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2008-2009第一学期数值计算方法A答案

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2008—2009学年第一学期《数值计算方法》试卷答案及评分标准专业班级姓名学号开课系室信息与计算科学系考试日期2009年1月12日说明:1.封面及题目的背面为草稿纸.2.答案必须写在该题下方空白处,不得写在草稿纸中,否则答案无效.3.正文共7页一、选择题（4×5=20分）1．已知：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则∞A = D 。

A ） 2；B ） 3；C ） 6；D ） 7。

2．数值*x 的近似值310113.0-⨯=x ，若满足*x x -≤ B ，则称x 有3位有效数字。

A ）12； B ） 61102-⨯； C ）11102-⨯； D)31102-⨯。

3．若用复化梯形公式，计算10x e dx ⎰，区间至少应分 B 等份，才能保证结果有5位有效数字。

A ） 67；B ） 68；C ） 69；D ） 70。

4．设,1221⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=A 则=)(1A cond C 。

A ）51； B ）54； C ）59； D ）57。

5．形如∑⎰=≈nk k k bax f A dx x f 0)()(的插值型数值求积公式，它的代数精度最高不会超过 A 阶。

A ） 12+n ；B ） 22+n ；C ）n 2；D ） 12-n 。

二、填空题（4×5=20分）1．使用SOR 迭代方法求解线性方程组b Ax =时，若使得方法收敛，则必有迭代因子∈ω (0,2) 。

2．已知()(2)(3)(4)(5)f x x x x x =----，则差商]5,4,3[f = 0 。

3．设序列{}k x 是收敛于方程0)(=x f 的根*x 的迭代序列，记,*k k x x e -=,1,0=k ，表示各步的迭代误差，使得0lim1≠=+C e e pkk 成立，称序列{}k x 是p阶收敛。

4．)(x f 在],[b a 上有连续的n 阶导数，)()1(x f n +在),(b a 上存在，设)(x f 的n 次Lagrange插值多项式为)(x P n ，余项=-=)()()(x P x f x R n n)()!1()(0)1(∏=+-+nj j n x x n f ξ。

5．设m n n m R b R x R A ∈∈∈⨯,,，n R ∈η是方程组b Ax =的最小二乘解的充要条件为η是法方程组b A Ax A T T =的解。

三、计算题（共20分）1、（6分）利用牛顿迭代法求130的近似值，取130=x 为初始值，精确到六位有效数字。

解：设x 为所求，即求01302=-x 的正根，130)(2-=x x f ．取130=x ，有迭代公式1k x +=k x －)()(k k x f x f '=),2,1,0(2130221302=+=--k x x x x x k k k k k ……3分1x ==⨯+13213021311.50002x =5000.11213025000.11⨯＋＝11.40223x =4022.11213024022.11⨯＋＝11.4018 4018.11213024018.114⨯+=x =4018.11213024018.11⨯＋＝11.4018x *≈11.4018 ……6分2、（7分）已知：8)3(,5)2(,1)1(===f f f ，构造()y f x =以3,2,1=x 为节点的拉格朗日插值多项式。

解：22110020)()()()()(y x l y x l y x l y x l x P i i i n ++==∑=， ……2分)3)(2(21)31)(21()3)(2())(())(()(2010210--=----=----=x x x x x x x x x x x x x l ，……3分)3)(1()32)(12()3)(1())(())(()(2101201---=----=----=x x x x x x x x x x x x x l ，……4分)2)(1(21)23)(13()2)(1())(())(()(1202102--=----=----=x x x x x x x x x x x x x l ，……5分4211218)2)(1(215)3)(1(1)3)(2(21)(2-+-=⨯--+⨯---⨯--=x x x x x x x x x p n ……7分。

3、（7分）求出改进的Euler 方法的绝对稳定区间。

解：写出改进的Euler 的公式：)),(),((2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y ……2分 将其应用于试验方程得：)(211++++=n n n n y y hy y λλ……4分 整理得：nn n y h E y h hy )(21211λλλ=-+=+……5分要使格式绝对稳定必满足：1)( h E λ ……6分解得：0 h λ∞-，即绝对稳定区间为)0,(-∞。

