分式及分式的基本性质

分式知识问答1．【问】什么叫做分式？如何判断一个代数式是分式？【答】一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B（B ≠0）叫做分式．其中A 叫做分子，B 叫做分母．判断一个代数式是不是分式，唯一的标准就是看分母中是否含有字母．分母中含有字母的就是分式，否则就不是分式．如1x 是分式，而23x +就不是分式．至于分式的分子，可以含有字母，也可以不含字母．但必须注意，代数式5π中的π不是字母，而是一个无理数，所以5π是无理数，不是分式；另外，判断一个代数式是否分式，只能根据原式进行判断，而不能把原式变形后再判断．如242x x -+约分后为2x -，但前者是分式，而后者是整式．是无理式．2．【问】如何判断一个分式是否有意义？【答】判断一个分式是否有意义，只与其分母有关，即对于分式 A B而言，当分母B ≠0时，我们就说分式有意义．如分式21x x +恒有意义，而分式293x x --有意义的条件是3x ≠．当分母B=0时，我们就说分式无意义．如分式1a a -无意义的条件是1a =±． 3．【问】使分式的值等于零的条件是什么？【答】使分式的值等于零必须满足两个条件：①分式的分子等于零；②分母不等于零．即对于分式A B来说，A=0且B ≠0，二者缺一不可．如使分式211x x -+的值为零的条件是210,10,x x ⎧-=⎨+≠⎩即1,1,x x =±⎧⎨≠-⎩所以当1x =时，分式211x x -+的值等于零． 4．【问】使用分式的基本性质时应注意什么？【答】分式的基本性质是由五部分组成的：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个①② 不等于零的整式分式的值不变，③④⑤．其中①—④是条件，必须同时具备，缺一不可，⑤是结论．5．【问】分式的符号法则是什么？在使用时应注意哪些问题？【答】分式的符号法则是：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两处的符号，分式的值不变．使用分式的符号法则时，应注意分式的分子、分母的符号变化，它们各自是一个整体，而不能只改变某一项的符号．如不改变分式的值，使分式32311a a a a -+---的分子、分母中最高次项的系数是正数，这样做是错的：32311a a a a -+---=32311a a a a +--+，而应为32311a a a a -+---=3231.1a a a a -+-++6．【问】如何解答分式的正、负问题？【答】对于分式AB ，当A 、B 同号时，A B >0；当A 、B 异号时，AB <0，反之亦然．如求当x 时，代数式215x x --的值为负数，由于2x -≤0，故要使分式215x x --的值为负数，须满足2150,0,x x -⎧⎨-≠⎩>即x <51且x ≠0．7．【问】什么叫最简公分母？最简公分母与约分时分子、分母的公因式在确定时有什么区别？【答】一般地，取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母．最简公分母与约分时分子、分母的公因式的确定是完全相反的，表现在：①前者的系数是各分母（注：本处的分子、分母均是因式分解后的）系数的最小公倍数，而后者的系数是分子、分母系数的最大公约数；②前者的“字母”（实指字母因式，下同）是各分母中的所有“字母”（不重复），而后者的“字母”是分子、分母中的公共“字母”；③前者各“字母”的指数是各分母中相同“字母”的最高指数，而后者各“字母”的指数是分子、分母中相同“字母”的最低指数．如分式2223224a b c b cd -的分子、分母的公因式是28b c ，分式222396a aba ab b --+的分子、分母的公因式是3a b -；分式222351,,462a b b c ac -的最简公分母是22212a b c ，分式222x x ++，23,284xx x x ---的最简公分母是4(1)(2).x x +-。

分式和分式的基本性质（一）一、知识要点1．分式的意义一般地，如果A﹑B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式AB叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。

说明：（1）分式是两个整式相除的商式，其中分子是被除式，分母是除式，而分数线起着除号和括号的作用。

（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母中一定要含有字母。

（3）分式的分母不能为0是分式概念的重要组成部分。

2．有理式的概念及分类有理式是整式和分式的统称。

3．分式有意义、无意义、值为零的条件（1）分式AB有意义的条件是：_________________________；（2）分式AB无意义的条件是：_________________________；（3）分式AB值为零的条件是：_________________________。

