江南大学2020线性代数2a-1

浙 江 工 业 大 学 线 性 代 数 期 末 试 卷（ 2020 ～ 2021 第 二 学 期 ）任课教师 学院班级： 选课班中编号：学号： 姓名： 得分：一．填空题(每空3分, 共30分)1. 已知222⨯=−A ，则13−−=A .2. 若对任意的3维列向量123=⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭x x x x ，121232−⎛⎫= ⎪+−⎝⎭x x Ax x x x 则=A .3. 120⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，R()A *= ，A *= . 4. 将2阶矩阵A 的第一列乘以3，再将第二列的 -2倍加到第一列得矩阵B ，则满足B = AP 的矩阵P 为 .5. 如果向量组1110,,100−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭k k αβγ线性无关，则参数k 满足 .6. 向量空间{}(,,)|23==x y z x y z 的维数是 ，一组基为 .7. 实向量空间2R 中的向量51⎛⎫= ⎪⎝⎭β在基1213,24αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下的坐标为 .8. 若112−⎛⎫= ⎪⎝⎭P AP ，其中(),αβ=P ，令()+,=αββQ ,则1−=Q AQ .二. 单项选择题(每小题2分,共10分)1. 设n 阶矩阵, , A B C 满足关系式ABC =E ，则以下一定正确的是 ( ). (A) =ACB E (B) =CBA E (C) =BAC E (D) =BCA E2. 设A 为可逆方阵，*A 是A 的伴随矩阵，则-1(2)*=A ( ).(A)-112A A (B) 12A A (C) -12A A (D) 2A A 3. 向量组12,,...,(2)≥S s ααα线性无关的充分必要条件是( ). (A) 12,,...,S ααα中任意向量非零 (B) 12,,...,S ααα中任意两个向量线性无关 (C) 12,,...,S ααα中任意s-1个向量线性无关(D) 12,,...,S ααα中任意向量都不能由其余向量线性表示 4. 若0⨯=n n A ，但0*≠A ，则0=AX 的解空间维数为( ). (A) n (B) 1 (C) n-1 (D) 0 5. 设3阶矩阵A 的特征值为1,-1,2，则下列矩阵中( )是可逆矩阵. (A) 22E -A (B) 2-E A (C) 2E +A (D) +E A三. 计算题（每题10分,共50分）1. 已知11111200=10301004⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭A，求A.2. 已知111011,001A−−⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭211,012B⎛⎫= ⎪⎝⎭矩阵X满足2,−=XA B X求X.3. 已知向量组12341-1123,,-1,25316⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭λαααα的秩为2.(1) 求参数λ；(2) 求该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量.4. 已知线性方程组1232123123 + +4+24=⎧⎪−+−=⎨⎪−=−⎩x x kx x kx x k x x x 问：（1）当参数k 满足什么条件时，方程组有唯一解？无解？有无穷多解？ （2）有无穷多解时，求方程组的通解.5. 设111111111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,（1）求A 的特征值和特征向量；（2）求正交矩阵Q 及对角矩阵Λ，使得1=−Q AQ Λ.四、证明题（共10分）1. （6分）设，A B 均为n 阶矩阵，其中A 为可逆矩阵，证明：AB 与BA 相似.2. （4分）设A 为n 阶方阵，证明：存在A 的如下分解：=A BP ，其中2=B B ,P 为可逆矩阵.。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精品自学考 料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯全国 2019 年 10 月高等教育自学考试线性代数试题课程代码： 02198试卷说明： A T 表示矩阵 A 的转置矩阵， A * 表示矩阵 A 的伴随矩阵， E 是单位矩阵， |A|表示方阵 A 的行列式。

一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。

错选、多选或未选均无分。

a 11 a 12 a 133a 11 3a 12 3a 131.设行列式 a 21a22a23，则3a 32 3a 33 等于 （）33a 31a31a32a333a 21 3a 22 3a 23A. –81B. –9C.9D.812.设 A 是 m × n 矩阵， B 是 s ×n 矩阵， C 是 m ×s 矩阵，则下列运算有意义的是（ ）A.ABB.BCC.AB TD.AC T 3.设 A ，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确 的是（）．．．A.(A+B) T =A T +B TB.(A+B) -1 =A -1 +B -1C.(AB) -1=B -1A -1D.(AB) T =B T A T4.已知α 1=(1,0,0) ，α 2=(-2,0,0) ，α 3=(0,0,3) ，则下列向量中可以由α 1，α 2 ，α 3 线性表出的是（ ）A. （ 1， 2， 3）B. （ 1， -2， 0）C.（ 0， 2， 3）D. （3， 0， 5）5.设 A 为 n(n>2) 阶矩阵，秩（ A ） <n-1 ，则秩（ A * ） =（ ）A.0B.1C.n-1D.n10 1 06.矩阵 A= 02 3 4 的秩为（ ）0 5A.1B.2C.3D.47.设α 1=（ 1， 0， 0，c 1），α 2 =（ 1，2，0，c 2 ），α 3=（ 1，2，3， c 3），α 4=（ 3，2， 1， c 4），1其中 c1， c2， c3， c4是任意实数，则必有（）A. α1，α2，α3线性相关B.α1，α2，α3线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α1，α2，α3，α4线性无关x1 x 2 x 3 x 4 2 x 5 0的基础解系中所含向量的个数为（）8.线性方程组2x 2 2x 3 2x 4 x 5 02x 1A.1B.2C.3D.49.n 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是（）A.A 有 n 个不同的特征值B.A 为实对称矩阵C.A 有 n 个不同的特征向量D.A 有 n 个线性无关的特征向量10.设 A 是 n 阶正定矩阵，则二次型x T(-A)x （）A. 是不定的B. 是负定的C.当 n 为偶数时是正定的D.当 n 为奇数时是正定的二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

重庆文理学院考试试卷2019——2020学年第二学期时间：100分钟《线性代数》课程32学时2学分考试形式：闭卷总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设2()3f x x =-，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3 4 0 1A ，则)(A f =.2、设B A ,为n 阶矩阵，如果有n 阶可逆矩阵P ，使成立，则称A 与B 相似．3、n 元非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是.4、已知二次型()323121232221321662355,,x x x x x x x x x x x x f -+-++=，则二次型f 对应的矩阵A =.5、设4阶方阵A 满足：0,30,2T A E A AA E <+==(其中E 是单位矩阵)，则A 的伴随矩阵*A 必有一个特征值为.二、选择题（每小题3分，共15分）1、已知4阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且A 的行列式A =3，则*A =（）.（A ）81.（B ）27.（C ）12.（D ）9.2、设A 、B 都是n 阶方阵，且A 与B 有相同的特征值，并且A 、B 都有n 个线性无关的特征向量，则（）。

（A ）A 与B 相似.（B ）A =B .（C ）B A ≠，但0||=-B A .（D ）A 与B 不一定相似，但||||B A =.3、设n 阶方阵A 为正定矩阵，下面结论不正确的是（）.（A ）A 可逆.（B ）1-A 也是正定矩阵.（C ）0||>A .（D ）A 的所有元素全为正.4、若n 阶实方阵2A A =，E 为n 阶单位阵，则（）.（A ）()()R A R A E n +->.（B ）()()R A R A E n +-<.（C ）()()R A R A E n +-=.（D ）无法比较()()R A R A E n +-与的大小.5、设1234123400110111c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）.（A ）123ααα，，.（B ）124ααα，，.（C ）134ααα，，.（D ）234ααα，，.三（本题满分10分）计算n （2n ≥）阶行列式n xa a a x a D aax=，n D 的主对角线上的元素都为x ，其余位置元素都为a ，且x a ≠.四（本题满分10分）设3阶矩阵,A B 满足关系：110216,041007A BA A BA A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭且,求矩阵B .五（本题满分10分）设方阵A 满足220A A E --=(其中E 是单位矩阵)，求11,(2)A A E --+.六（本题满分12分）已知向量组A ：11412α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，22131α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，31541α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，43670α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，（1）求向量组A 的秩；（2）求向量组A 的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表示.七（本题满分14分）设矩阵11111A ααββ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵000010002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，（1）求,αβ；（2）求正交矩阵P ,使1P AP B -=.八（本题满分14分）设有线性方程组为23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩（1）证明：若1a ，2a ，3a ，4a 两两不等，则此方程组无解.（2）设13a a k ==，24a a k ==-（0k ≠），且已知1β，2β是该方程组的两个解，其中1(1, 1, 1)T β=-，2(1, 1, 1)T β=-，写出此方程组的通解.参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、-2 08 6⎛⎫ ⎪⎝⎭；2、1P AP B -=；3、()(,)R A R A b n ==；4、513153333-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭；5、43二、选择题（每小题3分，共15分）BADCC三（本题满分10分，见教材P44习题第5题）解：后面1n -列都加到第1列，得(1)(1)(1)n x n a a ax n ax aD x n a a x+-+-=+-xaa x a a a n x a n x c111])1([])1([1-+===-+÷])1([)(010101])1([1)()()(1223a n x a x ax ax a n x n c a c c a c c a c nn -+-=---+====--+-+-+.四、（本题满分10分，与典型题解P172例6类似）解：111121166()6416327161B A E ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.五、（本题满分10分，见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例7）解：212022A E A EA A E A E A -----=⇒=⇒=.22212112()202(2)()(4A E A A E A E A A E A A ------=⇒+=⇒+===）或34E A-六、（本题满分12分，见教材P89习题3第2题，或典型题解P178例6）解：1213101141560112134700002110000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，12()2,,R A αα=为所求的一个最大线性无关组，且312412,2αααααα=-+=-+.七、（本题满分14分，见典型题解P190例14）解：（1）由,A B 相似知，,A B 有相同的特征值，而B 的特征值为0,1，2，故得A 的特征值为1230,1,2λλλ===，从而有0010E A E A ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩，由此解得0α=，β=0.（2）对于10λ=，解()00E A X ⋅-=，得特征向量101-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，单位化得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210211p ；对于21λ=，解()0E A X -=，得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101p ；对于32λ=，解()20E A X -=，得特征向量为101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，单位化得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p 令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，则P 为正交阵，且使1P AP B -=.八、（本题满分14分，见教材P87例3.13）解：（1）增广矩阵B 的行列式是4阶范德蒙行列式：231112322223143332344411||()11ji i j a a a a a a B aa a a a a aa≤<≤==-∏由于1a ，2a ，3a ，4a 两两不等，知||0B ≠，从而()4R B =，但系数矩阵A 的秩()3R A ≤，故()()R A R B ≠，因此方程组无解.（2）13a a k ==，24a a k ==-（0k ≠）时，方程组变为23123231232312323123x kx k x k x kx k x k x kx k x k x kx k x k⎧++=⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-+=-⎩即2312323123x kx k x k x kx k x k⎧++=⎨-+=-⎩因为1201kk k=-≠-，故()()2R A R B ==，所以方程组有解，且对应的齐次方程组的基础解系含3-2=1个解向量，又1β，2β是原非齐次方程组的两个解，故21(2, 0, 2)T ξββ=-=-是对应齐次方程组的解；由于0ξ≠，故ξ是它的基础解系。

