讲4电荷电流连续性方程静电场4-

x
r r E = er E(r)
r ≤a
r ≥a
4πε0r2 r r r ρ0 r r3 ( − 2) E(r) = er ε0 3 5a
r r r 2 ρ0a3 E(r) = er 15 ε0r2
E(r) =
q
z
3. 利用高斯定理计算电场强度 在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计 电场分布具有一定对称性的情况下， 的情况下 算电场强度。 算电场强度。 具有以下几种对称性的场（或电荷分布）可用高斯定理求解： 具有以下几种对称性的场（或电荷分布）可用高斯定理求解： • 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。
i = lim(∆q ∆t) = dq dt
∆t→ 0
单位: 单位 A （安） 电流方向: 电流方向: 正电荷的流动方向 形成电流的条件： 形成电流的条件： • 存在可以自由移动的电荷; 存在可以自由移动的电荷; 自由移动的电荷 • 存在电场。 存在电场 电场。
电流是否可以在开路（或者单导体结构）中传输？ 电流是否可以在开路（或者单导体结构）中传输？
r2 ，分布于一个半径为 分布于一个半径为a 例1（3.2.1，V3) 电荷按体密度 ρ = ρ0(1− ) ， a2
的球形区域内，其中 为常数。计算球内外的电场强度。 的球形区域内，其中ρ0为常数。计算球内外的电场强度。
r r 解: E = er E(r)
E(r) =
q 4πε0r2
r'2 q = ∫ ρ0(1− 2 )dV' V a r ≤a
2.2.1
库仑定律
电场强度
v 处有静止点电荷q 产生的电场为 真空中r '处有静止点电荷 ，q产生的电场为 r rr qR r v v E(r) = R = r − r' 4πε0R3
1 ε0 = ×10−9 F/ m 36 π
z q r
r r'
r E的 位 V / m 单 是
x
o
RM r E r r y
x
z
r r'
o
线电荷的电场强度 r r E(r) = ∫
z
l
r r'
o
dl' r R
dS' r R r M r y
r r
M
y
x
2.2.2 静电场的散度与旋度
r r r r ρ(r′)eR 1 E(r) = ∫V R2 dV' 4πε0
1. 静电场的散度与高斯定理 r r r ρ(r) ∇⋅ E(r) =
2. 面电流 电荷在一个厚度可以忽略的 薄层内定向运动所形成的电流称 r 为面电流， 为面电流，用面电流密度矢量 JS 来描述其分布
∆ l
r r ∆i r di JS = en lim = en ∆l→ ∆ 0 l dl
单位： 单位：A/m （安/米） 米
电荷与电荷密度
电流与体电流密度
V
dq ρ= dV dq ρS = dS dq ρl = dl
∫
S
r r J ⋅ dS =0
r ∇⋅ J = 0
从任意闭合面穿出的恒定电流为0， 从任意闭合面穿出的恒定电流为 ，恒定 电流场是无散度的场。 电流场是无散度的场。
电流连续性方程推导 推导基尔霍夫电流定律 ★由电流连续性方程推导基尔霍夫电流定律
基尔霍夫电流定律： 基尔霍夫电流定律： 任何瞬时流入电路任一 任何瞬时流入电路任一 节点的电流的代数和等于 节点的电流的代数和等于 零。
∫
S
r r J ⋅ dS =
dqS dq i= =− ∑ dt dt
S
i1
r d ∇⋅ JdV =− ∫ ρdV = − ∂ρ dV ∫V ∫V ∂t dt V
电流连续 性方程
r r dq ∫S J ⋅dS = − dt
r ∂ρ ∇⋅ J = − ∂t
ρ(r,t), q(t)
i2 i3
r
恒定电流的连续性方程
2π
z
r'2 2 q = ∫ ∫ ∫ ρ0(1− 2 )r' sin θ' dr' dθ' dϕ' 0 0 0 a r r'4 = 4πρ ∫ (r'2 − 2 )dr' 0 0 a
r
π
a
r r
O y
r r
r3 r'5 = 4πρ ( − 2 ) 0 3 5a a3 a5 8 a3ρ0 π r ≥ a q = 4πρ ( − )= 0 2 3 5a 15
电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭， 电荷守恒定律 电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体 电荷既不能被创造 的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移到另一个物体。 的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移到另一个物体。 内单位时间所减少的电荷量。 流出闭合曲面S 的电流等于体积V 内单位时间所减少的电荷量。
q = ∫ ρdV q = ∫ ρS dS
