解方程组中的过程探究型或阅读理解类问题【河北热点】

解方程带答案和过程解方程是数学中重要的一部分，在各个领域都有广泛的应用。

解方程的方法有很多，其中比较常见的方法有代入法、因式分解法、配方法、移项法等等。

今天，我们就以一些具体的例子，详细的说明这些方法的具体应用。

第一种方法：代入法代入法是解一元方程的常见方法之一。

其基本思路是将未知量用一个与其无关的常数或者已知量代替，然后求出未知量。

例如，解方程3x+5=14，我们可以采用代入法如下：1.将3x+5=14中的常数5代入x，得到3x=9；2.将等式左边中的3x用其值9代替，即可得到x=3；因此，3x+5=14时，x的解为3。

第二种方法：因式分解法当方程为高次方程时，采用因式分解法可以大大简化方程求解的过程。

例如，解方程x^2-9=0，我们可以采用因式分解法如下：1.将x^2-9化为(x+3)(x-3);2.令(x+3)(x-3)=0，并解出x的值。

其中x=3,-3。

因此，x^2-9=0时，x的解为±3。

第三种方法：配方法当方程为形如ax^2+bx+c=0这样的二次方程时，可以采用配方法进行求解。

其中，配方法的基本思路是通过平方使得方程两边是一个完全平方数，从而进行求解。

例如，解方程x^2+5x+6=0，我们可以采用配方法如下：1.将x^2+5x+6表示为(x+2)(x+3);2.令(x+2)(x+3)=0，并解出x的值。

其中，x=-2,-3。

因此，x^2+5x+6=0时，x的解为-2和-3。

第四种方法：移项法移项法是一种常见的解方程的方法，其基本思路是将等式中一个未知量移到等式的另一边，从而求出另一个未知量。

例如，解方程2x-3=5，我们可以采用移项法如下：1.将等式的常数3移项到等式左边，得到2x=8。

2.将等式左边的2倍，即x的系数增加到等式右侧，得到x=4。

因此，2x-3=5时，x的解为4。

综上所述，解方程有很多种方法，包括代入法、因式分解法、配方法和移项法等。

当我们遇到不同类型的方程时，可以采用不同的方法来进行求解，从而得到正确的答案。

方程组的解集5种常见考法归类1、方程组的解集一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．注意：（1）解方程组常用的方法：消元法．（2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．2、二元一次方程组方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．例如，⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，3x －y ＝6， ⎩⎪⎨⎪⎧2（x －3y ）＋3＝0，3x －12－5y ＝2都是二元一次方程组．3、三元一次方程组方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．例如，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＋z ＝5，x ＋z ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋z ＝4，2x ＋3y －z ＝12，x ＋y ＋z ＝6都是三元一次方程组．4、二元二次方程组二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程叫做二元二次方程．二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为2，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组．注：(1)二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个二元二次方程组成，我们主要学习第一种类型．(2)解二元二次方程组的思路是消元和降次． 5、用代入消元法解二元一次方程组的步骤6、用加减消元法解二元一次方程组的步骤(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．(3)当两个方程中，同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减消元法较简单．(4)当两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数比较复杂时，往往选用加减消元法．7、解三元一次方程组的基本思路8、消元法解三元一次方程组的两个注意点(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．注；解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的．9、“二·一”型的二元二次方程组的基本思想“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把二元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．10、解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：11、解“二·二”型方程组的基本思想解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组．解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．考点一 求二元一次方程组的解集 考点二 求三元一次方程组的解集 考点三 求二元二次方程组的解集 （一）“二·一”型的二元二次方程组（二）“二·二”型的二元二次方程组 考点四 方程组在实际问题中的应用 考点五 已知解集求参数考点一 求二元一次方程组的解集1．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）方程组51x y y x +=⎧⎨=+⎩的解集是2．