高等数学(经济类)课后习题及答案第九章多元函数微分

习题9-1（A）

1．求下列各函数的表达式：

（1）设函数22),(yxyxf，求(,)fyx，),(xxf．

解：(,)fyx22)()(xy22xy，

0)(),(22xxxxf．

（2）设函数)1(3xfyz，已知1y时，xz，求)(xf及z的表达式．

解：由1y时，xz，有)1(13xfx，即，

所以1)1()(3xxf；而1)1(3xyxfyz．

（3）设函数yyxyxf1)1(),(2，求),(xyyxf．

解：2222))(()()(/1)/1()(),(yxyxyxyxyxyxxyxyyxxyyxf．

（4）设函数xyyxyxf),(，求),(yxf的表达式．

解：（方法1）因为

4)()(4)2(244),(222222yxyxyxyxyxyxxyyxyxf，

所以),(yxf422xy．

（方法2）令vyxuyx、，则22uvyvux、，于是

422),()(22uvuvuvxyyxyxfvuf，，所以),(yxf422xy．

2．求下列各函数的定义域，并作定义域草图：

（1）)ln(xyz； （2）221arcsinxyyz；

（3）221arcsinyxxxyz； （4）41)16ln(2222yxyxz． 1]1)1[(1)1(333xxxf解：（1）由0xy且0x，得定义域}0,),{(xxyyxD．

（2）由022xy及1y，有1yx，得定义域}1),{(yxyxD．

（3）由0100122yxxxxy、、、，有0122xxyyx、、，得定义域}0,,1),{(22xxyyxyxD．

（4）由040162222yxyx、，有16422yx，或4222yx，得定义域}42),{(22yxyxD．

3．求下列极限：

（1）(,)(1,1)2lim2xyxyxy； （2）xxyayxsinlim),0(),(；

（3）22)0,0(),(1sinlimyxxyx； （4）2)1,0(),(2tanlimxyxyyx；

（5）22(,)(1,1)sin()limxyxyxy； （6）231lim)1,1(),(xyxyyx.

解：（1）(,)(1,1)2121lim2213xyxyxy．

（2）(,)(0,)(,)(0,)sinlimlimxyaxyaxyxyaxx．

（3）因为221sinyx有界，而0lim)0,0(),(xyx，所以22)0,0(),(1sinlimyxxyx0．

（4）2111211limtanlim212tanlim)1,0(),()1,0(),(2)1,0(),(yxyxyxyxyyxyxyx． （5）222222(,)(1,1)(,)(1,1)sin()()sin()limlim212.xyxyxyxyxyxyxy

（6）)23(lim1)23)(1(lim231lim)1,1(),()1,1(),()1,1(),(xyxyxyxyxyxyyxyxyx4．

4．证明下列极限不存在：

（1）(,)(0,0)limxyxyxy； （2）242)0,0(),(limyxyxyx．

证明：（1）沿)1(kkxy取极限，则kkkxxkxxyxyxxxkxy11limlim00，当k取不同值时，该极限值不同，所以极限(,)(0,0)limxyxyxy不存在．

（2）沿0y取极限，00limlim024200xxyyxyx；

沿2xy取极限，212limlim44024202xxyxyxxxxy．

由于2420242002limlimyxyxyxyxxxyxy，所以极限242)0,0(),(limyxyxyx不存在．

习题9-1（B）

1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为yx、（单位：元），两个市场的销售量21QQ、各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是(2012000C)21QQ，试用yx、表示该厂生产此产品的利润L．

