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第五章 二元一次方程组一、本章知识点梳理：知识点1:二元一次方程（组）的定义 知识点2：二元一次方程组的解定义知识点3:二元一次方程组的解法 知识点4：一次函数与二元一次方程（组）知识点5:实际问题与二元一次方程组 二、各知识点分类讲解知识点1：二元一次方程（组）的定义 1、二元一次方程的概念含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程注意:1、(1）方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数。
（2）含有未知数的项的次数都是1。
（3）二元一次方程的左右两边都必须是等式. (三个条件完全满足的就是二元一次方程）2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。
即若ax m +by n =c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1 例1：已知（a －2）x －by｜a|－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程,则a ＝______，b ＝_____．例2：下列方程为二元一次方程的有_________ ①y x =-52，②14=-x ,③2=xy ，④3=+y x ,⑤22=-y x，⑥22=-+y x xy ，⑦71=+y x⑧y x 23+，⑨1=++c b a 【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（ ） A ．3x-y 2=0 B ．2x+1y=1 C ．3x —52y=6D ．4xy=32、二元一次方程组的概念由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组注意：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程. 例:下列方程组中,是二元一次方程组的是（ ）A 、228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩【巩固练习】1、 已知下列方程组：（1)32x y y =⎧⎨=-⎩,（2）324x y y z +=⎧⎨-=⎩，（3）1310x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，(4）30x y x y +=⎧⎨-=⎩， 其中属于二元一次方程组的个数为( ）A ．1B 。
《5.6-5.7 二元一次方程（组）与一次函数》提升练一、选择题1.若二元一次方程3x-2y=1所对应的直线是l，则下列各点不在直线l上的是（）A.（1，1）B.（-1，1）C.（-3，-5）D.（2，52）2.【中考·呼和浩特】若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=-12x+b-1上，则常数b=（）A.12B.2C.-1D.13.以方程y-2x-2=0的解为坐标的点组成的图象是（）A.B.C.D.4.【教材P 125习题T 4式】已知方程组2,223x y x y +=⎧⎨+=⎩没有解，则一次函数y =2-x与y =32-x 的图象必定（ ） A .重合B .平行C .相交D .无法确定5.【教材P 124随堂练习T 1改编】已知直线1l :y =-3x +b 与直线2l ：y =-kx +3在同一坐标系中交于点（1，-2），那么方程组3,3x y b kx y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A .12x y =⎧⎨=-⎩ B .12x y =⎧⎨=⎩C .12x y =-⎧⎨=-⎩ D .12x y =-⎧⎨=⎩6.【2019·绍兴】若三点（1，4），（2，7），（a ，10）在同一直线上，则a 的值等于（ ）A .-1B .0C .3D .47.某水果超市以每千克3元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y （元）与销售量x （kg ）之间的关系如图所示.若该水果超市销售此种水果的利润为110元，则销售量为（ ）A .130kgB .120kgC .100kgD .80kg8.【2019·辽阳】一条公路旁依次有A ，B ，C 三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A 村、B 村同时出发前往C 村，甲、乙之间的距离s （km ）与骑行时间t （h ）之间的函数关系如图所示.下列结论：①A ，B 两村相距10km ；②出发1.25h 后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8km ；④相遇后，乙又骑行了15min 或65min 时两人相距2km .其中正确的个数是（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题9.【2019·贵阳】在平面直角坐标系内，一次函数11y k x b =+与22y k x b =+的图象如图所示，则关于x ，y 的方程组1122y k x b y k x b -=⎧⎨-=⎩的解是________.10.若直线y=-3x+a与直线y=3x+b的交点坐标为（2，8），则a-b=______.11.以方程组2,6y xy x=-+⎧⎨=-⎩的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是第______象限.12.如图所示的是函数y=kx+b与y=mx+n的图象，则方程组,y kx by mx n=+⎧⎨=+⎩的解对应的点关于x轴的对称点的坐标是______.13.某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格.