2016-2017学年贵州省遵义市航天高中高二(上)期末数学试卷(文科)

2017—2018学年度第一学期期末考试高二数学（文科)(试题满分：150分 考试时： 120分钟）一、选择题(每小题5分，共60分.每小题只有一个．．．．选项符合题意） 1。

设集合{}=13A x x <<，{}=B x x m <，若A B ⊆，则m 的取值范围是A. 3m ≥B. 1m ≤ C 。

1m ≥ D. 3m ≤ 2。

下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A. 22=14x y - B.22=14y x - C 。

22=14x y - D 。

22=14y x -3。

已知1sin ,,32πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,则tan θ= A. 2- B 。

2-。

22-D. 24-4. 下列说法正确的是 A.()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，则()0f x ≥的充分条件是240b ac -≤B 。

若 ,,m k n R ∈,则22mk nk >的充要条件是m n >C 。

对任意x R ∈，20x ≥的否定是存在0x R ∈，200x ≥ D 。

m 是一条直线，α,β是两个不同的平面，若m α⊥，m β⊥,则//αβ 5。

体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A 。

4πB 。

8π C. 12π D 。

323π6.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x =>与C 交于点P ，PF x ⊥轴,则k =A. 12B. 1C.32 D. 27。

圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a =A. 43-B 。

34-C.3 D 。

28.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若191734a a a +=，则179S S = A. 9 B. 185 C 。

