高中数学人教A版 必修第一册 用二分法求方程的近似解 课件

高中数学人教A版（新教材）必修第一册

1 4.5.2 用二分法求方程的近似解

课标要求 素养要求

1.探索用二分法求方程近似解的思路.

2.能借助计算工具用二分法求方程近似解. 通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼进”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.

教材知识探究

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子.

可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了，你知道他是如何做到的吗？

如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.

每查一次，可以把待查的线段缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50～高中数学人教A版（新教材）必修第一册

2 100 m左右，即一两根电线杆附近，只要7次就够了.

问题1 上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？

问题2 工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆子的关键是什么？

问题3 如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆子？

提示 1.二分法. 2.确立故障的范围. 3.6次.

1.二分法

二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用

对于在区间『a，b』上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤：

(1)确定零点x0的初始区间『a，b』，验证f(a)·f(b)<0；

第五章 函数的应用（二）

4.5.2 二分法求方程的近似解

《数学1必修本（A版）》的第五章4.5.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

课程目标 学科素养 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．

2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．

3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解． a.数学抽象：二分法的概念；

b.逻辑推理：运用二分法求近似解的原理；

c.数学运算：运用二分法求具体方程的近似解；

d.直观想象：运用函数图像理解二分法的原理；

e.数学建模：体会二分法中的算法思想；

教学重点：用“二分法”求方程的近似解

教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

多媒体

教学过程

设计意图

核心教学素养目标

（一）创设问题情境

1．函数的零点:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point）

2、零点存在判定法则

()[,]fxab如果函数y=在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.提出问题 我们已经知道，函数𝒚=𝒍𝒏𝒙+𝟐𝒙−𝟔在区间（２，３）

内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？

第 1 页 共 9 页 3.1.2 用二分法求方程的近似解（新人教版）

课标要点

课标要点 学考要求 高考要求

1.二分法 a a

2.利用二分法求方程的近似解 a a

知识导图

学法指导

1.明确二分法的适用条件：图象在零点附近连续，且该零点为变号零点．

2．在求方程近似解时，先利用函数图象求出解的初始区间，再列表逼近零点，注意精确度、初始区间对方程近似解的影响.

知识点 用二分法求方程的近似解

1．二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．

2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.

第二步：求区间(a，b)的中点c.

第三步：计算f(c)．

(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； 第 2 页 共 9 页 (2)若f(a)·f(c)<0，

则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；

(3)若f(c)·f(b)<0，

则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．

第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．( )

(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．( )

(3)精确度ε就是近似值．( )

答案：(1)× (2)× (3)×

2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是( )

解析：根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．

教A版必修第一册 (2)

4．5。2 用二分法求方程的近似解

内 容 标 准 学 科 素

养

1.根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程近似解． 数学运算

数学抽象 2.了解二分法的含义及近似思想、逼近思想及应用.

授课提示：对应学生用书第71页

[教材提炼]

知识点 二分法的概念及步骤

错误!

我们已经知道,函数f(x）＝ln x＋2x－6在区间（2,3)内存在一个零点．进一步的问题是,如何求出这个零点呢？

取区间（2，3)的中点2.5，用计算工具算得f（2。5）≈－0.084.因为f（2。5)f(3)＜0，那么零点在区间应该是哪个区间？

知识梳理 (1）对于在区间[a，b］上图象连续不断且f(a)f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)． 教A版必修第一册 (2)

（2）给定精确度ε，用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤如下：

①确定零点x0的初始区间［a，b]，验证f(a）f（b）＜0.

②求区间(a,b)的中点c。

③计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：

a．若f(c）＝0(此时x0＝c），则c就是函数的零点;

b．若f(a）f（c）＜0(此时x0∈（a，c)),则令b＝c；

c．若f（c)f（b）＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.

④判断是否达到精确度ε：若｜a－b|＜ε,则得到零点近似值a（或b)；否则重复步骤②~④.

[自主检测]

1．下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( ）

答案：A 教A版必修第一册 (2)

2．用二分法求函数f(x）＝log2x－32的零点时，初始区间可选为（ ）

A．（0,1) B．(1，2）

C．（2，3) D．（3，4）

答案：C

3．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2。5，那么下一个有根的区间是________．