证:AB AF ⊥;ACBDF ECABDFE图1 图2解：（1）∵ACF BCD ADE ∠=∠=∠,︒=∠=∠45DCA DFC ，∴CDF ∆为等腰直角∆，∴。

，≌AB AF B CAF ACF BCD ⊥∴︒=∠=∠∴∆∆45, （2）∵ACF BCD ADE ∠=∠=∠，∴FEC AED FEC AED ∽△△∴∠=∠，︒=∠+∠∠=∠∴∴90,DFC FDC FDC FAC DEC AEF ∵∽△△，。

AB AF BAC FAC ⊥︒=∠+∠∴,90三、利用相似证平行3.(1)如图1．在口ABCD 中，E,F 分别是AB ，CD 上的点，若CE ∥AF ，求证DE ∥BF;(2)如图2．在四边形ABCD 中．AD ∥BC ，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，若CE ∥AF ，求证:DE ∥BFDCBA E FD CABFE图1 图2解：（1）证DF BE DF BE =且∥（2）延长DA ，CE 交于点K ，延长DE 与CB 的延长线交于点N ，由BN:AD=NE:DE=CN:DK ， 可得BN:CN=AD:DK ，又易证DF:DC=AD:DK ，∴DF:DC=BN:CN ，易得到DE ∥BF.四、等腰直角三角形中的相似问题4.△BCD 中，BC=CD,︒=∠90BCD ，点Q 为BD 上一点，M ，N 分别为直线BC ，CD 上一点，且︒=∠90MQN(1)如图1．若BQ=3DQ,求QNQM的值， (2）如图2，若DQ=3BQ,QP ⊥BD 交直线DC 于点P ．求NPBM的值. DQ NMBCDQBCM N P图1 图2解：（1）作QE ⊥DC 于E ，QF ⊥BC 于F ，∴QFM QEN ∽△△,∴DQBQQE QF QN QM ===3. （2）辅助线同（1），证PQN BQM ∽△△，由（1）知，31====DQ BQ QE QF QN QM NP BM .五、等腰三角形中的相似问题5. 在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作B MDN ∠=∠.(1)如图1．当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，写出图中所有与△ADE 相似的三角形； (2)如图2，DM ，DN 分别交线段AC ，AB 于E ，F 点（点E 与点A 不重合）．不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，证明你的结论。

勤学早测试卷（2016-2017）数学九年级（上、下）九年级数学（上册）1.九(上)第21章《一元一次方程》周测（一）2.九(上)第21章《一元二次方程》周测（二）3.九(上)第2l章《一元二次方程》单元检测题（月考一）4.九(上)第2l章《一元二次方程》专题一点通（一）（二）5.九(上)第22章《一次函数》周测（一）6.九(上)第22章《二次函数》周测（二）7.九(上)第22章《二次函数》单元检测题8.九(上)第22章《二次函数》专题一点通（一）（二）9.九(上)第22章《二次函数》专题一点通（三）10.九(上)月考（二）11.九(上)第23章《旋转》单元检测题12.九(上)第23章《旋转》专题一点通13.九(上)期中模拟题（月考三）14.九(上)第24章《圆》周测（一）15.九(上)第24章《圆》周测（二）16.九(上)第24章《圆》周测（三）17.九(上)第24章《圆》单元检测题18.九(上)第24章《圆》专题一点通19.九(上)月考(四)20.九(上)第25章《概率初步》单元检测题21.九(上)第25章《概率初步》专题一点通22.九(上)期末模拟题（月考五）九年级数学（下册）23.九(下)第26章《反比例函数》周测（一）24.九(下)第26章《反比例函数》周测（二）25.九(下)第26章《反比例函数》单元检测题（月考一）26.九(下)第26章《反比例函数》专题一点通27.九(下)第27章《相似》周测（一）28.九(下)第27章《相似》周测（二）29.九(下)第27章《相似》单元检测题30.九(下)第27章《相似》专题一点通31.九(下)月考（二）32.九(下)第28章《三角函数》周测（一）33.九(下)第28章《三角函数》单元检测题34.九(下)第28章《三角函数》专题一点通35.九(下)第29章《投影与视图》单元检测题36.九(下)月考（三）（中考模拟题）。