/线性代数习题及答案习题一1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n (n -1)…321； (4) 13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2. 【解】(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;(3) τ(n (n -1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n -1)=(1)2n n -; (4) τ(13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2)=0+1+…+(n -1)+(n -1)+(n -2)+…+1+0=n (n -1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.4. 本行列式4512312123122x x x D x xx=的展开式中包含3x 和4x 的项.解： 设 123412341234()41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ=-∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3x 项有(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅=-+-=-4D 展开式中含4x 项有(1234)4(1)2210x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=.5. 用定义计算下列各行列式.(1)0200001030000004； (2)1230002030450001.【解】(1) D =(-1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.6. 计算下列各行列式.(1)2141312112325062-----； (2) abac ae bd cd de bfcf ef-------；(3)100110011001a b c d---； (4)1234234134124123. 【解】(1) 1250623121012325062r r D+---=--; (2) 1114111111D abcdef abcdef --==------;210110111(3)(1)111011001011;b c D a a b cd c c d d d dabcd ab ad cd --⎡--⎤=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++321221133142144121023410234102341034101130113(4)160.10412022200441012301110004r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---====-------7. 证明下列各式.(1) 22222()111a ab b aa b b a b +=-；(2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++；(3) 232232232111()111a a a a bb ab bc ca b b c c c c =++(4) 20000()0000n n a b a b D ad bc c d cd==-；(5)121111111111111nni i i i na a a a a ==++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑∏. 【证明】(1)1323223()()()2()2001()()()()()2()21c c c c a b a b b a b b a b a b b a b a b b a b a b ba b a b a b a b --+--=--+--+==-=-=--左端右端.(2) 32213142412222-2-2232221446921262144692126021446921262144692126c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b c c c c c cd d d d d d ---++++++++====++++++++左端右端. (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:2323232311()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b bcc c ==------从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为2221()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b cc ++---=++但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故231123231(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得22(1)2(1)2(1)0000000(),n n n n a b aba ba bD abc dc dc d c d dc ad D bc D ad bc D ---=-=⋅-⋅=-据此递推下去，可得222(1)2(2)112()()()()()()n n n n n nD ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-==-=--=- 2().n n D ad bc ∴=-(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n -1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立.按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：112211211111011111110111111101111111.n n nn n n a a a a D a a a a a a D ---++++=++=+但由归纳假设11121111,n n n i i D a a a a ---=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑从而有11211211121111111111.n n n n n i i n n nn n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∏8. 计算下列n 阶行列式.(1) 111111n x x D x=(2) 122222222232222n D n=；(3)0000000000n xyx y D x y y x=. (4)n ij D a =其中(,1,2,,)ij a i j i j n =-= ；(5)2100012100012000002100012n D =.【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n -1),得11111[(1)],11n x D x n x=+-将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得1111110[(1)](1)(1).001n n x D x n x n x x --=+-=+---(2) 213111222210000101001002010002n r r n r r r r D n ---=-按第二行展开222201002(2)!.00200002n n -=---(3) 行列式按第一列展开后，得1(1)(1)(1)10000000000000(1)000000000000(1)(1).n n n n n n n n x y y x y x y D x y x y x y y x x yx x y y x y +-+-+=+-=⋅+⋅-⋅=+-(4)由题意，知111212122212012110122131230n n n n n nnn a a a n a a a D n a a a n n n --==----0122111111111111111111111n n ------------后一行减去前一行自第三行起后一行减去前一行012211221111112000020000200000000022n n n n --------=-按第一列展开1122000201(1)(1)(1)(1)2002n n n n n n -----=--- 按第列展开.(5) 210002000001000121001210012100012000120001200000210002100021000120001200012n D ==+122n n D D --=-.即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-= 由 ()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-++-=- 得 11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.121212111n nn na a a a a a D a a a ++=+【解】各列都加到第一列，再从第一列提出11nii a=+∑，得232323123111111,11n n nn i n i na a a a a a D a a a a a a a =+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+∑将第一行乘（-1）后加到其余各行，得23111010011.001001n nnn i i i i a a a D a a ==⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,,i a i n ≠= ）.1111123222211223322221122331111123n n n n nn n n n n nn n n n n n n n n n n na a a a ab a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=.【解】行列式的各列提取因子1(1,2,,)n j a j n -= ,然后应用范德蒙行列式.3121232222312112123111131212311211111()().n n n n n n n n n n n n n j i n n j i n ij b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭∏11. 已知4阶行列式41234334415671122D =; 试求4142A A +与4344A A +，其中4j A 为行列式4D 的第4行第j 个元素的代数余子式. 【解】41424142234134(1)(1)3912.344344567167A A +++=-+-=+= 同理43441569.A A +=-+=- 12. 用克莱姆法则解方程组.(1) 12312341234234 5,2 1, 2 2, 23 3.x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++=⎩ (2) 121232343454556 1,56 0,56 0, 560,5 1.x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩【解】方程组的系数行列式为1110111013113121110131180;1210521211012112301401230123D -------=====≠-----1234511015101111211118;36;2211121131230323115011152111211136;18.1221121201330123D D D D --====---====--故原方程组有惟一解，为312412341,2,2, 1.D D D Dx x x x D D D D========- 12345123452)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,,,,.66513335133665D D D D D D x x x x x ===-==-=∴==-==-=13. λ和μ为何值时，齐次方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式110,11121λμμ= 即(1)0.μλ-=故0μ=或1λ=时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组12341234123412340,20,30,0x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=⎧⎪+++=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ 有非零解时，a ,b 必须满足什么条件？【解】该齐次线性方程组有非零解，a ,b 需满足11112110,113111a a b=- 即(a +1)2=4b .15. 求三次多项式230123()f x a a x a x a x =+++，使得(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====【解】根据题意，得0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=故得01237,0,5,2a a a a ===-= 于是所求的多项式为23()752f x x x =-+16. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)按题设有1122330,0,0,ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为1122331101x y x y x y = 上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.习题 二1. 计算下列矩阵的乘积.（1）[]11321023⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=； （2）500103120213⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （3） []32123410⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （4）()111213112321222323132333a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （5） 111213212223313233100011001a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （6） 12101031010101210021002300030003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 【解】(1) 32103210;64209630-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(2)531⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; (3) (10);(4) 3322211122233312211213311323322311()()()ij iji j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x==++++++++=∑∑(5)111212132122222331323233a a a a a a a a a a a a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦; (6) 1252012400430009⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 2. 设111111111⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，121131214⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ， 求(1)2-AB A ;(2) -AB BA ；(3) 22()()-=-A+B A B A B 吗?【解】(1) 2422;400024⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB A (2) 440;531311⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦AB BA(3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.3. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若2=A O ， 则=A O ； (2) 若2=A A ， 则=A O 或=A E ；(3) 若AX =AY ，≠A O ， 则X =Y . 【解】(1) 以三阶矩阵为例，取2001,000000⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦0A A ,但A ≠0(2) 令110000001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E(3) 令11021,=,0111210110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=≠=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A Y X 0则AX =AY ,但X ≠Y .4. 设101A λ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A 2，A 3，…，A k . 【解】2312131,,,.010101kk λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A 5. 10010λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =， 求23A ,A 并证明： 121(1)200kk k k k k k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =.【解】2322233223213302,03.0000λλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =A = 今归纳假设121(1)2000kk k k k k k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =那么11211111(1)1020100000(1)(1)2,0(1)00k k k k k k k k k kk k kk k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλλλλ+---+-++=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A A= 所以，对于一切自然数k ,都有121(1)2.00kk k k k k k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =6. 已知AP =PB ，其中100100000210001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B =,P =求A 及5A .【解】因为|P |= -1≠0,故由AP =PB ,得1100200,611-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A PBP而51551()()100100100100210000210200.211001411611--==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A PBP PB P A7. 