S
dq i= dt
r r di J = en dS
q = ∫ ρl dl
l
r r i = ∫ J ⋅ dS
S
电荷的定向运动形成电流。 电荷的定向运动形成电流。 电荷的体密度与电流的体密度是否有关系？ 电荷的体密度与电流的体密度是否有关系？
2.1.3 电荷守恒定律（电流连续性方程） 电荷守恒定律（电流连续性方程）
r r dS = endS
v en
r r ∆i r di J = en lim = en ∆S→ ∆ 0 S dS
dS⊥
θ
θ
r J(x, y, z)
r r r r r r di = JdS⊥ = JeJ ⋅ endS= J ⋅ endS = J ⋅ dS
i = ∫ di = ∫
S
S
r r J ⋅ dS
r dv' R
z
r r
y
rr dE(r)
O
x
r2 ，分布于一个半径为 分布于一个半径为a 例1（3.2.1，V3) 电荷按体密度 ρ = ρ0(1− ) ， a2
的球形区域内，其中 为常数。计算球内外的电场强度。 的球形区域内，其中ρ0为常数。计算球内外的电场强度。 解: 由于电荷具有球对称性，所以 由于电荷具有球对称性， r r q 利用高斯定理 ∫ E⋅ dS =
• 第2章 电磁场的基本规律 章
2.1 电荷守恒定律 2.2 真空中静电场的基本规律 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 2.5 电磁感应定律和位移电流 2.6 麦克斯韦方程组 2.7 电磁场的边界条件
理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式： 理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式： 点电荷、体分布电荷、面分布电荷、 点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷 电荷
∑i =0
●时变电流是否满足基尔霍 夫定律？ 夫定律？
●是否有穿入的电流与穿出 节点、 的电流不等的节点 器件？ 的电流不等的节点、器件？
2.2 真空中静电场的基本规律
静电场： 静电场：
空间位置固定、电量不随时间变化的电荷 空间位置固定、电量不随时间变化的电荷 产生的电场。 产生的电场。
本节内容
2.2.1 库仑定律与电场强度 2.2.2 静电场的散度与旋度
体电荷产生的电场强度 r r r r 1 ρ(r′)R E(r) = ∫ dV′ 3 V 4πε0 R 面电荷的电场强度
r r r R = r −r '
zV
r r'
o
dV'
r RM r r
y
r r E(r) = ∫
S
r r 1 ρS (r′)R dS' 3 4πε0 R r r 1 ρl (r′)R dl' 3 4πε0 R
1. 电荷体密度 电荷连续分布于体积V 内，用电荷体密度来描述其分布 r r r ∆ (r) dq(r) q ρ(r) = lim = ∆ → V 0 ∆ V dV z ∆q ∆ V 单位： 单位：C/m3 (库/米3 ) 库米 r V r r o q = ρ(r)dV
∫
y
V
x
2. 电荷面密度 电荷分布在厚度可忽略的薄层上（当仅考虑薄层外、 电荷分布在厚度可忽略的薄层上（当仅考虑薄层外、距薄 厚度可忽略的薄层上 层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场， 层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该 薄层内的电场时） 认为电荷是面分布， 薄层内的电场时），认为电荷是面分布，可用电荷面密度表示
a
ρ0 带电球壳 O
均匀带电球体
• 轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。 轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。
∫
S
rr r q E(r)⋅ dS =
ε0
利用积分形式的高斯定理求解静电场的条件： 利用积分形式的高斯定理求解静电场的条件： 电场具有对称性分布； 电场具有对称性分布； 电场强度的模可以从面积分中提出来。 电场强度的模可以从面积分中提出来。 利用积分形式的高斯定理求解静电场的步骤： 利用积分形式的高斯定理求解静电场的步骤： 1、分析电场的方向，电场强度的大小的变化规律; 、分析电场的方向，电场强度的大小的变化规律 2、选取高斯面; 、选取高斯面 3、计算电场强度的通量； 、计算电场强度的通量； 4、计算电荷量； 、计算电荷量； 5、确定电场强度。 、确定电场强度。
S
r r E = er E(r)
z
r r E// er E
高斯曲面取过场点以坐 标原点为球心的球面
ε0
r r r r ∫SE⋅dS = ∫S er E(r)⋅ erdS