28. 勤学早九年级数学（下）第27章《相似》周测（二）(考试范围：第27.2--27.3 答参考时间：90分钟 满分l20分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.已知△ABC ∽△DEF ，且相似比AB:DE=1：2，则△ABC 与△DEF 的对应高之比为（ A ）A ．1：2B ．2：1C ．1：4D ．4：12.若△ABC ∽△A'B'C'，且相似比为1:2，则△ABC 与△A'B'C'的周长之比为( A )A ．1：2B ．2：1C ．1：4D ．4：13.如图，在△ABC 中，两条中线BE ，CD 相交于点O ，则S △DOE ：S △COB 等于（A ）A ．1：4B ．2：3C ．1：3D ．1：2 O ED C B A4.（2015武汉改）如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点D 的坐标为( B ) A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(3，3) D ．(3，1)yxACB D O5.（教材变式．9下P57习题7改)如图，零件的外径为16cm ，要求它的壁厚x ，需要先求出内径AB ，现用一个交叉钳(AC 与BD 相等)去量，若测得OA ：OC=OB ：OD=3：I ，CD=5cm ，零件的壁厚x 等于( C )A ． 2cmB ． 1cmC ． 0. 5cmD ．3cm6. 如图，在□ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE:EC 等于( B )A ． 2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：2FE DC BA7. 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B ，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为( C )A ． aB ．12a C ． 13a D ．23a CBA8. 如图，在等边△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ A ）A ．1：3B ．2：3C ．2 D：3FED C B A9. (2015威海改)如图，∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CE D=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，则AD 的长为( B )A ．B．3 C ．D．3 E D C BA10. 如图，正方形ABCD 中，AE=EF=FB ，BG=2CG ，DE ，DF 分别交AG 于P ，Q ，以下说法中，错误的是( C )A ．AG ⊥FDB ．AQ ：QG=6：7C ．EP ：PD=2∶11D ．FQ ：DQ=4：9G Q P F E D C B A二、填空题（每小题3分，共18分）11.（2015荷泽市）如图，∠DAB=∠CAE ，请你再补充一个条件__________，使得△ABC ∽△ADE （补入一个条件即可） (∠D=∠B )E DCB A12. 如图，△A'B'C'是△ABC 经相似变换所得的，△ABC 的周长是△A'B'C' 的周长的 倍. (3)C'B'A'C BA13. 如图，要测量池塘两端A ，B 的距离，可先取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=12CA ，连接BC 并延长到E ，使CE=12CB ，连接ED ，如果量出DE 的长为25米，那么池塘宽AB 为 米. (50)E DCB A14. 如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m 和6m ，小华的身高约为1.6m ，则旗杆的高约为 m. (9.6)15.（教材变式．9下P43习题13改）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ：BC=2：3，△ADE的面积是8，则△ABC 的面积为. (18)E DCBA16. 如图，在Rt △ABO 中，∠AOB=90°，点A 在第一象限、点B 在第四象限，且AO ：BO=1：3，双曲线y=1x (x >o)经过点A ，若双曲线y=k x(x >o)经过点B ，则k 的值是 . (-3) xyAB O三、解答题（共8题，共72分）17.（本题8分）如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m ，求旗杆AB 的高.解：AB=9m.18.（本题8分）（教材变式．9下P43习题10改）如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，在点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1. 4米，BP=2.1米，PD=12米，求该古城墙CD 的高度.解：CD=8米.19.（本题8分）如图，在□ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点F.（1）证明：FD=AB ；（2）若□ABCD 的面积为8．求△FED 的面积解：（1）证△ABE ≌△DFE （AAS ），∴FD=AB ；（2）∵DE ∥BC ，∴ △FED ∽△FBC ，∵△ABE ≌△DFE ，∴BE=EF ，∴△FBC 面积=平行四边形ABCD 面积，∴EF:BF=1：2，∴△FED 面积：△FBC 面积=1:4，∴△FED 面积：8=1:4，∴△FED 的面积为2.20.（本题8分）（2015哈尔滨改）正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形. 在图中正方形网格（每个小正方形边长为1）中有一格点△ABC 和一线段DE.(1)以DE 为一边作格点△DEF 与△ABC 相似；(2)直接写出△DEF的面积是 .解：（1）略； （2）7.521.（本题8分）（2015广州改）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点，过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED.（1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，且21S -162S +4=0，求△ABC 的面积.解：（1）证∠DAC=∠BAD=∠E=∠ADE 即可.（2）易证△ADC ∽△EBD ，∴ 22211124⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S CD S BD ， ∵21S -162S +4=0，∴S 2=12，∴S △ABC =3S 2=32.22.（本题10分）（2016武汉模拟）如图，抛物线y=235122-++x x交x轴于A、B两点，交y轴于点C，ON⊥BC交第一象限的抛物线于点N.（1）求直线BC的解析式；（2）求点N的坐标.解：（1）易求B（2，0），C（0，1），∴y= -12x+1；（2）作NP⊥x轴于点P，设N（t，235122-++t t），△OPN∽△COB，OP:CO=PN:OB，2OP=PN，OP=t, 235122-++t t=2t，t1=1, t2=23-(舍去)，∴N（1,2）.23.（本题10分）（2015武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF 交AD于点K .①求EF:AK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值.KHFED CBA解：（1）①3：2②S=EH•EF=32x（8-x）= -32（x-4）2+24，∴当x=4时，S的最大值是24.24.（本题12分）（2016武汉改编题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=5.点P从点A出发沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动；同时点Q从点D出发沿DA以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动.伴随P ，Q运动，直线EF保持垂直平分PQ于点F，交射线DC于点E. 当点P到达B点时运动停止，设运动时间为t秒.(1)当t= 秒时，直线EF经过点A；当t= 秒时，直线EF经过点C；(2)当FF ∥AC 时，求t 的值；(3)当直线EF 平分矩形ABCD 的面积时，求t 的值备用图(2)备用图(1)P Q E F A B C D A B C D D C B A解：(1)53，4-693 ①当直线EF 经过点A 时，AF 垂直平分PQ ，∴ AP=AQ ，∴ 2t=5-t ，∴ t=53； ②当直线EF 经过点C 时，CF 垂直平分PQ ，∴ CP=CQ ，∴ （6-2t ）2+52=t 2+62， ∴t=4+69 (大于5，舍去)，t=4-69； （2）∵EF 垂直平分PQ ，EF ∥AC ，∴ PQ ⊥AC ，∴△APQ ∽△DAC ，∴=AP DA AQ DC ，即2556=-t t ，解得t=2517； （3）若直线EF 平分矩形ABCD 的面积，则EF 必过矩形的中心O ，连接PO 并延长交CD于G ，连GQ ，易证OE=OF ，OP=OG ，则OF 是△ PGQ 的中位线，∴ OF ∥GQ ， ∴ ∠GQP=∠OFP =90°，∴△DQC ∽△APQ ，∴122===DG DQ t AQ AP t ，∵直线EF 平分矩形ABCD 的面积，∴DG=BP=6-2t ，∴62152-=-t t ，解得t=73.。

勤学早大培优数轴相遇问题上的公式解析勤学早大培优数轴相遇问题上的公式解析1. 问题概述勤学早大培优数轴相遇问题是一个经典的数学问题，涉及到两个运动员在数轴上同时出发，速度不同的情况下，计算它们相遇的时间和位置。

