冀教版八年级下册数学第21章 一次函数 一次函数与二元一次方程的关系

一次函数与二元一次方程的关系

【教学目标】

1．掌握理解一次函数与二元一次方程的关系，学会用图像法解二元一次方程组。

2．熟练运用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法。

3．亲历图像法解方程组的探索过程，体验分析归纳得出具体问题的结果，进一步发展学生的探究、交流能力。

【教学重难点】

重点：掌握对应关系的理解及实际问题的探究建模。

难点：二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系在具体题中的实际应用。

【教学过程】

一、直接引入

师：今天这节课我们主要学习二元一次方程与一次函数的关系，这节课的主要内容有探究二元一次方程与一次函数的关系，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。

二、讲授新课

（1）教师引导学生在预习的基础上了解二元一次方程和一次函数的相关知识内容，形成初步感知。

（2）首先，我们先来学习二元一次方程与一次函数的关系，它的具体内容是：

一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图像相同，是一条直线。

它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。

例：（1）方程5xy的解有多少个？写出其中几个。

（2）在直角坐标系中分别扫出以这些点为坐标的点，它们在一次函数5yx的图像上吗？

（3）在一次函数5yx的图像上任取一点，它的坐标适合方程5xy吗？

（4）以方程5xy的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数5yx的图像相同吗？

根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。

练习：

1．下列说法正确的是（ ）.

（A） 二元一次方程325xy的解为有限个 （B） 方程3+27xy的解xy，为自然数的有无数对

（C） 方程组00xyxy的解为0

（D） 方程组中各个方程的公共解叫做这个方程组的解

2．在等式=ykxb中，当1x时，2y，当2x时，7y则这个等式是（ ）

21.5 一次函数与二元一次方程的关系

1．掌握一次函数与方程的关系；(重点)

2．综合应用一次函数与方程关系解决问题．(难点)

一、情境导入

下面三个方程有什么共同点和不同点？你能进行解释吗？

(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.

能从函数的角度解这三个方程吗？

二、合作探究

探究点一：一次函数与一元一次方程

一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为( )

A．x＝－1 B．x＝2

C．x＝0 D．x＝3

解析：∵y＝kx＋b经过点(2，3)、(0，1)，∴b＝1，2k＋b＝3，解得b＝1，k＝1，∴一次函数解析式为y＝x＋1.令x＋1＝0，解得x＝－1.故选A.

方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．

探究点二：一次函数与二元一次方程(组)

直角坐标系中有两条直线：y＝35x＋95，y＝－32x＋6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)用图象法解方程组5y－3x＝9，3x＋2y＝12；

(3)求△PAB的面积．

解析：(1)分别令y＝0，求出x的值即可得到点A、B的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解：(1)令y＝0，则35x＋95＝0，解得x＝－3，所以点A的坐标为(－3，0)．令－32x＋6＝0，解得x＝4，所以点B的坐标为(4，0)；

(2)如图所示，方程组的解是x＝2，y＝3；

(3)AB＝4－(－3)＝4＋3＝7，S△PAB＝12×7×3＝212.

方法总结：本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．

《一次函数的图象与性质》教学设计

一、教材分析

一次函数是中学数学中的一种最简单、最基本的函数，是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一，也是学生今后进一步学习初、高中其它函数和高中解析几何中的直线方程的基础。为此，在教学中，通过设置问题，引导学生观察探索，让学生在学习过程中体验、感悟函数思想等思想方法，从而激发学生学习函数的信心和兴趣，这也是教学目标。

本节课安排在正比例函数与一次函数的概念和函数图象画法之后。目的是通过这一节课的学习使学生掌握一次函数图象和性质，并能简单应用性质。它既是探究其他函数性质的基础，又是后续学习“用函数观点看方程（组）与不等式”的基础，在本章中起着承上启下的作用。本节教学内容还是学生进一步学习“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。作为一种数学模型，一次函数在日常生活中也有着极其广泛的应用。

二、学情分析

学生已经学习了一次函数和正比例函数的定义、一次函数的图象形状以及会

选择两点来画直线。会使用几何画板软件画函数图象。

三、 教学目标的确定

基于以上对教材、学情分析和新课标的要求，特制定本节课的教学目标：

知识与技能：经历探索由一次函数图象观察归纳一次函数性质的过程，掌握并应用性质解决问题。

过程与方法：经历观察 、猜想、实验、归纳、推理 、交流等数学活动过程，使学生体会和学会探索问题的一般方法，同时渗透数形结合、数学建模、类比和分类讨论数学思想。

情感态度价值观：通过数学实验、自主探究和合作交流，增强团队意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质，体验成功的喜悦。

四、教学重点和难点

教学重点：一次函数的图象和性质

教学难点：由一次函数的图象实验归纳出一次函数的性质及对性质的理解。

五、教学方法：数学实验法、自主探究式教学方法 六、教学手段：几何画板软件

七、教学过程设计

一、知识回顾

问题1 什么叫正比例函数？

一般地，形如 y=kx（k 是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．

爱、交流、成长 华达瑞英教育，您梦起航的地方 1 一对一教案

学生 学 校 年 级 八年级

教师 授课日期 授课时段

课题 二元一次方程与一次函数的关系

重点

难点

重点：二元一次方程和一次函数的关系。

难点：方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。

教学步骤及教学内容

一、课前检测：

（一）、选择题

1.下列方程是二元一次方程的是（ ）.

（A）21x （B）222xy （C）14yx （D）103xy

2.方程组2021xyxy解的个数有（ ）.

（A）一个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

3.若方程组01axyxby的解是11xy，那么a、b的值是（ ）.

（A）10ab，（B）112ab，（C）10ab，（D）00ab，

4.若m、n满足2|21|(2)0mn，则mn的值等于（ ）.

（A）－1 （B）1 （C）－2 （D）2

（二）、.填空题

1.已知方程23xy，用含x的式子表示y的式子是____，用含y的式子表示x的式子是___________.

2.已知112xy是方程42axy的一个解，那么a__________.

爱、交流、成长 华达瑞英教育，您梦起航的地方 2 3.已知4xy，10xy，则2xy________.