689 D 。

949. 若执行右侧的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ )A 。

2016-2017学年贵州省遵义市航天高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（共60分，5分/题）1．已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，4}C．{2，4}D．{0，2，4}2．“x＜﹣1”是“x＜﹣1或x＞1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要3．某校有高一学生650人，高二学生550人，高三学生500人，现用分层抽样抽取样本为68人的身高来了解该校学生的身高情况，则高一，高二，高三应分别有多少学生入样（）A．26，21，20 B．26，22，20 C．30，26，20 D．30，22，204．若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为（）A．B．C．1 D．5．已知函数f（x）=，则f（f（））=（）A．B．C．D．6．下列程序执行后输出的结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”8．已知等差数列{a n}，且a9=20，则S17=（）A．170 B．200 C．340 D．3609．若椭圆x2+my2=1的离心率为，则m为（）A．4 B．C．3 D．4 或10．动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线11．函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=4 D．x=212．偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且在x∈时，f（x）=x2，g（x）=ln|x|，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（共20分，5分/题）13．85转换为十进制数是．（9）14．双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为16．点P在椭圆+=1上运动，点A、B分别在x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4上运动，则PA+PB的最大值．三、解答题：（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosC﹣（2b﹣c）=0．（1）求角A；（2）若sinC=2sinB，且a=，求边b，c．18．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别做记录，抽查数据如下：甲车间：102，101，99，98，103，98，99；乙车间：110，115，90，85，75，115，110．问：（1）这种抽样是何种抽样方法；（2）估计甲、乙两车间包装产品的质量的均值与方差，并说明哪个均值的代表性好，哪个车间包装产品的质量较稳定．19．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，三角形VAB为等边三角形，AC ⊥BC且AC=BC=，O、M分别为AB和V A的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求直线MC与平面V AB所成角．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，左焦点到左顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M（1，1）的直线与椭圆C相交于A，B两点，且点M为弦AB中点，求直线AB的方程．21．已知数列{a n}满足a1=2，前n项和为S n，若S n=2（a n﹣1），（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；）2﹣（log2a n）2，若c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．（2）设b n=（log2a n+122．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．2016-2017学年贵州省遵义市航天高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共60分，5分/题）1．已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，4}C．{2，4}D．{0，2，4}【考点】交集及其运算．【分析】由集合B中的元素的属性用列举法写出集合B，直接取交集即可．【解答】解：因为集合A={0，1，2，3，4}，所以集合B={x|x=2n，n∈A}={0，2，4，6，8}，所以A∩B={0，1，2，3，4}∩{0，2，4，6，8}={0，2，4}．故选D．2．“x＜﹣1”是“x＜﹣1或x＞1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：“x＜﹣1”是“x＜﹣1或x＞1”的充分而不必要条件，故选：A3．某校有高一学生650人，高二学生550人，高三学生500人，现用分层抽样抽取样本为68人的身高来了解该校学生的身高情况，则高一，高二，高三应分别有多少学生入样（）A．26，21，20 B．26，22，20 C．30，26，20 D．30，22，20【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用各年级的人数乘以每个个体被抽到的概率，即得高一，高二，高三入样学生人数．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，高一，高二，高三入样学生分别有26，22，20，故选B．4．若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为（）A．B．C．1 D．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】将条件“∀x∈，tanx≤m”转化为“x∈时，m≥（tanx）max”，再利用y=tanx在的单调性求出tanx的最大值即可．【解答】解：∵“∀x∈，tanx≤m”是真命题，∴x∈时，m≥（tanx）max，∵y=tanx在的单调递增，∴x=时，tanx取得最大值为，∴，即m的最小值为．故选：D．5．已知函数f（x）=，则f（f（））=（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】首先求出的函数值，然后判断此函数值所在范围，继续求其函数值．【解答】解：因为＞0，所以f（）==﹣2，又﹣2＜0，所以f（﹣2）=2﹣2=；故选：B．6．下列程序执行后输出的结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】伪代码．【分析】该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．【解答】解：该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．∵s=15，∴结束循环．∴n=0．故选B；7．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”【考点】互斥事件与对立事件．【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D8．已知等差数列{a n}，且a9=20，则S17=（）A．170 B．200 C．340 D．360【考点】数列的求和．