（2023秋·上海普陀·高一校考阶段练习）用列举法表示方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集为 ．3．（2023·高一课时练习）若关于x ，y 的方程组213x y ax by +=-⎧⎨+=⎩与523ax by x y -=⎧⎨-=-⎩的解集相等，则a 、b 的值为（ ）A ．4,1a b ==-B ．4,1a b =-=-C ．4,1a b ==D ．4,1a b =-=4．（2023秋·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）解关于x ，y 的方程组：()12ax y a a x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩R ．考点二 求三元一次方程组的解集5．（2023·高一课时练习）已知非零实数,,x y z 满足230230x y z x y z --=⎧⎨-+=⎩，则::x y z =（ ）A ．1:1:3B ．3:3:1C ．3:3:(1)-D ．1:1:(3)-6．（2023春·北京海淀·高一校考开学考试）已知方程组20240x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩，则::x y z = ．7．（2023秋·全国·高一专题练习）方程组20,21,32x y z x y z x y z ++=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩的解集的是（ ）A ．{(1，－2，3)}B ．{(1，0，1)}C ．{(0，－1，0)}D ．{(0，1，－2)}8．（2023秋·辽宁大连·高一大连市第二十高级中学校考阶段练习）（1）求方程组353123x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩的解集；（2）求三元一次方程组3472395978x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩的解集.9．（2023·上海·高一专题练习）已知,,x y z 是非负整数，且10x y z ++=，2330,x y z ++=则53x y z ++的范围是考点三 求二元二次方程组的解集（一）“二·一”型的二元二次方程组10．（2023秋·全国·高一专题练习）方程组2219x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（ ）. A ．(4,5)B ．(5,4)-C ．{(5,4)}-D ．{(4,5)}-11．（2023·高一课时练习）12．（2023秋·山东日照·高一山东省日照实验高级中学校考阶段练习）（1）求方程23(2)(2)x x x -=-的解集；（2）求方程组224915235x y x y ⎧-=⎨-=⎩的解集.13．（2023秋·北京·高一校考期中）求下列方程组的解集．．： (1)24235x y x y +=⎧⎨-=⎩；(2)222203412x y x y -+=⎧⎨+=⎩． 14．（2023·高一课时练习）求方程组2223026x y x y --=⎧⎨+=⎩的解集. 15．（2023秋·全国·高一专题练习）求下列方程组的解集：（1）33224355x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎨⎪--=⎩；（2）2255x y x y +=⎧⎨-=-⎩； （3）2221023x y x y --=⎧⎨+=⎩. （二）“二·二”型的二元二次方程组16．（2023·高一课时练习）已知矩形的面积为260cm，对角线长13cm，则该矩形的周长为cm.17．（2023秋·高一课时练习）解方程组22225()43 x y x y x xy y⎧-=+⎨++=⎩18．（2023·高一课时练习）已知实数a，b满足2210a a--=，2210b b--=，则a b+=．19．（2023·全国·高三专题练习）若相异两实数x，y满足222020x yy x⎧+-=⎨+-=⎩，则332x xy y-+之值为（）A．3B．4C．5D．6考点四方程组在实际问题中的应用20．（2023秋·全国·高一专题练习）某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（）A．8元B．16元C．24元D．32元21．（2023秋·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三（钱），人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是，物价是（钱）．22．（2023秋·全国·高一专题练习）x人，组数为y组，则列方程组为（）A．7385y xy x=+⎧⎨+=⎩B．7385y xy x=+⎧⎨-=⎩C．7385y xy x=-⎧⎨=+⎩D．7385y xy x=+⎧⎨=+⎩考点五已知解集求参数23．（2023·高一课时练习）关于,x y的方程组23131x yax by+=⎧⎨+=-⎩的解集为{(2,)}b-，则=a .24．（2023·高一课时练习）关于x，y的方程组573ax yx by c+=⎧⎨-=⎩的解集为{(2,1)}，则a b c++=（）A．1B．5C．6D．725．（2023秋·全国·高一专题练习）若关于x，y的方程组473mx yx my n+=⎧⎨-=⎩的解集为(){}1,2，则m n-=（）A．4B．-4C．6D．-626．（2023春·山东东营·高一东营市第一中学统考阶段练习）若2,(3,2)(,)3ax byx ybx ay⎧+=⎧⎫-∈⎨⎨⎬+=-⎩⎭⎩，则a b+的值为 .27．（2023·高一单元测试）若关于x、y的二元一次方程组231y xy kx=+⎧⎨=+⎩的解集为∅，则实数k=．28．（2023秋·山东潍坊·高一寿光市第一中学校考阶段练习）已知关于x，y的方程组2323ax yx by+=⎧⎨-=⎩，甲因看错了a，求得解集为34,32⎧⎫⎛⎫⎨ ⎪⎝⎭⎩-⎬⎭，则b=，甲把a错看成了 .。

