人教A版高中数学必修一 3.1.2用二分法求方程的近似解 教案

1 3.1.2 用二分法求方程的近似解

一、用二分法求函数()fx零点近似值的步骤

通过上述问题的分析解答总结：在给定精确度，用二分法求函数()fx零点的近似值的步骤是：

1．确定区间[,]ab，验证()()0fafb，给定精确度；

2．求区间(,)ab的中点12abx；

3．计算1()fx：

（1）若1()fx=0，则1x就是函数的零点，计算终止；

（2）若1()()0fafx，则令1bx（此时零点01(,))xax；

（3）若1()()0fxfb，则令1ax（此时零点01(,))xxb。

4．判断是否达到精确度：即若ab，则得到零点近似值ab或；否则重复2~4。

由函数的零点与相应方程根的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解。由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算。

二、二分法的评注

1．用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不使用；

2．从引入函数零点的概念到函数零点的研究和求解，应用到由特殊到一般的转化思想，通过学习提高函数思想和数形结合的能力。

三、例题讲解

例1．借助计算器或计算机用二分法求方程237xx的近似解（精确到0.1）。

解：原方程即2370,()237xxxfxx令，用计算器或计算机作出函数()237xfxx的对应值表与图象：

x

0 1 2 3 4 5 6 7

237xyx -6 -2 3 10 21 40 75

142

观察右图和表格，可知(1)(2)0ff，说明在区间（1，2）内有零点0x。 y

取区间（1，2）的中点11.5x，用计算器可的得(1.5)0.33f。 o x

因为(1)(1.5)0ff，所以0(1,1.5)x，再取(1,1.5)的中点21.25x， 2 用计算器求得(1.25)0.87f，因此(1.25)(1.5)0ff，所以0(1.25,1.5)x。

课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解

教学目标：

知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．

情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点：

重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

教学程序与环节设计： 教学过程与操作设计：

环节 教学内容设计 师生双边互动

创

设

情

境 材料一：二分查找(binary-search)

（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（ ）个单元。

Ａ．1000 Ｂ．10 Ｃ．100 Ｄ．500

二分法检索（二分查找或折半查找）演示．

材料二：高次多项式方程公式解的探索史料

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(xfy的零点（即0)(xf的根），对于)(xf为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．

在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题． 师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．

§3.1.2用二分法求方程的近似解

课题 用二分法求方程的近似解

课型 新课 教学方法 启发讲授

教学

目标 1、知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

2、过程与方法： 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．

3、情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点

通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

教学难点

恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

教学用具

多媒体，计算器 【教学过程】：

一、复习：

1、函数零点：使f(x)=0的实数根x叫做函数y=f(x)的零点。

方程f(x)=0有实根 函数y=f(x)的图像与x轴有交点

函数y=f(x)有零点

2、零点存在的判定

如果函数)(xfy在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有,0)()(bfaf那么，函数)(xfy在区间（a,b）内有零点，即存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程)(xfy的根。

3、零点个数的求法

图象法代数法

二．生活实例引入

引例1

CCTV2“幸运52”片段 ：

主持人李咏说道:猜一猜这架家用型数码相机的价格.观众甲:2000!李咏:高了! 观众乙:1000! 李咏:低了! 观众丙:1500! 李咏:还是低了!······

问题１:你知道这件商品的价格在什么范围内吗? 答案:1500至2000之间

问题２:若接下来让你猜的话,你会猜多少价格比较合理呢?

引例2

在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10km长,大约有200多根电线杆子呢.想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理？

课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解

教学目标：

知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．

情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点：

重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

教学程序与环节设计：

创设情境

组织探究

探索发现

尝试练习

作业回馈

课外活动 由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．

二分法的意义、算法思想及方法步骤．

体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．

二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题．

二分法应用于实际．

1． 二分法为什么可以逼近零点的再分析；

2． 追寻阿贝尔和伽罗瓦． 教学过程与操作设计：

环节 教学内容设计 师生双边互动

创

设

情

境 材料一：二分查找(binary-search)

（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（ ）个单元。

Ａ．1000 Ｂ．10 Ｃ．100 Ｄ．500

二分法检索（二分查找或折半查找）演示．

材料二：高次多项式方程公式解的探索史料

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(xfy的零点（即0)(xf的根），对于)(xf为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．

在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．