【分析】等差数列{a n}中S17=17•a9，代入可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}中a9=20，∴a1+a17=2a9=40，∴S17=（a1+a17）•17=340，故选：C．9．若椭圆x2+my2=1的离心率为，则m为（）A．4 B．C．3 D．4 或【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先将方程转化成标准方程，进而能够得出a2、b2，然后求出m，从而得出长半轴长．【解答】解：椭圆x2+my2=1即+x2=1，当椭圆焦点在y轴上时，∴a2=，b2=1，由c2=a2﹣b2得，c2=，∵=1﹣m=得m=，∴则m为，当椭圆焦点在x轴上时，b2=，a2=1，∴，可得m=4．故选：D．10．动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线【考点】轨迹方程．【分析】根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨迹．【解答】解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|，点P的轨迹为一条射线故选D．11．函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=4 D．x=2【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据题意可求得ω、φ的值，从而可得f（x）的解析式及其对称轴方程，继而可得答案．【解答】解：∵f（x）=2cos（ωx+φ）为奇函数，∴f（0）=2cosφ=0，∴cosφ=0，又0＜φ＜π，∴φ=；∴f（x）=2cos（ωx+）=﹣2sinωx=2sin（ωx+π），又ω＞0，∴其周期T=；设A（x1，2），B（x2，﹣2），则|AB|==4，∴|x1﹣x2|=x1﹣x2=4．即T=4，∴T==8，∴ω=．∴f（x）=2sin（x+π），∴其对称轴方程由x+π=kπ+（k∈Z）得：x=4k﹣2．当k=1时，x=2．故选D．12．偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且在x∈时，f（x）=x2，g（x）=ln|x|，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x﹣1）=f（x+1）求出函数的周期，利用条件和偶函数的性质求出在的解析式，由周期性画出f（x）在整个定义域上的图象，由对数函数的图象画出g（x）=ln|x|的图象，由图和函数零点与图象交点的关系即可得到答案．【解答】解：由f（x﹣1）=f（x+1）得f（x）=f（x+2），所以函数周期为2，由f（x）为偶函数知图象关于y轴对称，∵当x∈时，f（x）=x2，∴x∈时，﹣x∈，则f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2=x2，∴x∈时，f（x）=x2，在同一直角坐标系中做出：函数f（x）的图象和g（x）=ln|x|图象，由图可知有2个交点，∴函数h（x）=f（x）﹣g（x）有两个零点，故选B．二、填空题：（共20分，5分/题）13．85转换为十进制数是77．（9）【考点】进位制．【分析】利用累加权重法，即可将九进制数转化为十进制，从而得解．=8×91+5×90=77，【解答】解：由题意，85（9）故答案为：77．14．双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为﹣1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先把双曲线8kx2﹣ky2=8的方程化为标准形式，焦点坐标得到c2=9，利用双曲线的标准方程中a，b，c的关系即得双曲线方程中的k的值．【解答】解：根据题意可知双曲线8kx2﹣ky2=8在y轴上，即，∵焦点坐标为（0，3），c2=9，∴，∴k=﹣1，故答案为：﹣1．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为96+4（﹣1）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出该几何体是边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的组合体．【解答】解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为2；∴该正方体的平面面积为6×42﹣π×22=96﹣4π；又圆锥体的侧面面积为π×2×2=4π．∴该几何体的表面积为96﹣4π+4π=96+4（﹣1）π．故答案为：96+4（﹣1）π．16．点P在椭圆+=1上运动，点A、B分别在x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4上运动，则PA+PB的最大值16．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题意得：椭圆+=1的两个焦点（0，±4）分别是圆x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4的圆心，故P为椭圆的下顶点，A，B分别为相应圆上纵坐标最大的点时，PA+PB 取最大值．【解答】解：由题意得：椭圆+=1的两个焦点（0，±4）分别是圆x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4的圆心，P到两个焦点的距离和为定值2×5=10，两圆的半径分别为4和2，故P为椭圆的下顶点，A，B分别为相应圆上纵坐标最大的点时，PA+PB的最大值为：2×5+2+4=16，故答案为：16．三、解答题：（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosC﹣（2b﹣c）=0．（1）求角A；（2）若sinC=2sinB，且a=，求边b，c．【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）由题意和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosA=，进而可得角A；（2）若sinC=2sinB，c=2b，由a=，利用余弦定理，即可求边b，c．【解答】解：（1）在△ABC中，由题意可得2acosC=2b﹣c，结合正弦定理可得2sinAcosC=2sinB﹣sinC，∴2sinAcosC=2sin（A+C）﹣sinC，∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC﹣sinC，∴2cosAsinC=sinC，即cosA=，∴A=60°；（2）∵sinC=2sinB，∴c=2b，∵a=，∴3=b2+c2﹣2bc•，∴3=b2+4b2﹣2b2，∴b=1，c=2．18．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别做记录，抽查数据如下：甲车间：102，101，99，98，103，98，99；乙车间：110，115，90，85，75，115，110．问：（1）这种抽样是何种抽样方法；（2）估计甲、乙两车间包装产品的质量的均值与方差，并说明哪个均值的代表性好，哪个车间包装产品的质量较稳定．【考点】系统抽样方法．【分析】（1）每隔1小时抽取一包产品，等间隔抽取，属于系统抽样．（2）做出两组数据的平均数和方差，把两组数据的方差和平均数进行比较，看出平均数相等，而甲的方差小于乙的方差，得到甲车间比较稳定．【解答】解：（1）由于是每隔1小时抽取一包产品，是等间隔抽取，属于系统抽样； （2）甲的平均数为=100 乙的平均数为=100∴两人的均值相同， 甲的方差为 =乙的方差为 =．∴s 2甲＜s 2乙，∴甲车间包装的产品质量较稳定．19．如图，在三棱锥V ﹣ABC 中，平面V AB ⊥平面ABC ，三角形VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且 AC=BC=，O 、M 分别为AB 和V A 的中点．