设a b cd ba d c c d ab dc b a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =，求|A |. 解：由已知条件，A 的伴随矩阵为22222222()()a b c d b a d c a b c d a b c d c d a b dc b a *⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-+++=-+++⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =A 又因为*A A =A E ，所以有22222()a b c d -+++A =A E ，且0<A ，即 42222222224()()a b c d a b c d -++++++A =A A =AE于是有 2222422222()()a b c d a b c d =-+++=-+++A . 8. 已知线性变换112112212321331233232,3,232,2,45;3,x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z =+=-+⎧⎧⎪⎪=-++=+⎨⎨⎪⎪=++=-+⎩⎩ 利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换. 【解】已知112233112233210,232415310,201013421124910116x y x y x y y z y z y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦X AY Y Bz X AY ABz z,从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为11232123312342,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩ 9. 设A ，B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明：'B AB 也是对称阵.【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A ,所以 (B ′AB )′=B ′A ′B =B ′AB , 故'B AB 也为对称阵.10. 设A ，B 为n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是AB =BA . 【证明】已知A ′=A ,B ′=B ，若AB 是对称阵，即(AB )′=AB .则 AB =(AB )′=B ′A ′=BA , 反之，因AB =BA ,则(AB )′=B ′A ′=BA =AB ,所以，AB 为对称阵.11. A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明： (1) B 2是对称矩阵.(2) AB -BA 是对称矩阵，AB +BA 是反对称矩阵. 【证明】因A ′=A ,B ′= -B ,故(B 2)′=B ′²B ′= -B ²(-B )=B 2;(AB -BA )′=(AB )′-(BA )′=B ′A ′-A ′B ′= -BA -A ²(-B )=AB -BA ;(AB +BA )′=(AB )′+(BA )′=B ′A ′+A ′B ′= -BA +A ²(-B )= -(AB +BA ).所以B 2是对称矩阵，AB -BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵. 12. 求与A =1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A 可交换的方阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则由1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 得a cb d a a bcd c c d +++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦.由对应元素相等得c =0,d =a ,即与A 可交换的方阵为一切形如0a b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的方阵，其中a,b 为任意数.13. 求与A =100012012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可交换的全体三阶矩阵.【解】由于A =E +000002013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,而且由111111222222333333000000,002002013013a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可得11122233333323232302300023222.023333c b c cb c a b c c b c a a b b c c -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦由此又可得1113232332322333230,230,20,30,2,3,232,233,c b c a a a c b c b b b c c b c c c =-==-===--=-=-所以2311233230,2,3.a a b c c b c b b ======-即与A 可交换的一切方阵为12332300203a b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中123,,a b b 为任意数. 14. 求下列矩阵的逆矩阵.(1) 1225⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (2) 123012001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (3)121342541-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； (4) 1000120021301214⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (5) 5200210000830052⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (6) ()1212,,,0nn a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）. 【解】(1) 5221-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; (2)121012001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(3) 12601741632142-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; (4) 100011002211102631511824124⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦; (5) 1200250000230058-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; (6) 12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 15. 利用逆矩阵，解线性方程组12323121,221,2.x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩ 【解】因123111102211102x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,而1110022110≠- 故112311101111122.02211130122110221112x x x -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦16. 证明下列命题：(1) 若A ，B 是同阶可逆矩阵，则（AB ）*=B *A *. (2) 若A 可逆，则A *可逆且（A *）-1=（A -1）*. (3) 若AA ′=E ,则（A *）′=(A *)-1. 【证明】（1） 因对任意方阵c ，均有c *c =cc *=|c |E ,而A ,B 均可逆且同阶，故可得|A |²|B |²B *A *=|AB |E (B *A *)=(AB ) *AB (B *A *)=(AB ) *A (BB *)A * =(AB ) *A |B |EA *=|A |²|B |(AB ) *.∵ |A |≠0,|B |≠0, ∴ (AB ) *=B *A *.(2) 由于AA *=|A |E ,故A *=|A |A -1,从而(A -1) *=|A -1|(A -1)-1=|A |-1A . 于是A * (A -1) *=|A |A -1²|A |-1A =E ,所以(A -1) *=(A *)-1. (3) 因AA ′=E ，故A 可逆且A -1=A ′. 由(2)(A *)-1=(A -1) *,得(A *)-1=(A ′) *=(A *)′.17. 已知线性变换11232123312322,35,323,x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 求从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换. 【解】已知112233221,315323x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦X AY且|A |=1≠0,故A 可逆，因而1749,637324---⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Y A X X所以从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换为112321233123749,637,324,y x x x y x x x y x x x =--+⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 18. 解下列矩阵方程.(1) 12461321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X =； (2)211211************--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦X ；(3) 142031121101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦X =； (4) 010100043100001201001010120-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦X .【解】(1) 令A =1213⎡⎤⎢⎥⎣⎦;B =4621-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.由于13211--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 故原方程的惟一解为13246820.112127----⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A B同理(2) X =100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (3) X =11104⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) X =210.034102-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦19. 若kA =O (k 为正整数)，证明：121()k --- E A =E +A+A ++A .【证明】作乘法212121()()k k k k k ----=-----=-=E A E +A+A ++A E +A+A ++A A A A A E A E,从而E -A 可逆，且121()k --- E A =E +A+A ++A20.设方阵A 满足A 2－A －2E ＝O ，证明A 及A ＋2E 都可逆，并求A -1及(A +2E )-1. 【证】因为A 2-A -2E =0, 故212().2-=⇒-=A A E A E A E 由此可知，A 可逆，且11().2-=-A A E 同样地2220,64(3)(2)41(3)(2)4--=--=--+=---+=A A E A A E E,A E A E E,A E A E E. 由此知，A +2E 可逆，且1211(2)(3)().44-+=--=-A E A E A E21. 设423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A =，2AB =A +B ,求B . 【解】由AB =A +2B 得(A -2E )B =A .而22310,1102121==-≠---A E即A -2E 可逆，故11223423(2)110110121123143423386.1531102961641232129--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦B A E A 22. 设1-P AP =Λ. 其中1411--⎡⎤⎢⎥⎣⎦P =，1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=Λ， 求10A . 【解】因1-P 可逆，且1141,113-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦P 故由1Λ-A =P P 得10110101101012121010()()141410331102113314141033110211331365136412421.34134031242--==⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A P P P P ΛΛ23. 设m 次多项式01()m m f x a a x a x =+++ ，记01()mm f a a a =+++ A E A A ,()f A 称为方阵A 的m 次多项式.(1)12λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =， 证明12kkk λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，12()()()f f f λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (2) 设1-A =P BP ， 证明1kk-B =PA P ，1()()f f -=B P A P . 【证明】(1)232311232200,00λλλλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A 即k =2和k =3时，结论成立. 今假设120,0k kk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 那么111111222000,0kk k k k k λλλλλλ+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA A = 所以，对一切自然数k ，都有120,0k k k λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 而011101220111012212()1100().()mm mm m m m m m f a a a a a a a a a a a a f f λλλλλλλλλλ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ A E +A++A ++++++(2) 由(1)与A =P -1BP ,得B =PAP -1.且B k =( PAP -1)k = PA k P -1,又0111011011()()().mm m m mm f a a a a a a a a a f ----=+++=+++=++=B E B B E PAP PA P P E A+A P P A P24. a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明矩阵满足方程2()0x a d x ad bc -++-=.【证明】将A 代入式子2()x a d x ad bc -++-得222222()()10()()010000.00a d ad bc a b a b a d ad bc c d c d ad bca bc ab bd a ad ab bd ad bc ac cd cb d ac cd ad d -++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A E0 故A 满足方程2()0x a d x ad bc -++-=. 25. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若｜A ｜＝０，则｜*A ｜＝０；(2) 1n *-=A A .【证明】（1） 若|A |=0，则必有|A *|=0，因若| A *|≠0，则有A *( A *)-1=E ,由此又得 A =AE =AA *( A *)-1=|A |( A *)-1=0,这与| A *|≠0是矛盾的，故当|A | =0，则必有| A *|=0. (2) 由A A *=|A |E ，两边取行列式，得|A || A *|=|A |n ,若|A |≠0，则| A *|=|A |n -1 若|A |=0,由(1)知也有| A *|=|A |n -1.26. 设52003200210045000073004100520062⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =,B . 求(1) AB ; (2)BA ; (3) 1-A ；(4)｜A ｜k (k 为正整数). 【解】(1)2320001090000461300329⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB =; (2) 19800301300003314005222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦BA =;(3) 11200250000230057--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A =; (4)(1)k k =-A . 27. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）1200025000003000001000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （2）0031002121002300-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （3）20102020130010*******0001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【解】(1) 对A 做如下分块 12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A A 00其中1230012;,01025001⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A12,A A 的逆矩阵分别为1112100523;,01021001--⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A 所以A 可逆，且1111252000210001.000030001000001----⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A A 同理(2)11112121310088110044.110055230055----⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A A A A A (3)1110012211300222.001000001001-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A习题 三1. 