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信号与系统(第3章)信号与线性非时变系统的傅里叶描述

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奥本海姆《信号与系统》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(上册)-第3章 周期信号的傅里叶级

奥本海姆《信号与系统》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(上册)-第3章 周期信号的傅里叶级
6．共轭及共轭对称 将一个周期信号 x(t)叏它的复数共轭，在它的傅里叶级数系数上就会有复数共轭幵迚行 时间反转的结果。即若
则
（1）弼 x(t)为实函数时，由亍 x(t)＝x*(t)，傅里叶级数系数一定是共轭对称的，即
（2）若 x(t)为实偶函数，那么它的傅里叶级数系数也为实偶函数。 （3）若 x(t)为实奇函数，那么它的傅里叶级数系数为纯虚奇函数。 7．连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理 （1）连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理：
8．连续时间傅里叶级数性质列表 表 3-1 连续时间傅里叶级数性质
/ 106
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1．成谐波关系的复指数信号的线性组合 一般的周期序列的线性组合就有如下：
序列φk[n]只在 k 的 N 个相继值的匙间上是丌同的，因此上式的求和仅仅需要包括 N 项。 因此将求和限表示成 k＝（N），即离散时间傅里叶级数为
三、傅里叶级数的收敛 连续时间信号的傅里叶级数收敛的条件——狄里赫利条件： 1．条件 1 在仸何周期内，x(t)必须绝对可积，即
这一条件保证了每一系数 ak 都是有限值。 2．条件 2 在仸意有限匙间内，x(t)具有有限个起伏发化；也就是说，在仸何单个周期内，x(t)的
最大值和最小值的数目有限。 3．条件 3 在 x(t)的仸何有限匙间内，只有有限个丌连续点，而丏在这些丌连续点上，函数是有限
则
（1）施加亍连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的时间反 转。
（2）若 x(t)为偶函数，则其傅里叶级数系数也为偶，若 x(t)为奇函数，则其傅里叶级 数系数也为奇。
4．时域尺度发换 时间尺度运算是直接加在 x(t)的每一次谐波分量上的，傅里叶系数仍是相同的。 x（αt）的傅里叶级数表示：

第三章周期信号的傅立叶级数表示

第三章周期信号的傅立叶级数表示
将两边在一个周期内（从0～T）对t积分，可得
Txtej 0
n0td t T 0
akej k0tej
n0td
t
k
右边交换积分与求和的次序 k ak0Tejkn0tdt
又右边积分
0Tejkn0tdt 0T, ,
nk nk
k ak0 Txtejn 0tdtTna
即 0 Txte jn 0 td t0 T a k ejk n 0 td t T a n k
那么系统的输出也能表示成相同复指数信号的线性组合；
②输出式中的系数，可以用输入信号中相应的系数与系统 特征值相乘来求得。
例3.1 已知系统的输入输出关系为 ytxt3，求：
① x1tej2t时，系统的输出 y1t ; ② x 2 t c4 t o 3 s c7 t o 3 时s ，系统的输出y2t 。
中，各个信号分量也仅仅是幅度和频率的不同。
因此，可以用一根线段的长来表示某个分量的幅度，线段 的位置表示相应的频率。如下图示：
e 如分量 j0t、 co s0t2 1ej0t ej0t 可表示为下图
e j0t
co s0t2 1ej0t ej0t
因此，当把周期信号xt 表示成复指数形式的傅里叶
a 2 e s2 t a 2 H s2e s2 t
a 3es3 t a 3H s3es3 t
更一般地，对于
x ta k e s k t y ta k H s k e s k t
k
k
对应地
x n a k z k n y n a k H z k z k n
k
k
上式可以看出：
①如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，
2) LTI系统满足线性、时不变性

信号与系统 第3章-3

信号与系统 第3章-3

解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0

信号与系统王明泉第三章习题解答

信号与系统王明泉第三章习题解答
（3）周期信号的傅里叶变换；
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。

