对称性在二重积分计算中的应用

ＺＨＵＡＮＴＩＹＡＮＪＩＵ 专题研究

１２５ 对称性在二重积分计算中的应用对称性在二重积分计算中的应用

◎陈楚申１　廖小莲２　（１．湖南工业大学数学与应用数学专业１８０２班，湖南　株洲　４１２０００；

２．湖南人文科技学院数学与金融学院，湖南　娄底　４１７０００）

【摘要】《数学分析》是所有高校数学与应用数学专业

的一门重要的基础课，二重积分是《数学分析》的内容之一，

解二重积分的常见方法是在直角坐标系或极坐标系下根据

积分区域的类型将其转化为定积分后进行计算，但遇到比

较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．我们

如果能灵活运用积分区域和被积函数的对称性，那么许多

积分的解题过程可以得到简化．本文着重讨论了对称性在

二重积分计算中的应用，并借助实例分五种情况进行了讨

论，指出了对称性解题的优点及应该注意的条件．【关键词】二重积分；对称性；应用

【基金项目】湖南省普通高校教学改革研究项目（编号：

湘教通〔２０１９〕２９１号Ｎｏ９２０）

１　引　言

二重积分是二元函数在平面区域上的积分，在《数学分

析》中占据着重要的地位，对我们学习诸如《概率论与数理

统计》等后续课程至关重要，其在几何、力学等多方面都有

着广泛的应用．因此，灵活掌握二重积分的计算是十分必要

的．我们知道，二重积分的计算是通过将该二重积分转化为

定积分而实现的，但这个转化过程既要受积分区域的类型

又要受被积函数的特点的约束．在直角坐标系下，我们将积

分区域分为Ｘ－型区域和Ｙ－型区域，或者将区域的划分转化

为Ｘ－型区域与Ｙ－型区域的和，然后再将二重积分化为先对ｙ后对ｘ和先对ｘ后对ｙ的累次积分．有时我们利用二重积

分的变量变换公式，可使得被积函数简单化或积分区域简

单化．除此之外，用极坐标来计算二重积分也是常见的办法．

但是，有些二重积分，单纯用这些方法来计算，计算量会很

大且容易出错．我们如果能够充分利用积分区域的对称性

和被积函数的奇偶性，有时就可达到事半功倍的效果．因此，

本文对对称性在二重积分计算中的应用进行较详细的探

讨，并辅以实例来分析二重积分的具体计算过程．２　文献综述

积分学是《数学分析》课程中的重要内容，而二重积分

是积分学的重要组成部分，是学习曲线积分、三重积分问题

的基础．许多学者对二重积分的计算的问题进行了研究，并

给出了一些好的计算方法和计算技巧．张云艳在文献［１］中

举例说明了积分区城的轮换对称性在积分计算中的应用，

指出我们在某些复杂的积分计算过程中，若能注意并充分

利用积分区域轮换对称性或被积函数的奇偶对称性，往往

可以简化计算过程，提高解题的效率．马志辉在文献［２］中

对对称性在积分中的应用进行了研究，文章首先阐述了对

称性在多元函数积分下的性质，并借助实例对对称性在积

分中的应用进行了研究，主要考虑了两种情况：一是当且仅

当积分区域和被积函数都具有对称性时，我们可以利用对

称性简化积分的计算，二是当积分区域和被积函数具有轮

换对称性时，我们也可以利用对称性简化二重积分的计算．

葛淑梅在文献［３］中通过由类比一元连续函数在对称区间

上定积分的计算方法，导出二元连续函数在对称区域上二重积分的计算方法，使得对称区域上难于计算的二重积分

得以简化．在原被积函数不具备奇偶性计算困难的情况下，

利用积分对积分区域的可加性，将其转换为几个容易计算

的二重积分来计算．景慧丽、屈娜在文献［４］中介绍了二重

积分的计算具有较大的开放性，针对一道二重积分的题目

存在许多计算方法，并且对每种方法的使用技巧及使用范

围进行了说明，这可以培养学生的思维发散性．刘红梅在文

献［５］中对二重积分的求解进行了研究，通过证明和推导指

出二重积分在区域对称以及函数奇偶下有简便算法，并通

过具体的实例进行求解进一步证明，巧妙利用二重积分的

对称性质能极大地简化二重积分问题，提高求解的效率．３　对称性在二重积分计算中的应用

利用对称性计算二重积分∬

Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，既要考虑积分

区域的对称性，又要考虑被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于某一自变量ｘ

或ｙ的奇偶性，而且还要将被积函数的奇偶性与积分区域

的对称性相结合进行考虑．我们如果能充分利用对称性来

考虑二重积分问题，那么很多时候可以简化计算．３．１　平面区域Ｄ是关于ｙ轴对称的情形

引理１　若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且

平面区域Ｄ关于ｙ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为奇函数时，即

ｆ（－ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬

Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；

（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为偶函数时，即

ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬

Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬

Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，

其中Ｄ１是平面区域Ｄ的右半部分，即Ｄ１＝（ｘ，ｙ）∈Ｄ｜ｘ≥０{}．

例１　计算二重积分∬

Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝

（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２≤２ｙ{}．

解　因为积分域Ｄ关于ｙ轴对称，被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝

ｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）是关于ｘ的奇函数，所以由对称性得∬

Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋

ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．

３．２　平面区域Ｄ是关于ｘ轴对称的情形

引理２　若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且

平面区域Ｄ关于ｘ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为奇函数时，即

ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬

Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；

（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为偶函数时，即

ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），

则二重积分∬

Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬

Ｄ２ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，

其中Ｄ２是平面区域Ｄ的上半部分，即Ｄ２＝｛（ｘ，ｙ）∈Ｄ

｜ｙ≥０｝． 专题研究

ＺＨＵＡＮＴＩＹＡＮＪＩＵ１２６ 例２　计算二重积分∬

Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ，其中Ｄ是

由直线ｘ＝１，ｙ＝ｘ与ｙ＝－ｘ所围区域．解　由积分对区域的可加性，有∬

Ｄｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２()ｄｘｄｙ＝∬

Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＋∬

Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ．

设区域Ｄ：０≤ｘ≤１，

－ｘ≤ｙ≤ｘ，{区域Ｄ１：０≤ｘ≤１，

０≤ｙ≤ｘ，{

则区域Ｄ是关于ｘ轴对称的区域，且函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ２

