Ｖ０．６ Ｎｏ．２ 妲私翱希 教育教学２ 浅析曲线和曲面积分的奇偶对称性
臼祥 吕 （成都大学信息科学与技术学院 四川 成都６１０１０６） 摘 要：在计算定积分和重积分中，有时可以利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来简化计算。但对曲线、曲面积分，绝 大多数高等数学教材都没有提及奇偶对称性。同样，曲线、曲面积分也有类似的结论．并且正确灵活运用奇偶对称性，可以将较难较 繁的曲线曲面积分的计算简化，达到“事半功倍”的效果。本文从结论上给予整理归纳，并举例说明，以希达到抛砖引玉的效果。 关键词：对称性；奇函数；偶函数；曲线积分；曲面积分 【中图分类号】Ｇ６４２．４１ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】１６７１—８４３７（２０１４）０２—０００４—０１ 一、第一类曲线积分的奇偶对称性 定理１：设分段光滑的平面曲线Ｌ关于Ｘ轴对称，Ｌ。是其 在上半平面的部分。 （１）若，（ｘ，ｙ）ｇ ｙ的奇函数，则Ｊ ｘ，ｙ）ｄｓ＝０。 （２）若，（ｘ，ｙ）是ｙ的偶函数，则』 ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ ｆ＿Ｌ ｘ，ｙ）ｄｓ。 二、第二类曲线积分的奇偶对称性 定理２：设分段光滑的平面曲线Ｌ关于１，轴对称，Ｌｌ是其 在ｙ轴右边的部分。则 （１）Ｊ Ｌｇ（ｘ，ｙ） 。当ｇ（ｘ，ｙ）关于ｘ为偶函数。 （２）』Ｌｇ（ｘ，ｙ） ２ ＪＬ，ｇ（ｘ，ｙ） 当ｇ（ｘ，ｙ）关于ｘ为奇函 数。 三、第一类曲面积分的奇偶对称。陛 定理３：设分片光滑的空间曲面∑关于ｘｏｙ面对称，∑。是 曲面在ｘｏｙ面的上半部分，∑１：Ｚ￣－＇－Ｚ（Ｘ，Ｙ）Ｉ＞０。那么： （１）若，（ｘ，ｙ，ｚ）是ｚ的奇函数，则Ｉ，（ｘ，Ｙ，ｚ）ｄｓ＝Ｏ． 至 （２）若，（ｘ，ｙ，ｚ）ｇ ｚ的偶函数，则 Ｊ ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝２ Ｊ，（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ． ∑ ∑ｌ 四、第二类曲面积分的奇偶对称性 定理４：设分片光滑的空间曲面∑关于ｙｏｚ面对称，∑ 是 曲面在ｙｏｚ面的前半部分，∑ ：ｘ＝ｘ（ｙ，ｚ）＞１０，￣Ｖ／－，： （１）当 ｘ，Ｙ，ｚ）关于ｘ是偶函数时，Ｊ，（ｘ，Ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ＝Ｏ． 主 （２）当，（ｘ，ｙ，ｚ）关于ｘ是奇函数时， ｆ，（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ＝２ ｆ ｘ，ｙ，ｚ） ｄｚ． ∑ Ｚｌ 定理１、２、３、４，相应的还有其他类似的结论，请爱好者思考 总结。 下面简单举例以说明：正确灵活运用曲线、曲面积分的奇 偶对称性。可以将较难较繁的曲线曲面积分计算简化，达到“事 半功倍”的效果。 例１：计算『ｆＪ箭。其中ＬＩｘ ｌ＋Ｉｙ Ｉ＝１取逆时针方向。 解：这是第二类曲线积分。 』Ｌ莆＝』 ＋ｆＬ ｒ，由于Ｌ关于ｘ、 ｙ轴对称，且两被积函数是ｘ和ｙ的偶函数，故』Ｌ箭＝０ 例２：计算』（ ＋ｙｚ＋ｚｘ）ｄｓ．ｓ为圆锥面ｚ＝、／ 被圆柱 Ｓ 面ｘＺ＋ｙ￣＝２ａｘ（ａ＞Ｏ）所截下部分。 解：这是第一类曲面积分。 因Ｓ关于ＸＯＹ面对称，被积函数中ｘｙ＋ｙｚ是关于．ｙ的奇函 数。所以： 原式：０＋０＋Ｉ ｚｘｄｓ Ｓ ＝』ｘ ・ 告 Ｄ 例３，计算４ ｄｘ出一 ｄｚｄｙ＋ｚｄｘ ．其中∑为锥面 ￡ ｚ＝、／ （记为∑ ）与球面ｚ＝、／—ｌ－ （记为∑ ）所围成的封 闭曲面的外侧。 解：这是第二类曲面积分。 由对称性有』 ｄｘｄｚ＝０，Ｊ ｄｚ＝ｏ Ｙ－ 所以，所以，可以简化计算 原式＝ｊ ＝』ｚｄ￣ｄｙ＝Ｊ ｚｄｘ 仃
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对称性在定积分、重积分中的应用
作者：金世国
来源：《山东工业技术》2017年第18期
摘 要：积分学是高等数学的重要内容，在积分计算中经常会遇到积分区域具有对称性的题型，本文总结并通过实例，讨论积分区域对称性在简化定积分、二重积分及三重积分计算中的广泛应用。
关键词：对称性；奇函数；偶函数；定积分；重积分
DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2017.18.212
高等数学是理工类专业的一门必修的重要基础课，积分学又是高等数学的重要组成部分.运用积分区域的对称性，结合被积函数的奇偶性，往往可以简化积分的计算.在现行教材中，一般给出了积分区间关于原点对称被积函数具有奇偶性这一类定积分的性质[1-3]，对于重积分是否具有类似性质没有做过多介绍.本文归纳总结了对称性在定积分及重积分中的应用，并举例加以说明.