略.见教材习题参考答案.2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案.4. 略.见教材习题参考答案.5.112223334441,,,=+=+=+=+βααβααβααβαα，证明向量组1234,,,ββββ线性相关.【证明】因为1234123412341312342()2()0+++=+++⇒+++=+⇒-+-=ββββααααββββββββββ 所以向量组1234,,,ββββ线性相关.6. 设向量组12,,,r ααα线性无关，证明向量组12,,,r βββ也线性无关，这里12.i i +++ β=ααα【证明】 设向量组12,,,r βββ线性相关，则存在不全为零的数12,,,,r k k k 使得1122.r r k k k +++= 0βββ把12ii +++ β=ααα代入上式，得121232()()r r r r k k k k k k k +++++++++=0 ααα.又已知12,,,r ααα线性无关，故1220,0, 0.r rr k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩该方程组只有惟一零解120r k k k ==== ，这与题设矛盾，故向量组12,,,r βββ线性无关.7. 略.见教材习题参考答案. 8.12(,,,),1,2,,i i i in i n ααα== α.证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n ααα线性无关.【证明】已知0ij a =≠A ,故R (A )=n ,而A 是由n 个n 维向量12(,,,),i i i in ααα= α1,2,,i n = 组成的，所以12,,,n ααα线性无关.9. 设12,,,,r t t t 是互不相同的数，r ≤n .证明：1(1,,,),1,2,,n i i i t t i r -== α是线性无关的.【证明】任取n -r 个数t r +1,…,t n 使t 1,…,t r ,t r +1,…,t n 互不相同，于是n 阶范德蒙行列式21111212111121110,11n n rr r n r r r n nnnt t t t t t t t tt t t ---+++-≠从而其n 个行向量线性无关，由此知其部分行向量12,,,r ααα也线性无关.10. 设12,,,s ααα的秩为r 且其中每个向量都可经12,,,r ααα线性表出.证明：12,,,r ααα为12,,,s ααα的一个极大线性无关组.【证明】若 12,,,r ααα (1)线性相关，且不妨设12,,,t ααα (t <r ) (2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是12,,,s ααα的一个极大无关组，这与12,,,s ααα的秩为r 矛盾，故12,,,r ααα必线性无关且为12,,,s ααα的一个极大无关组. 11. 求向量组1α=(1,1,1,k ),2α=(1,1,k ,1),3α=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组. 【解】把123,,ααα按列排成矩阵A ，并对其施行初等变换.1111111111111120010010101101001000111011001000k k k k kk k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 当k =1时，123,,ααα的秩为132,,αα为其一极大无关组. 当k ≠1时，123,,ααα线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.12. 确定向量3(2,,)a b =β,使向量组123(1,1,0),(1,1,1),==βββ与向量组1α=(0,1,1),2α=(1,2,1),3α=(1,0,-1)的秩相同，且3β可由123,,ααα线性表出.【解】由于123123011120(,,);120011111000112112(,,),110101002a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B αααβββ而R (A )=2,要使R (A )=R (B )=2,需a -2=0,即a =2,又12330112120(,,,),12001121110002a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦c αααβ要使3β可由123,,ααα线性表出，需b -a +2=0,故a =2,b =0时满足题设要求，即3β=(2,2,0). 13. 设12,,,n ααα为一组n 维向量.证明：12,,,n ααα线性无关的充要条件是任一n 维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意n 维向量都可由12,,,n ααα线性表示，则单位向量12,,,n εεε，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组12,,,n ααα的秩为n ，因此线性无关.必要性：设12,,,n ααα线性无关，任取一个n 维向量α,则12,,,n ααα线性相关，所以α能由12,,,n ααα线性表示.14. 若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.证明：由已知条件，1001103111R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且123(,,)3R =ααα，又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且1234(,,,)3R =ββββ，所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15. 略.见教材习题参考答案.16. 设向量组12,,,m ααα与12,,,s βββ秩相同且12,,,m ααα能经12,,,s βββ线性表出.证明12,,,m ααα与12,,,s βββ等价.【解】设向量组12,,,m ααα (1)与向量组12,,,s βββ (2)的极大线性无关组分别为12,,,r ααα (3)和12,,,r βββ (4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即1(1,2,,).ri ij jj a i r ===∑ αβ因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|a ij |≠0，可由（*）解出(1,2,,)j j r = β,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.17. 设A 为m ³n 矩阵，B 为s ³n 矩阵.证明：max{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .【证明】因A ,B 的列数相同，故A ,B 的行向量有相同的维数，矩阵⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 可视为由矩阵A 扩充行向量而成，故A 中任一行向量均可由⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的行向量线性表示，故()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A A B同理()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A B B故有max{(),()}R R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A AB B又设R (A )=r ,12,,,i i ir ααα是A 的行向量组的极大线性无关组,R （B ）=k ,12,,,j j jkβββ是B 的行向量组的极大线性无关组.设α是⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的任一行向量，则若α属于A 的行向量组，则α可由12,,,i i ir ααα表示，若α属于B 的行向量组，则它可由12,,,j j jk βββ线性表示，故⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中任一行向量均可由12,,,i i ir ααα,12,,,j j jk βββ线性表示，故()(),R r k R R ⎡⎤≤+=+⎢⎥⎣⎦A AB B 所以有max{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .18. 设A 为s ³n 矩阵且A 的行向量组线性无关，K 为r ³s 矩阵.证明：B ＝KA 行无关的充分必要条件是R (K )=r .【证明】设A =(A s ,P s ³(n -s )),因为A 为行无关的s ³n 矩阵，故s 阶方阵A s 可逆. (⇒)当B =KA 行无关时，B 为r ³n 矩阵.r =R (B )=R (KA )≤R (K ),又K 为r ³s 矩阵R (K )≤r ,∴ R (K )=r . (⇐)当r =R (K )时，即K 行无关，由B =KA =K (A s ,P s ³(n -s ))=(KA s ,KP s ³(n -s)) 知R (B )=r ,即B 行无关.19. 略.见教材习题参考答案.20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (2)11221021512031311041⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 【解】(1) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为123,,ααα;(2) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为124,,ααα.21. 略.见教材习题参考答案.22. 集合V 1＝{(12,,,n x x x )｜12,,,n x x x ∈R 且12n +++ x x x ＝0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V 1知V 1非空，设12112(,,,),(,,,),n n V V k =∈=∈∈x x x y y y αβR )则 112212(,,,)(,,,).n n n x y x y x y k kx kx kx +=+++= αβα因为112212121212()()()()()0,()0,n n n n n n x y x y x y x x x y y y kx kx kx k x x x ++++++=+++++++=+++=+++= 所以11,V k V +∈∈αβα,故1V 是向量空间.23. 试证：由123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)===ααα,生成的向量空间恰为R 3.【证明】把123,,ααα排成矩阵A =(123,,ααα),则11020101011==-≠A ,所以123,,ααα线性无关，故123,,ααα是R 3的一个基，因而123,,ααα生成的向量空间恰为R 3.24. 求由向量1234(1,2,1,0),(1,1,1,2),(3,4,3,4),(1,1,2,1)====αααα所生的向量空间的一组基及其维数. 【解】因为矩阵12345(,,,,)113141131411314214150121301213,113260001200012024140241400000=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ααααα∴124,,ααα是一组基，其维数是3维的.25. 设1212(1,1,0,0),(1,0,1,1),(2,1,3,3),(0,1,1,1)===-=--ααββ,证明:1212(,)(,)L L =ααββ.【解】因为矩阵1212(,,,)1120112010110131,0131000001310000=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A ααββ 由此知向量组12,αα与向量组12,ββ的秩都是2，并且向量组12,ββ可由向量组12,αα线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而12,αα也可由12,ββ线性表出.所以1212(,)(,)L L =ααββ.26. 在R 3中求一个向量γ，使它在下面两个基123123(1)(1,0,1),(1,0,0)(0,1,1)(2)(0,1,1),(1,1,0)(1,0,1)==-==-=-=αααβββ下有相同的坐标.【解】设γ在两组基下的坐标均为(123,,x x x )，即111232123233112233(,,)(,,),110011001110101101x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦γαααβββ即1231210,111000x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求该齐次线性方程组得通解123,2,3x k x k x k ===- (k 为任意实数)故112233(,2,3).x x x k k k =++=-γεεε27. 验证123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)=-==ααα为R 3的一个基，并把1(5,0,7),=β2(9,8,13)=---β用这个基线性表示.【解】设12312(,,),(,),==A B αααββ又设11112123132121222323,x x x x x x =++=++βαααβααα,即11121212321223132(,)(,,),x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ββααα 记作 B =AX .则2321231235912359()111080345170327130327131235910023032713010330022400112r r r r r r -+↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A B 作初等行变换因有↔A E ,故123,,ααα为R 3的一个基，且1212323(,)(,,),3312⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ββααα即1123212323,332=+-=--βαααβααα.习题四1. 用消元法解下列方程组.(1) 12341241234123442362242322312338;x x x x ,x x x ,x x x x ,x x x x +-+=⎧⎪++=⎪⎨++-=⎪⎪++-=⎩ (2) 1231231232222524246;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩【解】(1)412213223123(1)14236142362204211021()322313223112338123381423603215012920256214236012920321502562r r r r r r r r r r -⋅---⋅↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥−−−−→⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦A b 32434243324142360129200426100112614236142360129201292,0011260011260042610007425r r r r r r r +↔++-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦得12342343444236 292 126 7425x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩ 所以1234187,74211,74144,7425.74x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩(2)1231231232222524246x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ① ② ③解②-①³2得 x 2-2x 3=0③-① 得 2x 3=4 得同解方程组123233222 20 24x x x x x x ++=⎧⎪-=⎨⎪=⎩④ ⑤ ⑥由⑥得 x 3=2,由⑤得 x 2=2x 3=4,由④得 x 1=2-2x 3 -2x 2 = -10, 得 (x 1,x 2,x 3)T =(-10,4,2)T . 2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1) 123123123 320 5 03580;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (2)1234123412341234 5 0 2303 8 0 3970;x x x x ,x x x x ,x x x x ,x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩ (3) 1234512341234 22702345 03568 0;x x x x x ,x x x x ,x x x x ++++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ (4)123451234512345 222 0 2 320247 0.x x x x x ,x x x x x ,x x x x x +-+-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-++=⎩ 【解】(1)123123123320503580.x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 32213123132132132151021021358042000r r r r r r +--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A得同解方程组1323123232333723,23201,202,x x x x x x x x x x x x x ⎧=--=-⎪++=⎪⎧⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎪=⎩得基础解系为T71122⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2) 系数矩阵为32213142413211511151112302743181027413970414811510274() 2.00000000r r r r r r r r r r r ---------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A∴ 其基础解系含有4()2R -=A 个解向量.1342123434342343344331225077222227400110x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-=-⎧⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⇒==+⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=⎢⎥⎩⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦基础解系为。