这个问题在数学竞赛中经常出现，也是对于相对运动和解析几何知识的一个很好的应用和考验。

2. 问题解析我们假设两个运动员在数轴上的起始位置分别为$x_1$和$x_2$，速度分别为$v_1$和$v_2$。

我们设运动员1在时间t后的位置为$x_1+v_1t$，运动员2在时间t后的位置为$x_2+ v_2t$。

要求它们相遇的条件是它们在同一时间t，位置相等，即$x_1+ v_1t = x_2+ v_2t$。

解这个方程，得到它们相遇的时间$t=\frac{x_2-x_1}{v_1-v_2}$。

把这个时间代入其中一个运动员的位置公式，就能得到它们相遇时的位置。

3. 实例应用举个实例来说明，假设运动员1的起始位置$x_1=1$，速度$v_1=2$；运动员2的起始位置$x_2=5$，速度$v_2=3$。

代入公式，得到$t=\frac{5-1}{2-3}=-4$。

这个时间显然是不合理的，因为时间应该是正数。

这表明了两个运动员在这种情况下是不会相遇的。

这种方法可以很方便地用来解决各种相遇问题。

4. 结论通过对勤学早大培优数轴相遇问题的公式解析，我们可以清晰地了解到，相对运动问题可以通过建立数学模型，利用公式解析来求解。

这个问题也考察了我们对于数学知识在实际问题中的应用能力。

希望通过以上分析，对这个问题有了更深入的理解。

5. 个人观点个人认为，数学问题中的公式解析是非常重要的，它能够帮助我们更深入地了解问题的本质，并且能够应用到实际生活中去。

勤学早大培优数轴相遇问题是一个典型的例子，通过公式解析，我们不仅能够求解问题，还能够对数学知识有更深入的理解。

希望大家在平时的学习中能够重视公式解析的方法，多进行实际应用，提高自己的数学能力。

勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（一）圆中的证明与计算1．如图，AB 是⊙O 的直径，直线点F 、C 是⊙O 上两点，且弧BC ＝弧FC ，连接AC 、AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 延长线于点D ，垂足为D(1) 求证：CD 是⊙O 的切线(2) 若CD ＝2，弧AF ＝弧FC ，求⊙O 的半径2．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，OC ∥AP 交PB 于C(1) 求证：AP ＝OC ＋BC(2) 若⊙O 的半径为4，P A ＝8，求BC 的长3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝4，BC ＝2，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP 、CP(1) 求△OPC 的最大面积(2) 求∠OCP 的最大度数(3) 如图2，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ．当CP ＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线4．已知AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的动点，点D 是AB 延长线上的动点，在运动过程中，保持CD ＝OA(1) 当直线CD 与半圆O 相切时（如图1），求∠ODC 的度数(2) 当直线CD 与半圆O 相交时（如图2），设另一交点为E ，连接AE ，AE ∥OC① AE 与OD 的大小有什么关系？为什么？② 求∠ODC 的度数5．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 与边CD 相切于点E(1) 如图1，求证：∠ADC ＝2∠CBE(2) 如图2，若OD ＝6，OC ＝8，求⊙O 的半径6．已知直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB(1) 如图1，求证：AC ＝AD(2) 如图2，E 、F 为⊙O 上两点，且∠CDE ＝∠ADF ．若⊙O 的半径为25，CD ＝4，求EF 的长 勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（二）圆中的数形结合1．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x －5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．如图1，过A 、O 、B 作⊙O 1(1) 求圆心O 1的坐标(2) 如图2，点P 是劣弧OB 上一点，连接P A 、PO 、PB ．当点P 在劣弧OB 上（端点除外）运动时，求POPB PA -的值 (3) 如图3，线段OB 绕点O 逆时针方向旋转30°到OC ，过A 、O 、C 三点作⊙O 2，点P 是劣弧AO 上一点，连接P A 、PO 、PC ．当点P 在劣弧AO 上（端点除外）运动时，则POPA PC -的值是否发生变化？如果不变化，求其值；如果变化，说明理由2．如图，已知A ，B 两点的坐标分别为A (32，0)，B (0，2)，点P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°(1) 如图1，求点P 的坐标(2) 如图2，点Q 是弧AP 上一动点，（不与A 、P 重合），连PQ 、AQ 、BQ ，求PQAQ BQ -的值 (3) 如图3，连BP 、AP ，在PB 上任取一点E ，连AE ．将线段AE 绕A 点顺时针旋转90°到AF ，连BF ，交AP 于点G ．当E 在线段BP 上运动时，（不与B 、P 重合），求PGBE 的值 3．