（1）求证：VB ∥平面MOC ；（2）求直线MC 与平面V AB 所成角．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由中位线定理得VB ∥OM ，故而VB ∥平面MOC ；（2）证明∠CMO 是直线MC 与平面V AB 所成角，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵O ，M 分别为AB ，V A 的中点，∴VB ∥OM ，又VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，∴VB∥平面MOC．（2）解：由题意，CO⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，平面V AB∩平面ABC=AB，∴CO⊥平面VAB，∴∠CMO是直线MC与平面V AB所成角．∵AC⊥BC且AC=BC=，∴CO=AB=1，∵MO=1，∴∠CMO=45°，∴直线MC与平面V AB所成角是45°．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，左焦点到左顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M（1，1）的直线与椭圆C相交于A，B两点，且点M为弦AB中点，求直线AB的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆离心率为，左焦点到左顶点的距离为1，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由点M（1，1）为弦AB中点，利用点差法能求出直线AB的方程．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e=，由左焦点到左顶点的距离为1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．∴b2=a2﹣c2=3．所以椭圆C的标准方程是．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵点M（1，1）为弦AB中点，∴，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆C的标准方程．得：，∴3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴6（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），整理，得：3x+4y﹣7=0．∴直线AB的方程为：3x+4y﹣7=0．21．已知数列{a n}满足a1=2，前n项和为S n，若S n=2（a n﹣1），（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（log2a n+1）2﹣（log2a n）2，若c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）由题意和当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1进行化简，得到数列的递推公式，由等比数列的定义判断出数列{a n}是等比数列，由等比数列的通项公式求出{a n}的通项公式；（2）由（1）和对数的运算化简b n=（log2a n+1）2﹣（log2a n）2，代入c n=a n b n化简后，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求T n．【解答】解：（1）∵S n=2（a n﹣1），∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2（a n﹣1）﹣2（a n﹣1﹣1）=2（a n﹣a n﹣1），则a n=2a n﹣1，又a1=2，则数列{a n}是以2为首项、公比的等比数列，∴=2n；（2）由（1）得，b n=（log2a n+1）2﹣（log2a n）2=（n+1）2﹣n2=2n+1，∴c n=a n b n=（2n+1）•2n，∴T n=3×2+5×22+…+（2n+1）×2n，①则2T n=3×22+5×23+…+（2n+1）×2n+1，②①﹣②得：﹣T n=6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1=6+2×﹣（2n+1）•2n+1=（﹣2n+1）•2n+1﹣2，∴T n=（2n﹣1）•2n+1+2．22．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；直线与圆相交的性质．【分析】（I）设出M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由题意DP⊥x轴，点M 在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|，找出x0与x的关系及y0与y的关系，记作①，根据P在圆上，将P的坐标代入圆的方程，记作②，将①代入②，即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）由过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线l交曲线C于A，B两点，得到|t|大于等于圆的半径1，分两种情况考虑：（i）当t=1时，确定出切线l为x=1，将x=1代入M得轨迹方程中，求出A和B的坐标，确定出此时|AB|的长，当t=﹣1时，同理得到|AB|的长；（ii）当|t|大于1时，设切线l方程为y=kx+t，将切线l的方程与圆方程联立，消去y得到关于x 的一元二次方程，设A和B的坐标，利用根与系数的关系表示出两点横坐标之和与之积，再由切线l与圆相切，得到圆心到切线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后得到k与t的关系式，然后利用两点间的距离公式表示出|AB|，将表示出的两根之和与两根之积，以及k与t的关系式代入，得到关于t的关系，利用基本不等式变形，得到|AB|的最大值，以及此时t的取值，而三角形AOB的面积等于AB与半径r乘积的一半来求，表示出三角形AOB的面积，将|AB|的最大值代入求出三角形AOB面积的最大值，以及此时T的坐标即可．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x=x0，y=2y0，所以x0=x，y0=，①因为P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1②，将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为x2+=1；…（Ⅱ）由题意知，|t|≥1，（i）当t=1时，切线l的方程为y=1，点A、B的坐标分别为（﹣，1），（，1），此时|AB|=，当t=﹣1时，同理可得|AB|=；（ii）当|t|＞1时，设切线l的方程为y=kx+t，k∈R，由，得（4+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0③，设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由③得：x1+x2=﹣，x1x2=，又直线l与圆x2+y2=1相切，得=1，即t2=k2+1，∴|AB|===，又|AB|==≤2，且当t=±时，|AB|=2，综上，|AB|的最大值为2，依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2+y2=1的半径，∴△AOB面积S=|AB|×1≤1，当且仅当t=±时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为（0，﹣）或（0，）．…2016年11月30日。

