高考正态分布知识点归纳

第4讲：正态分布

★ 知 识 梳理 ★

1. 正态总体的概率密度函数：,,21)(222)(Rxexfx式中,是参数，分别表示___________与___________；

当0时得到标准正态分布密度函数：221,,26xfxex.

答案: 总体的平均数（期望值）; 标准差

2.正态曲线的性质：

① ______________________;

② ______________________;

③ ______________________;

④ ______________________;

答案:

① 曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

② 曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；

③ 曲线在x＝处达到峰值21；

④ 曲线与x轴之间的面积为1；

3. ,是参数,是参数的意义:

① ______________________;

② ______________________’

答案:

① 当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；

② 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；

越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。

特别提醒：

(1)P)(x=0.6826；

(2)P)22(x=0.9544

(3)P)33(x=0.9974

4．对于2(,)N，取值小于x的概率xFx.

12201xxPxxPxxxP21FxFx

21xx.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

2.难点：利用正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义解决简单问题.

3.重难点：.

(1) 正态分布与正态曲线

4.正态分布

(1)正态分布的定义

态变量概率密度曲线的函数表达式为22()21()2πxfxe，xR，其中，是参数，且0，．

式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作2(,)N．

(2)正态曲线的性质

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；

④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.

(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

①P(μ－σ

④正态变量在()，内的取值的概率为1，在区间(33)，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内，这就是正态分布的3原则．

5.(2017·西安调研)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X

①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ).

【训练4】 (2017·常德一模)已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(0

A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2

8.设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥1)＝________.

7.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数800＜X≤900的概率为p0，则p0＝________. 【例1】 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：

⑴至少有1株成活的概率；

⑴两种大树各成活1株的概率

1．(2019·广东省汕头市联考)在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图所示．

1 专题正态分布

【高考会这样考】利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【复习指导】

掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数μ、σ的含义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率．

基础梳理

1．正态曲线及性质

(1)正态曲线的定义

函数Rxexfx,21222

x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈(－∞，＋∞)．

②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的

两个特征数．

④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，

幂指数为－x－μ22σ2.

2六条性质正态曲线的性质

正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈R有以下性质：

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；

(4)曲线与x轴围成的图形的面积为1；

(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．2．正态分布

(1)正态分布的表示

X为正态分布，记作N(μ，σ2)．

(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

①P(μ－σ

②P(μ－2σ

③P(μ－3σ

3 双基自测

1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，

且f(x)＝18πe－x－1028，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()．

A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10

其中：π是圆周率；e是自然对数的底；

x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；

σ是正态分布的标准差

正态分布一般记为N(μ，σ2)．

2．正态分布N(μ，σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布．通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响．

通过几何画板，作出正态曲线，固定其中一个值，突破拖动值，另一个利用几何画板的功能比较直观的观察正态曲线受到均值μ或标准差σ的影响。

3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称．应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质．

4．结合正态曲线，归纳其以下性质：

(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．

(2)曲线关于直线x＝μ对称．

(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．

(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．

(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．

σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；

σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；

5．3σ原则：

对于正态总体),(2N取值的概率：

下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ． (1)221()2xfxe (2)2(1)81()2xfxe (3)22(1)1()xfxe

1.正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为( )。

A．95% B．50% C．% D．不能确定（与标准差的大小有关）

2.标准正态分布的均数与标准差分别为( )。

A．0与1 B．1与0 C．0与0 D．1与1

3.正态分布有两个参数与，( )相应的正态曲线的形状越扁平。