信号与系统第6讲第3章周期信号的傅里叶级数表示

信号与系统第6讲第3章周期信号的傅里叶级数表示

sin(2 k(1/ 4)) k
sin(k k
/ 2)
根据Example3.5的结果，用性质计算傅里叶级数的系数
分析：原函数为x(t),本函数为g(t)
g (t )
x(t
1)
1 2
,周期方波的参数T
4,T1
1,
如果原函数的系数为ak，x(t 1)的系数为bk
bk
a e jk (2 / 4)1 k
在不连续点上，傅里叶级数的收敛趋势-吉伯斯现象
不连续点上收敛于不连续点的平均值 不连续点附近呈现起伏现象，起伏的峰值不随N增加而降低 峰值为不连续点差值的9%
吉伯斯现象的实际意义
不连续信号的傅里叶级数截断近似在接近不连续点有高频起伏 选择足够大的N，可以保证这些起伏的总能量可以忽略
2024/6/10
2024/6/10
信号与系统－第6讲
19
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（4）Example3.8 计算周期冲激串的傅里叶级数系数 根据性质计算周期方波的系数
周期冲激串可表示为x(t) (t kT ) k
ak
1 T
T / 2 (t)e jk 2t /T dt 1
T / 2
T
周期方波为g (t ),它的导数为q(t )
c0为直流分量， c0 2T1 / T
对照前面 例题验证
结果
20
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（5）Example3.9
1.x(t)是实信号
2.x(t)是周期信号，T 4，傅里叶级数系数ak
3.ak 0，k 1
4.傅里叶系数为bk
e
j
k
/
2
a
的信号是奇信号

信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换

信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换

t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）

信号课件第三章傅里叶变换

• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1

信号与系统(第3章)信号与线性非时变系统的傅里叶描述

傅里叶变换表示24lim0lim220??jxtkxkxtkxdtetxtttttjk??????????令可证???ttjkdtetxtkx001???????ktjkekxtx0??连续时间傅里叶变换及系数的确定??????????????????ktjkktjkktjkejkxejkxtekxtx000000211???????周期信号非周期信号t????0k?02t??????d???????????dtetxjxtj???????????dejxtxtj212非周期连续信号
§3.1 引言
——自然界一种重要而普遍的信号存在形式；
——最容易产生和控制的一种信号；
——人类最容易应用的一种标准信号；
——目前应用最多和最有效应用的信号。
——特点是什么？
——作为输入信号，经LTI系统后的响应是否与频率有关？
——任何信号是否可以用正弦信号表示？如何表示？条件 是什么？
§3.2 复正弦信号及LTI系统的频率响应
n)0t]
sin[(k
n)0t]dt
0, k T , k
n n
T 0
x(t )e
jn0t dt
cnT
傅里叶系数：
ck
1 T
x(t)e jk0t dt
T
16
x(t)
ck e jk0t
k
傅里叶系数
ck
1 T
T x(t)e jk0t dt
0
傅里叶级数的其他形式
• 若x（t）是实信号： x(t)* x(t) ck ck
M
x(t) ak ()e jkt k 1 M
输出信号： y(t) ak ()H ( jk )e jkt k 1
特点：
1）输出信号也是M个复指数特征函数的加权和；

信号与系统傅里叶变换


n次谐波系数：
2
an T
T
2 T
2
f
(t) cos(n1t)dt

2 T
2 2
A cos(n1t )dt

4A
n1T
sin n1
2

An
其有效值为：
A~n
2 2
An
36
将 n 1 代入上式，得基波有效值为：
A1
2 4A sin 1 10 2 sin18 2 1T 2
45 °
图 3.3-1 (a)振幅谱； (b) 相位谱
30 ° 30 °
20 °
54
|F n |
2
1.5
1.5
1
1
1
0.4 0.2
0.4 0.2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o 2 3 4 5 6