2016-2017学年贵州省高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1、设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=±2x ，则其离心率为（ ）A ．5B ．C ．D ．3、设某高中的学生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x -85.71，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该高中某学生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该高中某学生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 4、下列说法正确的是 （ ）A.命题“若21x >,则1x >”的否命题为“若21x >，则1≤x ”B.命题“若200,1x R x ∃∈>”的否定是“2,1x R x ∀∈<”C.命题“若x y =，则y x cos cos =”的逆否命题为假命题D.命题“若x y =，则y x cos cos =”的逆命题为假命题 5、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( ) A.85B.1311C.138D.21136、已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是 （ ） A.3[,6]2-B.3[,1]2-- C.[1,6]- D.3[6,]2-7、在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于AC ，CB 的长，则该矩形面积不．小．于．9 cm 2的概率为（ ） A ．910 B ．45 C ．23 D ．128、直线y=kx+3与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4相交于M 、N 两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（ ）A ．566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．20,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ ， C ．50,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9、已知集合240(,)00x y x y x y x y ⎧+-≤⎧⎫⎪⎪⎪+≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎭⎩表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ），则点P 的坐标满足不等式222x y +≤的概率为（ ） A ．316π B ．16π C ．32π D ．332π10、点M 是抛物线y 2= x 上的点，点N 是圆C ：()2231x y -+=上的点，则|MN|的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．11、已知椭圆的左焦点为F ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线PM 、PN ，其中切点为M 、N ，则四边形PMFN 面积的最大值为（ ） A ．2 B ．C ．D ．512、某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S 等于 （ ） A.24 B.26 C.30 D.32二、填空题（每小题5分，共20分）13、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，___运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14、已知圆O 1：x 2＋y 2＝1与圆O 2： (x ＋4)2＋(y －a )2＝25内切，则常数a ＝______ 15、已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且122F PF π∠=,椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则221211e e +=_____16、已知y =a x(a >0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数，记a 的所有可能取值构成集合A ；椭圆22=163x y +上存在关于直线y =x +m 对称的不同两点，记m 的所有可能取值构成集合B.若随机地从集合A ，B 中分别抽出一个元素1λ，2λ，则1λ>2λ的概率是_____三、解答题17、（10分）设命题p ：点（1，1）在圆22222240xy mx my m +-++-=的内部；命题q ：直线mx －y ＋1＋2m ＝0(k ∈R)不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．18、（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在[70,80)内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60,70)、[70,80)分数段人数比例）的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70,80)的概率．19、（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，(1,)P m 是抛物线C 上的一点.（1）若椭圆22:14x y C n'+=与抛物线C 有共同的焦点，求椭圆C '的方程； （2）设抛物线C 与（1）中所求椭圆C '的交点为A B 、，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程.20、（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x+3=0， （1）求过()3,2M 点的圆的切线方程；（2）直线l 过点3122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且被圆C 截得的弦长最短时，求直线l 的方程；（3）过点()10，的直线m 与圆C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的中点P 的轨迹为1C ，直线5()2y k x =-与曲线1C 只有一个交点，求k 的值.21、（12分）已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为1.过F 作抛物线的两条弦AB 和CD ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．设直线AB 、CD 的斜率分别为1k 、2k . （1）若AB CD ⊥，且11k =，求△FMN 的面积； （2）若12111k k +=，求证：直线MN 过定点，并求此定点.22、（12分）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，动点(),P x y 与定点F (－1，0)的距离和它到定直线2x =-的距离之比是.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过F 作曲线C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,直线OM 与曲线C 交于,P Q 两点,求四边形APBQ 面积的最小值.2016-2017学年贵州省高二上学期期末考试数学（文）试题参考答案一、选择题 ADDDCA BCDAAD二、填空题13、乙 14、0 15、2 16、34三、解答题17、解：命题p 11m ⇔-<<，…………3分 命题q 0m ⇔≥……………6分① p 真q 假时，10m -<<；②p 假q 真时，1m ≥. 故m 的取值范围为10m -<<或1m ≥………10分18、解：(1)分数在[70,80)内的频率为：1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3………3分 (2)中位数17373.33≈…………6分 (3)由题意，[60,70)分数段的人数为：0.15×60＝9(人)；[70,80)分数段的人数为：0.3×60＝18(人)． ∴需在[60,70)分数段内抽取2人，分别记为a ，b ； 在[70,80)分数段内抽取4人，分别记为c ，d ，e ，f.设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70,80)内”为事件A ，所有基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个…………8分其中事件A 包含(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，共8个．……10分∴P (A )＝815………12分19、解:（1）椭圆22:14x y C n '+=, 可知41,3n n -=∴=,故所求椭圆的方程为22143x y += (6)分（2）由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩,消去y 得到2316120x x +-=,解得122,63x x ==-(舍去).所以22((,33A B ,则双曲线的渐近线方程为y =……………………8分0y ±=,可设双曲线方程为226(0)x y λλ-=≠.由点(1,)P m 在抛物线2:4C y x =上,解得24,(1,2)m P =±………………...……10分 因为点P 在双曲线上, 642λ∴-==,故所求双曲线方程为: 22312y x -=……………………………………….…………..12分20、解：（1）3x =或3410x y --=………3分（2）当直线l CN ⊥时，弦长最短，此时直线的方程为10x y --=………6分（3）设点P （x ，y ），∵点P 为线段AB 的中点，曲线C 是圆心为C （2，0），半径r=1的圆，∴CP ⊥AP ，CP AP=0∙∴化简得223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭………9分由于点P 在圆内，去除点（1，0），所以1C ：223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（1x ≠）………10分0k =………12分21、解：（1）抛物线的方程为x 2=2y ，设AB 的方程为12y x =+联立2122y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得x 2﹣2x ﹣1=0，31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴S △FMN ＝12|FM |·|FN |1△FMN 的面积为1. ……....5分（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），设AB 的方程为112y k x =+联立12122y k x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得21210x k x --=，2111,2M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理2221,2N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭……....7分k MN ＝221212121122k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-∴MN 的方程为()()2112112y k k k x k ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即()121212y k k x k k =+-+，……....10分 又因为12111k k +=所以1212k k k k +=，∴MN 的方程为121212y k k x k k =-+即()12112y k k x =-+∴直线MN 恒过定点112⎛⎫⎪⎝⎭，．……....12分22、解：（1=． 两边平方，化简得x 22＋y 2＝1．故轨迹C 的方程是．…（3分）（2）因AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0，…....5分22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得：x2=，|PQ|=....7分方法一：设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m2m 2＋4.…....10分故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝12∙=≥2即0m =时，min 2S =.…....12分 方法二：P （，），Q （，），P 到直线AB 的距离d 1=，Q 到直线AB 的距离d 2=，∵P ，Q 在直线AB 的两侧，且关于原点对称，∴S APBQ =丨AB 丨（d 1+d 2）=••（ + ）=，.…....10分∴S APBQ ==2≥2，即0m =时，min 2S =.…....12分。