图中12,l l分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（3m）之间的关系.小雨家去年用水量为1503m，若今年用水量与去年相同，则水费将比去年多_____元.14.【2021·武汉第六初级中学月考】小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图，相交于点P的两条线段12,l l分别表示小敏、小聪离B地的距离y（km）与已用时间x（h）之间的关系，则x=_____时，小敏、小聪两人相距7km.三、解答题15.已知直线y=2x+2和直线y=kx+b相交于点P（-3，m）（1）求m的值.（2）你能否求出方程组22,x ykx y b-=-⎧⎨-=-⎩的解？若能，请求出它的解；若不能，请说明理由.16.在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+4的图象如图所示. （1）在同一直角坐标系中，作出一次函数y=2x-5的图象.（2）利用图象解方程组：4, 25; x yx y+=⎧⎨-=⎩（3）求一次函数y=-x+4与y=2x-5的图象与x轴围成的三角形面积.17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=34x与一次函数y=-x+7的图象交于点A.（1）求点A的坐标；（2）设x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交函数y=34x和y=-x+7的图象于点B，C，连接OC，若BC=7，求△OBC的面积.18.某地出租车计费方法如图所示，x （km ）表示行驶里程，y （元）表示车费，请根据图象解答下列问题：（1）该地出租车的起步价是_____元；（2）当x >2时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）若某乘客一次乘出租车的里程为18km ，则这名乘客需付出租车车费多少元？19.【2019·淮安】快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5h ，慢车没有休息.设慢车行驶的时间为xh ，快车行驶的路程为1y km ，慢车行驶的路程为2y km .如图中折线OAEC 表示1y 与x 之间的函数关系，线段OD 表示2y 与x 之间的函数关系.请解答下列问题:（1）求快车和慢车的速度；（2）求图中线段EC 所表示的1y 与x 之间的函数表达式；（3）线段OD 与线段EC 相交于点F ，直接写出点F 的坐标，并解释点F 的实际意义.参考答案一、选择题1.答案：B2.答案：B3.答案：C4.答案：B5.答案：A6.答案：C7.答案：A8.答案：D二、填空题9.答案：=21 xy⎧⎨=⎩10.答案：1211.答案：四12.答案：（-2，-3）13.答案：210解析：14.答案：313 55或三、解答题15.答案：见解析解析：（1）因为直线y=2x+2和直线y=kx+b相交于点P（-3，m），所以点P（-3，m）在直线y=2x+2.所以m=2×（-3）+2=-4.（2）能.因为m=-4，所以点P的坐标为（-3，-4）.又因为直线y=2x+2和直线y=kx+b相交于点P，所以方程组22,x ykx y b-=-⎧⎨-=-⎩的解是=34.xy-⎧⎨=-⎩，16.答案：见解析解析：（1）如图所示.（2）由（1）中的图象可以看出两直线的交点坐标为（3，1），所以方程组4, 25 x yx y+=⎧⎨-=⎩的解为31. xy=⎧⎨=⎩，（3）一次函数y=-x+4的图象与x轴的交点坐标为（4，0），一次函数y=2x-5的图象与x轴的交点坐标为（52，0），所以一次函数y=-x+4与y=2x-5的图象与x轴围成的三角形面积为15341224⨯-⨯=.17.答案：见解析解析：由题意得347y xy x⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，，解得43. xy=⎧⎨=⎩，所以点A的坐标为（4，3）. （2）因为P（a，0），所以B（a，34a），C（a，-a+7）所以37(7)744BC a a a=--+=-.所以7774a-=，解得a=8.所以11·782822OBC S BC OP ==⨯⨯=. 18.答案：见解析解析：（1）7（2）设当x >2时，y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，把点（2，7），（4，10）的坐标分别代入，得27,410,k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得3,24.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以y 与x 的函数关系式为y =32x +4. （3）把x =18代入y =32x +4，得y=32×18+4=31. 所以这名乘客需付出租车车费31元.19.答案：见解析解析：（1）快车的速度为180÷2=90（km /h ），慢车的速度为180÷3=60（km /h ）.（2）由题意可得，点E 的横坐标为2+1.5=3.5，则点E 的坐标为（3.5，180）.点C 的横坐标为（360-180）÷90+3.5=5.5，则点C 的坐标为（5.5，360）.设线段EC 所表示的1y 与x 之间的函数表达式是1y =kx +b ，则 3.5180,5.5360,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得90,135.k b =⎧⎨=-⎩ 即线段EC 所表示的1y 与x 之间的函数表达式是1y =90x -135（3.5≤x ≤5.5）.（3）点F 的坐标为（4.5，270），点F 代表的实际意义是在4.5h 时，快车与慢车行驶的路程相等.点拨：设点F 的横坐标为a ，则60a =90a -135，解得a =4.5.故60a =270.。