1 对称性在定积分中的应用
4 结束语
通过以上的讨论，在积分计算中，注意到积分区域的对称性及被积函数的特点，从而灵活地运用对称性，可以简化解题过程，达到事半功倍的效果。
参考文献：
[1]张静茹.高等数学[M].南京：江苏教育出版社，2012.
[2]华东师范大学数学系.数学分析第四版（下册）[M].北京：高等教育出版社，2011.
[3]同济大学数学系.高等数学第七版（上册）[M].北京：高等教育出版社，2014.
[4]同济大学数学系.高等数学第七版（下册）[M].北京：高等教育出版社，2014.
项目：河南省教育厅人文社会科学研究项目（2017-ZZJH-104）
作者简介：金世国（1982-），男，河南南阳人，硕士研究生，讲师，研究方向：图论与组合优化。 龙源期刊网
第７卷第２期（２０Ｏ２） 甘青高母于柱 Ｖｏ１．７Ｎｏ．１（２００２）
利用积分域的对称性计算积分
李曼生
摘要：就“奇函数在对称区间上的定积分值为零”这一性质。在重积分、曲践积分、 曲面积分中进行了推广。以绮化积分的计算． 美蕾词：积分域；被积函数；对称；奇画数 中圈分类号：０１７２．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—９０２０（２００２）０２—０１０—０３ 众所周知，对于定积分有如下结论：函数ｆ（ｘ）在区间［一。，。］上连续，①若，（ｚ）为奇 函数，删一 （ｚ）ｄｒ＝０；②若，（ｚ）为偶函数・则Ｊ一 ｚ）出 ２Ｊ ０，（ｚ）ｄｒ；③若，（ｚ）为 ｒ口 ｒｎ ｒ 非奇非偶函数。则ｌ ，（ ）ｄｒ＝ｌ ，（一 ）＋，（ ）］ｄｒ，当被积函数，（ ）为奇函数或偶函 数时，可以简化积分的计算，实际上。多元函数的积分也有类似结果，并用函数概念可统一表 述为如下形式： 若ｆ（Ｐ）是区域ｎ上的连续函数，且区域ｎ有某种对称性．则当函数ｆ（Ｐ）在ｎ中各对 称点处的函数值的绝对值相等且符号相反（称ｆ（Ｐ）为相应于区域ｎ的奇函数）时，有 ｆｆＣｐ）ｄ￣＝ｏ；当函数ｆ（Ｐ）在ｎ中各对称点处的函数值相等（称ｆ（Ｐ）为相应于区域ｎ的 偶函数）时，有Ｉｆ￣ｐ￣ｄａ＝２ ｌ，（ｐ）加。其中区域ｎ１为区域ｎ的“对称的一半”．
对区域ｎ及被积函数，（Ｐ）赋以不同的含义，ｌ，（ｐ）加就表示不同的积分：
１．若ｎ＝［。，ｂ］。ｆ（Ｐ）＝ｆ（ｘ），则ｌ，（ｐ）加就是定积分Ｉ ｆ（ｘ）ｄａ：．
２．若。是三维空间的区域Ｖ，，（ｐ）＝ｆ（ｚ，Ｙ， ）则ｌ，（ｐ）加＝…ｆ（ａｃ。 ， ）ｄｖ． ３、．若ｎ是空间曲面∑。，（ｐ）＝，（ｚ。 ， ），贝９ｌ，（ｐ）加＝Ｉｌ，（ｚ， ， ）出． 莹
４．若ｎ是空间光滑连续曲线ｚ，，（ｐ）是Ｌ上的函数。则ｌ，（ｐ）加＝Ｉ，（ｚ， ， ）出． 对于这一结论的应用。在重积分、曲线积分、曲面积分中往往被忽视．其实，这一结论对 简化重积分及曲线积分的计算是非常有用的．下面实例予以说明． 例１ 求Ｊ＝ｆＩ＝ｙｄｙｄ 十ｙ２ｄｚｄ．ｚ＋ ｄ．ｒｄｙ。Ｓ为上半球面（ —１） ＋ ＋ ＝ｌ。ｚ ≥Ｏ被锥面 ＝ｚ 所截得的部分。ｓ的法向向上． 解 将（ —１） 十 ＋ ＝ｌ与ｚ ＝ｚ ＋ 联立消去 。得ｓ的周界在：ｒｙ平面的 －】０．
关于曲线、曲面积分对称性的几个结论
曲线和曲面积分的对称性是数学中一个重要的概念，它提供了一种有效的方法来计算复杂的函数的积分。曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分，从而节省大量的计算时间。
首先，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
其次，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
最后，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
总之，曲线和曲面积分的对称性是一个重要的概念，它可以用来求解复杂的函数的积分，从而节省大量的计算时间。它的应用范围很广，可以用来解决各种复杂的数学问题，为我们的研究提供了很大的帮助。。
