二次方程解的判别式及解法

二元二次方程判别式法

引言：

二元二次方程是数学中常见的一类方程，其形式为ax^2 + bx + c

= 0，其中a、b、c为已知系数，且a≠0。解二元二次方程的一个重要方法是判别式法，通过判别式可以判断方程的根的性质，从而解出方程。

一、判别式的定义

二元二次方程的判别式Δ的定义如下：

Δ = b^2 - 4ac

其中，b、a、c分别为二元二次方程ax^2 + bx + c = 0的系数。

二、判别式的意义

判别式Δ可以告诉我们方程的根的性质，具体如下：

1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。

解释：当判别式大于零时，说明方程的根为实数，且两个根不相等。

2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。

解释：当判别式等于零时，说明方程的根为实数，且两个根相等。

3. 当Δ < 0时，方程无实根，有两个共轭复根。

解释：当判别式小于零时，说明方程的根为复数，且两个根是共轭复数。

三、判别式的应用

通过判别式Δ，我们可以解决以下问题：

1. 求二元二次方程的根。

根据判别式Δ的值，可以判断方程的根的性质，进而解出方程的根。

2. 判断二元二次方程的解的个数。

根据判别式Δ的正负值可以确定方程的解的个数，从而判断方程是否有解或有几个解。

3. 分类讨论二元二次方程的解的情况。

根据判别式Δ的值的不同，可以将方程的解分为不同情况进行讨论，找出方程的解的特点。

四、案例分析

下面通过一个具体的案例来说明判别式法的应用：

例题：求解二元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0的根。

解答：

根据方程的系数a、b、c，可以得到判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*1*2 = 9 - 8 = 1。

由于Δ > 0，说明方程有两个不相等的实根。

根据二次方程的求根公式x = (-b ± √Δ) / (2a)，可以计算出方程的两个根：

x1 = (-(-3) + √1) / (2*1) = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2

2023年初高中衔接素养提升专题讲义

第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）

【知识点透析】

1、一元二次根的判别式

一元二次方程2

0 (0)axbxca

，用配方法将其变形为：2

2

24

()

24bbac

x

aa



，把

2

4bac

叫做一元二次方程2

0 (0)axbxca

的根的判别式，表示为：

2

4bac

(1) 当Δ=2

40bac

时，方程有两个不相等的实数根：2

4

2bbac

x

a



(2) 当Δ=2

40bac

时，因此，方程有两个相等的实数根：

1,2

2b

x

a

(3) 当Δ=2

40bac

时，因此，方程没有实数根．

【知识点精讲】

【例1】已知关于x

的一元二次方程2

320xxk

，根据下列条件，分别求出k

的范围：

(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．

【解析】：2

(2)43412kk

(1) 1

4120

3kk

；

(2) 1

4120

3kk

；

(3) 1

4120

3kk

；

(4) 1

4120

3kk

．

【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x的不等式组

6𝑥―𝑎≥―10

―1+1

2𝑥<―1

8𝑥+3

2

有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程(𝑎―5)𝑥2

+4𝑥+1=0

有实数根的所有整数a的值之和为（

）

A．35B．30C．26D．21

【答案】B

【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a

的取值范围，再通过根

的判别式确定a

的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．

【详解】解：整理不等式组得：6x

―a

≥―10①

―8

+4x

<―x

+12②

由①得：x

≥a―10

6，由②得：x

<4

∵不等式组有且只有4个整数解，

∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，

∴―1

6≤0

，

解得：4

≤10

，

∵(a

―5)

x2

+4x

+1

二次函数的判别式与解题技巧

二次函数是高中数学中的一个重要内容，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。了解二次函数的判别式与解题技巧，可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。本文将介绍二次函数的判别式以及解题的一些技巧和方法。

一、二次函数的判别式

判别式是判断二次函数的性质和解的个数的关键工具。二次函数的一般形式为：

f(x) = ax^2 + bx + c (1)

其中，a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。

根据判别式Δ的值，可以判断二次函数的性质和方程的解的个数：

1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实数根，方程有两个不相等的实数解；

2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实数根，方程有两个相等的实数解；

3. 当Δ < 0时，二次函数没有实数根，方程没有实数解。

二、解题技巧和方法

1. 求解二次方程 要求解二次方程f(x) = 0，可以利用判别式的值来判断方程的解的个数，然后根据判别式的不同情况，采用不同的解题方法：

a) 当Δ > 0时，可以使用求根公式来求解方程的解。根据求根公式：

x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b - √Δ) / (2a)

b) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。可以通过求根公式或其他方法来求解。

c) 当Δ < 0时，方程没有实数解。但可以用复数来表示，也可以用其他方法求解。

2. 探究二次函数的性质

通过判别式的值，我们可以了解二次函数的性质，例如：顶点、开口方向和开口程度。

a) 当a > 0且Δ > 0时，二次函数开口向上，具有最小值，即顶点为最小值点；

b) 当a < 0且Δ > 0时，二次函数开口向下，具有最大值，即顶点为最大值点；

c) 当Δ = 0时，二次函数的开口方向不变，即开口向上或向下，且具有顶点。

一元二次方程的解法及判别

一、一元二次方程的定义

一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二、一元二次方程的解法

1. 因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，使其变为两个一次因式的乘积等于0的形式，然后根据零因子定律求解。

2. 公式法：利用一元二次方程的求根公式（也称二次公式）求解。求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

三、一元二次方程的判别式

判别式是用来判断一元二次方程的根的情况的数值。判别式的公式为：Δ = b^2

- 4ac。

四、判别式的性质与解的情况

1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。

2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。

3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭的复数根。

五、一元二次方程的解法比较

1. 因式分解法适用于方程的系数较小，且容易分解的情况。

2. 公式法适用于任何形式的一元二次方程，无论系数的大小和是否容易分解。

六、一元二次方程的应用

一元二次方程在实际生活中有广泛的应用，如物体的运动轨迹、投资收益、面积计算等方面。

总结：一元二次方程的解法及判别是中学数学中的重要知识点，掌握因式分解法和公式法求解一元二次方程，以及理解判别式的性质和解的情况，对于解决实际问题具有重要意义。

习题及方法：

已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，求解该方程。 这是一个一元二次方程，我们可以尝试使用因式分解法来解它。首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于常数项6，而它们的和等于一次项的系数（-5）。这两个数是-2和-3。因此，我们可以将方程重写为：(x - 2)(x - 3) = 0。根据零因子定律，我们得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。解得x1 = 2，x2 = 3。