是关于ｙ的偶函数，

函数ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘｙｅｘ２＋ｙ２２是关于ｙ的奇函数，因此，由上

面的引理知，∬

Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＝２∬

Ｄ１ｘｙ２ｄｘｄｙ，∬

Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ＝０，

所以原二重积分∬

Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ＝∬

Ｄ１２ｘｙ２ｄｘｄｙ＝

∫１

０ｄｘ∫ｘ

０２ｘｙ２ｄｙ＝２１５．

３．３　平面区域Ｄ是关于ｙ轴以及ｘ轴均对称的情形

引理３　若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平

面区域Ｄ关于ｙ轴以及ｘ轴均对称，则如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），且ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，

ｙ），则∬

Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝４∬

Ｄ３ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，

其中Ｄ３是平面区域Ｄ在第一象限的部分，

即Ｄ３＝（ｘ，ｙ）∈Ｄ｜ｘ≥０，ｙ≥０{}．

例３　计算二重积分：∬

Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ

的范围是ｘ＋ｙ≤１．解　区域Ｄ是关于两坐标轴都对称的区域，同时被积

函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，由引理３知∬

Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬

Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，

其中Ｄ１为区域Ｄ中的第一象限所在的部分且Ｄ１是关

于直线ｙ＝ｘ对称的，所以∬

Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬

Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ

＝４∬

Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ

＝４∫１

０ｄｘ∫１－ｘ

０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝４３．

其中Ｄ１是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）∈Ｄ｜ｘ≥０，ｙ≥０｝．

３．４　平面区域Ｄ是关于原点对称的情形

引理４　若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平

面区域Ｄ关于原点对称，则：（１）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为奇函数而关于ｙ是偶函

数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为偶函数而关于ｙ是奇函数），则∬

Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬

Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＋∬

Ｄ１ｆ（－ｘ，－ｙ）ｄσ＝０；

（２）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）

关于变量ｘ，ｙ都是奇函数），则∬

Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬

Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，

其中Ｄ１为原点一侧的部分．

例４　计算二重积分：Ｉ＝∬

Ｄｘｙｄσ，其中平面区域Ｄ是由方程（ｘ２＋ｙ２）２＝２ｘｙ所确定的区域．

解　因为区域Ｄ是关于原点对称的，且被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ关于变量ｘ为奇函数，关于变量ｙ也为奇函数，所以

由引理４，有：

Ｉ＝２∬

Ｄ１ｘｙｄσ，其中Ｄ１为平面区域Ｄ的第一象限部分．

下面利用极坐标计算此二重积分，得

Ｉ＝２∬

Ｄ１ｘｙｄσ＝２∫π２

０ｃｏｓθｓｉｎθｄθ∫ｓｉｎ２θ

０γ２ｄγ．（计算略）

３．５　平面区域Ｄ具有轮换对称性的情形

引理５　若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，则：（１）如果积分区域Ｄ关于ｘ，ｙ具有轮换对称性，则∬

Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬

Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ＝１

２∬

Ｄ（ｆ（ｘ，ｙ）＋

ｆ（ｙ，ｘ））ｄｘｄｙ．（２）如果区域Ｄ关于直线ｙ＝ｘ对称，则：①如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｙ，ｘ），则∬

Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬

Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．

②如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｙ，ｘ），则∬

Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０．

其中Ｄ１为Ｄ位于直线ｙ＝ｘ上半部分的区域．

例５　计算二重积分Ｉ＝∬

Ｄｘ２－ｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ＝（ｘ，ｙ）丨ｘ＋ｙ≤１{}．

解　因为在积分区域中ｘ与ｙ互换不影响积分结果，所

以该积分具有轮换对称性，由引理５，我们可得：∬

Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬

Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ

所以

Ｉ＝∬

Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬

Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ

＝∬

Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬

Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝０．

小结：该题巧用了积分区域的轮换性简化了计算，解题十分容易，但如果用常规方法求解，计算量很大．二重积分是《数学分析》中积分学的重要内容之一，是学习后续课程的基础．二重积分计算的方法灵活，常常是借助直角坐标系或极坐标系，将二重积分化为定积分进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．对于被积函数或者积分区域具有某种对称性的积分计算问题，我们如果能灵活运用对称性，那么许多积分的解题过程可以化繁为简、化难为易，提高解题效率．

【参考文献】［１］张云艳．轮换对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．毕节

师范高等专科学校学报，２００２（０３）：９０－９２．［２］马志辉．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．高等数学

研究，２０１７（０１）：１０２－１０５．［３］葛淑梅．对称区域上二重积分的简化计算方法［Ｊ］．

焦作大学学报，２０１８（０１）：１０１－１０３．［４］景慧丽，屈娜．一个二重积分的计算方法探讨［Ｊ］．

商丘职业技术学院学报，２０１８（０１）：７４－７６．［５］刘红梅．二重积分计算巧用对称性简化求解［Ｊ］．普

洱学院学报，２０１８（０６）：４５－４７．