2020年8月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。

在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1.设α1,α2,β1,β2是三维列向量，且行列式|α1,α2,β1|=m，|α1,β2,α2|=n，则行列式|α1,α2,β1+β2|=（）A.m−nB.n−mC.m+nD.mn【答案】A【解析】|α1,α2,β1+β2|=|α1α2β1|+|α1α2β2|=m+(−1)×n=m−n.2.设A为3阶矩阵，将A的第2列与第3列互换得到矩阵B，再将B的第1列的(−2)倍加到第3列得到单位矩阵E，则A−1=（）。

A.(120 001 010)B.(1−20 001 010)C.(10−2 001 010)D.(102 001 010)【答案】C【解析】A(100001010)=BB(10−2010001)=EA(100001010)(10−2010001)=EA−1=(100001010)(10−2010001)=(10−2001010)3.设向量组a1,a2,a3线性无关，而向量组a2,a3,a4线性相关，则（）A.a1必可由a2,a3,a4线性表出B.a2必可由a1,a3,a4线性表出C.a3必可由a1,a2,a4线性表出D.a4必可由a1,a2,a3线性表出【答案】D【解析】因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以向量组a1,a2,a3中任意一个均不能由其他两个表示出来，所以就排除了A、B、C三个选项；又因为向量组a2,a3,a4线性相关，所以向量组a2,a3,a4中至少有一个可以由其他两个线性表示，所以D 是正确的。

参见教材P116。

4.若3阶可逆矩阵A的特征值分别是1,−1,2，则|A−1|（）A.-2B.−12C.12D.2【答案】B【解析】因为|A|=1∗−1∗2=−2，所以|A−1|=1|A|=−12.参见教材P160。

线性代数智慧树知到期末考试答案章节题库2024年西安理工大学1.答案:对2.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量（）答案:错3.[2-63] 方阵A的伴随矩阵A* 的逆矩阵为(A* )-1=A. （）答案:错4.答案:对5.[2-53] 方阵A可逆的充要条件是A的行列式不为0. （）答案:对6.n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.（）答案:对7.答案:对8.[2-65] 初等矩阵P与任意矩阵A的乘积矩阵的行列式|PA|=|A|。

（）答案:错9.答案:对10.答案:错11.答案:错12.实对称阵属于不同特征值的特征向量正交.（）答案:对13.[2-57] 等价矩阵有相同的标准形。

（）答案:对14.[1-24] 上三角行列式的值与下三角行列式的值都是对角线元素之积。

（）答案:对15.答案:对16.[1-22] 次对角行列式（只有从右上到左下的元素不为零，其余均为零）行列式的值等于讲这些元素置于对角线上的对角行列式乘以-1。

（）答案:错17.答案:对18.设 .w70364844324s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w70364844324s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w70364844324s .font0 { font-style: italic;font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w70364844324s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } x 为n维列向量， .w70364844305s .brush0 { fill: rgb(255,255,255); } .w70364844305s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w70364844305s .font0 { font-size: 406px;font-family: "Times New Roman", serif; } .w70364844305s .font1 { font-style: italic; font-size: 260px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w70364844305s .font2 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w70364844305s .font3 { font-size:373px; font-family: Symbol, serif; } .w70364844305s .font4 { font-weight:bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } 1, T xx =令 .w70364844288s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w70364844288s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w70364844288s .font0 { font-size: 406px;font-family: "Times New Roman", serif; } .w70364844288s .font1 { font-style: italic; font-size: 260px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w70364844288s .font2 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w70364844288s .font3 { font-size:373px; font-family: Symbol, serif; } .w70364844288s .font4 { font-weight:bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } 2, T HExx =-则 .w70364844270s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w70364844270s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w70364844270s .font0 { font-style: italic;font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w70364844270s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } H 是对称的正交矩阵。

真题考试：2020 线性代数（经管类）真题及答案(2)1、正确的决策需要统筹兼顾、全面安排，平衡协调发展，这体现的是决策的哪个原则( ) （单选题）A. 信息原则B. 预测原则C. 可行性原则D. 系统原则试题答案：D2、下列符合关注类贷款定义的是（）。

（单选题）A. 尽管借款人目前有能力偿还贷款，但存在一些可能对偿还产生不利影响的因素B. 借款人的还款能力明显出现问题，完全依靠其正常营业收入无法足额偿还贷款本息C. 借款人无法总额偿还贷款本息，即使执行担保，也肯定要造成较大损失D. 在采取了所有可能的措施后，本息仍然无法收回，或只能收回极少部分试题答案：A3、下列矩阵中不是初等矩阵的为（单选题）A.B.C.D.试题答案：A4、采用背对背的通信方式，经过多轮征询使意见趋于集中的决策方法是( ) （单选题）A. 名义群体法B. 头脑风暴法C. 德尔菲法D. 风险性决策法试题答案：C5、依据下属的成熟度选择领导方式的理论是( ) （单选题）A. 领导特质理论B. 菲德勒的权变理论C. 领导方式理论D. 领导生命周期理论试题答案：D6、某社会工作服务机构的督导赵老师要求各个服务部每个月都要组织一次同事督导。

执行了一段时间后，她发现在同事督导过程中，大家碍于面子，总是提出的意见都无关痛痒，并且刻意回避争论，以免伤了和气，同辈督导的效果也大打折扣。

针对这一问题，赵老师应该采取的措施是（）。

（单选题）A. 建立同事督导自由氛围，鼓励同事间宣泄负面情绪B. 强调同事督导的权威，要求同事间改进工作作风C. 引导制定同事督导规则，鼓励同事间坦诚交流D. 强调同事督导的秩序，避免同事间非正式交流试题答案：C7、工人每天须生产100个零件，废品率低于1%。

这属于控制过程中的( ) （单选题）A. 确立标准B. 衡量绩效C. 差异分析D. 纠正偏差试题答案：A8、（单选题）A. -2B. -1C. 1D. 2试题答案：B9、企业的基本战略类型包括( )（多选题）A. 一体化战略B. 多元化战略C. 总成本领先战略D. 差别化战略E. 集中战略试题答案：C,D,E10、在 PowerPoint2010中,“设计”功能区主要用来设计幻灯片的样式,其中不能设置（单选题）A. 主题B. 背景C. 页面设置D. 动画效果试题答案：D11、由企业高层管理者做出，具有长期性、方向性、全局性特点的决策是( ) （单选题）A. 战略决策B. 战术决策C. 业务决策D. 程序决策试题答案：A12、推动组织变革的外部动因有( )（多选题）A. 经济政策的调整B. 市场需求的变化C. 科技的发展D. 竞争观念的改变E. 全球化的竞争试题答案：A,B,C,D,E13、企业在获取利润的同时，还应为相关利益群体承担相应的社会责任。

