对称性在积分计算中应用.

毕 业 设 计（论文）

题 目：对称性在积分计算中应用

学 院： 数 理 学 院

专业名称： 信息与计算科学

学 号： 0741210102

学生姓名： 鲍 品

指导教师： 张 晓 燕

2011年 5 月 20 日

毕业设计(论文) 对称性在积分计算中的应用

摘 要

对称性的应用很广泛，尤其在数学，物理学，化学等方面都有体现[1]。本论文主要是探讨一下对称性在积分计算中的应用。

积分在微积分学中既是重点又是难点，特别是在解决积分计算问题上，方法比较灵活。常见的积分方法有换元法和分部积分法，这些方法在解决一般的问题上还是奏效的，但是对于复杂的微积分计算和证明问题就显得有些心有余而力不足。假如我们稍仔细地观察题目，很多时候我们会发现积分区域或被积函数具有某种对称性。如果我们将对称性巧妙地应用到解决这类问题中去，不仅简化了计算过程而且还节省计算时间。

利用对称性解题方法比较灵活也十分重要。接下来本论文将从定积分，重积分，曲线积分以及曲面积分四大方面入手，深入探讨对称性在积分计算中的应用。最后分析利用对称性解题的条件与优势，总结出应用相关性质解题时要注意哪些方面。

关键词

定积分，重积分，曲线积分，曲面积分，对称性，奇偶性

毕业设计(论文)

Abstract

The application of symmetry is very widespread, particularly in mathematics,

physics, chemistry and other aspects of embodied. This paper is to explore the symmetry

in the integral calculation.

Integral calculus is difficult in both the focus, especially in solving the problem of

integral calculation, the method more flexible. The common integral method are the

substitution of variables and the integration by parts. These methods are effective in the

solution general question, but appear regarding the complex calculus computation and

the proof question somewhat has more desire than energy. If we carefully observe the

subject a little, usually we will find regional integration or product function has a

symmetry. If we applied the symmetry skillfully to solve such problems, this not only

simplifies the calculation process but also save computing time.

More flexible use of problem-solving approach symmetry is also important, Then

the paper will be integral, double integral, curve and surface integrals four points in a bid

to further investigate the symmetry in the integral calculation. Finally, we solve

problems by analyzing the symmetry of the conditions of use and advantages, summed

up the nature of problem solving application related to the attention of what.

Key words

definite integral, heavy integral, curvilinear integral, surface integral, symmetry, parity

毕业设计(论文)

目 录

1、绪论…………………………………………………………………………………1

1.1 研究背景………………………………………………………………………1

1.2 研究意义………………………………………………………………………1

1.3 研究的思路及结构的安排……………………………………………………2

2、对称性在定积分计算中的应用……………………………………………………2

3、对称性在重积分计算中的应用……………………………………………………3

3.1 二重积分计算…………………………………………………………………3

3.2 三重积分计算…………………………………………………………………6

4、对称性在曲线积分计算中的应用…………………………………………………9

4.1 第一型曲线积分计算…………………………………………………………9

4.2 第二型曲线积分计算…………………………………………………………10

5、对称性在曲面积分计算中的应用…………………………………………………11

5.1 第一型曲面积分计算…………………………………………………………11

5.2 第二型曲面积分计算…………………………………………………………13

6、对称性解题方法总结………………………………………………………………15

7、致谢…………………………………………………………………………………16

8、参考文献……………………………………………………………………………17毕业设计(论文)

1 1、绪论

1.1 研究背景

众所周知，对称性能给人以美的享受，客观世界中的许多事物都具有对称性。自然界的对称性为数学研究提供了一种独特的方法即对称方法[25]。所谓对称性,意味着在某种变换下的不变性或组元的构形在其自同构变换群下所具有的不变性。

事实上。数学中的对称性是比具体事物的对称性更深层次的对称。一方面，对称性在数学上的表现是普遍的，如几何图形中的轴对称、中心对称、镜像对称、正弦曲线等无不呈现出对称性[6,7]；另一方面，数学思想与方法是解决问题的灵魂，在众多的解题方法论中，对称性思想与运用是解题方法中非常重要的思想方法与 常见的解题策略，灵活运用对称性解题也是大学生应该具备的数学素养，尤其在利用积分区间关于原点的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计算是积分运算中最常用的一种方法。

目前，数学教材一般只给出定积分理论中的对称性结论的例题，对于重积分、曲线积分以及曲面积分大都要求转化为定积分后再利用对称性求解。那么, 对于重积分、曲线积分以及曲面积分理论中是否也有类似的结论呢？

1.2 研究意义

积分在微积分学中占有极为重要的地位, 它与微分相比, 难度大, 方法灵活。掌握常见的积分方法如换元法和分部积分法是十分必要的, 但是只掌握这些方法是远远不够的, 在某些复杂的微积分计算和证明过程中，特别是涉及三元及三元以上的多元微积分问题，用常规的方法解决十分困难。若能注意并充分利用积分区域的对称性、被积函数的奇偶性以及积分变量的轮换对称性探求多元函数微积分的简化途径，利用其结果计算，可以简化计算过程，提高解题效率。对于有些原本并不具有对称性的问题，我们要善于根据问题的特点构造对称性，从而达到简化问题的目的。

其实，对于重积分、曲线积分以及曲面积分理论中是否也有类似的结论[8]。对称性在定积分计算中的应用在许多课题研究上已经介绍得很全面，然而对于对称性在重积分，曲线积分以及曲面积分计算中的应用，相关的文献对其也有探讨，但都相对比较零散，有的甚至很少涉及[9]。本文将把重点放在研究对称性在重积分，曲线积分以及曲面积分计算中的应用，归纳总结出利用平面区域的对称性来简化积分计算的相关结论。 毕业设计(论文)

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1.3 研究的思路及结构的安排

本文将首先指出所要研究的方向，指出其研究意义。其次利用对称性相关结论来简化定积分计算，然后从重积分，曲线积分和曲面积分三大方面，分别证明对称性相关性质，并结合实例加以验证。最后对本文内容进行分析总结。

本文一共六章，其结构安排如下:第一章绪论，主要阐述研究背景，研究的意义以及研究的方法。第二章，在遇到定积分计算问题上，利用对称性能简化计算，节省时间，提高效率。第三章，第四章以及第五章，先分别证明其对称性相关性质，然后例举实例加以验证。第六章，分析对称性在解决积分计算问题上的优势，同时总结应用对称性解题时要注意哪些方面。

2、对称性在定积分计算中的应用

性质2.1[10] ()[,]fxaa设在区间上可积：

(1)()()0;aafxfxdx若为奇函数，则

0(2)()()2().aaafxfxdxfxdx若为偶函数，则

(1)()()()()()()aaaaaaaafxxtfxdxftdtftdtfxdx证明：当为奇函数时：令则

2()0,()0.aaaafxdxfxdx所以即

0000(2)()()()()()()()aaaaaafxfxdxfxdxfxdxftdtfxdx当是偶函数时：

00()()aafxdxfxdx

0()2().aaafxdxfxdx所以

2020.2cos.2cos2cos()2cos1()2cosdfxddxdxfxxfxx例2.1：计算积分解：令则其中为偶函数，则