4．分式的基本性质分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示就是______________________________________________________________________。

5．分式的变号法则分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即A A A AB B B B--==-=---。

6．将分数系数化成整数系数分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于0的数，使分子、分母中的数全都化为整数。

7．分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式叫做分式的约分。

8．分式的通分根据分式的基本性质，把几个不同分母的分式化成同分母的分式叫做分式的通分。

说明：（1）最简公分母的概念：异分母通分时，我们常取各分母的系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

（2）求最简公分母的步骤与方法①取各分母系数的最小公倍数；②凡在各分母中出现的以字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

分式式及分式的基本性质1.已知分式XX −2，当x_______时，分式有意义；当x_______时，分式无意义；当x_______时，分式的值为零；2.已知分式242+-x x ，当X 为_______时，分式无意义；当X 为_______，分式有意义；当X 为_______时，分式的值为零；当X=-3时，分式的值是______ 3.若分式1-x x 无意义,则x 的值是( )A. 0B. 1C. -1D.1±4.若分式1122+-a a 有意义，则（）。

Ａ、ａ≠１ Ｂ、ａ≠－１ Ｃ、ａ≠±１ Ｄ、ａ为任何数5.下列等式：①()a b c --=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a bc+;④m n m --=-m nm-中,成立的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 6.写出等式中未知的分子或分母：7.2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ ） A ．2332523x x x x +++- B ．2332523x x x x -++- C ．2332523x x x x +--+ D ．2332523x x x x ---+8．根据分式的基本性质，分式a a b--可变形为（ ）A ．aa b -- B ．a a b + C ．-a a b - D ．a a b+9.将分式的分子与分母中各项系数化为整数, 则b a ba 213231++=__________.y x y x 3.07.05.02.0+-= 。

10.把分式中的x 与y 都扩大为原来的5倍，那么这个分式的值 （ ）A ．扩大为原来的5倍；B ．不变；C ．缩小到原来的51 ； D ．扩大为原来的25倍 11.化简：（1）22699x x x ++- （2）2232m m m m -+-（3）db a cb a 42342135-12.已知432zy x ==，求222z y x zx yz xy ++++的值．13、已知：2+32=22×32，3+83=32×83，4+154=42×154，…若10+b a =10×ba（a 、b是正整数），求：分式ba ab b ab a 22222+++的值。

分式及分式的基本性质
知识要点：
1、分式：形如A/B(A.B是整式，且B中含字母，B不等于0）的式子，其中A叫分子，B 叫分母。

注意：分式A/B中，A.B是整式
分母B中含有字母
2、分式有、无意义的条件：
有意义：分母不等于0 即：B不等于0时，A/B有意义
无意义：分母等于0 即：B=0时A/B 没有意义
3、分式値为0的条件：
4、
分子等于0，分母不等于0 即：在A/B中，当A为零，B不为零时，分式値等于零。