已知在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为2，⊙O 交坐标轴于A 、B 、C 、D 四点(1) 如图1，点F 是弧BC 的中点，连接FO ，并延长交⊙O 于E ，连接F A 、FD ，求证：FE 平分∠AFD(1) 知图2，点P 是弧AD 上任意一点（不含A 、D ），连接PC ，过A 作AQ ⊥CP 于Q ，连接OQ 、AP ，求∠OQC 的度数(3) 如图3，点M 是弧AC 上一动点，连接MA 、MC 、MB 、MD ，求MBMA MC MD •-22的值 勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（一）圆中的证明与计算参考答案1．证明：(1) 连接OC∵OA ＝OC∴∠OAC ＝∠OCA∵弧BC ＝弧FC∴∠CAF ＝∠CAB∴∠F AC ＝∠OCA∴OC ∥AD∵CD ⊥AF∴OC ⊥CD∴CD 是⊙O 的切线(2) ∵弧AF 弧FC∴∠F AC ＝∠BAC ＝30°∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∠AOC ＝120°在Rt △ACD 中，AC ＝4，OA ＝334 即⊙O 的半径为334 2．证明：(1) 连接OA 、OB ∵P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB过点C 作CD ⊥AP 于D∴四边形OADC 为矩形∴OA ＝CD ＝OB∵OC ∥AP∴∠OCB ＝∠CPD在△OCB 和△CPD 中∴△OCB ≌△CPD （ASA ）∴BC ＝PD∴AP ＝AD ＋DP ＝OC ＋BC(2) 由(1)可知，OC ＝PC设AD ＝OC ＝PC ＝x ，则PD ＝8－x在Rt △CDP 中，42＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝5∴BC ＝8－5＝33．解：(1) 当OP ⊥OC 时，S △OPC 有最大值为4(2) 当CP 为⊙O 的切线时，∠OCP 有最大值∵OP ＝21OC ∴∠OCP ＝30°(3) 连接AP∵∠AOP ＝∠BOD∴AP ＝BD∵CP ＝BD∴AP ＝CP∴∠A ＝∠C ＝∠D在△BDP 和△PCO 中∴△BDP ≌△PCO （SAS ）∴∠OPC ＝∠PBD∵AB 是⊙O 的直径∴∠PBD ＝90°∴∠OPC ＝90°∴CP 是⊙O 的切线4．解：(1) ∠ODC ＝45°(2) ① AE ＝OD ，理由如下：∵AE ∥OC∴∠OAE ＝∠COD∵CD ＝OA ＝OE ＝OC∴△OAE ≌△DCO∴AE ＝OD② 设∠ODC ＝α，则∠OAE ＝∠OEA ＝∠COD ＝α ∴∠OCE ＝2α∵OC ＝OE∴∠OEC ＝∠OCE ＝2α在△ADE 中，α＋α＋2α＋α＝180°，α＝30°5．证明：(1) ∵CB 、CE 是⊙O 的切线∴CB ＝CE∴∠CBE ＝∠CEB设∠CBE ＝∠CEB ＝α，则∠C ＝180°－2α∵AD ∥BC∴∠C ＋∠D ＝180°∴∠D ＝2α∴∠ADC ＝2∠CBE(2) r ＝4.86．解：(1) 连接AO 并延长交CD 于E∵AB 与⊙O 相切∴OA ⊥AB∵CD ∥AB∴OE ⊥CD∴CE ＝DE∴AE 是线段CD 的垂直平分线∴AC ＝AD(2) ∵∠CDE ＝∠ADF∴∠EDF ＝∠ADC∴AC ＝EF连接AO 并延长交CD 于H∴CH ＝DH ＝2∵OD ＝25 ∴OH ＝23 ∴AH ＝23＋25＝4 在Rt △ACH 中，5222=+=AH CH HC∴EF ＝AC ＝521．解：(1) A (－5，0)、B (0，－5)∴OA ＝OB ＝5∵∠AOB ＝90°∴△AOB 为等腰直角三角形∵O 1为AB 的中点∴O 1(2525--，) (2) 过点O 作OC ⊥OP 交AP 于C∵∠APO ＝∠ABO ＝45°∴△OCP 为等腰直角三角形由共顶点等腰三角形的旋转，得△AOC ≌△BOP （SAS ） ∴PB ＝AC ∴2==-POPC PO PB PA (3) 在线段CP 上截取CM ＝AP ，连接OM由旋转可知OC ＝OB∵OB ＝OA∴OC ＝OA在△OAP 和△OCM 中∴△OAP ≌△OCM （SAS ）∴OM ＝OP ，∠COM ＝∠AOP∵∠AOC ＝∠COM ＋∠AOM ＝∠AOP ＋∠AOM ＝120° ∴3==-PO PMPO PAPC2．解：(1) 在Rt △AOB 中，422=+=OB OA AB连接P A 、PB∵∠AOP ＝∠BOP ＝45°∴P A ＝PB∴△P AB 为等腰直角三角形∴P A ＝PB ＝22根据对角互补四边形模型，OA ＋OB ＝2OP ∴OP ＝2322+过点P 作PC ⊥x 轴于C∴OC ＝PC ＝31+∴P (31+，31+) (2) 2=-PQ AQBQ （方法同第1题）(3) 过点F 作FH ⊥AP 于H根据三垂直模型，得△AEP ≌△F AH （AAS ） ∴PE ＝AH ，∠FHA ＝∠PBP∵P A ＝PB∴BE ＝PH∵△BPG ≌△FHG （AAS ）∴PG ＝PH∴BE ＝2PG3．解：(1) ∵F 为弧BC 的中点∴FOB ＝FOC∴∠FOD ＝∠FOA∵OA ＝OF ＝OD∴△AOF 、△DOF 均为等腰直角三角形∴∠OF A ＝∠OFD∴FE 平分∠AFD(2) ∵∠AQC ＝90°，∠AOC ＝90°∴∠OCP ＝∠OAQ （八字型）过点O 作OE ⊥OQ 交CP 于E∵∠COE ＋∠AOE ＝90°，∠AOQ ＋∠AOE ＝90°∴∠COE ＝∠AOQ在△COE 和△AOQ 中∴△COE ≌△AOQ （ASA ）∴OE ＝OQ∴∠OQC ＝45°(3) 基本模型的应用MD ＋MC ＝2MB ，MD －MC ＝2MA ∴222))((22=••=•-+=•-MB MA MB MA MB MA MC MD MC MD MB MA MC MD。