(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
3
VxVyT VxiVyi 0
i 1
矢量正交集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。
如三维空间中，Vx (1, 0, 0) Vy (0,1, 0) Vz (0, 0,1) 所组成的集合就是矢量正交集，且完备。
矢量A (1, 2.5, 4) 表示为 A Vx 2.5Vy 4Vz
电子技术中的周期信号大都满足狄里赫利条件条件，当
f(t)满足狄里赫利条件时，an, bn, cn 才存在。
21
结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。
一般而言 An cos(n1t n ) n 称为 次谐波 ，An
是 n 次谐波的振幅， n是其初相角。

信号与系统第三章习题答案


d (t - 1) « e- jw
\ e-2( t -1)d (t - 1) « e- jw
(8) U (t ) - U (t - 3) Q 根据傅里叶变换的线性性质可得： 1 U (t ) « p d (w ) + jw 1 U (t - 3) « e - j 3w (p d (w ) + ) jw \ U (t ) - U (t - 3) « ( 1- e - j 3w )(p d (w ) + 1 ) jw
U (t - 1) « e - jw (pd (w ) +
t 1 U ( - 1) « 2e - j 2w (pd (2w ) + ) 2 j 2w Q d (aw ) = 1 d (w ) a
\ 2e- j 2wpd (2w ) = 2pd (2w )w =0 = pd (w ) \ 2e - j 2w (pd (2w ) +
e - jtd (t - 2 ) « e - j 2(w +1)
(6) e -2( t -1)d (t - 1) Q 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) 可得： e -2( t -1)d (t - 1) = d (t - 1) d (t ) « 1 (t = 1)
d F ( jw ) - 2 F ( jw ) dw
y ''(t ) + 4 y '(t ) + 3 y (t ) = f (t ) y ''(t ) + 5 y '(t ) + 6 y (t ) = f '(t ) + f (t )
（1） 求系统的频率响应 H（jw）和冲激响应 h（t） ； （2） 若激励 f (t ) = e-2tU (t ) ，求系统的零状态响应 y f (t ) 。 解： 方程 1：
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性质证明及应用 Matlab计算
小结
§3.1 引言
一、回顾：时域分析方法的基础
思考：频域分析 是否可以效仿？
LTI系统满足线性、非时变性。 信号在时域的分解，基本单元信号满足以下要求：
本身简单，LTI系统对其响应能简便得到； 具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
——LTI系统的冲激响应描述代表了系统的全部时域特征：
M
x(t) ak ()e jkt k 1 M
输出信号： y(t) ak ()H ( jk )e jkt k 1
特点：
1）输出信号也是M个复指数特征函数的加权和；
2）卷积运算变成了输入权重与频率响应的乘积运算；
3）输入与输出权重：信号由时域表示转换为频域表示；
与每个频率的复正弦信号相联系的权重表示该频率的正弦 信号对整个信号的贡献。
该函数一般是复函数。
H ( j ) | H ( j ) | e jarg{H ( j)}
LTI系统的输出为
y(t) H ( j )e j t | H ( j ) | e jarg{H ( j )}e j t | H ( j ) | e j( targ{H ( j )})
LTI系统对输入的复正弦信号的响应，分别对输入信号 的振幅和相位进行了调整。
复正弦函数 e jt , e jn是一切LTI系统的特征函数；其
对应的特征值只是频率的函数，即：
H ( j) h( )e j d ,
H[ j] h[k]e jk
k
§LT3I系.2统对正表征弦为信特征号函、数线复性指组合数的信输入号信及号的LT响I应系 输统入的信号频：率M个响复应正弦特征函数的加权和（线性组合）
第三章 信号与线性非时变系统的傅里叶描述
3.1 LTI系统对复指数信号的响应：频率响应 3.2-3.8 4种信号的傅里叶描述
建立概念：傅里叶变换与傅里叶逆变换 例题分析：信号的计算方法与应用 对比：4种傅里叶描述的区别及含义 数值计算：傅里叶描述的Matlab实现
3.9- 3.18 傅里叶描述的特性
的频率响应
根据时域分析的方法求解：x[n] x[k][n k] y[n] x[k]h[n k]
k
k
离散： x[n] e jΩn
y[n] x[k]h[n k] h[k]x[n k] h[k]e j(nk)
k
k
k
e jn h[k]e jk H[ j]e jn k
频率为ω的复正弦信号经LTI系统后的输出，是只与该 频率有关的复常数与复正弦信号的乘积。
复常数： H[ j]
h[k]e jk , H ( j)
h( )e j d
k
——称为LTI系统对频率ω的复正弦输入信号的频率响应。
2§、频3.率2响应正函弦数信号、复指数信号及LTI系 统——的L频TI系率统响对所应有频率复正弦函数的频率响应的分布。
正弦信号： x(t) Asin(t 0 )
或： x[n] Asin[n 0 ]
复指数（正弦）信号：
x(t) e j t cos(t) j sin(t)
或： x[n] e jn cos[n] j sin[n]
§一3、.2LTI正系统弦对信复号正、弦信复号指的数响应信号及LTI系统
任何信号均可表示为以该信号为权重的冲激信号的线性叠加;
任何输入信号经过LTI系统后的输出信号，都可以表示成输入 信号与系统冲激响应的卷积和或卷积积分。