4、分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以（或除以）不等于零的整式，分式値不变。

A/B= AM/BM= A*M/B*M (其中A. B.M是整式，B、M不为零）
5、分式的约分：把分子、分母中的公因式约去。

方法：（1）、若分子、分母都是单项式，先找分子、分母系数的最大公约数，在找相同字母的最低次幂。

（2）、若分子、分母有多项式，先因式分解，在找分子、分母的公因式。

6、最简分式：约分后，分子、分母不再有工因式。

约分的结果应是最简分式。

7、最简共分母：
（1）、如各分母都是单项式，则最简共分母就是各系数的追小公倍数、相同字母的最高次幂及所有不同字母的积。

（2）、如各分母是多项式，先分解因式，然后把每个因式当作一个因数（或字母）。

8、通分：把几个异分母的分式化成和原来相等的同分母的分式。

分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例2】代数式22221131321223x x x a b a b abm n xyx x y+--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个C.1个D.1个分式的基本概念及性质二、分式有意义的条件【例3】求下列分式有意义的条件：⑴1x⑵33x+⑶2a ba b+--⑷21nm+⑸22x yx y++⑹2128x x--⑺293xx-+【例4】x为何值时，分式2141xx++无意义？【例5】x为何值时，分式2132x x-+有意义？【例6】x为何值时，分式211xx-+有意义？【例7】要使分式23xx-有意义，则x须满足的条件为．【例8】x为何值时，分式1111x++有意义？【例9】要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值.【例10】x为何值时，分式1122x++有意义？【例11】x为何值时，分式1122xx+-+有意义？【例12】若分式25011250xx-++有意义，则x；若分式25011250x x-++无意义，则x ；【例13】 若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对【例14】 x 为何值时，分式29113x x-++有意义？【例15】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;三、分式值为零的条件【例16】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +--⑹2242x x x-+【例17】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+-⑸288xx + ⑹2225(5)x x -- ⑺(8)(1)1x x x -+-【例18】 若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ．【例19】 若分241++x x 的值为零，则x 的值为________________________．【例20】 若分式242x x --的值为0，则x 的值为 ．【例21】 若分式 242a a -+ 的值为0，则a 的值为 .【例22】 若分式221x x -+的值为0，则x = ．【例23】 （2级）（2010房山二模）9. 若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为 ．【例24】 若分式231x x ++的值为零，则x = ________________.【例25】 （2级）（2010平谷二模）已知分式11x x -+的值是零，那么x 的值是（ ） A ．1 B. 0 C. 1- D. 1±【例26】 若分式2532x x -+的值为0，则x 的值为 ．【例27】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【例28】 若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【例29】 若22x x a-+的值为0，则x = .【例30】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？【例31】 若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值.【例32】 x 为何值时，分式23455x xx x ++-+值为零？【例33】 若分式2160(3)(4)x x x -=-+，则x ；【例34】 若分式233x x x--的值为0，则x = .【巩固】 若分式250011250x x-=++，则x .【例35】 若2(1)(3)032m m m m --=-+，求m 的值.四、分式的基本性质【例36】 填空：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++=（4）()222x y x y x xy y +=--+【例37】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴x y x y +- ⑵xy x y - ⑶22x y x y -+【例38】 把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y ++ （2）22923x x y +【例39】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴2222x y x y +-⑵3323x y⑶223x y xy-【例40】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数． ⑴1.030.023.20.5x y x y +- ⑵32431532x yx y -+【例41】 不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。

分式定义和分式的基本性质一、基础知识：1. 分式定义:（1）、代数式：用运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式；单独一个数或一个字母 代数式；（2）、单项式：只含 运算的代数式叫做单项式；单独一个数或一个字母 单项式； 单项式中的叫做单项式的系数，单项式中所有字母指数的叫做单项式的次数；（3）、多项式：几个 的和叫做多形式；多形式中的每个单项式叫做多形式的 ，多形式里含有几项，就把这个多形式叫做 ，其中次数最高的项的次数叫做这个多形式的 ，不含字母的项叫做 ； （4）、整式： 和 统称为整式；（5）、分式:一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有 ，那么代数式 叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母。

2.分式的基本性质：（1）、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 一个不等于 的整式，分式的值 ； 即A B =A×CB×C , A B =A÷CB÷C （其中C 是不等于0的整式）； （2）、有关概念：①分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分；约分的目的是把分式 ；②最简分式：分子和分母没有 的分式叫做最简分式；③分式的通分：根据分式的基本性质，把几个 分母的分式变形成 分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母；④最简公分母：几个分式中各分母系数（都是整数）的最小 与所有字母的最高次幂的 叫做这几个分式的最简公分母。

二、经典例题： 题型一：考查分式的定义例1、下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，分式有： 个。