16.勤学早九年级数学（上）第24章《圆》周测（三）（考试范围：第24.3 24.4----正多边形和圆；弧长、扇形面积解答时间：90分钟满分120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 正八边形的每个内角为( B )A.1200B.1350C.1400D.14402．下列正多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( B )A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正七边形3．正五边形的中心角为( C )A. 1080B.900C.720D.6004．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=1200，OC=3，则 BC的长为( B )A.πB.2πC.3πD.5π5．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为( C )A.6．（2014襄阳）用一个圆心角为1200，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( B )A.12B.1C.32D.27．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于( D ) A．900 B.1200 C.1500 D.18008．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB=10，CD=24，则图中阴影部分的面积是( C )A. 1694πB.1693πC.1692πD.不能确定9．如同，矩形ABCD 中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点B 在两次旋转过程中经过的路径长是( A )A.252πB.13πC.25πD.π10. 蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上. 设定AB 边如图所示，则△ABC 是直角三角形的个数有( C )A.4个B.6个C.8个D.10个二、填空题（每题3分，共18分}11. 若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是 . （8） 12. 一个扇形的半径为8cm ，弧长为163πcm ，则扇形的圆心角为 . （120°） 13. 如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB=1，∠C=300，则⊙O 的内接正方形的面积为 . （2）14. 如图, ⊙P 与x 轴切与点0，点P 的坐标为(0，1)，点A 在⊙P 上，且在第一象限，∠APO=1200，⊙P 沿x 轴正方向滚动，当点A 第一次落在x 轴上时，点A 的横坐标为 _____（结果保留π）. （23π）15.（2015咸宁改）如图，在△ABC 中，CA=CB=2，∠ACB=900，以AB 的中点D 为圆心，作圆心角为90的扇形DEF ，点C 恰在 EF上，则图中阴影部分的面积为 ______ . (解：S 影=S 扇DBC -S △DBC =2π-1)16. 如图，扇形OAB 中，∠AOB=600，扇形半径为4，点C 在 AB 上，CD ⊥OA ，垂足为D ，当△OCD 的面积最大时，图中阴影部分的面积为__________ .解：S △OCD =12S 2=14-()228OD -+16，当OD 2=8即OD=OCD 面积最大，∴COA=450，∴S 阴影=S 扇AOC -S △COD =2π-4三、解答题（共6题，共60分）17.（本题8分）用一个圆心角为1200，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面半径 .解：118.（本题8分）如图，圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，求∠APB 和∠BDC 的度数 .解：计算正五边形的内角为1080，∠APB=720，∠BDC=360 .19.（本题8分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上,AC=CD，∠ACD=1200 .(1) 求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积 .解：（1）略；（2）23π.20.（本题8分）如图，已知菱形ABCD的边长为1.5cm，B，C两点在扇形AEF的 EF上，求 BC的长度及圆中阴影部分的面积 .解：∵四边形ABCD是菱形且边长为1.5，∴AB=BC=1.5,又∵B、C两点在扇形AEF的 BF上，∴AB=BC=AC=1.5，∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=600 , BC的长=60 1.5180π⨯=2π(cm)，S扇ABC=12l R=12×2π×1.5=38π（cm2），易求S△ABC，∴S阴影=S扇ABC-S△ABC= (38π)cm2.21.（本题8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5，4)、B (1，0)、C(6，0) .（1）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转900，画出图形，直接写出A的对应点A1的坐标（2）先将△ABC向下平移3个单位，然后绕原点顺时针旋转900，直接写出A点运动轨迹的路径长 .解：（1）A1（-4,5）（2）.22.（本题10分）（2015兰州）如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠BAC的平分线AD交BC边于点D，以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D .(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC=3，∠B=300 .①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积 .（结果保留根号和π）解：（1）略；（2）①2；②2 3π23．（本题10分）如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB 的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转900后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处，再将线段AF绕点F顺时针旋转900得线段FG ，连接EF ，CG . （l) 求证：EF ∥CG ；（2）求点C ，点A 在旋转过程中形成的 AC ， AG 与线段CG 所围成的阴影部分的面积 .解：（1）证：∠FAB=∠ECB ，∠FAB=∠CFG ，∴∠CFG=∠ECB ，∴CE ∥FG ，又∵CE=AF=FG ，∴CE ∥FG ，∴四边形EFGC 是平行四边形，∴EF ∥CG .(2)易求AE=BE=BF=1，EFC ≌△GCF ，S 影=S 扇BAC +S △ABF +S △CFG -S 扇FAG =52-4π.24.（本题l2分）如图，⊙0的直径AB=4，AC 是弦，沿AC 折叠劣弧 AC ，记折叠后劣弧为 AmC .(1)如图1，当 AmC 经过圆心O 时，求AC 的长；(2)如图2，当 AmC 与AB 相切于A 时，①画出 AmC 所在圆的圆心P ；②求AC 的长；(3) 如图3，设 AmC 与直径AB 交于D ，DB=x,试用x 的代数式表示AC （直接写出结果） .解：（1）作半径OE ⊥AC 于F ，∴OF=12OE=12OA=1，∴∠FAO=300, ∴AC=2AF= （2）①作出圆心P （方法不限）；②连PC 、PA 、CO ，∵PC=PA=OC=OA=2， ∴四边形PAOC 是菱形，∵ AmC 切AB 于A ，∴PA ⊥AB ，∴菱形PAOC 为正方形，∴AC=（3）。