2021-2022学年北师大版八年级数学上册《5-5应用二元一次方程组》寒假自主提升训练（附答案）1．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？设安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，可列方程组为（）A．B．C．D．2．某车间有60名工人生产A、B两种零件，1名工人每天生产A零件200个或B零件50个．2个A零件和1个B零件配成一套，应如何分配工人生产，才能使产品配套？设安排x名工人生产A零件，y名工人生产B零件，则可列方程组（）A．B．C．D．3．如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（）A．48B．52C．58D．644．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（）A．60厘米B．80厘米C．100厘米D．120厘米5．在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．则花圃的面积为（）A．16B．8C．32D．246．以下是甲、乙两人关于一个两位数的对话：甲说两个数位上的数字和是12，乙说两个数位上的数字差是2．那么这个两位数是．7．一个两位数，个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27，则原来的两位数是．8．在长方形ABCD中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为cm．9．如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD的面积是cm2．10．如图，在大的长方形ABCD中，放入8个大小相同的小长方形，由图中所给的数据，可求得每个小长方形的长为cm，宽为cm．11．如图，一个矩形被分割成11个正方形，原矩形的长为a，宽为b（a＞b），则＝．12．为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元．（1）求A、B两种品牌的篮球的单价．（2）我校打算网购20个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了多少钱？13．某市要在A，B两景区安装爱心休闲椅，它有长条椅和弧形椅两种类型，其中每条长条椅可以同时供3人使用，每条弧形椅可以同时供5人使用．（列二元一次方程组解答）（1）市政府现在要为B景区购买长条椅120条，弧形椅80条，若购买一条长条椅和一条弧形椅的价格共360元，为B景区购买共花费了32800元，求长条椅和弧形椅的单价分别为多少元？（2）现决定从某公司为A景区采购两种爱心休闲椅共400条，且正好可让1400名游客同时使用，求A景区采购的长条椅和弧形椅分别为多少条？14．每年秋天，某地都会举办“猕猴桃节”，去年，果农小张共售出绿心猕猴桃和红心猕猴桃3000千克，绿心猕猴桃售价是20元/千克，红心猕猴桃售价是30元/千克，全部售出后总销售额为80000元．（1）去年，果农小张共售出红心猕猴桃多少千克？（2）今年，绿心猕猴桃的单价比去年下降了a%，红心猕猴桃的单价比去年上涨了2a%，结果果农小张售出的绿心猕猴桃数量是去年的2倍，红心猕猴桃数量比去年减少了a%，总销售额比去年增加了25%，求a的值．15．甲、乙两名同学都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟快的追上慢的一次．已知甲比乙跑得快，求甲、乙两名同学每分钟各跑多少圈？16．列二元一次方程组解答下列问题：在新冠肺炎疫情防控期间，有快、慢两辆汽车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发匀速行驶，运送医疗物资．如果两车相向行驶，那么1.2小时后两车相遇，如果两车同向行驶，那么6小时后，快车追上慢车，求快车和慢车的速度各是多少？17．一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军89km，且第一天比第二天少走1km，第一天和第二天行军的平均速度各是多少？18．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27，请利用二元一次方程组求这个两位数．19．小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个两位数；1h后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过lh，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个0所得的三位数．这3块里程碑上的数各是多少？20．某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎．该打车方式的总费用等于里程费加上时费，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如表：里程数（千米）时间（分钟）车费（元）小聪3109小明61817.4（1）求x，y的值；（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从南昌二中打车到省奥林匹克体育中心，总里程为22千米，耗时45分钟，求小强需支付多少车费．21．（1）4辆大货车和6辆小货车一次可以运货31吨，5辆大货车和6辆小货车一次可以运货35吨，3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？（2）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有280张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？22．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？23．实验室需要一批无盖的长方体模型，一张大纸板可以做成长方体的侧面30个，或长方体的底面25个，一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成．