二、历史回顾：频域分析方法的建立
傅里叶分析：利用信号的正弦表示，研究信号与系统在频 域范围内性质的方法。
(Joseph Fourier)
3
正弦信号为何可作为频域分析的基本单元信号？
二、傅里叶分析的引入
“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权 和（傅里叶级数）。”——傅里叶的第一个主要论点
“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示（傅 里叶变换） 。”——傅里叶的第二个主要论点
傅里叶分析：利用复正弦信号，通过傅里叶级数及傅里叶 变换，分析信号与系统在频域范围内性质的方法。
离散时间非周期信号 —离散时间傅里叶变换（ discrete-time Fourier transform, DTFT）
傅里叶分析：利用复正弦信号，通过傅里叶级数及傅里叶 变换，分析信号与系统在频域范围内性质的方法。
§二、3.3傅里四叶种分信析号：信的号傅所里需满叶足表的示条件
狄里赫利（Dirichlet）条件： 1、信号是有界且单值的； 2、任何区间内绝对可积（或绝对可和）； 3、信号在任何有限区间内只有有限个极大值和极小值； 4、信号在任何有限区间内只有有限个不连续点。
仅取决于频率
连续： x(t ) e jt
y(t) h( )e j(t )d e j t h( )e j d H ( j)e j t
1、信号的复正弦表示的特点
§ 复3正.2弦信正号简弦单信，求号解、LT复I系统指对数其的信响号应容及易LTI系 统 正的弦频响应率：响频率应响应特性
11
§3.3-3.8 四种信号的傅里叶表示
一、从傅里叶分析的角度，信号可分为4种类型
连续时间周期信号 ——傅里叶级数（Fourier series, FS）
离散时间周期信号 ——离散时间傅里叶级数（discrete-time Fourier series, DTFS）
连续时间非周期信号 —傅里叶变换（Fourier transform, FT）
幅度响应：| H ( j) | 相位响应： arg{H ( j )}
§3、3特.2征函正数弦与信特征号值、复指数信号及LTI系统 的频如率果响一个应函数 (t)通过系统后变为一个数值 与该函
数相乘，称函数 (t) 是系统的特征函数，数值 称为该
系统与此特征函数相对应的特征值。
H{ (t)} (t)
§3.1 引言
——自然界一种重要而普遍的信号存在形式；
——最容易产生和控制的一种信号；
——人类最容易应用的一种标准信号；
——目前应用最多和最有效应用的信号。
——特点是什么？
——作为输入信号，经LTI系统后的响应是否与频率有关？
——任何信号是否可以用正弦信号表示？如何表示？条件 是什么？
§3.2 复正弦信号及LTI系统的频率响应