《概率论与数理统计》习题及答案
第 七 章
1．对某一距离进行5次测量，结果如下：
2781,2836,2807,2765,2858（米）.
已知测量结果服从2(,)N，求参数和2的矩估计.
解 的矩估计为ˆX，2的矩估计为22*211ˆ()niiXXSn
1(27812836280727652858)2809.05X，
*215854.01170.845S
所以
2ˆ2809,1170.8
2．设12,,,nXXX是来自对数级数分布
1(),(01,1,2,)(1)kpPXkpklupk
的一个样本，求p的矩估计.
解 111111ln(1)ln(1)ln(1)1kkkkppppppp （1）
因为p很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩
121111ln(1)ln(1)ln(1)kkkxpkkkppkpkpxppp
21ln(1)1ln(1)(1)xppxppxpp （2）
（1）（2）得 121p 所以 212p
所以得p的矩估计 21221111niiniiXXXnpXn
3．设总体X服从参数为N和p的二项分布，12,,,nXXX为取自X的样本，试求参数N和p的矩估计
解 122,(1)()NpNppNp
解之得1/Np，
21(1)pNp，
即
1Np，
22111p，
概率练习册第七章答案
在概率论的学习过程中，练习题是帮助学生巩固理论知识和提高解题技巧的重要工具。以下是第七章概率练习册的一些答案，供参考：
问题1： 假设有两个骰子，每个骰子有6个面，分别掷一次。求掷出的两个骰子点数之和为7的概率。
答案： 掷出点数之和为7的情况有(1,6), (2,5), (3,4), (4,3),
(5,2), (6,1)共6种。每个骰子有6种可能的结果，所以总共有6*6=36种可能的组合。因此，点数之和为7的概率是6/36 = 1/6。
问题2： 一个袋子里有5个红球和3个蓝球。随机抽取2个球，求至少有一个红球的概率。
答案： 至少有一个红球的情况包括：1红1蓝和2红。1红1蓝的概率是(5/8)*(3/7)，2红的概率是(5/8)*(4/7)。所以，至少有一个红球的概率是(5/8)*(3/7) + (5/8)*(4/7) = 15/56。
问题3： 一个班级有30个学生，其中15个是男生，15个是女生。随机选择5个学生，求至少有3个男生的概率。
答案： 我们可以使用组合来解决这个问题。至少有3个男生的情况有：3男2女，4男1女，5男0女。计算每种情况的概率并相加即可得到最终答案。
问题4： 一个工厂每天生产100个零件，其中大约有2%是次品。求至少有3个次品的概率。
答案： 这是一个二项分布问题，其中n=100，p=0.02。至少有3个次品的概率可以通过1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)来计算，其中P(X=k)是恰好有k个次品的概率。
问题5： 一个随机变量X服从正态分布，其均值为μ=50，标准差为σ=10。求P(40 < X < 60)。
答案： 首先，我们需要将区间(40, 60)标准化。计算Z值：Z1 =
(40-50)/10 = -1，Z2 = (60-50)/10 = 1。然后，使用标准正态分布表查找Z值对应的累积概率，最后相减得到P(40 < X < 60)。
WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 第7章参数估计----点估计
一、填空题
1、设总体X服从二项分布B(N,p)，0P1，X1,X2Xn是其一个样本，那么矩估
计量p? X
N .
2、设总体X~B(1,p)，其中未知参数0p1,X1,X2,Xn是X的样本，
则p的矩估计为_ 1
n
i n
1
X
i
_，样本的似然函数为_
i n
1 Xi(1p)1X
p__。 i
3、设X1,X2,,Xn是来自总体X~N(,2)的样本，则有关于及 2
的似然函数 2
L(X,X,Xn;,)_ 12
i n
1 1
2
e 1
2(X) i 2 2
__。
二、计算题
1、设总体X具有分布密度f(x;)(1)x,0x1，其中1是未知参数，
X1,X2,X为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计. n
解：因 E(X ) 1
x 0 1
a() α 1
(α1)xdx1xdx
α 0 α1
1
2 a
2|
x 0
α α
α 1
2
令E(X)X ?
α
?
α 1
2 2X1
α?为的矩估计
1X
n
因似然函数L(x1,x2,x;)(1)(x1x2x) nn
n
lnLnln(α1)lnX，由
α i i1 lnL
α n
α
1 i n
lnX0
得， i 1
n
? WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 的极大似量估计量为(1)
α n
ln X i i1
2、设总体X服从指数分布f(x) x
e,x0
0,
其他
，X1,X2,Xn是来自X的样本，（1）
求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.
56WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 解：（1）由于 1
E(X)，令 11
X
X ，故的矩估计为 ? 1
X
（2）似然函数 n
L(x,x,,x)e 12n i n x i 1
写在前面：由于答案是一个个复制到word中，比较耗时耗力，故下载收取5分，希望需要的朋友给予理解和支持！PS：网上有一些没经我同意就将我的答案整合、转换成pdf，放在文库里的，虽然是免费的，但是窃取了我的劳动成果，希望有心的朋友支持我一下，下载我的原版答案。
第七章 假设检验
假设检验的基本概念
习题1
样本容量n确定后，在一个假设检验中，给定显著水平为α，设此第二类错误的概率为β，则必有().
(A)α+β=1; (B)α+β>1; (C)α+β<1; (D)α+β<2.
解答：
应选(D).
当样本容量n确定后，α,β不能同时都很小，即α变小时，β变大；而β变小时，α变大.
理论上，自然希望犯这两类错误的概率都很小，但α,β的大小关系不能确定，并且这两类错误不能同时发生，即α=1且β=1不会发生，故选(D).
习题2
设总体X∼N(μ,σ2), 其中σ2已知，若要检验μ, 需用统计量U=X¯-μ0σ/n.
(1)若对单边检验，统计假设为
H0:μ=μ0(μ0已知), H1:μ>μ0,
则拒绝区间为 ；
(2)若单边假设为H0:μ=μ0,H1:μ
解答：
应填(1)U>u1-α; (2)U
由单侧检验及拒绝的概念即可得到.
习题3 如何理解假设检验所作出的“拒绝原假设H0”和“接受原假设H0”的判断
解答：
拒绝H0是有说服力的，接受H0是没有充分说服力的. 因为假设检验的方法是概率性质的反证法，作为反证法就是必然要“推出矛盾”，才能得出“拒绝H0”的结论，这是有说服力的，如果“推不出矛盾”，这时只能说“目前还找不到拒绝H0的充分理由”，因此“不拒绝H0”或“接受H0”，这并没有肯定H0一定成立. 由于样本观察值是随机的，因此拒绝H0，不意味着H0是假的，接受H0也不意味着H0是真的，都存在着错误决策的可能.