2020年第12期中学数学研究・63・.Y#由+#得点A(-1,0),<(2,0),设点$(%, -),则$4・$#=(-1-%)(2—%)+(--)(--)-%"-%-2+-",V%"—-=1,U$#・$<-4%"—%—5，又因为兀$1，所以当%=1时，($4・$#)me=4—1-5--2-评注：函数方法是解决圆锥曲线中最值问题的常用手段，解题的关根据建立目标函数,从而使问题得到转化.、用不等式求最值例4已知椭圆%+-"=1的左、右顶点分别为A,B,点S是椭圆上位于％的动点，直线4S,BS与直线>：—=¥分别交于M,#两点,3,线M#的.解:设直线4S的程为-=5(%+2)，且5〉0, 10165则点M(乙,^p)，将直线方程代入椭圆方程得(1+ 45")%"+165"—+165"—4=0,设点S(%1,-1),则|M#=135+31，v5>。

，u|mv$2——x3%=孚，当且仅当学=当，即5=-1时取等号，所以线段3334M#长度的最小值是-3-变式如图4,已知22椭圆令+亍=1的左、右焦点分别为E,<,点$在的线上，求"E$<的图4解：的两焦点为E(-2,0),<(2,0)，右线方程为%=4,设点$(4,4)(4〉0),直线$；和$<的倾斜角分别为a和0，则%$；-tan a=才,%$<-tan"-込,tan乙E$<-tan("-a)Pn"-Pn a1+tan"t anam mT~~64412+4412——+mm2144—4-,当且仅当12=4,即4=2—3时，等号成立，因为"E$< m2-85245点S("万！,-2)，又点B(2,0)，求得直线BS 1414的方程为---41%—-")，得到点#(10,—3%),故&10，号)，所以"E$<的最大值是扌.评注：求圆锥曲线中的最值问题，要熟练地掌握圆锥曲线的定质，运用函数、不等式数形结合等思想方法,仔细审题，深刻挖隐藏条件，从而找到最的解法-正定二次型问题解法举隅江苏省无锡市第一中学(214031)钱铭江南大学理学院("1412")谢广喜学竞赛题容量大,解赛题有助于学生性的•有些点常考常新,在题中，它是提高学学的良好载体，本文试举例以分享.问题(2009年浙江省预赛第15题改编)若实数%,-,l不全为0,则—%+-槡的最大值为x+y+z证明：注意到%"+3-"$-"—3%-,-"+L2$5槡5+；—-L,于是%"+-"即评注:从根本上来说，这类问题的背景属于高等代数/线性代数中的正定题--64-中学数学研究2020年第12期例1（2016年福建省预赛卷第10题）实数％,-,z为正数时，则；%y:-l2的最大值为________-%+y+z解:将-2分为16-2（与%2项配合）和吉-2（与L2项配合），于是有%2+lf-2$2槡%-，117-2+L$ 2je-,从而%2+-2+L$^17%“%-+-)，由于%,-,L为正数，所以%2+-2+L2>0,于是7--++L2—x+y+z e，容易验证不等式等号可取得，则巴巴的2为'2)-+(7-'-')$0，所以必须(5-')>0，且'2'2('+'2)2-4(5-与)(7-'-与)—0,展开化简得5'2+4'-28—0，即(5'+14)('-2)—0,而'> 0,所以有'—2，从而2%%二-鳥1的最大值是1-2%-+2%+-+1(2%+1)(-+1)力解:2-2+5-+7=(2-2+2)+(5-2+5)，由上面的解法知％=2,-=1时取等号，按此寻找(2%2+2)与(2%+1)2"5-2+5与(-+1)2对应不等25式关系，有(2%2+2)$2(2%+1)2,5-2+5$寺(-+21)2，于是(2%2+2)+(5-2+5)$2(2-+1)2+例2（2017年江苏省复赛卷第5题）设％，-是，则2%+槡-2%4+4-4+9的为|(-+1)2$2(2%+1)(-+1)，即2%+%++1=(J2：；1黑+5)—l(以上所有不等式均在解：取)&[0,1],则2%4+9)=2%"+33+33+33$4槡2%4(3))3$4-槡2(3))3GI,4-4+9(1-3) =4-+3(1-3)+3(1-3)+3(1-3)$4槡2-[3(1-3)]3$4-槡4[3(1—3lyl,则2%4 +4-4+9$4-槡2(33)3GI+4-槡4[3(1—3lyl $4-槡2(33)&+4-槡4[3(1—&(*)-令4；槡2(33J/社,解得3/寻，则(*)4-丿4[3(1—3槡32%+槡-2%4+4-4+9式变为2%4+4-4+9$8%+4槡-,也即—孑,易知当%=1,-=槡2时不等式取等号，故2%%槡：9的最大值为T例3(2019江苏天一中学试题)已知实数％, ->0，则爲1的最大值是_______-解：不妨设2-2+(-[J—:,其中'>0，于是2'%-+2'%+'-+'—2%2+5-2+7,即2%2-2'%(-+1)+5-2-'-+(7一入)$0,2%2-2'%(-+ 1)+'2(y2+1)2+5-_'-+(7_')—(岁)2$ 0(*).也即2 [%-'(丁1)]2+(5-')-2-('+%=2,-=1时取等号），故2%H+丄的最大值评注:发现'=2,（*）式即为2[%-（-+1）]2 +3-2-6-+3$0,也即有2[%-（-+1）]2+3（--1）2$0，即%=2，-二1时取得等号-利用高等代数的（半）正定二次型的结论（参见《高等代数》或《线性代数》），比如本题，即不等式2%2-2'%（-+1）+5-2-'-+（7-'）$0,（其中' >0），对于任意实数％』恒成立，相应的二次型矩阵一2-'-'一-'5'为一込,的5(5=1,2,-''一込(7-')3）阶主子式大于等于0,即121$0,2-'一'5$0,$0,结合'>0得0<'—2)')')'5'-2)''(7)')2%由2-++（-[J—:，故所求最大值即为:（0<'—2）的最小值｝2020年第12期中学数学研究-65-例4%2018安徽预赛题改动）已知％,—,z& R+,试求%2+3—+3L的最小值为+yz+解:注意到表达式的齐次性，可对其进行齐次减元.令S=£>0,T=工>0，于是原问题等价为已Z Z知S,T&R+,试求FT+T+tS的最小值，显然这个最小值大于0,我们将其记为',于是SF++S$ '>0，即S2-'S(T+1)+'([+1尸+3T2-'T+ 3_'%14+1^$0,从而有，[S-'(I2+1)]2+(3-')T2-('+') T+(3-')$0,于是须％3-') >0，且[-('+分)]2-4(3-务)(3-务)—0,即22入+步—6-步，即（入+3）（入-2）—0，而'>0,即,(%1+3%2+5%3)+(5%1++%3)2%3）+_7%]2，将条件代入得上式二*（3_2%）2，而条件隐含有0—%2—1,则当%2=0时,该式取最大值9二孑，下面验证不等式取等号条件是否取得，由基5%本不等式取等号要求得%1+3%2+5%3=5%1+号2+ %3可知%1=%3，而前面有%2=0,结合%1+%2+%3二1得%1=%3=}&[0,1],所以不等式等号能取得，即所求最大值为9.其实本题的最大值问题也可转化为我们前面已经处理过的问题（二元函数背景下的最值问题,且此法不依赖于系数的特殊性，从而更有一般意）,条%1+%2+%3=1%3得（%1+3%2'—2,故所求最小值为2,（注意:S2+3T2+3ST+T+S$'>0%2%314+5%3)(%1+了+§)=(5一4%1一2%2)(—+&%1+当'—2时是恒成立的）.仿照上述例题，可解决题目：若实数a,b,c满足a2+%2+c2=1,则3ab-3%c+2c2的最大值是____.（2015浙江省五校联考第17题）例5（2017全国高中数学联赛一试题）已知%1,%2,%3为非负实数，满足%1+%2+%3=1,求％%1+ 3%2+5%3）（%1+孑+/）的最小值和最大值.解:这道题最小值可直接利用三维柯西不等式求得，由已知,％1,%2,%3为非负实数，且满足%1+%2 +%3=1,于是(%1+3%2++%3）2=1.（不等式等号能取得，验证过程略）；参考答案在求(%1+3%2+5%3)(%1+孑+/)的最大值时处理得非常巧妙：（%1+3%2+5%3）（%1+（2162423216415%)=一亍1-15%-15%1%2+亍1+订%2+1=-16%2-4%2-32%%+16%+4%+%为一M"1一一15兀1%2+M%1+15%2+1，以%1为王元，并将%1的一次项合并在一起得％%1+3%2+5%3)16「%_(丄一—％)]2+土(2511(23)]45(2 -％2)2，由题意隐含0—%2—1,故当%2=0,%1=(} 231_%），也即%1=t时，上式取得最大值为善,（将%1 =},%2=0代回条件等式%1+%2+%3=1得%3=19亍，也不与题意矛盾，故所求表达式的最大值为-j-.评注：这道题是带有附加条件的多元最值问题,通常的主元配方思想是基本的切入7,尤其要注意不等式取最值时的等号情形验证，否则可能得到错误答案.%315%21 +§)=(%1+3%2+5%3)(5%1+%3)——•。

新增专业设置情况调研（三）应用化学专业江南大学图书馆2006年12月本次调研以教育部直属211高校中的44所大学（下附详细名单）的网站内容为基础，对应用化学专业的课程设置、教学计划等情况进行了调查与总结，由于各学校网站设立的内容各不相同，有的详尽，有的粗略，所以专业课程设置的调研主要围绕几个设立比较详细的院校进行的。