解：根据已知，设yabQxabQ222111、，

由10x时，24001Q；12x时，20001Q，有，，2000122400101111abab得、2001a

44001b，于是xQ20044001．

由10y时，8502Q；12y时，7002Q，有，，70012850102222abab得、752a 16002b，于是yQ7516002．

两个市场销售该产品的收入为22217516002004400yyxxyQxQR，

该产品的成本(2012000CyxQQ15003200040008800012000)21

yx15004000132000．

根据利润等于收入减去成本，得

)15004000132000(751600200440022yxyyxxL

132000752003100840022yxyx．

2．求下列极限：

（1）yyxxy)11(lim),2(),(； （2）22)0,0(),(1elim22yxyxyx；

（3）4422),(),(limyxyxyx； （4）22(,)(0,0)lim.xyxyxy

解：（1）211),2(),(),2(),(e])11[(lim)11(limxxyyxyyxxyxye．

（2）法1： 令tyx22，则当)00()(，，yx时，0t，所以

tyxttyxyx1elim1elim022)0,0(),(221．

法2：因为)00()(，，yx时，1e22yx与22yx是等价无穷小，所以

1lim1elim2222)0,0(),(22)0,0(),(22yxyxyxyxyxyx．

（3）因为224424424422110yxyxyyxxyxyx，

而00lim),(),(yx， 0)11(lim22),(),(yxyx，根据“夹逼准则”得0lim4422),(),(yxyxyx．

（4）令sincosyx、，则当)00()(，，yx时，0（其中在区间)20[，内任意变化），所以sincoslimlim20022)0,0(),(yxxyyx0． 3．证明极限22222)0,0(),()(limxyyxyxyx不存在．

证明：沿0y取极限，00lim)(lim202222200xxyyxyxxxy；

沿xy取极限，11lim)(lim0222220xxxyxyyxyx．

因此，极限22222)0,0(),()(limxyyxyxyx不存在．

4．讨论函数0002)(222222yxyxyxxyyxf，，，，在点），（00处的连续性．

解：沿xy取极限，由)00(11lim2lim)(lim02200，，fyxxyyxfxxxyxxy，有

)00()(lim)0,0(),(，，fyxfyx，所以函数)(yxf，在点），（00处不连续．

习题9-2（A）

1. 求下列函数的偏导数：

（1）223zxyxy； （2）2cossin()zxyxy；

（3）ln(2)zxy； （4）2ln(ln)zxy；

（5）cosyzxyx（0x）； （6）arcsin1zxy；

（7）22yxxyz； （8）arctanxyzxy；

（9）yxzu； （10）zyxu)tan(22．

解：（1）2123zyxxy，32223zxyyxy．

（2）2sincoscos()sin2cos()zxyxyyxyyxyxyx，

2sincoscos()sin2cos()zxyxyxxyxxyxyy．

（3）11122ln(2)2(2)ln(2)zxxyxyxyxy，

111222ln(2)(2)ln(2)zyxyxyxyxy．

（4）22122lnlnzxxxxyxy，22111ln(ln)zyyxyyxy．

（5）xyxyxyxyxyxyxyxyxyyxzsincos21)(sincos2332，

xyxyxyyxxxyxyxyxyxyzsincos211sincos2．

（6）)1(212)1(11xyxyyxyyxyxz， )1(212)1(11xyxyxxyxxyyz．

（7）2/3223222222)(yxyyxyxxxyyxyxz，

由变量yx、的对称性，得2/3223)(yxxyz．

（8）222211()1()()1()zxyxyyxyxxyxyxy，

22221()1()1()1()xyxyzxxyyxyxyxy．

（9）zzyyzzxuyxyxln11ln，zzyxyxzzyuyxyxln)(ln22，

yyxyxzyxzyxzu1．

（10）zyxxzxyxxu)(sec22)(sec222222，

zyxyzyyxyu)(sec2)2()(sec222222，222)tan(zyxzu．

2. 求曲线1,2122xyxz在点)3,1,1(M处的切线与x轴正向的夹角．

解：222zxxxy，112211122xxyyzxxxy，

用表示曲线1,2122xyxz在点)3,1,1(M处的切线与y轴正向的夹角，则21tan，所以432621arctan．

3. 设xyxyxzxsec)1(e2，求)0,1(xz及)0,1(yz．