分式的概念和性质【要点梳理】要点一：分式的概念★一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母,0≠B ,例如：x a ，x S ，yx b a ++，…都是分式. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如aπ是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 【例1】下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？2a ，3x ，1m m +，23x +，5π，2a a ，23-．【变式1.1】指出下列各式中的整式与分式：x 12，y x +1，2b a +，πx ，132-x ，32-，223y +-，x x 2，42y ． 【变式1.2】在-3x ，x y ，23x 2y ，-7xy 2，-32,,855x a b y -+中属于分式的是_______．【变式1.3】下列代数式属于分式的是（ ）A ．2xB ．)(31y x +C ．12.4x yD π-要点二：求分式的值★将给定字母的值代入分式可求得分式的值，分支的值是由字母的取值确定的，分式的值分式中字母取值的变化二变化.要点三：分式有意义，无意义或等于零的条件★分式有意义的条件：分母不等于零. ★分式无意义的条件：分母等于零.★分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 【例2】下列各式中，m 取何值时，分式有意义？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239mm --．【变式2.1】若分式11x x -+有意义，则x 的取值范围是 ． 【变式2.2】当x 为何值时，下列各式的值为0．（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）224x x +-．【变式2.3】当x 取什么数时，下列分式有意义？当x 取什么数时，下列分式的值为零？（1）12+x x ；（2）25x x -；（3）5102--x x ．要点四：分式的基本性质★分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A 、B 、M 表示的是整式.其中B ≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.【例3】写出下列等式中未知的分子或分母 （1）ba ab b a 2)(=+；（2）) (1)(=-y x x x .【变式3.1】不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．（1）0.20.020.5x y x y+-； （2）11341123x yx y +-． 【变式3.2】如果把分式中的都扩大3倍，那么分式的值（ ）A 扩大3倍B 不变C 缩小3倍D 扩大2倍【变式3.3】填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c--=----． 要点五：分式的符号法则★分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中的任意两个，分式的值不变.改变其中任何一个或三个，分式的值为原分式值的相反数. ★式子表示B A B A B A B A --=--=--=或BAB A B A B A -=-=---=- 要点诠释：（1）分子、分母是多项式时，分子、分母的符号是整个多项式的符号，应注意加括号，特别注意，不要把多项式中第一项的符号当成整个分子或分母的符号. （2）根据分式的基本性质有b b a a -=-，b ba a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与ab-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.【例4】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号．（1）2a b -；（2）45x y --；（3）3m n -；（4）23b c--．典型例题题型一：分式的定义【练习1.1】在π1、21、πxy 3、y x y x 3232+-、512+x 、abn m 7-中，分式的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【练习1.2】代数式x -，y x -4，yx +，π22+x ，y y 372，a b 55，x -89中是分式的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个yx x232-y x ,【练习1.3】式子31，x 1，y x +2，πxy 2，232+x 中，分式的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【练习1.4】在下列式子：x 5-，b a +1，222121ba -，mb a 10+，22+π中，分式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.5】下列各式中，分式的个数有（ ）83+x ，32+a b ，132++πy x ，21--m ，22)()(y x y x +-x12- A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【练习1.6】在代数式22+π，51x +，21x x +-，22-x 中，分式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.7】下列各代数式x 2，y x 221，422b a -，51+a ，5am +中，分式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.8】在式子a 1，πxy 2，4332c b a ，x +55，87y x +，xx 2中，分式的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【练习1.9】下列式子x 1，212+x ，πba +，y x 13+，m m 22中，是分式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【练习1.10】下列式子：x 5-，b a +1，222121ba -，m 103，π2，其中分式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.11】下列式子中：x 3，π23-a ，25320+b ，32y x ，m n-，分式的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【练习1.12】下列各式n m 2，y x xy +，32y x -，a b a -2，y x x xy ++2，，分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.13】在y x 2，π52ab ，103xy ，m n m +，acb +-5中，分式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【练习1.14】在式子a 1，πxyz 2，5423c b a ，x +65，87y x +，xyyx 3中，分式的个数是（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【练习1.15】在58，n m 3，3y x +，x 1，ba +3中，分式的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4题型二：分式有意义的条件 【练习2.1】要使分式21+x 有意义，则x 的取值应满足（ ） A ．2-=xB ．2≠xC ．2-＞xD ．2-≠x【练习2.2】无论a 取何值时，下列分式一定有意义的是（ ）A ．221a a +B ．21aa +C ．112+-a aD ．112+-a a 【练习2.3】若代数式4+x x有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0=x B.4=xC ．0≠xD ．4-≠x【练习2.4】若分式21+x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＞﹣2 B ．x ＜﹣2C ．x ＝﹣2D ．x ≠﹣2【练习2.5】若代数式31-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＜3 B ．x ＞3C ．x ≠3D ．x ＝3【练习2.6】分式)2)(1(3-+-x x x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≠2B ．x ≠2且x ≠3C ．x ≠﹣1或x ≠2D ．x ≠﹣1且x ≠2【练习2.7】若代数式41-a 在实数范围内有意义，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＝4B ．a ＞4C ．a ＜4D ．a ≠4【练习2.8】使分式23+x x有意义的x 的取值范围为（ ） A ．x ≠﹣2B ．x ≠2C ．x ≠0D ．x ≠±2【练习2.9】分式)1)(2(42-+-x x x 有意义的条件是（ ）A ．x ≠﹣2或x ≠1B ．x ≠﹣2且x ≠1C ．x ≠﹣2D ．x ≠1【练习2.10】如果分式32+x x有意义，那么x 的取值范围是 ． 【练习2.11】要使分式21+x 有意义，则x 的取值范围为 ．【练习2.12】若分式121-x 有意义，则x 的取值范围是 ．【练习2.13】使分式22-x 有意义的x 的取值范围是 ．【练习2.14】若式子0)4(3-+-x x x 有意义，则实数x 的取值范围是 ． 【练习2.15】若分式21-+x x 无意义，则x ＝ ． 【练习2.16】要使分式x-23有意义，则x 的取值范围是 ．题型三：分式的值为0的条件【练习3.1】若分式112--x x 的值为零，则x 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．±1【练习3.2】如果分式11+-x x 丨丨的值为0，那么x 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣1或1D ．1或0【练习3.3】若分式112+-x x 的值为0，则x 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．±1【练习3.4】若分式4242--x x 的值为零，则x 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．±2D ．0【练习3.5】分式33+-x x 丨丨的值为零，则x 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ．±3D ．任意实数【练习3.6】若分式3312+-x x 的值为0，则x 应满足的条件是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ≠﹣1C ．x ＝±1D ．x ＝1【练习3.7】如果分式xx x 222+-丨丨的值等于0，则x 的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣2或2D ．2或0【练习3.8】已知分式3312+-x x 的值等于零，则x 的值为（ ）A ．1B ．±1C ．﹣1D ．12【练习3.9】分式24+-x x 的值为0，则（ ） A ．x ＝﹣2B ．