勤学早大培优九年级全册数学答案单元一：整数与有理数第一节：整数的概念和表示方法1.整数是由正整数、负整数和0组成的数集，可以表示为{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}。

2.整数可以用数轴表示，正整数在数轴上的位置在0的右侧，负整数在数轴上的位置在0的左侧。

第二节：整数的加法和减法1.整数的加法规则：正数与正数相加得正数，负数与负数相加得负数，正数与负数相加取绝对值较大的符号。

2.整数的减法规则：整数减去整数，即加上相反数。

第三节：整数的乘法和除法1.整数的乘法规则：正数与正数相乘得正数，负数与负数相乘得正数，正数与负数相乘得负数。

2.整数的除法规则：除数不为0时，正数除以正数得正数，负数除以负数得正数，正数除以负数得负数。

第四节：有理数1.有理数包括整数和分数，可以表示为a/b的形式，其中a为整数，b为非零整数。

单元二：代数式和常数项式第一节：代数式1.代数式由字母（称为未知数）和数的乘积、商、幂次等通过运算符号连接而成。

2.代数式的值与未知数的具体值有关。

第二节：同类项1.同类项是指具有相同字母的幂次相同的项，可以进行合并运算。

第三节：多项式1.多项式是由若干同类项连接而成的代数式。

第四节：常数项式1.只含有常数的代数式被称为常数项式。

单元三：一元一次方程第一节：等式1.等式是具有相等关系的两个代数式连接而成的语句。

第二节：一元一次方程1.一元一次方程是未知数的最高次数为1的代数式与一个已知数的等式。

第三节：解方程1.解方程是指找出符合等式的未知数的值。

第四节：等式的性质和基本变形1.等式的性质包括等式两边相等的加减、乘除、平方等运算。

2.等式的基本变形包括交换两边的位置、同等式两边同时加减、乘除相同的数等。

单元四：一元一次方程的实际应用第一节：应用题的解法步骤1.解决应用题的步骤包括：设未知数和列方程、解方程、检验。

第二节：利用方程解决实际问题1.利用一元一次方程可以解决很多实际问题，如时间、速度、距离等。

26. 勤学早九年级数学（下）第26章《反比例函数》专题一点通专题一 反比例函数的图像的对称性1如图，反比例函数y = 4x图象的对称轴的条数是（ C )A 、0条B 、1条C 、2条D 、3条2关于函数y = - 1x的图象，下列说法错误的是( C ）A 、经过点(1，-1)B 、在第二象限内，y 随x 的增大而增大C 、是轴对称图形，且对称轴是y 轴D 、点（2，-12 ）在图像上3如图，正比例函数y=rnx 与反比例函数y= nx ，（m 、n 是非零常数）的图象交于A ，B 两点，若点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标是( C )A 、(-2，-4)B 、(-2，-1）C 、( -1，- 2)D 、(-4 ，-2)4如图，直线y=kx(k>0)与双曲线y = 2x 交于A ，B 两点，若A ，B 两点的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1y 2 +x 2y 1的值为（ C ）A. -8B. 8 C . -4 D . 05如图，有反比例函数y = 1x ，y = - 1x的图象和以O 为圆心、2为半径的一个圆，则S 阴影=(B ）A.π B . 2π C. 3D. π 无法确定6. 如图，已知直线y ＝-x ＋2分别与x 轴．y 轴交于A ，B 两点，与双曲线y ＝ kx交于E ，F两点，若AB ＝2EF ，则k 的值是 ( D )A 、-1B 、1C 、12D 、34专题二 反比函数的图像的增减性7、已知两点P 1（x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在函数y ＝5x 的图象上，当x 1＞x 2＞0 时，下列结论正确的是(A )A. 0＜y 1＜y 2 B . 0＜y 2＜y 1, C.y 1＜y2＜0 D . y 2＜y 1 ＜08、若A(-3，y 1)，B （-2，y 2）．C(-1，y 3)三点郁在函数y= - 6x 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(B)A 、y 1＞y 2＞y 3B 、y 1＜y 2＜y 3C 、y 1=y 2=y 3D 、y 1＜y 3＜y 29. 在双曲线y= k 2+3x 上有三点A 1(x 1，y 1))、A 2(x 2，y 2)、A 3(x 3，y 3)，已知 x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(A)A . y 2＜y 1＜y 3 B. y 3＜y 2＜y 1 C . y 1＜y 2＜y 3 D. y 3＜y 1＜y 210. 若点A （-1，y 1），B （- 14 ，y 2），C （12 ，y 3）在反比例函数y=2-a -1x（a 为实数）的图象上，则下列各式中正确的是(A)A 、y 3＜y 1＜y 2B 、y 2＜y 3＜y 1C 、y 3＜ y 2＜y 1D 、y 1＜y 3＜y 211. 在反比例函数y ＝m 一2x的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若x 2＜0＜x 1， y 1＞y 2，则m 的取值范围是(A)A. m ＞2 B . m ＜2 C . m ＜0 D . m ＞012. 设有反比例函数y=k+1x，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为其图象上的两点，若 x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，则k 的取值范围是(A)A 、 k ＜-lB 、k ＞-1C 、k ≥-1D 、 k= -l13. 已知反比例函数y ＝kx (k ≠0)，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数y=kx-k 的图象经过(B)A 、第一、二、三象限B 、第一、二、四象限C 、第一、三、四象限D 、第二、三、四象限14. 已知一次函数1y =kx+b (k<0)与反比例函数 2y =mx(m ≠0)的图象相交于A ，B 两点，其横坐标分别是 -1和3，当y 1＞ y 2时，实数x 的取值范围是(A) A 、x ＜-1或0＜x ＜3 B 、-l ＜x ＜0或0＜x ＜3 C 、-1＜x ＜0或x ＞3 D 、0＜x ＜3专题三 反比例函数系数k 的几何意义15、如图，P(x ，y)是反比例函数y = 3x 的图象在第一象限分支上的一个动点，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，随着自变量x 的增大，矩形OA PB 的面积( A ) A 不变 B 增大 C 减小 D 先增大，后减少16、如图所示，A是反比例函数y = kx图象上的一点．AB⊥x轴于点B，且∆ABO的面积是3，则k的值是( C )A、3B、-3C、6D、-617、如图，过点O作直线与双曲线y= kx(k≠0)交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D，在x轴上分别取点E，F，使点A、E、F在同一条直线上，且AE=AF，设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1、S2的数量关系是( B )A 、S l=S2 B、2S1=S2 C 、3S l=S2D、4S1=S218. 如图，反比例函数y= - 6x在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3，直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为( C ) A 、8B、10 C 、12 D、2419. 反比例函数y= 6x与y=3x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线，分别交双曲于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为( A )A 、1.5 B、2 C 、3 D 、120. 如图所示，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函y=-4x和y=2x的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为( C ) A、1.5 B、2 C 、3 D 、421. 如图，在反比例函数y= - 4x(x>0)的图象上有三点P1，P2，P3，它们的横坐标依次为l，2，3，分别过这3个点作x轴、y轴的垂线，设图中阴影部分面积依次为S1、S,、S3，则S1+S2+S3的大小是( B )A、3 B 、4 C、5 D、622、如图，已知A （12 ，y 1），B(2，y 2)为反比例函数y= 1x图象上的两点，动点P(x ，0)在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是(D) A （12 ，0） B ．(1，0) C. (32 ，0) D.（52，0）专题四 反比例函数的实际应用23. 我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种，下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x （小时）变化的函数图象，其中BC 段是双曲线y= kx 的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1) 恒温系统在这天保持大栅内温度18ºC 的时间有多少小时？ (2) 求k 的值；(3) 当x=16时，大棚内的温度约为多少度?(4) 一天24小时大棚内温度达到或超过l2℃的时间有多少小时？解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度l8℃的时间为： 12 -2=10（小时）（2）∵点B(12，18)在双曲线y= kx 上，∴18=k 12，∴k=216；（3）当x=16时，y=21616=13.5，∴当x=16时，大棚内的温度约为13.5度. (4)当0≤x ≤2时，直线解析式为：y=ax+b ，b=8，2a+b=18，解得a=5，b=8，∴解析式为y=5x+8，则12=5x+8，解得：x=0 8，当y=12，则216x=12， 解得x=l8，∴一天24小时大棚内温度达到或超过l2℃的时间有18-0.8=17.2小时24、水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下，观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y （千克）与销售价格x （元／千克）之间的关系，现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y （千克）与销售价格x(元／千克) 之间都满足这一关系。

勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（一）圆中的证明与计算1．如图，AB是⊙O的直径，直线点F、C是⊙O上两点，且弧BC＝弧FC，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D(1) 求证：CD是⊙O的切线(2) 若CD＝2，弧AF＝弧FC，求⊙O的半径2．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，OC∥AP交PB于C(1) 求证：AP＝OC＋BC(2) 若⊙O的半径为4，P A＝8，求BC的长3．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP、CP(1) 求△OPC的最大面积(2) 求∠OCP的最大度数(3) 如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB．当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线4．已知AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的动点，点D 是AB 延长线上的动点，在运动过程中，保持CD ＝OA(1) 当直线CD 与半圆O 相切时（如图1），求∠ODC 的度数(2) 当直线CD 与半圆O 相交时（如图2），设另一交点为E ，连接AE ，AE ∥OC ① AE 与OD 的大小有什么关系？为什么？ ② 求∠ODC 的度数5．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 与边CD 相切于点E (1) 如图1，求证：∠ADC ＝2∠CBE(2) 如图2，若OD ＝6，OC ＝8，求⊙O 的半径6．已知直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB (1) 如图1，求证：AC ＝AD(2) 如图2，E 、F 为⊙O 上两点，且∠CDE ＝∠ADF ．若⊙O 的半径为25，CD ＝4，求EF 的长勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（二）圆中的数形结合1．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x －5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．如图1，过A 、O 、B 作⊙O 1 (1) 求圆心O 1的坐标(2) 如图2，点P 是劣弧OB 上一点，连接P A 、PO 、PB ．当点P 在劣弧OB 上（端点除外）运动时，求POPBPA -的值 (3) 如图3，线段OB 绕点O 逆时针方向旋转30°到OC ，过A 、O 、C 三点作⊙O 2，点P 是劣弧AO 上一点，连接P A 、PO 、PC ．当点P 在劣弧AO 上（端点除外）运动时，则POPAPC -的值是否发生变化？如果不变化，求其值；如果变化，说明理由2．如图，已知A ，B 两点的坐标分别为A (32，0)，B (0，2)，点P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°(1) 如图1，求点P 的坐标(2) 如图2，点Q 是弧AP 上一动点，（不与A 、P 重合），连PQ 、AQ 、BQ ，求PQAQBQ -的值 (3) 如图3，连BP 、AP ，在PB 上任取一点E ，连AE ．将线段AE 绕A 点顺时针旋转90°到AF ，连BF ，交AP 于点G ．当E 在线段BP 上运动时，（不与B 、P 重合），求PGBE的值3．已知在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为2，⊙O 交坐标轴于A 、B 、C 、D 四点(1) 如图1，点F 是弧BC 的中点，连接FO ，并延长交⊙O 于E ，连接F A 、FD ，求证：FE 平分∠AFD(1) 知图2，点P 是弧AD 上任意一点（不含A 、D ），连接PC ，过A 作AQ ⊥CP 于Q ，连接OQ 、AP ，求∠OQC 的度数(3) 如图3，点M 是弧AC 上一动点，连接MA 、MC 、MB 、MD ，求MBMA MC MD •-22的值勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（一）圆中的证明与计算参考答案1．证明：(1) 连接OC∵OA ＝OC ∴∠OAC ＝∠OCA ∵弧BC ＝弧FC ∴∠CAF ＝∠CAB ∴∠F AC ＝∠OCA ∴OC ∥AD ∵CD ⊥AF ∴OC ⊥CD ∴CD 是⊙O 的切线 (2) ∵弧AF 弧FC ∴∠F AC ＝∠BAC ＝30°∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∠AOC ＝120° 在Rt △ACD 中，AC ＝4，OA ＝334 即⊙O 的半径为334 2．证明：(1) 连接OA 、OB∵P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB 过点C 作CD ⊥AP 于D ∴四边形OADC 为矩形 ∴OA ＝CD ＝OB ∵OC ∥AP ∴∠OCB ＝∠CPD 在△OCB 和△CPD 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CPD OCB CDOB CDP OBC ∴△OCB ≌△CPD （ASA ） ∴BC ＝PD∴AP ＝AD ＋DP ＝OC ＋BC (2) 由(1)可知，OC ＝PC设AD ＝OC ＝PC ＝x ，则PD ＝8－x 在Rt △CDP 中，42＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝5 ∴BC ＝8－5＝33．解：(1) 当OP ⊥OC 时，S △OPC 有最大值为4 (2) 当CP 为⊙O 的切线时，∠OCP 有最大值∵OP ＝21OC ∴∠OCP ＝30° (3) 连接AP ∵∠AOP ＝∠BOD ∴AP ＝BD ∵CP ＝BD ∴AP ＝CP ∴∠A ＝∠C ＝∠D 在△BDP 和△PCO 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=OC PD C D PC BD ∴△BDP ≌△PCO （SAS ） ∴∠OPC ＝∠PBD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠PBD ＝90° ∴∠OPC ＝90° ∴CP 是⊙O 的切线 4．解：(1) ∠ODC ＝45°(2) ① AE ＝OD ，理由如下： ∵AE ∥OC ∴∠OAE ＝∠COD ∵CD ＝OA ＝OE ＝OC ∴△OAE ≌△DCO ∴AE ＝OD② 设∠ODC ＝α，则∠OAE ＝∠OEA ＝∠COD ＝α ∴∠OCE ＝2α ∵OC ＝OE∴∠OEC ＝∠OCE ＝2α在△ADE 中，α＋α＋2α＋α＝180°，α＝30° 5．证明：(1) ∵CB 、CE 是⊙O 的切线∴CB ＝CE ∴∠CBE ＝∠CEB设∠CBE ＝∠CEB ＝α，则∠C ＝180°－2α ∵AD ∥BC ∴∠C ＋∠D ＝180° ∴∠D ＝2α ∴∠ADC ＝2∠CBE (2) r ＝4.86．解：(1) 连接AO 并延长交CD 于E∵AB 与⊙O 相切 ∴OA ⊥AB∵CD ∥AB ∴OE ⊥CD ∴CE ＝DE∴AE 是线段CD 的垂直平分线 ∴AC ＝AD(2) ∵∠CDE ＝∠ADF ∴∠EDF ＝∠ADC ∴AC ＝EF连接AO 并延长交CD 于H ∴CH ＝DH ＝2 ∵OD ＝25 ∴OH ＝23 ∴AH ＝23＋25＝4 在Rt △ACH 中，5222=+=AH CH HC ∴EF ＝AC ＝521．解：(1) A (－5，0)、B (0，－5)∴OA ＝OB ＝5 ∵∠AOB ＝90°∴△AOB 为等腰直角三角形 ∵O 1为AB 的中点 ∴O 1(2525--，) (2) 过点O 作OC ⊥OP 交AP 于C ∵∠APO ＝∠ABO ＝45° ∴△OCP 为等腰直角三角形由共顶点等腰三角形的旋转，得△AOC ≌△BOP （SAS ） ∴PB ＝AC ∴2==-POPC PO PB PA (3) 在线段CP 上截取CM ＝AP ，连接OM 由旋转可知OC ＝OB ∵OB ＝OA ∴OC ＝OA在△OAP 和△OCM 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CM AP OCM OAP OC OA ∴△OAP ≌△OCM （SAS ）∴OM ＝OP ，∠COM ＝∠AOP∵∠AOC ＝∠COM ＋∠AOM ＝∠AOP ＋∠AOM ＝120° ∴3==-POPMPO PA PC2．解：(1) 在Rt △AOB 中，422=+=OB OA AB连接P A 、PB∵∠AOP ＝∠BOP ＝45° ∴P A ＝PB∴△P AB 为等腰直角三角形 ∴P A ＝PB ＝22根据对角互补四边形模型，OA ＋OB ＝2OP∴OP ＝2322+过点P 作PC ⊥x 轴于C ∴OC ＝PC ＝31+ ∴P (31+，31+) (2)2=-PQAQBQ （方法同第1题） (3) 过点F 作FH ⊥AP 于H根据三垂直模型，得△AEP ≌△F AH （AAS ） ∴PE ＝AH ，∠FHA ＝∠PBP ∵P A ＝PB ∴BE ＝PH∵△BPG ≌△FHG （AAS ） ∴PG ＝PH ∴BE ＝2PG3．解：(1) ∵F 为弧BC 的中点∴FOB ＝FOC∴∠FOD ＝∠FOA ∵OA ＝OF ＝OD∴△AOF 、△DOF 均为等腰直角三角形 ∴∠OF A ＝∠OFD ∴FE 平分∠AFD(2) ∵∠AQC ＝90°，∠AOC ＝90° ∴∠OCP ＝∠OAQ （八字型） 过点O 作OE ⊥OQ 交CP 于E∵∠COE ＋∠AOE ＝90°，∠AOQ ＋∠AOE ＝90° ∴∠COE ＝∠AOQ 在△COE 和△AOQ 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠OAQ OCE AOCO AOQ COE ∴△COE ≌△AOQ （ASA ） ∴OE ＝OQ ∴∠OQC ＝45° (3) 基本模型的应用MD ＋MC ＝2MB ，MD －MC ＝2MA∴222))((22=••=•-+=•-MBMA MBMA MB MA MC MD MC MD MB MA MC MD。