44所教育部直属211高校名单上述44所高校中共有以下26所（包括江南大学）开设了应用化学专业，此次调研根据应用化学专业所在各个高校的院系、专业方向、主要课程进行了以下总结（见下表），并列出相关大学教学计划。

由于各学校院系提供的信息详略有别，所以下表中有的学校列出了详尽的介绍；有的学校没有提供某项目的情况介绍,则下表中用“未列”描述了此种状况。

应用化学专业——高校情况调研表在设立了应用化学专业的26所高校中，以下4所高校列出了详细的本科教学计划及课程设置的相关信息，下表为这4所院校开设的相关课程。

应用化学本科生课程设置表实例1：北京大学化学与分子工程学院——应用化学系本科生主要课程：说明：总学分：140全校公共必修课30学分，专业必修60学分，合计90学分，占总学分64.3%；通选课16学分，专业选修28学分（从以上所开选修课中选），选修课合计44学分，占总学分31.4%；毕业论文6学分，占总学分4.3%；应用化学专业选课指导方案：应用化学基础，应用化学专题，生命化学基础，综合化学实验，物理化学Ⅱ.实例2：复旦大学——化学系2006（春季）课程表化学系化学、应用化学专业 2003级填表日期 2005 年 11 月2006（春季）课程表化学系化学、应用化学专业 2004级填表日期 2005 年 11 月2006（春季）课程表化学系化学、应用化学专业 2005级填表日期 2005 年 11 月2006（春季）课程表化学系化学专业 2005级基地班填表日期 2005 年 11 月实例3：湖南大学化学化工学院应用化学（含制药）专业本科生培养方案一、培养目标应用化学专业：本专业培养德智体全面发展，具有坚实的数、理、化基本理论知识，良好的科学素质，敏锐的分析思辨能力，熟练的化学研究与应用技能，能从事应用电化学和材料表面工程领域或制药和精细化工领域的教学、科研和生产管理的高级专门人才。

2020年8月全国自考04184线性代数（经管类）真题和答案1、设α1,α2,β1,β2是三维列向量，且行列式|α1,α2,β1|=m,|α1,β2,,α2|=n,则行列式|α1,α2,β1+β2|=A、m-nB、n-mC、m+nD、mn正确答案A2、设A为3阶矩阵，将A的第2列与第3列互换得到矩阵B,再将B的第1列的（-2）倍加到第3列得到单位矩阵E，则A-1=（）。

正确答案C3、正确答案D因为向量组α1,α2,α3线性无关，所以向量组α1,α2,α3中任意一个均不能由其他两个表示出来，所以就排除了A、B、C三个选项；又因为向量组α2,α3,α4线性相关，所以向量组α2,α3,α4中至少有一个可以由其他两个线性表示，所以D是正确的。

参见教材P116。

4、若3阶可逆矩阵A的特征值分别是1，-1，2，则|A-1|A、-2B、-1/2C、1/2D、2正确答案B解析：因为|A|=1*-1*2=-2，所以|A-1|=1/|A|=-1/2.参见教材P160。

5、正确答案B解析07、解析a1a2a3a4 8、解析解析10、解析a≠1且≠-2 11、解析12、解析解析-414、解析3615、解析a大于216、设α1，α2，α3为2维列向量，令A=（α1，α3），B=（2α2，3α3），且已知|A|=1/2，|B|=-2，求行列式|A+B|的值。

答案17、答案18、答案19、答案20、答案21、答案22、答案23、答案。

西南交通大学2019－2020学年第一学期期末考试课程代码MATH000112课程名称线性代数B(A 卷)考试时间120分钟题号一二三四总成绩得分阅卷教师签字：说明：（1）本试卷共四页，17道题；（2）试卷中T A 表示矩阵A 的转置，A -1表示可逆方阵A 的逆矩阵，*A 表示方阵A 的伴随矩阵，A 表示A 的行列式.一、选择题（5小题，每小题4分，共20分）CCBCD二、填空题（5小题，每小题4分，共20分）6.1+n ；7.14；8.1-；9.135；10.22<<-a 班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线11．设A 是三阶矩阵，4=A ，X 是满足等式X A XA 21*+=-的三阶矩阵.判定矩阵X 是否可逆？并在可逆时，求其逆矩阵.解：由A A ⇒≠=04可逆且E E A AA 4*==，从而1*4-=A A 代入X A XA 21*+=-，得E A E X =-)24（因此矩阵X 可逆，且142X E A -=-.12.设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111,1132,111,11124321a a αααα，（1）求参数a 的值，使得向量组4321,,,αααα线性相关；（2）在（1）条件下求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出.解：()123421211311111111a a αααα⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，，，1111012110011200012~()()()a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪+ ⎪⎪⎪-+⎝⎭（1）当1=a 或2-=a 时，434321<=），，，（ααααR ，向量组4321,,,αααα线性相关；（2）当1=a 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110030101001~4321），，，（αααα321,,ααα为最大无关组，且32143αααα+-=.当2-=a 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000021100001021001~4321），，，（αααα321,,ααα为最大无关组，且3142121ααα--=.13.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=341432321,110001111B A ，求解矩阵方程B AX =.解：因为02110001111≠-=-=A ，1-A 存在,B A X B AX 1-=⇒=.又111123100234011143A B ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭（，）10023450101223001012~⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以==-B A X 1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12302251432.另解:由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212121100212121110010001~100110010001001111），（E A ，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-2121212121210101A ，==-B A X 1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12302251432.14.求非齐次线性方程组1234123412345231153612426x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩的通解.解：()1523115361124216,A β--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000022171101217901~由于()42,)(<==βA A R ，所以方程组有无穷多解原方程组的通解方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧--=++-=2217112179432431x x x x x x 令2413,7k x k x ==，得2,19212211--=++-=k k x k k x 原方程组的通解为：()R k k k k x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21214321, 0711********另解：原方程组的同解方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧++=---=⇒⎩⎨⎧-=+-=-+-142771749287214 113254234214324321x x x x x x x x x x x x x 原方程组的通解为：()R k k k k x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21214321, 27080719014017.15.设3231212322213212822),,(x x x x x x ax x x Ax x x x x f T +-++-==是3元实二次型，已知二次型),,(321x x x f 的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x Qy =，把),,(321x x x f 化为标准型.解：（1）二次型的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=a A 14111412因为二次型),,(321x x x f 的秩为2，所以A 的秩为2，从而2063=⇒=+-=a a A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=214111412A ,()()63214111412-+-=------=-λλλλλλλE A ,令0=-E A λ得A 的特征值：6,0,3321==-=λλλ当31-=λ时，解方程组03=+x E A ）（得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1111ξ；当02=λ时，解方程组0=Ax 得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1212ξ；当63=λ时，解方程组06=-x E A ）（得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013ξ.令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111311p ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121612p ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101213p()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==21613106231216131,,321p p p Q ，正交变换x Qy =即为所求.四、证明题（2个小题，每小题5分，共10分）16.设*η是非齐次方程组β=Ax 的一个解r n -ξξξ,,,21 是其导出组0=Ax 的一组基础解系，证明：r n -+++ξηξηξηη*2*1**,,,, 线性无关.证明：由题知：βη=*A ，0,,0,021===-r n A A A ξξξ ,且r n -ξξξ,,,21 线性无关.设存在数r n k k k k -,,,,21 使得：0)()()(*2*21*1*=+++++++--r n r n k k k k ξηξηξηη ()1 即：0)2211*21=++++++++---r n r n r n k k k k k k k ξξξη （()2 ()2式两边左乘矩阵A 得：)2211*21=++++++++---r n r n r n A k A k A k A k k k k ξξξη （从而有：0)21=++++-βr n k k k k （，而0≠β，所以有021=++++-r n k k k k ()3 将（3）式代入式（2）得：2211=+++--r n r n k k k ξξξ 由于r n -ξξξ,,,21 线性无关，故021====-r n k k k 代入（3）得：0=k 从而021=====-r n k k k k ，由定义知：结论成立.另解：由题知：βη=*A 0,,0,021===-r n A A A ξξξ ,且r n -ξξξ,,,21 线性无关.()****12~,,,,cn r ηηξηξηξ-+++ ()*12,,,,n rηξξξ- 由等价等秩可得，要证****12,,,,n r ηηξηξηξ-+++ 线性无关，只需证明*12,,,,n r ηξξξ- 线性无关。

1 ⎪ ⎝东华大学 2019--2020 学年第一学期线性代数试卷 A 卷踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