变式训练：下列各式中哪些是分式：9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x题型二：考查分式有意义的条件 例2、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）122-x （3）xx 11-变式训练：当x 有何值时，下列分式有意义 （1）232+x x（2）3||6--x x题型三：考查分式的值为0的条件 例3、当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x变式训练：当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）x x 37+ （2）xx 3217- （3）x 2−1x 2−x题型四：考查分式的值为正、负的条件例4、（1）当x 时，分式x-84为正； （2）当x 时，分式2)1(35-+-x x 为负；变式训练：当x 时，分式32+-x x 为非负数. 题型五：化分数系数、小数系数为整数系数例5、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0变式训练：不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. yx yx 5.008.02.003.0+-题型六：分数的系数变号例6、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a---（3）b a ---变式训练：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.(1) 233ab y x -- (2) 2317ba ---题型七：约分例7、将下列各式 化为最简分式：（1）c ab bc a 2321525- （2）96922++-x x x （3）yx y xy x 33612622-+-变式训练：将下列各式 化为最简分式：（1）ac bc 2 （2）22)(y x xyx ++ (3)b a b ab a +++36922题型八：通分例8、通分：（1）xab ,yac ; (2)yx (y +1) ,xy (y +1); (3)aab−b ,bab +a.变式训练：通分:（1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；题型九：化简求值题例9、已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 变式训练：已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的 ;例10、已知：21=-x x ，求221xx +的值. 变式训练：已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.例11、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.变式训练：若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.三、巩固练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x2．当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x4．不改变分式的值，把分式b a ba 10141534.0-+的分子、分母的系数化为整数. 5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.6.分式11−x ,11+x ,12x1+x 的最简公分母为四、课后作业：1．当x 取何值时，分式x111+有意义：2当x 为何值时，分式 的值为零x x x --213.约分： （1）2)(xy yy x + （2）222)(y x y x --（3）b a abc ab 22369+ (4)122362+-x x4.通分：（1）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （2）aa -+21,25．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.。

分式(基础)知识讲解分式的概念和性质（基础）研究目标】1.理解分式的概念，能够求出使分式有意义、分式无意义、分式值为零的条件。

2.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算。

要点梳理】要点一、分式的概念分式是由两个整式相除得到的商式，其中分母中含有字母。

分数是整式，不是分式。

分数的分子、分母中都不含字母。

分式与分数是相互联系的，分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。

分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a/πx^2y是整式而不能当作分式。

要点二、分式有意义、无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零。

2.分式无意义的条件：分母等于零。

3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。

要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质。

用式子表示是：A/M ÷ B/M = A/B，其中M是不等于零的整式。

在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。

要点四、分式的变号法则在变形后，字母x的取值范围可能变大了。

对于分式中的分子、分母和分式本身的符号，只要改变其中任何两个，分式的值不变；但改变其中任何一个或三个，分式的值会变成原分式的相反数。

要点解释：根据分式的基本性质，我们可以得出上述结论。

同时，根据有理数除法的符号法则，我们可以知道，分式与分子、分母同号，结果为正；异号，结果为负。

分式的符号法则在分式的运算中非常重要。

要点五、分式的约分和最简分式与分数的约分类似，我们可以利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式。

要点解释：约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式。

初中数学《分式的基本性质》精品教案一、教学内容本节课选自人教版初中数学教材八年级上册第十四章《分式》，详细内容包括：分式的定义、分式的基本性质、分式的约分与通分、分式的乘除法及分式的乘方。

二、教学目标1. 理解并掌握分式的基本性质，能够运用基本性质对分式进行简化。

2. 能够运用约分与通分的方法对分式进行运算。

3. 学会分式的乘除法及乘方运算，并能够灵活运用解决实际问题。

三、教学难点与重点重点：分式的基本性质、约分与通分、分式的乘除法及乘方运算。

难点：分式的简化，尤其是含有绝对值的分式简化；分式的乘除法及乘方运算在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：教材、练习本、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个关于速度、时间和路程的实际问题，让学生列出分式表达式，引导学生思考如何简化分式。