现有26张大纸板，则用多少张做侧面，多少张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余？参考答案1．解：设需安排x名工人加工大齿轮，y名工人加工小齿轮，根据题意可得：，故选：B．2．解：设安排x名工人生产A零件，y名工人生产B零件，由题意，得．故选：B．3．解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意可得，解得：，∴阴影部分面积＝16×（6+3×2）﹣7×10×2＝52，故选：B．4．解：设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，根据题意得：，解得：，则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米），故选：D．5．解：设每个小矩形花圃的长为xm，宽为ym，依题意得：，解得：，∴3xy＝3×4×2＝24．故选：D．6．解：设这个两位数为x，个位数字为y，由题意得：或，解得：或，即这个两位数是75或57，故答案为：75或57．7．解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，依题意得：，解得：，∴10x+y＝58．故答案为：58．8．解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则AD＝x+3y，AB＝x+y＝5+2y，即x﹣y＝5，根据题意，得：，解得：，即CE＝2cm，故答案为：2．9．解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意得：，解得：，∴大长方形ABCD的面积＝14×（6+2y）＝14×（6+2×2）＝14×（6+4）＝14×10＝140（cm2）．故答案为：140．10．解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：，解得：，即每个小长方形的长是7cm，宽是2cm，故答案为：7，2．11．解：设矩形中较小的正方形的边长为x，较大的正方形的边长为y，由题意得：，解得：，又∵b＝3x+a＝a，∴＝，故答案为：．12．解：（1）设A品牌的篮球的单价为x元，B品牌的篮球的单价为y元，依题意得：，解得：．答：A品牌的篮球的单价为40元，B品牌的篮球的单价为100元．（2）40×（1﹣0.8）×20+100×（1﹣0.9）×3＝40×0.2×20+100×0.1×3＝160+30＝190（元）．答：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了190元钱．13．解：（1）设长条椅的单价为x元，弧形椅的单价为y元，依题意得：，解得：．答：长条椅的单价为100元，弧形椅的单价为260元．（2）设A景区采购长条椅m条，弧形椅n条，依题意得：，解得：．答：A景区采购长条椅300条，弧形椅100条．14．解：（1）设去年果农小张共售出红心猕猴桃x千克，由题意得：20（3000﹣x）+30x＝80000，解得：x＝2000，答：设去年果农小张共售出红心猕猴桃2000千克；（2）今年绿心猕猴桃的单价：20（1﹣a%），今年红心猕猴桃的单价：30（1+2a%），今年绿心猕猴桃的销量：（3000﹣2000）×2＝2000（kg），今年红心猕猴桃的销量：2000（1﹣a%），∴20（1﹣a%）×2000+30（1+2a%）×2000（1﹣a%）＝80000（1+25%），解得：a1＝0（舍去），a2＝20，答：a的值为20．15．解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，依题意，得：，解得：，答：甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈．16．解：设快车的速度为x千米/时，慢车的速度为y千米/时，依题意得：，解得：．答：快车的速度为90千米/时，慢车的速度为60千米/时．17．解：设第一天的平均速度为x千米/时，第二天行军的平均速度是y千米/时，由题意可得：，解得：，答：第一天的平均速度为11千米/时，第二天行军的平均速度是9千米/时，18．解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，依题意得：，解得：，∴10x+y＝10×3+6＝36．答：这个两位数为36．19．解：设小亮第一次看到的两位数，十位数为x，个位数为y，则1h后，看到里程碑上的两位数个位数为x，十位数为y，再过lh，看到里程碑上的数，百位数为x，千位数字为0，个位数为y，∴第一个里程碑上的数为（10x+y），第二个里程碑上的数为（10y+x），第三个里程碑上的数为（100x+y），∵小亮是匀速行驶，∴第1h行驶的路程＝第2h行驶的路程，∴（10y+x）﹣（10x+y）＝（100x+y）﹣（10y+x），化简得，y﹣x＝11x﹣y，∴y＝6x，∵x，y都为整数，且1≤x≤9，1≤y≤9，∴x＝1，y＝6，∴这3块里程碑上的数各是16，61，106．答：这3块里程碑上的数各是16，61，106．20．解：（1）依题意得：，解得：．答：x的值为2，y的值为0.3；（2）2×8+（2+0.6）×（22﹣8）+0.3×45＝2×8+2.6×14+0.3×45＝16+36.4+13.5＝65.9（元）．答：小强需支付65.9元车费．21．解：（1）设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，依题意，得：，解得：，∴3x+5y＝24.5．答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨；（2）设用x张制盒身，则用（280﹣x）张制盒底，由题意得：2×15x＝40（280﹣x），解得：x＝160，280﹣x＝120．答：用160张制盒身，120张制盒底．22．解：设x人生产螺栓，y人生产螺母刚好配套，根据题意可得：，解得：，答：40人生产螺栓，50人生产螺母刚好配套．23．解：设用x张做侧面，y张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余，根据题意得：，解得：．答：用20张做侧面，6张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余．。