数学方程组：解决方程组问题数学方程组是数学中常见的问题形式，解决方程组问题是数学的一项重要内容。

本文将介绍数学方程组的基本概念和解题方法，并通过实例详细说明解决方程组问题的步骤。

1、数学方程组的基本概念数学方程组是由多个方程组成的集合，每个方程都包含一些未知数，要求找到一组满足所有方程的未知数的值。

方程组一般用以下形式表示：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b₁、b₂、...、bₙ为常数。

解决方程组问题即求出未知数的值。

2、解决方程组的方法解决方程组问题有多种方法，常见的包括代入法、消元法和矩阵法。

下面分别介绍这三种方法。

2.1 代入法代入法是解决方程组问题的基本方法。

具体步骤如下：（1）从方程组中选择一个方程，将该方程中的一个未知数表示成其他未知数的函数，并代入其他方程中。

（2）将代入后的方程进行整理，得到一个只包含一个未知数的方程。

（3）重复步骤（1）和（2），直到得到只包含一个未知数的方程。

（4）求解这个只包含一个未知数的方程，得到该未知数的值。

（5）将求得的未知数的值代入其他方程中，求解其他未知数的值。

2.2 消元法消元法是一种较为高效的解决方程组问题的方法。

具体步骤如下：（1）将方程组进行适当的变形，使得其中某一未知数的系数为1，其他方程中该未知数的系数为0。

（2）将所得的方程带入其他方程，实现消元操作。

（3）重复步骤（1）和（2），直到得到只包含一个未知数的方程。

（4）求解这个只包含一个未知数的方程，得到该未知数的值。

（5）将求得的未知数的值代入其他方程中，求解其他未知数的值。

2.3 矩阵法矩阵法是一种将方程组用矩阵表示，通过矩阵运算求解未知数的值的方法。

解题技巧初中代数中的方程组求解方法代数是数学的一个分支，探究了数与符号之间的关系。

方程组是代数中的一种重要的概念，它描述了多个方程同时满足的情况。

在初中代数学习中，掌握解题技巧对于解决方程组问题至关重要。

本文将介绍一些初中代数中的方程组求解方法，帮助同学们提高解题能力。

一、图解法图解法主要适用于二元一次方程组的求解。

我们可以将每个方程表示为一条直线，并通过观察这些直线的交点来找到方程组的解。

具体操作步骤如下：1. 将每个方程表示为直线的标准形式，如y = mx + c。

2. 根据直线的斜率和截距，画出每条直线。

3. 观察直线的交点，并确定方程组的解。

图解法的优点在于可以直观地理解方程组的解，但是当方程组较复杂或存在更多未知数时，图解法的可行性就受到限制。

二、代入法代入法是一种常用的求解方程组的方法，适用于解二元一次方程组。

其基本思想是通过将一个方程中的一个未知数表示为另一个方程的式子，并进行代入计算，从而求解方程组。

步骤如下：1. 选取一个方程，将其中一个未知数表示为其他方程中的式子（可以通过将未知数代入其他方程消去）。

2. 将代入后的式子代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。

3. 解这个含有一个未知数的方程，得到一个解。

4. 将该解代入任意一个方程，计算出另一个未知数的值。

代入法的优点在于简单易懂，适用范围较广，但是当方程组较复杂或存在更多未知数时，代入法的计算量会增大。

三、消元法消元法是一种常用的求解方程组的方法，适用于解二元一次方程组。

通过对方程进行加减、乘除等运算，可以将方程组化简为含有一个未知数的方程，并依次求解未知数。

步骤如下：1. 确定一个方程，使其系数或常数项的系数为1，并将该方程称为主方程。

2. 将主方程的某一个系数或常数项的系数的倒数与另一个方程相乘，并将结果代入另一个方程中，得到一个新的方程。

3. 将原方程组的所有方程通过操作2逐步化简为含有一个未知数的方程。

4. 解这个含有一个未知数的方程，得到一个解。

初中数学突破利用方程组解决实际问初中数学突破利用方程组解决实际问题在初中数学的学习中，方程组是一个非常重要的工具，它能够帮助我们解决许多实际生活中的问题。

当我们面对一些复杂的情况，涉及到多个未知量和它们之间的关系时，方程组就像是一把万能钥匙，能够为我们打开解决问题的大门。

首先，让我们来了解一下什么是方程组。

简单来说，方程组就是由两个或两个以上的方程组成的一组数学式子，这些方程共同描述了某个问题中未知量之间的关系。

例如，对于一个简单的购物问题，如果我们知道一件上衣的价格是 x 元，一条裤子的价格是 y 元，并且我们知道买一件上衣和两条裤子一共花费了 200 元，买两件上衣和一条裤子一共花费了 250 元，那么我们就可以列出以下方程组：＼＼begin{cases}x ＋ 2y ＝ 200 ＼＼2x ＋ y ＝ 250＼end{cases}＼接下来，我们通过具体的例子来看看如何利用方程组解决实际问题。

假设我们要组织一次班级活动，需要购买一些水果。