x ＝±2C ．x ＝2D ．x ＝0【练习3.10】能使分式122--x xx 的值为0的所有x 的值是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝0或x ＝1D ．x ＝0或x ＝±1【练习3.11】若分式)1)(2(1+--x x x 丨丨的值为0，则x 等于（ ）A ．﹣1B ．﹣1或2C ．﹣1或1D ．1【练习3.12】要使分式9392+-x x 的值为0，你认为x 可取得数是（ ）A ．9B ．±3C ．﹣3D ．3【练习3.13】使分式112+-x x 的值为0，这时x 应为（ ）A ．x ＝±1B ．x ＝1C ．x ＝1 且 x ≠﹣1D ．x 的值不确定【练习3.14】若分式xx 42-的值为0，则x 的值是（ ）A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．0【练习3.18】若分式33+-x x 丨丨的值为零，则x 的值为 ． 【练习3.25】若式子)2)(1(12+--x x x 的值为零，则x 的值为 ．【练习3.26】当x ＝ 时，分式325+-x x 的值为零． 【练习3.29】若a ，b 为实数，且0416)2(22=+-+-b b a 丨丨，求3a ﹣b 的值． 题型四：分式的值 【练习4.1】若分式211=-y x ，则分式yxy x y xy x ---+3454的值等于（ ） A ．−35B ．35C ．−45D ．45【练习4.2】已知0432=--x x ，则代数式42--x x x的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．13D ．12【练习4.3】已知211=+y x ，则xyy x xy 32-+的值为（ ） A ．12B ．2C ．−12D ．﹣2【练习4.4】若411=-y x ，则分式yxy x y xy x ---+2232的值是（ ） A ．112B ．56C ．32D ．2【练习4.5】已知ab b a 622=+，，且ab ≠0，则abb a 2)(+的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【练习4.6】若x 取整数，则使分式1236-+x x 的值为整数的x 值有（ ） A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个【练习4.7】横坐标和纵坐标都是整数的点叫作整点，函数1236-+=x x y 的图象上的整点的个数是（ ） A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个【练习4.8】若分式5122+-x x 的值为正数，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞12B ．x ＜12C ．x ≥12D ．x 取任意实数【练习4.9】如果m 为整数，那么使分式12+m 的值为整数的m 的值有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【练习4.10】若x 是整数，则使分式1228-+x x 的值为整数的x 值有（ ）个． A ．2B ．3C ．4D ．5【练习4.11】若31=+x x，则=++1242x x x ． 【练习4.12】若x 31=+x x ，则12++x x x的值是 ． 【练习4.13】若211=+n m ，则分式nm mnn m ---+255的值为 ．【练习4.14】若c b a 432==，且0≠abc ，则bc ba 2-+的值是 ．【练习4.15】已知：0142=-+x x ，则1242++x x x 的值为 ．【练习4.16】已知572z y x ==，则代数式zx zy x +-+32的值是 ． 【练习4.17】若代数式112++x x 的值为整数，则满足条件的整数x 为 ．【练习4.18】分式3322-++x x x 的值为负数，则x 的取值范围是 ．【练习4.19】已知x 为整数，且分式1)1(22-+x x 的值为整数，则x 可取的所有值为 ．【练习4.20】已知072=++z y x ，032=--z y x （0≠xyz ），则=+-++zy x zy x ．【练习4.21】若分式326+-x 的值为负数，则x 的取值范围是 ．【练习4.22】若分式2)5(4-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是 ． 【练习4.23】若分式1222--x x 的值为整数，则整数x ＝ ．【练习4.25】已知32=-yxx y ，则=---22222623x y y xy x ． 【练习4.26】已知2=ba，则ab a b a --222的值 ．【练习4.27】已知023=--z y x ，082=-+z y x ，则=+-+yzxy z y x 222 ． 【练习4.28】阅读下面的解题过程：已知3112=+x x ，求142+x x 的值． 解：由3112=+x x ，知0≠x ，所以312=+x x ，即31=+x x 所以72312)1(11222224=-=•-+=+=+x x x x x x x x 所以142+x x 的值为71说明：该题的解法叫做“倒数法” 请你利用“倒数法”解下面题目：已知：4222=--x x x．求（1）xx 2-的值；（2）46242+-x x x 的值．【练习4.29】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：21123+=． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像21-+x x ，22+x x ，…，这样的分式是假分式；像21-x ，12-x x，…，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：23123)2(21-+=-+-=-+x x x x x ；24224)2)(2(22++-=++-+=+x x x x x x x ． 