第1讲 二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏板【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）A.【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）A.A ．①,②B ．③,④C ．①,③D ．①,④【例２】(黔东南)方程480x -=，当y ＞0时，m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ＜1B ．m ≥2C ．m ＜2D ．m ≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x 、y 2(0y =，则xy 的值是__________.3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－ 1B ．1C ．2D ．34．有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3B ．x ≥3C ．x ＞4D ．x ≥3且x ≠45.（怀化）22(4)0a c --=，则a －b －c ＝________.【例３是同类二次根式的是（ ）A BCD 【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A = B 不能化简；=D ==.故本题应选D.【变式题组】6a＝________．7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）ABCD8．已知最简二次根式ba＝_______，b＝______.【例４】下列计算正确的是（）A=B4=C=D．(11+=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a=≥；②(0)0(0)(0)a aa aa a⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b=≥≥；0,0)b a=≥＞进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项不能合并.D. 2(111+=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（）A．=B=C3=D3=-10．计算：200720074)(4⋅=_____________11．22-=_____________12．(济宁)已知a）A．a B．－a C．－1 D．013．已知a＞b＞0，a＋b＝的值为（）A．2B．2 CD．12【例５】已知xy＞0，化简二次根式的正确结果为（）ABC．D．【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0. 故原式=选D. 【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --_______.15===中找出规律，并利用这一规律计算：1)++⋅=L _________.16．已知，则0＜x ＜1=_________.【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中a =b =⑵已知x =，y =值为________. 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当a =，b =ab ＝1，a ＋b⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-. 【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石）已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________.【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（ ）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0=的值.演练巩固·反馈提高01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502．n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）A.04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A.05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A.06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2, c =11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．c ＜a ＜d ＜bB ．b ＜d ＜a ＜cC ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是（ ）A =B =C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A ．B C ．D ．09．2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞010．（怀化）函数y =中自变量的取值范围是________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝32=-那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a -+÷-+-，其中a =13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a -+--，其中12a =. 培优升级·奥赛检测01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国竞赛）设12a =，则5432322a a a a a a a+---+=-________. 04．（全国竞赛）设x =a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆竞赛）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国竞赛）已知1a =，a =2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b07．（武汉联赛）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A 3B ．3C 3D08．（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国竞赛） ）A ．5-B ．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>的值为（ ）A ．13 B ．12C ． 23D ．3411．已知152a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.12．已知9+9a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典·考题·赏板【例１】2=的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x ++=，12x x+= ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式511-【变式题组】1．若14aa +=（0＜a ＜1）=________2=- ） A ．1a a -B ．1a a-C ．1a a+D ．不能确定【例２】（全国初中数学联赛）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.0=，∴0=0>0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B . 【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0=的值.【例３】1)a =<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x －2，x 2-4x=a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221442x x a a-+=++， 222142x x a a -=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +--+g ＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a++-+-=++--【变式题组】 4．（武汉）已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x x x -÷----的值.5．（五羊杯竞赛）已知1m =+1n =且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（ ） A ．－5B ．5C ．－9D ．9【例４】（全国竞赛）如图，点A 、C都在函数(0)y x x=>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F.设OE=a，BF=b，则a，CF，所以，点A、C的坐标为（a）、（2a＋b），所以2(2)a b=+=ab⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D的坐标为（,0）【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：335333535=⨯⨯=；（一）36333232=⨯⨯=；（二）()()()131313132132-=-+-⨯=+；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+；（四）（1）请你用不同的方法化简352+；①参照（三）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）②参照（四）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）（2++L【例５】（五羊杯竞赛）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD，使AB＝b－a，AD＝c，延长DA至E，使DE＝d，延长DC至F，使DF＝b，连结EF、FB、EB，则BF＝，EF＝，BE，从而知△BEF就是题设的三角形，而S△BEF＝S长方形ABCD＋S△BCF＋S△ABE－S△DEF＝(b－a)c＋12(d－c)(b－a)－12bd＝12(bc－ad)【变式题组】7．(北京竞赛)已知a、b均为正数，且a＋b＝2，求U演练巩固·反馈提高01．已知x=，y=值为__________02．设1a=，则32312612a a a+--＝（）A． 24 B．25 C．10D．1203．（天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=__________04．（北京竞赛）若有理数x、y、z1()2x y z=++，则2()x yz-=__________05．（北京竞赛）正数m、n满足430m n+--==__________06．（河南竞赛）若1x=，则32(2(15x x x-+++-的值是（）A．2B．4C．6D．807．已知实数a满足2000a a-=，那么22000a-的值是（）A．1999 B．2000 C．2001 D．200208．设a=b=c=a、b、c之间的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b09．已知1x=培优升级·奥赛检测01．（信利杯竞赛）已知1x =+2111242x x x +-=+--__________025==__________03．（江苏竞赛）已知(2002x y =，则2234x xy y --6658x y --+=__________04．7x =，则x ＝__________05．(T 1杯联赛) 已知x =，y =，那么22y x x y +=__________06．（武汉选拔赛）如果a b +=a b -，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（ ）A ．B ．2001C ．1D ．007．（绍兴竞赛）当12x +=时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A ．0 B ．－1C ．1D ．20032-08．（全国联赛）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=29991001a b c ++的值是（ ） A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：（1（2（3+++L（410．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11()a b-，将结果表示成不含b 的形式.11．已知21(0)a x a a +=>12．（奥林匹克竞赛）已知自然数x 、y 、z 0=，求x ＋y ＋z 的值.第3讲 一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3．会应用一元二次方程解实际应用题。