贵州省遵义航天高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}=13A x x <<，{}=B x x m <，若A B ⊆，则m 的取值范围是 A ．3m ≥B ．1mC ．m 1≥D ．3m ≤2．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -3．已知1sin ,,32πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan θ= A ．2-B．4-C．D．4．下列叙述中正确的是( )A ．若,,a b c ∈R ，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”B ．若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x ≥”D ．l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ 5．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A ．12πB ．323π C ．8π D ．4π6．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x =>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A ．12B ．1C ．32D ．27．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若191734a a a +=，则179S S = A ．9B ．185C ．689 D ．948．执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）.A ．3?x >B ．4?x >C ．4?xD ．5?x9．设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( ) A ．奇函数，且在（0,1）上是增函数 B ．奇函数，且在（0,1）上是减函数 C ．偶函数，且在（0,1）上是增函数D ．偶函数，且在（0,1）上是减函数10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A ．13B ．23C ．1D ．4311．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆满足AB =90ACB ∠=，PA 为球O 的直径，且4PA =，则点P 到底面ABC 的距离为AB C ．D ．12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）AB ．C ．D ．二、填空题13．已知向量a =（﹣1，2），b =（m ，1），若()a b a +⊥，则m=_________．14．若x ，y 满足约束条件10,{30,30,x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x−2y 的最小值为__________.15．函数()cos 26cos 2f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最大值为___________________ 16．平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B .若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______________三、解答题17．已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C的对边，1cos 2,26cos 253A c A C =-==-（I ）求a 的值；（II ）若角A 为锐角，求b 的值及ABC ∆的面积.18．n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 19．某某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30),[30,40),[80,90]⋯ ，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，PA ABCD ⊥平面，=21PA AB ，=.设,M N 分别为,PD AD 的中点.（I ）求证：平面//CMN 平面PAB ；（II ）求二面角N PC A --的平面角的余弦值.21．中心在原点的双曲线C 的右焦点为0F ⎫⎪⎪⎝⎭，渐近线方程为y =. （I ）求双曲线C 的方程；（II ）直线:1l y kx =-与双曲线C 交于,P Q 两点，试探究，是否存在以线段PQ 为直径的圆过原点.若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由. 22．已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=； （I ）当[]1,4x ∈时，求函数()()()()2f x h x f x g x ⎡⎤=-⎣⎦的最值；（II ）如果对任意的[]1,4x ∈，不等式()()2••f x fk g x >恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案1．A 【解析】由题意，集合A={x||x-2|＜1}={x|1＜x ＜3}，∵集合B={x|x ＜m}，A ⊆B ∴m ≥3,∴m 的取值范围是{m|m≥3} 故选A ． 2．C 【解析】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质． 3．B 【解析】1sin ,,32πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭则cos 3θ===-，1sin tan cos 3θθθ∴===故选B. 4．D 【解析】试题分析：当0a <时，2"40"b ac -≤推不出2"0"ax bx c ++≥，A 错，当0b =时，""a c >推不出22""ab cb >，B 错，命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x <”，C 错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D 正确.考点：充要关系 5．A 【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以该球的表面积为2412ππ⋅=，故选A.【考点】正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为a的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的、2a.6．D【解析】试题分析：由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k⇒==⇒=，故选D.考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.7．C【解析】∵3a1+4a9=a17，∴4a1+4a9=a1+a17，即4（a1+a9）=2a9，即4a5=a9，则179SS()()117951955171717468299992a aa aa a a a+⨯====+故选C.8．