正态分布知识点总结
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4.正态分布
(1)正态分布的定义
态变量概率密度曲线的函数表达式为22()21()2πxfxe，xR，其中，是参数，且0，．
式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作2(,)N．
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ ④正态变量在()，内的取值的概率为1，在区间(33)，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内，这就是正态分布的3原则． 5.(2017·西安调研)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ). 【训练4】 (2017·常德一模)已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(0 A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 8.设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥1)＝________. 7.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数800＜X≤900的概率为p0，则p0＝________. 【例1】 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： ⑴至少有1株成活的概率； ⑴两种大树各成活1株的概率 1．(2019·广东省汕头市联考)在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图所示． (1)求这4 000名考生的竞赛平均成绩x－(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x－和考生成绩的方差s2，那么该区4 000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩低于84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)(精确到0.001)． 附：①s2＝204.75，204.75＝14.31； ②Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ ③0.841 354＝0.501. 3.(2019·合肥一模)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( ) (附：若X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5) A.4 093件 B.4 772件 C.6 827件 D.8 186件 (2017·常德一模)已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(0 A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 4.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数少于900的概率为( ) (参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ A.97.7% B.68.3% C.99.7% D.95.4% 5.某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知P(90<ξ<100)＝0.3，估计该班学生数学成绩不小于110分的人数为________. 10.若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.2，则P(2 14.设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，试估计落入阴影部分的点的个数. (注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ 15.已知随机变量X～B(2，p)，Y～N(2，σ2)，若P(X≥1)＝0.64，P(0 1 某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及均值. 20．（本小题满分10分） 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70,100)N。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。 （Ⅰ）试问此次参赛学生总数约为多少人？ （Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？ 在创建“全国文明城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示： 组别 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 2 13 21 25 24 11 4 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z∽N(μ，198)，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值．．．．作代表），①求μ的值；②利用该正态分布，求)5.88(ZP； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额（单元：元） 20 50 概率 43 41 现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望． 参考数据与公式： 19814．若X∽N 2,XN，则0.6826PX，220.9544PX，330.9974PX．