2. 知识讲解：（1）回顾分式的定义，引导学生掌握分式的结构。

（2）讲解分式的基本性质，如分子分母同乘（除）一个非零常数，分式的值不变。

（3）通过例题讲解，演示如何运用基本性质简化分式。

3. 随堂练习：设计一些关于分式简化、约分与通分的练习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。

4. 例题讲解：（1）分式的乘除法运算。

（2）分式的乘方运算。

（3）含有绝对值的分式简化。

5. 课堂小结：六、板书设计1. 分式的定义与结构。

2. 分式的基本性质。

3. 分式的约分与通分。

4. 分式的乘除法及乘方运算。

5. 例题及解题步骤。

七、作业设计1. 作业题目：（1）简化分式：2/(4x8)。

（2）计算分式的乘除：3x/(x+2) ÷ 2x/(x2)。

（3）计算分式的乘方：(x^24)/(x+2)^2。

2. 答案：（1）1/(2x4)。

（2）3x(x2)/(2(x+2)(x2))。

（3）(x2)^2/(x+2)^2。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对分式的基本性质、约分与通分掌握较好，但在解决实际问题中运用分式的乘除法及乘方运算时，部分学生还存在困难，需要在今后的教学中加强练习。

2023-11-04CATALOGUE目录•分式的定义与概念•分式的基本性质•分式的运算•分式方程•分式的简化与化简•分式在实际生活中的应用01分式的定义与概念分式的定义分子在分式$\frac{A}{B}$中，A叫做分式的分子。

分母在分式$\frac{A}{B}$中，B叫做分式的分母。

定义如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。

分式值为0的条件当分母为0，而分子不为0时，分式的值无意义。

分式通分将异分母的分式化为同分母的分式的过程。

分式约分将分子和分母同时除以它们的公因式，将分式化简。

分式的基本概念分式的重要性分式是数学中一个重要的概念，是连接整式与分数的桥梁。

分式的运算是数学中的基本运算之一，掌握好分式的性质和运算法则是学习数学的基础。

02分式的基本性质03约分后结果约分后的结果是分子、分母没有公因式的分式或整式。

分式的约分01约分定义约分是分式的一种恒等变形，其目的是将一个分式化简成最简分式或整式。

02约分步骤首先将分子、分母的公因式提取出来，然后约去分子、分母的公因式。

分式的通分通分定义通分是将几个异分母的分式化为同分母的分式的一种恒等变形。

通分步骤首先确定每个分式的最简公分母，然后将每个分式的分子、分母同时乘以同一个不等于零的整式，化为同分母的分式。

通分后结果通分后的结果是同分母的分式。

分式的相等与不相等分式相等如果两个分式的值相等，那么这两个分式是相等的。

分式不相等如果两个分式的值不相等，那么这两个分式是不相等的。

03分式的运算1分式的加减法23将异分母分式转化为同分母分式，然后进行加减运算。

异分母分式相加减通过通分，将异分母分式转化为同分母分式。

通分分母不变，分子相加减得到结果。

分母不变，分子相加减将分子和分母进行因式分解，找到公因式并约分。

约分将分子和分母同时乘以一个不为零的数或式子，使得分母相同。

通分按照分数的乘除法规则进行计算。

分式的乘除法分式的乘除法按照运算顺序进行先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

初中数学《分式的基本性质》教案一、教学内容本节课我们将学习人教版初中数学教材八年级上册第十二章《分式》第一节“分式的基本性质”。

具体内容包括分式的概念、分式的基本性质以及分式的约分。

二、教学目标1. 理解并掌握分式的概念，能够正确书写分式。

2. 掌握分式的基本性质，能够运用这些性质进行分式的简化。

3. 学会分式的约分方法，能够熟练地进行分式的约分。

三、教学难点与重点教学难点：分式的基本性质以及运用这些性质进行分式的简化。

教学重点：分式的概念、分式的约分。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、教学PPT。

2. 学具：练习本、铅笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过实际生活中的例子，如分数表示的巧克力分享问题，引出分式的概念。