B【解析】方法一：当x=4,输出y=2,则由y=log2x输出，需要x>4，本题选择B选项.方法二：若空白判断框中的条件x>3，输入x=4，满足4>3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，若空白判断框中的条件x>4,输入x=4,满足4=4,不满足x>3,输出y=y=log24=2，故B正确；若空白判断框中的条件x⩽4，输入x=4，满足4=4，满足x⩽4，输出y=4+2=6，不满足，故C 错误，若空白判断框中的条件x ⩽5，输入x =4，满足4⩽5，满足x ⩽5，输出y =4+2=6，不满足，故D 错误， 本题选择B 选项.9．A 【解析】试题分析：由题意得，函数的定义域为10{10x x +>->，解得11x -<<，又()ln(1)ln(1)[ln(1)ln(1)]()f x x x x x f x -=--+=-+--=-，所以函数()f x 的奇函数， 由1()ln(1)ln(1)ln1x f x x x x +=+--=-，令()11xg x x+=-，又由1201x x <<<，则 ()()2121212121112()011(1)(1)x x x x g x g x x x x x ++--=-=>----，即，所以函数()11xg x x+=-为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--在(0,1)上增函数，故选A.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题. 10．B 【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：故其体积V112122323⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，故选A.11．C【解析】∵三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA为球O的直径且PA=4，∴球心O是PA的中点，球半径R=OC=12P A＝2，过O作OD⊥平面ABC，垂足是D，∵△ABC满足AB＝2,∠ACB＝90°，∴D是AB中点，且∴OD===∴点P到底面ABC的距离为,故选C.点睛：本题考查点到平面的距离的求法，关键是分析出球心O到平面ABC的距离，找到ABC∆的外接圆的圆心D即可有OD⊥平面ABC，求出OD即可求出点P到底面ABC的距离.12．C【分析】联立方程解得M(3，，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.【详解】依题意得F (1,0)，则直线FM 的方程是y (x －1)．由214y y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方得M (3，，由MN ⊥l 得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形点M 到直线NF 的距离为4=故选：C . 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 13．7 【解析】 【详解】由题得(1,3)a b m +=-，因为()0a b a +⋅=，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =． 14．5- 【详解】 试题分析：由10{30x y x y -+=+-=得12x y =⎧⎨=⎩，记为点()1,2A ；由10{30x y x -+=-=得34x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,4B ；由30{30x x y -=+-=得3x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,0C .分别将A ，B ，C 的坐标代入2z x y =-，得1223z A =-⨯=-，3245z B =-⨯=-，3203C z =-⨯=，所以2z x y =-的最小值为5-．【考点】 简单的线性规划 【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： （1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 15．5 【解析】∵()2cos25cos cos25sin 2sin 5sin 12f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=-++⎪⎝⎭25332sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∴当sin 1x =时，()f x 有最大值为4，故答案为4.16．32【解析】设OA 所在的直线方程为b y x a =,则OB 所在的直线方程为b y x a=-,解方程组2{2b y x a x py == 得：222{2pb x a pb y a== ，所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ , 抛物线的焦点F 的坐标为:0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为F 是ABC ∆ 的垂心，所以1OB AF k k ⋅=- , 所以，2222252124pb p b b a pb a a a ⎛⎫- ⎪-=-⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以，2222293142c b e e a a ==+=⇒= . 考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.17．（1）（2）2 【解析】试题分析：（I ）由已知等式化简得：sin 2A=6sin 2C ，结合sinA ＞0，sinC ＞0，可得sin AC ，进而可求sinA ，由正弦定理可求a 的值；（II ）由同角三角函数基本关系式可求cosA 的值，由余弦定理得b 2-2b-15=0，解得b 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．试题解析：（I ）由cos26cos25,A C =-得()2212sin 612sin 5,A C -=-- 化简得：22sin 6sin ,A C = ,A C 均为三角形内角，0,0A C ππ<<<<即：sin 0,sin 0A C ∴>>，sin A C ∴=又因为，所以． 结合已知3c =， 由正弦定理，得． （II ）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）． 所以．18．（Ⅰ）21n （Ⅱ）11646n -+ 【分析】 （I ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n }的通项公式：（Ⅱ）求出b n 11n n a a +=，利用裂项法即可求数列{b n }的前n 项和． 