高考复习资料之正态分布

考点38 正态分布与条件概率

【题组一 条件概率】

1．一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A，“第2次拿出的是白球”为事件B，则事件A发生的条件下事件B发生的概率是（ ）

A．47 B．516 C．58 D．514

2．一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，则概率()PBA（ ）

A．56 B．35 C．12 D．25

3．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A“第一次取到的是奇数”，事件B“第二次取到的是奇数”，则PBA（ ）

A．12 B．25 C．310 D．15

4．下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ）

A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567

5．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（ ）

A．310 B．35 C．12 D．14

【题组二 正态分布】

1．已知随机变量X服从正态分布5,4N，且4PXkPXk，则k的值为( )

A．6 B．7 C．8 D．9

2．随机变量服从正态分布21,N，若20.8P，则01P的值（ ）

A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2

3．某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布120,9N，成绩在(117,126]之外的人数估计有（ ）

第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布

专题10.06 条件概率、二项分布及正态分布

【考试要求】

1.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，了解条件概率与独立性的关系；

2.会利用乘法公式计算概率，会利用全概率公式计算概率；

3.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题；

4.了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.

【知识梳理】

1.条件概率

条件概率的定义 条件概率的性质

设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P（AB）P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 (1)0≤P(B|A)≤1；

(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)

2.事件的相互独立性

(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.

(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与B－，A－与B，A－与B－也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A).

3.全概率公式

(1)完备事件组：

设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，An是样本空间的一个划分，满足：

①A1∪A2∪…∪An＝Ω.

②A1，A2，…，An两两互不相容，则称事件A1，A2，…，An组成样本空间Ω的一个完备事件组.

(2)全概率公式

设S为随机试验的样本空间，A1，A2，…，An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，∪ni＝1Ai＝S，则对任一事件B，有P(B)＝∑ni＝1P(Ai)P(B|Ai)称满足上述条件的A1，A2，…，An为完备事件组.

4.独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1，2，…，n)是第i次试验结果，则

P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).

高考数学第一轮复习：《二项分布与正态分布》

最新考纲

1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．

2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．

3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

4.能解决一些简单的实际问题.

【教材导读】

1．条件概率和一般概率的关系是什么？

提示：一般概率的性质对条件概率都适用，是特殊与一般的关系．

2．事件A，B相互独立的意义是什么？

提示：一个事件发生的概率对另一个事件发生的概率没有影响．

3．在一次试验中事件A发生的概率为p，在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率值为什么是Cknpk(1－p)n-k?

提示：n次恰好发生k次，为Ckn个互斥事件之和，每个互斥事件发生的概率为pk(1－p)k，故有上述结论．

4．正态分布中最为重要的是什么？

提示：概念以及正态分布密度曲线的对称性．

1．条件概率及其性质

条件概率的定义 条件概率的性质

一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 (1)0≤P(B|A)≤1；

(2)若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)

2.事件的相互独立性 (1)定义

设A、B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．

(2)与对立事件的关系

如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．

3．独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验

一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．

(2)二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，设在每次试验中事件A发生的概率为p，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．

此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．

离散型随机变量的均值与方差、正态分布

一、基础知识

1.均值

一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

1期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,2EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而EX是不变的，它描述X取值的平均状态.,3EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了EX的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.

2.方差

设离散型随机变量X的分布列为：

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根DX为随机变量X的标准差.

1随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.DX越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近.,2方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.

3.两个特殊分布的期望与方差

分布 期望 方差

两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)

二项分布 E(X)＝np D(X)＝np(1－p)

4.正态分布

(1)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；