课时目标1.能借助表格分析较为复杂问题中的数量关系,建立方程组解决问题.2.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程,体会方程(组)是刻画现实世界数量关系的有效数学模型,发展模型意识和应用意识.学习重点体会列方程组解决实际问题的步骤,学会用图表分析较为复杂问题中的数量关系.学习难点将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型,会用图表分析数量关系.课时活动设计回顾引入上节课,我们应用二元一次方程组解决了鸡兔同笼问题,这节课我们应用二元一次方程组解决增收节支问题.师:“增收”顾名思义就是增加收入,如:“今年的总收入比去年增加了20%”,在这句话中,涉及到的等量关系是什么呢?生:今年的总收入=去年的总收入×(1+20%).师:“节支”顾名思义就是节约开支,如:“今年的总支出比去年减少了10%”,在这句话中,涉及到的等量关系是什么呢?生:今年的总支出=去年的总支出×(1-10%).设计意图:通过复习旧知识,回顾找等量关系的方法,要善于抓住关键词语“比”,在涉及到百分比的问题时,务必弄清以谁为单位“1”,避免个别同学在建立等量关系时出现错误,为后面的学习做准备.探究新知探究1某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?思考一下,如何解决这类现实问题?解决这类问题的关键又是什么?学生通过讨论交流得出解决这类问题的关键是找等量关系.去年的利润是200万元,今年的利润是780万元;“今年总收入比去年增加了20%”对应的等量关系是“去年总收入×(1+20%)=今年总收入”;“总支出比去年减少了10%”对应的等量关系是“去年总支出×(1-10%)=今年总支出”.题目中还有没有隐含的等量关系?教师引导学生得到隐含的等量关系是“去年的总收入-去年的总支出=200万元”,“今年的总收入-今年的总支出=780万元”.解:设去年的总收入为x 万元,总支出为y 万元,则今年的总收入为(1+20%)x 万元,总支出为(1-10%)y 万元.由题意,得t =200,(1+20%)t(1-10%)=780.解得=2000,=1800.所以去年的总收入是2000万元,总支出是1800万元.探究2拓展提升:某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?在探究1中,以“比”后面的数量为单位“1”,设去年的收入和支出分别为x ,y ,从而解决实际问题.可以以“比”前面的数量为单位“1”吗?可以设今年的收入和支出分别为x ,y 吗?那么去年的量该如何表示呢?哪种方法更简便呢?解:设今年的总收入为x 万元,则去年的总收入为1+20%万元;设今年的总支出为y 万元,则去年的总支出为1−10%万元.依据题意,t =780,1+20%-1−10%=200.解得=2400=1620.1+20%=24001+20%=2000,1−10%=16201−10%=1800.所以去年的总收入为2000万元,总支出为1800万元.探究3变式训练:某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.今年的总收入、总支出各是多少万元?此题与上一题相比,哪里有变化?你会采用哪种设法呢?学生分组自由讨论,畅所欲言,教师巡视指导,肯定学生不同的方法,引导学生比较不同解法的优劣.设计意图:本环节通过教师引导,带领学生逐步分解题目中的已知条件,降低学生理解题目的难度,引导学生逐步找到等量关系.并借助课本中的表格帮助学生进行思路上的梳理,完成对复杂问题的解答.通过变式训练,提醒学生要认真审题,巧妙设未知量,使自己的解法最优化.归纳总结1.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤为:审、设、列、解、检、答.2.解题过程中的注意事项:审清题意,巧设未知量,正确列等量关系式.设计意图:对所学习的知识进行回顾和梳理,锻炼学生总结归纳的能力.典例精讲例医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质,若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要?分析:借助表格梳理题目中的数量关系.甲原料x克乙原料y克所配制的营养品其中所含蛋白质0.5x0.7y35其中所含铁质x0.4y40解:设每餐需要甲原料x克,乙原料y克.根据题意,得0.5+0.7=35,①+0.4=40.②化简,得5+7=350,③5+2=200.④③-④,得5y=150,解得y=30.把y=30代入①,得x=28.答:每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.设计意图:面对复杂的数量关系,可以借助表格进行分析,找出问题中所蕴含的等量关系.应充分思考,正确找到等量关系建立模型,列出正确的二元一次方程组.规范学生对解题步骤的书写,让学生感受到数学的严谨性.巩固训练1.一、二两班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81%.如果一班学生的体育达标率为87.5%,二班学生的体育达标率为75%,那么一、二两班各有多少名学生?设一、二两班分别有学生人数为x名、y名,填写下表并求出x,y的值.一班二班两班总和学生人数x y100达标学生人数0.875x0.75y81解:由题意,得+=100,0.875+0.75=81.解得=48,=52.所以一班有48名学生,二班有52名学生.2.某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共15吨,实际生产了17吨,其中水稻超产15%,小麦超产10%.该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨?解:设该专业户去年计划生产水稻x吨,小麦y吨;实际生产水稻(1+15%)x吨,小麦(1+10%)y吨.由题意,得+=15,(1+15%)+(1+10%)=17.解得=10,=5.(1+15%)x=11.5,(1+10%)y=5.5.答:该专业户去年实际生产水稻11.5吨,小麦5.5吨.设计意图:通过练习,巩固本节课所学知识,同时使学生学会规范的解题过程,培养学生逆向思维能力.课堂小结1.列方程解应用题的一般步骤有哪些?2.如何快速准确地找到对应的等量关系?3.寻找等量关系式要弄清以谁为单位“1”.设计意图:通过小结,帮助学生梳理知识,让学生养成及时整理的习惯.课堂8分钟.1.教材第119页习题5.5第1,2,3,4题.2.七彩作业.5.4应用二元一次方程组——增收节支1.列方程解应用题的一般步骤.2.找等量关系.教学反思。