2. 教学新课：（1）讲解分式的定义，让学生理解分式的意义。

（2）通过例题讲解分式的基本性质，如分子分母同乘（除）一个不等于0的整式，分式的值不变。

（3）进行随堂练习，让学生运用分式的基本性质进行分式的简化。

3. 知识巩固：讲解分式的约分方法，让学生通过练习掌握约分技巧。

六、板书设计1. 分式的定义2. 分式的基本性质3. 分式的简化方法4. 分式的约分方法七、作业设计1. 作业题目：（1）化简分式：$\frac{3x^2}{6x}$。

（2）已知分式$\frac{2x4}{3x6}$的值与分式$\frac{x2}{x3}$的值相等，求$x$的值。

2. 答案：（1）$\frac{x}{2}$（2）$x=1$八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对分式的概念和基本性质掌握情况良好，但对分式的约分方法掌握不够熟练，需要在课后加强练习。

2. 拓展延伸：研究分式的乘除运算，为下一节课的学习打下基础。

重点和难点解析需要重点关注的细节包括：1. 分式基本性质的理解与应用2. 分式约分方法的掌握3. 实践情景引入的有效性4. 作业设计的针对性与难度一、分式基本性质的理解与应用1. 分式的分子和分母同乘（除）一个不等于0的整式，分式的值不变。

中小学1对1课外辅导专家武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象 授课教师授课时间 授课题目 分式及分式的基本性质课 型 新课使用教具讲义 纸 笔教学目标 主要学习分式的概念，分式的基本性质及应用 教学重难点主要学习分式的概念，分式的基本性质及应用教学流程及授课详案知识归纳 一、基本概念①表示两个数相除，且除式中含有字母，像这样的代数式就叫做分式。

分式中字母的取值不能使分母为零。

当分母的值为零时，分式就没有意义。

②分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。

分式的基本性质是进行分式化简的运算和依据。

把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

二、基本性质 1．分式的基本性质：MB M A MB M A B A÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：ba ba ba ba =--=+--=--典型例题（一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx y x yx yxba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+xx （3）122-x（4）3||6--x x （5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--xx （3）653222----x xx x（二）分式的基本性质及有关题型题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 41313221+-（2）ba b a +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx y x --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题 【例3】已知：511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xyy x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.巩固训练1．在2221123,0,,13,,,,323x y xxx x x x y π+--中，整式和分式的个数分别为（ ）A ．5，3B ．7，1C ．6，2D ．5，2 2．若分式221x x x --+的值为0，则x 的值为（ ）A ．x =－1或x=2B 、x =0C ．x =2D ．x =－1 3．计算11()x x xx-÷-所得正确结果为（）11..1 ..111A B C D x x -+-4．若将分式a+bab (a 、b 均为正数）中的字母a 、b 的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值为（ ）A ．扩大为原来的2倍B ．缩小为原来的12C ．不变D ．缩小为原来的145．如果分式2||55x x x-+的值为0，那么x 的值是（ ）A ．0B ．5C ．－5D ．±5 6．把分式22x y x y+-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．扩大2倍C ．扩大4倍D ．缩小2倍 7．下列分式中322222222222212,,,,312ax y m nm a ab bx x y m n m a ab b-++-++----,最简分式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 8．使分式224x x +-等于0的x 值为（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．不存在 9．下列各式中正确的是（ ）....a b a b a b a b A B a b a b a b a b a b a b a ba b C D a ba ba bb a-++--==-----++--+-+-==-+-+-10．下列计算结果正确的是（ ）22222211..()223..()955ba ab A B a ab a b ab a am n n xy xy C D xy x x maa--=-÷-=-÷=÷=11. 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费元，之后的每一分钟收费元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是（ ）A ．分钟B ．分钟C ．分钟D ．分钟二、填空题 1．若分式||55y y--的值等于0，则y= __________ ．2．在比例式9:5=4:3x 中，x=_________________ ． 3．当x> __________时，分式213x--的值为正数．4．已知x+1x=3，则x 2+21x= ________ ．5．已知分式212x x +-:当x= _ 时，分式没有意义；当x= _______时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为_______．6．一辆汽车往返于相距akm 的甲、乙两地，去时每小时行mkm ，•返回时每小时行nkm ，则往返一次所用的时间是_____________． 7. x 时，分式4122-+x x 有意义； 当x= 时，分式的值为零。

