002第一章 随机事件和概率(1)

(H,H):
(H,T)：
H H T T
(T,H):
(T,T)：
在每次试验中必有 一个样本点出现且仅 有一个样本点出现 .
概率论
若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现 的次数： 则样本空间
{0,1,2}
由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的 目的所确定的. 如果试验是测试某灯泡的寿命： 则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果， 故 样本空间
事件 B 相等 或称等价 , 记作 A B .
A B
BB A
概率论
2. 和事件 : 事件 A、B 至少有一个发生所构成 的 事件叫做事件 A 与事件 B 的和 .记作 A B . 、An 中至少有一个发 类似地 , 称事件 A1、A2、
、 A 的和事件 . 记之为 生的事件为事件 A1、A2、 n n A1 A2 An , 简记为 Ai . i 1 中至少有一个发生的事 件为 称事件 A1、A2、 事件 A1、A2、 的和事件 . 记之为 A1 A2 ,
概率论
五、事件间的关系与事件的运算
设试验 E 的样本空间为 , A、B、C、A1、A2 试验 E 的事件 . 1.包含关系 : 如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生 , 则称事件 B 包含事件 A (或称事件A 是事件 B 的子事件 ) , 记作 A B 或 B A . 对于任何事件 A , 都有 A 相等关系 若 A B 且 B A , 则称事件 A 与
件 A1、A2、 的积事件 . 记之为 A1 A2 ,简记为
i 1
Ai .

A
B
AB
概率论

随机现象是通过随机试验来研究的 . 问题 什么是随机试验 ?
、随机试验
定义 在概率论中 ,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验 .
1.试验可以在相同的条件下重复地进行 ; 2. 每次试验的可能结果不止一个 ,并且能事先
明确试验的所有可能结果 ;
3. 进行一次试验之前不能确切知道哪一个结果 会出现 .
基本事件 ,事件A—出现偶数 ,事件B—出现奇数
解：用? i 表示掷骰子出现的点数为 i, i ? 1,? 6;
? ? {?1 ,?2 ,?3 ,?4 ,?5 ,?6 }
基本事件 Ai ? {? i }, i ? 1,2,? ,6;
A ? {? 2 ,? 4 ,? 6 }; B ? {? 1,? 3 ,? 5 }.
说明 1. 随机试验简称为试验 , 是一个广泛的术语 .它包 括各种各样的科学实验 , 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币 ,观 察正面,反面出现的情况” .
分析
(1) 试验可以在 相同的条件下重复地进行 ;
(2) 试验的所有可能结果 :
第一章
随机事件及其概率
第一节 随机事件的概念 及其运算
一、 随机现象 二、 随机试验 三、 样本空间 样本点 四、 随机事件的概念 五、 小结
一、随机现象
自然界所观察到的现象 : 确定性现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象 .
随机现象
实例
“太阳从东边升起” ,
“水从高处流向低处” ,
五、小结
1. 随机现象的特征 : 条件不能完全决定结果 .
2. 随机现象是通过随机试验来研究的 .

第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论1. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）81)(=AB P . 解：（1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ； （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。

2. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。

解：()()1()P ABC P A B C P A B C =++=-++[]1()()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =-++---+11111310044416168⎡⎤=-++---+=⎢⎥⎣⎦ 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。

两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别0.92和0.93，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85，求（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率；（2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率；（3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。

解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P（1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P （2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P（3）8286.093.01058.0)()()|(=-== B P B A P B A P 4. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。

AB就是把事件 A与事件 B所公有的基本事件放在一起作成的事件．
在 E 2中，AC={2}，B C={1，3}，AB ． 对于任一事件 A，有
AAA AA A
事件的和与事件的积可以推广到多个事件的情形：n
事件 A1,A2,,An 的和事件记作 A1A2An或 A i ，
表示事件“A1,A2,,An 中至少有一个事件发生”．i 1 n
0.5005
从表1-1可以看到，当试验次数 n很大以后，频
率 fn(H) 在0.5附近摆动，源自逐渐稳定于0.5．我们把频率 fn (A) 围绕摆动的稳定值 p，就叫做事件
A 的概率，即有概率的统计定义如下：
2．概率的统计定义
定义2 在相同的条件下重复进行 n次试验，如果当 n增大时，
则A称事常件数的p频为率事件fnA(A的) 概nnA率稳，记定
2°从n个不同元素中任取k 个允许重复地排成一列，共有 n k 种
排法．
3°设有m种不同元素，同种元素是没有区别的，第 i种元素有 k i 个 (i1,2,,m)，则全部 nk1k2km个元素的全排列总数为
n! k1!k 2 ! k m ! ． (3) 常用的组合公式
1°从 n个不同元素中任取 k( k≤ n)个元素(不考虑次序)作成一组，共有
地在某一常
P(A)p
数
p附近摆动，
为 根据这一定．义，可以把由大量重复试验所得到的事件的频率作为事
件概率的近似值．
二、古典概型 1．等可能概型(也叫做古典概型)：具有以下特点的试验称为 等可能概型：
(i) 只有有限个基本事件，即基本空间为有限空间，
{ 1,2,,n}；
(ii) 每个基本事件发生的可能性是相等的．
Cnk knk!(nn!k)!