应用二元一次方程组（提高）知识讲解【学习目标】1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；2．熟练掌握用方程组解决鸡兔同笼，增收节支，里程碑上的数等实际问题.【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.2.增收节支问题：（1）增长（递减）率公式：原来的量×（1+增长率）=后来的量；原来的量×（1-递减率）=后来的量；（2）利润公式：利润=总收入-总支出；利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率；标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)（3）银行利率公式：利息=本金×利率×期数.本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×.要点诠释：增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充分突出解题过程．3.行程问题：速度×时间=路程.顺水速度=静水速度+水流速度.逆水速度=静水速度-水流速度.4.数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．要点二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、鸡兔同笼问题1. （2016•济宁一模）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘n （0＜n ＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？【思路点拨】（1）设每名熟练工每月可以安装x 辆电动车，新工人每月分别安装y 辆电动汽车，根据安装8辆电动汽车和安装14辆电动汽车两个等量关系列出方程组，然后求解即可；（2）设调熟练工m 人，根据一年的安装任务列出方程整理用m 表示出n ，然后根据人数m 是整数讨论求解即可．【答案与解析】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x 辆电动车，新工人每月分别安装y 辆电动汽车， 根据题意得， 解得． 答：每名熟练工每月可以安装4辆电动车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；（2）设调熟练工m 人，由题意得，12（4m +2n ）=240，整理得，n=10﹣2m ，∵0＜n ＜10，∴当m=1，2，3，4时，n=8，6，4，2，即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人．【总结升华】本题考查了二元一次方程的应用，解二元一次方程组，（1）理清题目数量关系列出方程组是解题的关键，（2）用一个未知数表示出另一个未知数，是解题的关键，难点在于考虑人数是整数．举一反三：【变式】《九章算术》方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”【答案】解：设每只雀、燕的重量各为x 两，y 两，由题意得：561645x y x y y x+=⎧⎨+=+⎩解方程组得：32192419x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩答：每只雀、燕的重量各为3219两和2419两. 类型二、增收节支问题2. 某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？【答案与解析】解：设女生x 人，男生y 人，由题意得： 3440232(4)682x y x y +⎧+-=⎪⎪⎨+⎪+-=⎪⎩ 解得：2132x y =⎧⎨=⎩答：这个班的男生有32人，女生有21人. 【总结升华】两人抬土需要一根扁担，一只筐；一人挑土需要一根扁担，两只筐．题中的等量关系是：参加劳动的同学一共用去箩筐68个和40根扁担，从而列出方程组，解出即可． 举一反三：【变式】为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%．(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?(2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？【答案】解：(1)设政策出台前一个月销售的手动型汽车为x 辆，自动型汽车为y 辆，由题意可得：960(130%)(125%)1228x y x y +=⎧⎨+++=⎩解之得：560400x y =⎧⎨=⎩． 答：政策出台前一个月销售的手动型汽车为560辆，自动型汽车为400辆．(2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(万元)答：政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了516.2万元．3.