解决下列问题： （1）将分式32+-x x 化为整式与真分式的和的形式为： ．（直接写出结果即可） （2）如果分式322++x xx 的值为整数，求x 的整数值．【练习4.30】已知：代数式14-m ． （1）当m 为何值时，式子有意义？ （2）当m 为何值时，该式的值大于零？ （3）当m 为何整数时，该式的值为正整数？ 题型五：分式的基本性质 【练习5.1】若分式yx yx 232-的x 和y 均扩大为原来各自的10倍，则分式的值（ ） A ．不变B ．缩小到原分式值的101 C ．缩小到原分式值的1001D ．缩小到原分式值的10001【练习5.2】如果分式ba a +2中的a ，b 都同时扩大2倍，那么该分式的值（ ）A ．不变B ．缩小2倍C ．扩大2倍D ．扩大4倍【练习5.3】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A ．322322323.02.0a a aa a a a a --=--B ．yx x y x x --=-+-11C ．263631211+-=+-a a a aD ．b a ba ab -=+-22 【练习5.4】根据分式的基本性质，分式ba a--可变形为（ ） A ．ba a--B ．ba a + C ．ba a--D ．ba a +-【练习5.5】分式x-22可变形为（ ） A ．x +22 B ．x +-22 C ．22-x D ．22--x【练习5.6】如果把分式abba 623-中的a 、b 同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值（ ）A ．不变B ．缩小到原来的21C ．扩大为原来的2倍D ．扩大为原来的4倍【练习5.7】如果把分式xyyx +中的x ，y 同时扩大为原来的4倍，那么该分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大为原来的4倍C ．缩小为原来的21 D ．缩小为原来的41 【练习5.8】如果把分式yx xy+中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值（ ） A ．扩大4倍B ．扩大2倍C ．不变D ．缩小2倍【练习5.9】下列变形从左到右一定正确的是（ ）A ．22--=b a b aB ．bcac b a =C ．22ba b a =D ．ba bx ax = 【练习5.10】如果把分式nm n-3中的m 和n 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．不变B ．扩大3倍C ．缩小3倍D ．扩大9倍【练习5.11】化简3422222++••-n nn ，得（ ）A ．8121-+n B ．12+-nC ．87D ．47 【练习5.12】若分式ba a+2中的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ） A ．是原来的20倍B ．是原来的10倍C ．是原来的101 D ．不变【练习5.13】如果把分式yx x232-中的x ，y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A ．扩大3倍B ．不变C ．缩小3倍D ．扩大2倍【练习5.15】下列各式中，正确的是（ ） A ．212+=+a b a b B ．22++=a b a b C ．cb ac b a +-=+- D ．22)2(422--=-+a a a a 【练习5.16】把分式xyyx 33-中的x 、y 的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的一半【练习5.17】若c b a 543==，则分式=+++-222c b a ac bc ab ． 【练习5.18】已知432zy x ==，则=+--+z y x z y x 232 ． 【练习5.19】如果分式22532y x x+的值为9，把式中的x ，y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值是 ．【练习5.22】我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：121121112111-+=-+--=-+-=-+x x x x x x x x ． （1）请写出分式的基本性质 ； （2）下列分式中，属于真分式的是 ；A .12-x xB .11+-x xC ．123--x D .1122-+x x （3）将假分式132++m m ，化成整式和真分式的形式．【练习5.23】（1）yxy x 3532=（） （2）（）x x x -=--121。
《分式的基本性质》课堂笔记
一、分式的定义
分式是两个整式相除的商式，其中分子和分母都是整式，且分母中至少含有一个字母。
二、分式的基本性质
分式的基本性质是分式约分和通分的依据，也是解决分式问题的前提和基础。
分式的基本性质可以表述为：如果分式的分子和分母同时乘以（或除以）同
一个不等于零的整式，那么分式的值不变。
用式子表示为：（c≠0）
三、分式的约分
分式的约分是为了简化分式的形式，将分子和分母中的公因式约去的一种变形方法。
在进行分式的运算时，通常需要对分子和分母进行约分，使运算更加简便和准确。
四、分式的通分
通分是将几个异分母的分式转化为与原来的分式相等的同分母的分式的过程。
在进行分式的运算时，通常需要对不同分母的分式进行通分，使运算更加简便和准确。
五、注意点
1.分式的约分和通分都是针对分式的基本性质而言的，其目的是为了简化分
式的形式，使运算更加简便和准确。
2.在进行分式的约分和通分时，要注意分子和分母的公因式和最简公分母的
选择，以及运算的准确性和规范性。
3.分式的约分和通分是解决分式问题的基本技巧和方法，需要在平时的学习
中多加练习和巩固。