已知苹果每斤5 元，香蕉每斤 3 元，我们一共买了 20 斤水果，花费了 80 元，那么我们可以设购买苹果 x 斤，购买香蕉 y 斤，就可以列出方程组：＼＼begin{cases}x ＋ y ＝ 20 ＼＼5x ＋ 3y ＝ 80＼end{cases}＼通过第一个方程 x ＋ y ＝ 20，我们可以得到 x ＝ 20 y，然后将其代入第二个方程 5x ＋ 3y ＝ 80 中，得到 5(20 y) ＋ 3y ＝ 80，即 1005y ＋ 3y ＝ 80，化简得到－2y ＝－20，解得 y ＝ 10。

再将 y ＝ 10 代入 x ＝ 20 y 中，得到 x ＝ 10。

所以我们购买了 10 斤苹果和 10 斤香蕉。

再来看一个行程问题。

比如，小明和小红同时从学校出发前往图书馆，小明骑自行车，速度为每小时 15 千米，小红步行，速度为每小时5 千米。

经过一段时间后，小明比小红多走了 10 千米，已知他们行走的时间相同，设行走时间为 x 小时，那么可以列出方程：15x 5x ＝ 10化简得到 10x ＝ 10，解得 x ＝ 1所以他们行走了 1 小时。

第八章 二元一次方程组（人教版）选拔卷（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）若关于x ，y 的方程()716mx m y ++=是二元一次方程，则m 的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2 2．（2021·山东临沂·七年级期末）如果方程x ﹣y ＝3与下列方程中的一个组成的方程组的解为41x y =⎧⎨=⎩，那么这个方程可以是（ ）A ．3x ﹣4y ＝16B ．x ﹣y ＝3yC ．1382x y +=D ．1254x y +=3．（2022·河南·郑州中学九年级期末）定义新运算：对于任意实数a ，b 都有a b ap bq ⊕=+，等式右边是常用的乘法和减法运算．规定，若325⊕=，()121⊕-=-，则()31-⊕的值为（ ） A ．－2 B ．－4 C ．－7 D ．－114．（2021·四川·成都外国语学校八年级阶段练习）由方程组250x m x y m +=⎧⎨+-=⎩可以得出关于x 和y 的关系式是（ ） A ．5x y += B ．25x y += C ．35x y += D ．30x y += 5．（2021·上海市民办尚德实验学校期末）二元一次方程2x ＋3y ＝14的正整数解有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．无数组 6．（2022·江苏·七年级专题练习）甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，则动车平均每小时比快车平均每小时多行驶的路程为（ ） A ．330千米 B ．170千米 C ．160千米 D ．150千米 7．（2021·重庆巫溪·七年级期末）小丽要用20元钱购买笔和本，两种物品都必须要买，20元钱全部用尽，若每支笔3元，每个本2元，则共有几种购买方案（ ） A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种 8．（2021·全国·七年级课时练习）我们规定：[]m 表示不超过m 的最大整数，例如：[]3.13=，[]00=，[]3.14-=-，则关于x 和y 的二元一次方程组[][][]3.23.2x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩的解为（ ） A ．30.2x y =⎧⎨=⎩B ．21.2x y =⎧⎨=⎩C ． 3.30.2x y =⎧⎨=⎩D ． 3.40.2x y =⎧⎨=⎩9．（2022·江苏·七年级专题练习）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++．例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）．A ．7,6,1,4B ．6,4,1,7C ．4,6,1,7D ．1,6,4,7 10．（2022·全国·七年级课时练习）阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号a b c d 称为22⨯阶行列式，并且规定：a ba dbc c d=⨯-⨯，例如：323(2)2(1)62412=⨯--⨯-=-+=---.二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为：x y D x DD y D ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；其中1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组213212x y x y +=⎧⎨-=⎩时，下面说法错误的是（ ）A ．21732D ==--B ．14x D =-C ．27yD =D ．方程组的解为23x y =⎧⎨=-⎩二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。