（2015•黄冈）已知A ，B 两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A ，B 两件服装的成本各是多少元？【思路点拨】设A 服装成本为x 元，B 服装成本y 元，由题意得等量关系：①成本共500元；②共获利130元，根据等量关系列出方程组，再解即可．【答案与解析】解：设A 服装成本为x 元，B 服装成本y 元，由题意得：， 解得：，答：A 服装成本为300元，B 服装成本200元．【总结升华】主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．类型三、里程碑上的数（数字问题）4.小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明第一次注意到路边里程碑上的数时，发现它是一个两位数且它的两个数字之和为9，刚好过一个小时，他发现路边里程碑上的数恰好是第一次看到的个位和十位数字颠倒后得到的，又过3小时，他发现里程碑上的数字比第一次看到的两位数中间多个0，你知道小明爸爸骑摩托车的速度是多少吗？【思路点拨】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即第一次注意到路边里程碑上的数的十位数字+个位数字=9；由于是匀速行驶，可以根据3小时所行使的路程相等来列第二个等量关系．【答案与解析】解：小明第一次注意到路边里程碑上的两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意，得[]9(100)(10)3(10)(10)x y x y y x y x x y +=⎧⎪⎨+-+=+-+⎪⎩ 解得27x y =⎧⎨=⎩， 即小明第一次注意到路边里程碑上的数字为27，1小时后小明看到的程碑上的数字为72，72﹣27=45（千米/小时），答：小明爸爸骑摩托车的速度是45千米/小时．举一反三：【变式】一个三位数是一个两位数的5倍．如果把这个三位数放在两位数的左边，得到一个五位数；如果把这个三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，且后面的五位数比前面的五位数大18648，问：两位数、三位数各是多少？【答案】解：设两位数是x ，三位数是y,根据题意得:，解得:．答：两位数、三位数各是37、185．类型四、行程问题5. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离.解：设规定的时间为x 小时，甲乙两地间的距离为y 千米. 则由题意可得：解得：答：甲乙两地间的距离为140千米.【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．举一反三：【变式】（2015•娄底）假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．”小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了6.5千米，付车费14.5元．”问：（1）出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？（2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多少元？【答案】解：（1）设出租车的起步价是x 元，超过1.5千米后每千米收费y 元．依题意得，，解得．245060247060x y x y ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩125140x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩答：出租车的起步价是元，超过1.5千米后每千米收费2元；（2）+（5.5﹣1.5）×2=12.5（元）．答：小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费12.5元．应用二元一次方程组(提高)巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2016•来宾）一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x 瓶，小盒装y 瓶，则可列方程组（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2015•宜州市）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）.A ．19B ．18C ．16D ．153．某中心学校现有学生515人，计划一年后女生在校人数增加135，男生在校人数增加190，这样在校学生人数将增加2103，那么该校现有女生和男生人数分别是( ). A ．245和270 B ．260和255 C ．25.9和256 D ．240和2754．某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐59个，扁担36根，若设抬土的学生x 人，挑土的学生y 人，则有 ( ).A ．2592362y x x y ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩ B ．2592362x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ C ．2592236x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ D ．259236x y x y +=⎧⎨+=⎩5.甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数.如果甲数为x ，乙数为y ，则得方程组是（ ）A. ⎩⎨⎧=+++=+x 201x y 1001188y x 100y x 100B. ⎩⎨⎧++=+=+1188y x 100x y 100x 201y x 100 C. ⎩⎨⎧=+-+=+y 201x y 1001188y x 100y x 100 D. ⎩⎨⎧-+=+=+1188y x 100x y 100y 201y x 1006. 