……7分四、（10分）构造下列方程组收敛的雅可比和高斯－赛德迭代格式⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+-143101410353102321321321x x x x x x x x x 。

解：由于直接分离321,,x x x 不能满足收敛条件，因此将方程组变形为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++141035310214310321321321x x x x x x x x x ＋ ……2分 对应系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=103131021310A 为严格对角占忧，分离得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=++=+--=5710310*********7101103213312321x x x x x x x x x 4分则收敛的Jacobi 迭代格式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=++=+--=+++57103101211035157101103)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ）（ 7分 则收敛的G-S 迭代格式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=++=+--=++++++57103101211035157101103)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ）（ 10分五、（10分）用列主元Gauss 消去法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++=++754217743322321321321x x x x x x x x x 。

解：线性方程组的系数增广矩阵为：→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=754217743322)|(b A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--754233221774（第一次选主元） 2分⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→213217215025212301774（第一次Gauss 消元） 4分 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→252123021321721501774（第二次选主元） 6分 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→56560021321721501774 （第二次Gauss 消元） 8分 则得方程组的精确解()Tx 2,2,1*-=。

10分六、（10分）确定待定参数，使其代数精度尽是高，并指明所得公式具有的代数精度。

)()0()()(10122h f A f A h f A dx x f hh++-≈-⎰－解：令2()1,,f x x x =使公式两边准确成立，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=++=------⎰⎰⎰120122221012210122001A h A A h dx x hA A hA xdx AA A dx hhhh h h ……3分 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=++=---)(316)(0411*******A A h h A A h A A A h 可求得h A h A A 34,38011-===- ……5分则由该系数所确定的求积公式为)(38)0(34)(38)(22h hf hf h hf dx x f hh+--≈⎰－下面验证该公式的代数精度。

令3()f x x =，则0)(22322==⎰⎰-dx x dx x f hhhh－038)(38)(38)0(34)(3833=+-=+--hh h h h hf hf h hf 即公式左右两边相等。

……7分 令4()f x x =，则522422564)(h dx x dx x f hhhh==⎰⎰-－ 54431638)(38)(38)0(34)(38h hh h h h hf hf h hf =+-=+--即公式两边不相等。

……9分 所以此求积公式具有三次代数精度。

……10分七、（10分）设x x x A R A n n δ+≠∈⨯,,0d e t , 分别满足方程组b Ax =，b b x x A A δδδ+=++))((。

其中0≠b ，且A δ适当小，使)(1A cond AAδ。

求证：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤-b b A A A A A cond xxδδδδ11)(，这里用到的是任何一种向量范数及从属于它的矩阵范数。

证明： 设βδδα=+-==-)(,1A A A A A，由条件)(1A cond AAδ可知11 A A δαβ-= ……1分 由摄动定理，即n n R C A ⨯∈,，若1-A 存在，且1,,1 αββα≤--C A A ，则C 可逆，且αβα-≤-11C 。

可知A A δ+可逆，且()AAA A A δδ1111----≤+， ……3分则扰动方程组b b x x A A δδδ+=++))((存在唯一解，())(1b b A A x x δδδ++=+-。

……4分由此可知()()x A b A A x A A b b A A x )()()()(11δδδδδδδ-+=+-++=-- ……6分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤++≤---x A b b x A A A A A A x A b A A x δδδδδδδ1111)()( …9分 得出：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤-b b A A A A A cond x xδδδδ11)( ……10分 定理得证。

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数值计算方法习题答案（第二版）（绪论）

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数值计算⽅法习题答案（第⼆版）（绪论）数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的⽜顿迭代公式112(),0,1,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成⽴下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......k k k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k k x a x x x x +-??-=+==? ??（2）取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+-= +=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤-110218，⽽()k k k k k x x x x x 288821821-=-???? ??+=-+ nn k k x x 2122110215.22104185.28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。

8 解：此题的相对误差限通常有两种解法.①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表⽰为m n a a a x 10......021*?±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11 **1021--?≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第⼀个⾮零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=??≤--x e x ②第⼆种⽅法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种⽅法均可得出相对误差限，但第⼀种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成⽴的正确结论，故他对误差限的估计偏⼤，但计算略简单些；⽽第⼆种⽅法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。