分式的概念和性质（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】要点一、分式的概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A 、B 、M 表示的是整式.其中B ≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M ≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M ≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式A Ba π2x y xxy xy A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.【典型例题】类型一、分式的概念1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，． 【答案与解析】解：整式：，，，，分式：，，． 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．，，虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中的分母中表示一个常数，因此这三个式子都不是分式．类型二、分式有意义，分式值为02、下列各式中，取何值时，分式有意义？ x b b a a -=-b b a a-=-b b b a a a -==--a b a b -2a 3x 1m m +23x +5π2a a23-3x 23-5π23x +2a 1m m +2a a3x5π23-5ππm（1）；（2）；（3）． 【答案与解析】解：（1）由得，故当时分式有意义． （2）由得，故当时分式有意义． （3）由，即无论取何值时均不为零，故当为任意实数时分式都有意义． 【总结升华】首先求出使分母等于零的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义．这是解答这类问题的通用方法．举一反三：【变式1】当x 时，分式有意义．【答案】解：当1﹣2x≠0，即x≠时，分式有意义．故答案为x≠． 【变式2】当为何值时，下列各式的值为0．（1）；（2）；（3）． 【答案】解：（1）由得， 当时，， ∴ 当时，分式的值为0． （2）由得或， 2m m +1||2m -239m m --20m +=2m =-2m ≠-2m m +||20m -=2m =±2m ≠±1||2m -229(9)0m m --=-+<m 29m --m 239m m --x 2132x x +-221x x x +-224x x +-210x +=12x =-12x =-1323()202x -=⨯--≠12x =-2132x x +-20x x +=0x =1x =-当时，，当时，， ∴ 当时，分式的值为0． （3）由得，当时，， ∴ 在分式有意义的前提下，分式的值永不为0． 类型三、分式的基本性质 3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．（1）； （2）． 【答案与解析】解：（1）． （2）. 【总结升华】利用分式的基本性质，将（1）式中分子、分母同乘50，（2）式的分子、分母同乘12即可．举一反三：【变式1】如果把分式中的都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 扩大3倍 B 不变 C 缩小3倍 D 扩大2倍【答案】B ；【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母．（1）； （2）． 【答案】；1； 0x =21010x -=-≠1x =-221(1)10x -=--=0x =221x x x +-20x +=2x =-2x =-224(2)40x -=--=224x x +-0.20.020.5x y x y +-11341123x y x y +-0.20.020.5x y x y+-(0.2)501050(0.020.5)5025x y x y x y x y +⨯+==-⨯-11341123x y x y +-1112433411641223x y x y x y x y ⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭==-⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭yx x 232-y x ,22?x y x y x y +-=-()()?()()()b a c b a c a b b c a c--=----2()x y -解：（1）先观察分子，等式左边分式的分子为，而等式的右边分式的分子为，由于，即将等式左边分式的分子乘以，因而分母也要乘以，所以在？处应填上．（2）先观察分母，等式左边的分母为，等式右边的分母为，根据分式的性质可知应将等式左边分式的分子、分母同时除以，因为，所以在？处填上1．4、 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号．（1）；（2）；（3）；（4）． 【答案与解析】解：（1） （2） （3） （4）． 【总结升华】在分子、分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的值不变．