教师 班号 姓名 学号 考试教室试题得分 一二三四五六七总分一、填空题（每小题 4 分，共 40 分）.1. 设 A 为 3 阶矩阵且行列式 | A |= -2 ，则3A -1 A T= ， A *= .2. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T 的秩为 2, 则 a =, b =.3. 设 n 维向量α = (x ，0， ，0，x ) T, x < 0 ; 矩阵 A = E - αα T,且 A -1则 x = _. = E + 1 αα T， x4.设 A 为 3 阶矩阵, | A |=1 , 则 (2 A )-1 - 5 A * =.2⎛ 15.已知 A = a ⎝ 1 a1 ⎫ ⎛ 0 ⎪ 1 b ⎪ 相似于对角阵 1 b ⎭ ⎫⎪⎪ , 则 a = , b = .⎪ ⎭ ⎛ 1 1 1 ⎫ ⎛1⎫⎪ ⎪ 6. 设 A = a 1 a 2a 3 ⎪ ，b = 1⎪ ，其中 a i 互不相同，i = 1,2,3 ，则| A |= , a 2 a 2 a 2 ⎪ 1⎪ ⎝ 1 23 ⎭ ⎝ ⎭线性方程组 A Tx = b 的解是.7. 设 4 阶矩阵 A 满足行列式| 2E + A |= 0 ， AA T= 3E ，| A |< 0 ，则其逆矩阵 A -1必有一个特征值为, 其伴随矩阵 A *必有一个特征值为.8. 二次型 f (x , x , x ) = x 2+ 2λx x ＋2x 2+ 4x 2的矩阵为 A = ,12311 223若其为正定二次型, 则λ 的取值范围为.⎛ 11 1 ⎫ 3 3 3 ⎪ ⎪ 1-2 1 ⎪9. 设矩阵 A =6 6 6 ⎪ 为正交矩阵, 则a = ,b = .⎪ -1 ab ⎪ 2 ⎪ ⎝⎭2⎝ ⎭ 10. 设 x 1 = (1, 0, 2)T 、 x = (3, 4, 5)T是 3 元非齐次线性方程组 Ax = b 的两个解向量，则对应齐次线性方程 Ax = 0 有一个非零解ξ = ; 又若 R ( A ) = 2 , 则非齐次线性方程组 Ax = b 的通解为 .二、单项选择题（每小题 3 分, 共 15 分）1. 设 4 阶行列式D = det(a i j ), 则 D 的展开式中, 下列各项符号为负的是 .A . a 11a 22 a 33a 44 ；B . a 12 a 23a 31a 44 ；C . a 13a 21a 34 a 42 ；D . a 13a 21a 32 a 44 .2. 设 A , B 为 n 阶矩阵, 且 R ( A ) = R (B ) ,则A. R ( A - B ) = 0 ；B. R ( A + B ) = 2R ( A ) ；C .⎛ 0 0 1 ⎫ R ( A ，B ) = 2R ( A ) ；D . R ( A ，B ) ≤ 2R ( A ) .3. 设 P = 0 1 0 ⎪ ，A = (a ) ，若P m AP n = A ，则以下选项中正确的是 .⎪ 1 0 0 ⎪ A . m = 5 ，n = 4 ； B . i j 3⨯3m = 5 ，n = 5 ； C .m = 4 ，n = 5 ； D .m = 4 ，n = 4 .4.设 A = (a i j )3 ⨯ 3 的特征值为 1，2，3， A i j 是行列式 | A | 中元素 a i j 的代数余子式，则 A 11 + A 22 + A 33 ＝.A . 21 ；B . 11；C . 22 ；D . 36 .5. 设 A , B 为 n 阶矩阵, 且 AB = 0 , B ≠ 0 ，则必有.A . ( A +B ) 2 = A 2 + B 2；B . A = 0 ；C . | A | = 0 ；D. | B | = 0 .三、(6 分) 计算 n 阶行列式 D n =2 1+ a 1 a 2 a na 1 1+ a 2 a na 1 a 2 1+ a n2 ⎪ ⎛1 四、（8 分）设 A , B 为3 阶矩阵，且满足2 A -1B = B - 4E ，其中 B = 1 ⎝ - 2 0⎫ ⎪ 2 0⎪ ，求 A .0 ⎭五、(12 分) 已知线性方程组 ⎧x 1 + x 2 ⎪ x- x = 1= 1 ，试问 a ，b 取何值时，方程组有唯一解、⎨ 1 ⎪ x + ax 3 + x = b ⎩ 1 2 3无解、无穷多解？并当方程组有无穷多解时，求出其通解.0 － -1 100六. (7 分)设向量组α1 ，α 2 ，α 3 线性无关，且可由向量组 β1 ，β 2 ，β3 线性表示。

东北林业大学2020－2021学年第1学期 阶段 考试试题考试科目： 线性代数 试卷总分：100分 考试时间：90分钟 占总评比例： 30 %题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十卷面分 得分 评卷教师一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，合计10分）1、若54335214i j a a a a a 是5阶行列式中带有负号的一项，则,i j 的值为 [ A ].（A ）1,2i j ==； （B ）2,1i j ==； （C ）2,3i j ==； （D ）3,2i j ==。

2、设10123()232112x x x f x x x=，则()f x 中常数项为 [ C ].（A ）6−； （B ）6； （C ）5−； （D ）5。

3、设A 是n （2n ≥）阶方阵，k 是非零常数，则*()kA 的值为[ D ].（A ）1n k A−； （B ）1n n k A−； （C ）1(1)n n n k A−+； （D ）1(1)n n n k A−−。

4、设A 、B 是n 阶方阵，则必有 [ D ].（A ）11A A −−−=−； （B ）()kkkAB A B =； （C ）A B B A =； （D ）AB BA =。

5、设A 、B 是n 阶方阵，则有 [ A ].（A ）000AB A B =⇔==或； （B ）0A A O =⇔=；（C ）AB O A O B O =⇔==或； （D ）1A E A =⇔=。

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，合计10分） 1、排列21,23,,3,1,2,22,,2n n n n −−−的逆序数是 3(1)2n n − .2、已知123456789D =，则313233A A A ++=0. 3、分块矩阵1234AA A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则TA =1324TTT T A A A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 4、设T(1,0,1)α=−，矩阵TA αα=，E 为3阶单位阵，则43E A −=117−.装订线课程名称：线性代数 班级学号□□□□□□□□□□姓名：5、设340043000024002A ⎛⎫ ⎪−⎪= ⎪⎪⎝⎭，则2n A =1250000250000440004nn n n n n +⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；三、设列矩阵()12,,,Tn X x x x =满足1T X X =，E 为n 阶单位阵，2T H E XX =−，证明：1()T H H −=。

0 学习中心/函授站_姓 名学 号西安电子科技大学网络与继续教育学院2020 学年下学期《线性代数》期末考试试题（综合大作业）考试说明：1、大作业试题于 2020 年 10 月 15 日公布：（1） 毕业班学生于 2020 年 10 月 15 日至 2020 年 11 月 1 日在线上传大作业答卷；（2） 非毕业班学生于 2020 年 10 月 22 日至 2020 年 11 月 8 日在线上传大作业答卷；（3） 上传时一张图片对应一张A4 纸答题纸，要求拍照清晰、上传完整；2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同均按零分计；3、答案须用《西安电子科技大学网络与继续教育学院标准答题纸》手写完成，要求字迹工整、卷面干净。

如需答案+ 3171126054一、简算题（25 分）1、按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（5 分）1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1)2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n )2、计算下列行列式：（10 分）（1） - a b bd bf ac -cd cf ae de -efa （2） -1 0 1 0 0b 1 0 -1c 1 0 -1 d3、试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：（10 分）3 3 ⎪ ⎭ ⎛3 2 1⎫(1) 3 1 5⎪ ⎝ 2 ⎪ ⎛ 3 0 (2) ⎝- 2 0 2 2 - 2 -3 1 2 -1⎫ 1⎪- 2⎪ ⎭ 二、计算题（每小题 10 分，共 30 分）1、用克莱姆法则解方程组．⎧x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =5 ⎪x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 =-2 ⎨2x -3x - x -5x =-2 ⎪ 1 2 34 ⎩3x 1 + x 2 + 2x 3 +11x 4 =02、求以下非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：⎧⎪x 1 + x 2 =5 ⎨2x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 =1 ⎪⎩5x 1 +3x 2 + 2x 3 + 2x 4 =33、设 v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求 v 1-v 2 及 3v 1+2v 2-v 3．三、证明题（每小题 15 分，共 45 分） a 2 1、 2a 1 ab a +b 1 b 22b =(a -b )312、由 a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是 R 3.3、举例说明下列命题是错误的: 若向量组 a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 是线性相关的, 则 a 1 可由 a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示.0 1 1。

线性代数课程思政设计--以“矩阵的初等变换”为例
吴珍凤;杨南迎
【期刊名称】《教育信息化论坛》
【年(卷),期】2022(6)19
【摘要】线性代数课程是高等院校理工类和经管类专业的一门重要的基础课程,也是大部分理工类大学生的必修课。

基于此,以“矩阵的初等变换”为例,阐述教学过程中的课程思政设计。

将思政元素与专业基础理论课有机地融合在一起,可以让学生感受到数学与哲学之间的内在联系。

【总页数】3页(P120-122)
【作者】吴珍凤;杨南迎
【作者单位】江南大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O15
【相关文献】
1.线性代数课程矩阵初等变换应用的几点探究
2.深耕"三矩阵"思政教育构筑"三模块"思政课程
——浙江省机电技师学院打造模块化思政课程体系促进思政课程建设3.大思政格局下线性代数思政课例教学设计——以逆矩阵为例4.线性方程组与矩阵的初等变换教学设计中课程思政的融入5.课程思政元素融入线性代数的教学研究——以逆矩阵为例
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