数值计算方法课后习题答案

数值计算方法课后习题答案

习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。

解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得 （1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈===4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈ 解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ= =0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121x y x x -=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x -=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。

故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。

（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。

故（B ）算得准确些。

（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。

故（A ）算得准确些。

（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。

故（B ）算得准确些。

（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。

大学计算机基础试题及答案2008～2009-1(A)

大学计算机基础试题及答案2008～2009-1(A)


A）将鼠标指针指向该行处的选定栏，并单击鼠标左键
B）将鼠标指针指向该行，并单击鼠标右键
C）将鼠标指针指向该行，并双击鼠标右键
D）将鼠标指针指向该行处的选定栏，按 Ctrl 键的同时单击鼠标左键
41.在 Word 中，编排完一个文件后，要想知道其打印效果，可以
。
A）选择“模拟显示”命令
B）选择“打印预览”命
注．意．：．所．有．答．案．均．写．在．答．题．纸．上．，．写．在．试．卷．上．的．不．得．分．。．
一、单项选择题(本题共 50 个小题，每题 1 分，共 50 分)
1.计算机之所以能够按照人们的意图自动地进行操作，主要是因为它采用了
。
8. 在 Windows 的“资源管理器”中，选定多个不连续文件时，可以首先单击第一个文
图3
6．在演示文稿中，插入超链接中所链接的目标，可以是
。
A)幻灯片中的某个对象
B)同一演示文稿的某一张幻灯片
9．人在说话时的信号频率范围通常是【9】Hz。 10.结构化程序设计思想的基本原则可以概括为自顶向下、逐步求精、【10】和限
C)其他应用程序的文档
D)另一个演示文稿
制使用 goto 语句。
7．网络信息系统的不安全因素主要有
。
14．在 Word 中，
不是图形对象。
A) 最小化
B) 移动
C)最大化
D) 关闭
6.在 Windows 操作系统中，在文件夹窗口进行多次剪切操作，剪贴板中的内容是 。
A）艺术字
B）剪贴画
C）下划线
D）自选图形
15．计算机病毒在一定环境和条件下激活发作，该激活发作是指
。
A) 空白
B) 最近多次剪切的内容
2008～2009学年度第二学期《计算方法》考试试卷B答案

2008～2009学年度第二学期《计算方法》考试试卷B答案

华中科技大学文华学院2008～2009学年度第一学期《计算方法》考试试卷B答案课程性质：必修使用范围：本科考试时间：2009年4月22日考试方式：闭卷学号专业班级学生姓名成绩一、单项选择题（每小题3分，共30分，请将正确选择填入下表中）1．π=3.141 592 6…，若取值为3.141 5，其有效数字位数是（）位。

A.3B.4C.5D.62．-0.002 00的绝对误差限是（）。

A.0.005B.0.0005C.0.00005D.0.0000053．ln2=0.693 147 18…，精确到10-3的近似值是（）。

A.0.690B.0.700C.0.693D.0.6944．正方形的边长约为100cm，要使其面积误差不超过1cm2，测量边长的绝对误差限应为（）cm。

A.0.5B.0.05C.0.005D.0.00055．设x>0，x的相对误差为δ，则ln x的相对误差为（）。

A. δ/xB.δxC.δx2D.δ/x26．用二分法求方程f(x)=0在[1,2]的近似根，要求误差不超过0.5*10-3，至少要二分（）次。

A. 7B.8C.9D.107．近似值a=4.123，则a2的误差限为（）。

A.0.5*10-1B. 0.5*10-2C.0.5*10-3D. 0.5*10-48．设S=gt2/2，假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差，则当t减少时， S的绝对误差（）。

A.增加B.不变C.减少D.按平方增加9．若F(x)=f(x)+g(x)，则差商F[x0,x1]=f[x,x1]（）g[x,x1]。

A.+B.-C.*D./10．迭代公式为x k+1=ϕ(x k)，要使迭代收敛，就要求（）。

A.ϕ’(x)>0B.ϕ’(x)<1C. 0<ϕ’(x)<1D. -1<ϕ’(x)<1二、计算题（每小题10分，共70分，要有过程，无过程则无分）1．设f(x)=8x 5-0.4x 4+4x 3-9x+1，用秦九韶算法求f(3)。