一辆汽车在公路上匀速行驶，司机在路边看到一个里程碑上是一个两位数，行驶一小时后，他看到的里程碑上的数，恰好是第一个里程碑上数颠倒顺序的两位数，再过一小时，他看到的里程碑上的数，又恰好是第一次看到的两位数中间添上一个零的三位数，那么他第一7.（2016•盐城）李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需 分钟．8．小张以两种形式储蓄了500元，第一种储蓄的年利率为 3.7%，第二种储蓄的年利率为2.25%，一年后得到利息和为15.6元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是 元和 元．9．（2015•江西模拟）如图，三个全等的小矩形沿“横一竖一横“排列在一个大的边长分别为12.34，23.45的矩形中，则图中一个小矩形的周长等于 ．10．甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，两人每秒钟各跑的米数是 米/秒和 米/秒.11．一个两位数的两个数位上的数字之和为7，若将这两个数字都加上2，则得到的数是原数的2倍少3，则这个两位数是 .12. 已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，1.8小时后相遇.如果甲比乙先走32小时，那么在乙出发后23小时两人相遇.设甲、乙两人速度分别为每小时x 千米和y 千米，则x=________，y=________.三、解答题13.（2015•徐州）某超市为促销，决定对A ，B 两种商品进行打折出售．打折前，买6件A 商品和3件B 商品需要54元，买3件A 商品和4件B 商品需要32元；打折后，买50件A 商品和40件B 商品仅需364元，这比打折前少花多少钱？14.某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？15. 一个三位数是一个两位数的5倍．如果把这个三位数放在两位数的左边，得到一个五位数；如果把这个三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，且后面的五位数比前面的五位数大18648，问：两位数、三位数各是多少？【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A；2. 【答案】C；【解析】设一个笑脸气球为x元，一个爱心气球为y元，根据图形找出等量关系：3个笑脸+一个爱心=14元，3个爱心+1个笑脸=18元，据此列方程组求出x和y的值，继而可求得第三束气球的价格．3. 【答案】A；4. 【答案】B；【解析】注意了解生活常识：抬土即两个人需要一根扁担和一个箩筐；挑土即一个人需要一根扁担和两个箩筐．5.【答案】D；【解析】把甲数放在乙数的左边，得到的四位数是100x+y；把乙数放在甲数的左边，得到的四位数是100y+x.根据把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍可得方程100x+y=201y；根据把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，可得方程100y+x=100x+y-1188.6. 【答案】C；【解析】解：设第一次他看到的两位数的个位数为x，十位数为y，汽车行驶速度为v，根据题意得：，解得：x=6y，∵xy为1﹣9内的自然数，∴x=6，y=1；即两位数为16．另法：设个位为x，十位为y，根据题意得：（10y+x）﹣（10x+y）=（100x+y）﹣（10y+x），x+y=7，解得：x=1，y=6，即两位数为16．二、填空题7. 【答案】40；【解析】解：设李师傅加工1个甲种零件需要x分钟，加工1个乙种零件需要y分钟，依题意得：，由①+②，得7x +14y=140，所以x +2y=20，则2x +4y=40，所以李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟．8. 【答案】300，200；【解析】可以设第一种储蓄的钱数为x 元，第二种为y 元，根据本金×利率=利息及两种储蓄共500元，可以列出两个方程，求方程组的解即可．9.【答案】23.86；【解析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=12.34，小矩形的2个宽+一个长=23.45，设出长和宽，列出方程组即可得答案．10．【答案】6， 4；【解析】设甲每秒跑x 米，乙每秒跑y 米，则5510442x y x y y -=⎧⎨-=⎩解此方程组即可. 11.【答案】2512.【答案】4.5；5.5【解析】本题属于相遇问题，等量关系：一、甲1.8小时行驶的路程+乙1.8小 时行驶的路程＝18千米；二、甲（32+23）小时行驶的路程+乙23小时行驶的路程＝18千米，可列方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+1823)2332(188.18.1y x y x ，解此方程组即可． 三、解答题13.【解析】解：设打折前A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元， 根据题意得：， 解得：， 则打折前需要50×8+40×2=480（元），打折后比打折前少花480﹣364=116（元）．答：打折后比打折前少花116元．14.【解析】解：设平均每分钟1道正门可通过x 名学生，1道侧门可通过y 名学生．由题意，得2(2)5604()800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得12080x y =⎧⎨=⎩． 答：平均每分钟1道正门可通过120名学生，l 道侧门可通过80名学生．15.【解析】解：设两位数是x ，三位数是y ． 根据题意，得51000(100)1864y x x y y x =⎧⎨+-+=⎩解得：37185x y =⎧⎨=⎩ 答：两位数、三位数各是37、185．。