一般地，在分式运算的最后结果中，习惯于只保留一个负号，写在分式的前面．类型四、分式的约分5、 下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有 个． 【答案】2.【解析】解：①是最简分式； ②==，不是最简分式；③=，不是最简分式；④是最简分式；最简分式有①④，共2个；故答案为：2．x y +22x y -22()()x y x y x y +-=-x y -x y -2()x y -()()()a c a b b c ---a c -()()a b b c --()()[()()]1b a c b a b b c --÷--=2a b -45x y--3m n -23b c --22a a b b -=-4455x x y y-=-33m m n n =--2233b b c c -=-【总结升华】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【巩固练习】一.选择题1．下列式子是分式的是（ ）A.B. C.+y D.+1 2．使分式值为0的值是（ ） A ．0 B ．5C ．－5D ．≠－5 3.下列判断错误．．的是（ ） A ．当时，分式有意义 B ．当时，分式有意义 C ．当时，分式值为0 D ．当时，分式有意义 4．为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．B ．C ．D ． 5．如果把分式中的和都扩大10倍，那么分式的值（ ） A ．扩大10倍B ．缩小10倍C ．是原来的D ．不变 6．下列各式中，正确的是（ ）A ．B ． 5+x x x x 23x ≠231-+x x a b ≠22ab a b -21-=x 214x x+x y ≠22x y y x--x 21x x +211x x --11x x -+211x x -+yx y x ++2x y 32a m a b m b +=+0a b a b+=+C ．D ． 二.填空题7．当＝______时，分式无意义． 8.若分式的值为正数，则满足______． 9．（1） （2） 10．（1） （2） 11.分式与的最简公分母是_________. 12. 一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三.解答题13. 当x 取什么值时，分式．（1）没有意义？（2）有意义？（3）值为零？14．已知分式当＝－3时无意义，当＝2时分式的值为0， 求当＝－7时分式的值．15．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1） （2） （3） （4）【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】解：A 、分母中不含有字母是整式，故A 错误；B 、分母中含有字母是分式，故B 正确；1111ab b ac c +-=--221x y x y x y-=-+x 632-x x 67x--x 112()x x x --=-.y x xy x 22353)(=22)(1yx y x -=+⋅-=--24)(21y y x 2214a b 36x ab c,y a y b-+y y y 22x x y--2b a a --2211x x x x ---+2231m m m ---C 、分母中不含有字母是整式，故C 错误；D 、分母中不含有字母是整式，故D 错误；故选：B ．2. 【答案】A ；【解析】.3. 【答案】B ；【解析】，有意义. 4. 【答案】D ；【解析】无论为何值，都大于零.5. 【答案】D ；【解析】. 6. 【答案】D ；【解析】利用分式的基本性质来判断.二.填空题7. 【答案】2；【解析】由题意，.8. 【答案】；【解析】由题意.9. 【答案】（1）；（2）；10.【答案】（1）；（2）；【解析】. 11.【答案】；【解析】最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积.12.【答案】，．【解析】解：∵=（﹣1）2•，=（﹣1）3•，050x x =+≠且a b ≠±22ab a b -x 21x +102010(2)2101010()x y x y x y x y x y x y+++==+++360,2x x -==7x >70,7x x -<>∴2x -5y x y -22xy x y +--221(1)(2)22244x x y xy x y y y y --++--==---2312a b c=（﹣1）4•， …∴第7个式子是，第n 个式子为：． 故答案是：，． 三.解答题13.【解析】解：（1）∵分式没意义，∴x ﹣1=0，解得x=1；（2）∵分式有意义，∴x ﹣1≠0，即x ≠1；（3）∵分式的值为0，∴，解得x=﹣2．14.【解析】 解：由题意：，解得 ，解得 所以分式为，当＝－7时，. 15.【解析】解：（1） ； （2）； （3）；（4）.30b -+=3b =2023a -=+2a =23y y -+y 2729937344y y ----===+-+-2222x x x y x y -=---22b b a a a a =---+222222111111x x x x x x x x x x x x ----++-==-+-++--22223311m m m m m m ---=---。