二次方程的根与判别式的计算

一元二次方程的根的判别式练习题

一、填空题

1.若方程ax2+bx+c=0（a≠0），则根的判别式为_________;当_________时,方程有两个不相等的实数根,当_______时,方程有两个相等的实数根,则_______时,方程无实数根.

2.利用根的判别式,判断方程根的情况,首先将方程(x-2)(x-5)-16=0化成一般形式是_________,再代入判别式为_________,则方程根的情况___________.

3.不解方程,判断方程根的情况:

(1) 4p(p-1)-3=0.△_________,则方程____________:

(2) △_________,则方程__________________.

(3) △___________,则方程_________________.

4.当k_________时,方程x2-2(k+1)x+(k2-2)=0有两个不相等的实数根.

5.当m________时,方程x2-(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.

6.如果方程x2-2x+=0没有实数根,那么c的取值是__________.

二、解答题

7．已知关于x的方程（m2-2）x2-2（m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.

8．证明关于x的方程x2+（k-1）x+（k-3）=0有两个不相等的实数根.

9．已知关于x的方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根，且a，b，c是△ABC的三条边，判断△ABC的形状.

三、选择题

10．关于x的方程x2-2有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）.

（A）k≥0 （B）k＞0 （C）k＞-1 （D）k≥-1

11．关于x的方程mx2-mx+1=0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（ ）.

（A）m=0 （B）m=7 （C）m=4 （D）m＞4且m≠0 12．若关于x的二次方程2x（kx-4）-x2+6=0无实数根，则k的最小整数应是（ ）.

一元二次方程根的判别式与根与系数的关系

〖知识点〗：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理

〖教学要求〗：

1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；

2.掌握韦达定理及其简单的应用；

3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；

4.会应用一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系分析解决一些简单的综合性问题。

内容分析

1.一元二次方程的根的判别式

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根，

当△＜0时，方程没有实数根．

2.一元二次方程的根与系数的关系

(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么abxx21，acxx21

(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q x1x2=q

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

〖考查重点与常见题型〗

1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）

（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根 （D）不能确定

二次方程的判别式与根的性质

二次方程是一个常见且重要的数学概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。本篇文章将着重介绍二次方程的判别式和根的性质。

二次方程一般的形式是：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c分别是实数常数，并且a不等于0。解二次方程的关键是通过判别式来判断方程的根的性质。

一、二次方程的判别式

判别式是二次方程的一个重要性质，它可以帮助我们快速判断方程的根的性质。二次方程的判别式D的公式如下：

D = b^2 - 4ac

判别式的值可以分为三种情况来讨论：

1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实根。这意味着二次曲线与x轴交于两个不同的点。例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，判别式D = 16，大于0，因此方程有两个不相等的实根。

2. 当D = 0时，方程有两个相等的实根，也就是有一个重根。这意味着二次曲线与x轴相切于一个点。例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，判别式D = 0，因此方程有两个相等的实根。

3. 当D < 0时，方程没有实根，只有复数解。这意味着二次曲线与x轴没有交点。例如，对于方程x^2 + 3x + 4 = 0，判别式D = -7，小于0，因此方程没有实根。 二、二次方程的根的性质

通过判别式可以判断方程的根的性质，接下来我们将详细讨论不同情况下的根的性质。

1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实根。这两个实根的性质如下：

- 根的和：x1 + x2 = -b / a

- 根的积：x1 * x2 = c / a

例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，根的和为-2，根的积为-3。

2. 当D = 0时，方程有一个重根。这个实根的性质如下：

- 根的值：x = -b / (2a)

例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，根的值为-2。

3. 当D < 0时，方程没有实根，只有复数解。我们可以用复数的形式表示根，其中虚部可以由判别式D求得。虚部的性质如下：

二次函数的根与判别式

二次函数是数学中常见的一类函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。二次函数的根是指函数f(x) = 0的解，即使得f(x)等于零的x值。而判别式则是用来判断二次函数的根的性质和个数的重要工具。本文将详细介绍二次函数的根与判别式的概念、计算方法以及相关性质。

一、二次函数的根

二次函数的根即是使得f(x) = 0的x值。为了求解二次函数的根，我们可以使用求根公式。求根公式有两种形式，分别适用于一般形式和标准形式的二次函数。

1. 一般形式的二次函数

对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用以下求根公式来求解其根：

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

其中，“±”表示两个解，即一个解为加号，另一个解为减号。求根公式中的判别式b^2 - 4ac在后文中将详细介绍。

2. 标准形式的二次函数

对于标准形式的二次函数f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标，我们可以通过移项和开平方的方式求解其根。具体步骤如下：

1) 将二次函数转化为一般形式：展开平方并化简得到f(x) = ax^2 + bx + c的形式；

2) 根据一般形式的求根公式求解二次函数的根。

二、二次函数的判别式 二次函数的判别式是用来判断二次函数的根的性质和个数的重要工具。判别式的值可以分为三种情况：

1. 判别式大于0（Δ > 0）

当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实根。也就是说，方程f(x) = 0有两个不同的实数解。

2. 判别式等于0（Δ = 0）

当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实根。也就是说，方程f(x) = 0有且仅有一个实数解。

3. 判别式小于0（Δ < 0）

当判别式小于0时，二次函数没有实根。也就是说，方程f(x) = 0没有实数解。

三、二次函数根与判别式的关系