【详解】解：（I ）由a n 2+2a n ＝4S n +3，可知a n +12+2a n +1＝4S n +1+3两式相减得a n +12﹣a n 2+2（a n +1﹣a n ）＝4a n +1，即2（a n +1+a n ）＝a n +12﹣a n 2＝（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ），∵a n ＞0，∴a n +1﹣a n ＝2，∵a 12+2a 1＝4a 1+3，∴a 1＝﹣1（舍）或a 1＝3，则{a n }是首项为3，公差d ＝2的等差数列，∴{a n }的通项公式a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1：（Ⅱ）∵a n ＝2n +1，∴b n ()()111121232n n a a n n +===++（112123n n -++）， ∴数列{b n }的前n 项和T n 12=（11111135572123n n -+-++-++）12=（11323n -+）11646n =-+. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键． 19．(1)0.4.(2)20人.(3) 3:2.【详解】分析：(1)根据频率分布直方图可知,即可求解样本中分数不小于70的频率，进而得到 分数小于70的概率；(2)根据题意，根据样本中分数不小于50的频率为0.9，求得分数在区间[40,50)内的人数为5人，进而求得总体中分数在区间[40,50)内的人数；（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为60人，求得样本中分数不小于70的男生人数，即可求解.详解：(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6 ,样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.∴从总体的400名学生中随机抽取一人其分数小于70的概率估计为0.4(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为()0.010.020.040.02100.9+++⨯=，分数在区间[)40,50内的人数为1001000.955-⨯-=．所以总体中分数在区间[)40,50内的人数估计为540020100⨯=． （3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为()0.020.041010060+⨯⨯=，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯= 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2=点睛：本题主要考查了用样本估计总体和频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.20．（1）见解析（2）7【解析】试题分析：（1）证明//MN PA ，推出//MN 平面PAB ，证明//CN AB ，即可证明//CN 平面PAB ，然后证明平面//CMN 平面PAB ；（2）以点A 为原点，AC 为x 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PCN 的法向量，平面PAC 的法向量，利用空间向量的数量积求解面角N PC A ﹣﹣的平面角的余弦值．试题解析：（1）证明：∵M 、N 分别为PD ，AD 的中点， 则//MN PA ．又∵MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ．在Rt ACD 中，60CAD ∠=︒，CN AN =，∴60ACN ∠=︒，又∵60BAC ∠=︒，∴//CN AB ．∵CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴//CN 平面PAB ，又∵CN MN N ⋂=，∴平面//CMN 平面PAB ． （2）∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ACD ，又∵DC AC ⊥，平面PAC ⋂平面ACD AC =，∴DC ⊥平面PAC ，如图，以点A 为原点，AC 为x 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，∴()0,0,0A ，()2,0,0C ，()002P ,,，()D ，()N ∴()()1,3,0,1,3,2CN PN =-=-，设(),,n x y z =是平面PCN 的法向量，则00n CN n PN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x x z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取(3,1n =，又平面PAC的法向量为()0,CD =，∴23cos ,237CD nCD n CD n ⋅===⨯⋅，由图可知，二面角N PC A ﹣﹣的平面角为锐角，∴二面角N PC A ﹣﹣的平面角的余弦值为7． 21．(1)2221x y -= (2) 存在，0k =【解析】试题分析：（Ⅰ）设双曲线的方程为22221x ya b -= ，（a ＞0，b ＞0），则有c=2b a=c 2=a 2+b 2，解得即可; （Ⅱ）由22121y kx x y =-⎧⎨-=⎩ 得（2-k 2）x 2+2kx-2=0，根据韦达定理和向量的数量积12120OP OQ x x y y ⋅=+=得出关于k 的方程，即可求出k 的值.试题解析：（Ⅰ）设双曲线的方程为，则有得，所以双曲线方程为． （Ⅱ）由得， 依题意有 解得且，① 且，， 设，，依题意有，所以， 又， 所以，化简得，符合①，所以存在这样的圆.22．(1) ()min 13h x =，()max 27h x =；(2) (),3k ∈-∞- 【解析】试题分析：（I ）化简函数()()2232log 32log 2232log 2log 3x x h x x x --=-+=得，判断函数的单调性，然后求解函数的最值；（II ）由()()2••f x f k g x >，得()()22234log 3log ?log x x k x --> 利用换元法令[][]2log ,1,4,0,2t x x t =∈∴∈，所以()()343?t t k t -->对[]0,2t ∈恒成立.利用分类讨论①当0t =时，k R ∈；②当(]0,2t ∈时，分离得9415k t t <+-，求右侧函数的最小值即得实数k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）()()2232log 32log 2232log 2log 3x x h x x x --=-+=又()h x 在上[]1,4单调递减， ()()232log 4min 143h x h -∴===，()()232log 1max 127h x h -===；（Ⅱ）由()()2••f xf kg x >，得()()22234log 3log ?log x x k x --> 令[][]2log ,1,4,0,2t x x t =∈∴∈所以()()343?t t k t -->对[]0,2t ∈恒成立.①当0t =时，k R ∈；②当(]0,2t ∈时，9415k t t <+-，令()9415r t t t=+- 由于()r t 在30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦递减，在3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增. 所以()min 332r t r ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则3k <-；综上知(),3k ∈-∞-.点睛：本题考查不等式恒成立，分类讨论以及转化思想的应用，利用对数的运算性质对函数进行化简，采用换元法，把函数化繁为简，进行变量分离解决恒成立问题是解题的关键.。