2023 年河北省中考化学试卷一、单项选择题〔本大题共11 小题，共22.0 分〕1.蛋白质是人体所需的重要养分物质。

以下食物富含蛋白质的是( )A.鸡蛋B. 白菜C. 大米D. 苹果2.如以下图为试验室制取二氧化碳的局部操作，其中错误的选项是( )A.检查气密性B.参与石灰石C.参与稀盐酸D.收集二氧化碳3.以下有关空气的说法错误的选项是( ) A.空气是一种贵重的资源C. 空气中的氧气极易溶于水B.空气中含有稀有气体D. 空气中氮气的体积分数最大4.金银花作为一种中药具有悠久的历史，其有效成分之一是绿原酸(C16H18O9)。

以下说法错误的选项是( )A.绿原酸属于有机物C. 绿原酸中碳元素的质量分数最大B.绿原酸由碳、氢、氧三种元素组成D. 1个绿原酸分子含有9个氧分子5.2023年12月9日，中国空间站“天宫课堂”中航天员介绍，他们所需的局部水是由呼吸产生的二氧化碳通过化学反响生成的，实现了循环利用，如图是该反响的示意图。

以下说法正确的选项是( )A.乙和丁中氢元素的化合价一样B.参与反响的甲和乙分子个数比为1：3C.丁可电解生成供航天员呼吸的氧气D.参与反响的甲和生成的丙质量比为1：16.以下试验设计不能到达相应试验目的的是( )选项试验目的A鉴别H2O2溶液和H2O试验设计参与MnO2B鉴别NaCl溶液和NaOH溶液滴加CuSO4溶液C除去H2中混有的少量CO 通过灼热的CuOD除去木炭粉中混有的氧化铁参与足量稀盐酸，过滤、洗涤、枯燥A.AB. BC. CD. D7.向含有酚酞的氢氧化钠溶液中渐渐滴入稀硫酸，该过程中溶液pH的变化如以下图。

以下分析正确的选项是( )A.N点时的溶液确定呈红色B.P点时的溶液能与纯碱发生反响C.M → N过程中溶液的碱性渐渐增加D.M → P过程中生成的硫酸钠不断增加8.2023年河北省PM2.5平均浓度同比下降15.3%，改善幅度为“”以来最高。

以下举措不能改善空气质量的是( )A.开发利用能源C. 提高森林掩盖率B.推动低碳交通运输D. 增高炼铁厂的烟囱9.中华文化博大精深。

2019年材料阅读题专题一．方程类1．阅读下面的内容用换元法求解方程组的解题目：已知方程组①的解是，求方程组②的解．解：方程组②可以变形为：方程组③设2x＝m，3y＝n，则方程组③可化为④比较方程组④与方程组①可得，即所以方程组②的解为参考上述方法，解决下列问题：（1）若方程组的解是，则方程组的解为；（2）若方程组①的解是，求方程组②的解．2．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得①﹣②，得（k﹣6）m＝k﹣6 ③显然，当k＝6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m＝1，代入②式，得k＝﹣6，此时两个方程有一相同根x＝1．∴当k＝﹣6时，有一相同根x＝1；当k＝6时，有两个相同根是﹣1和7聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1＝0与x2+x+k﹣2＝0有相同的实根．3．阅读材料：材料1、若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1∴＝根据上述材料解决下面问题；（1）一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1＝0，2n2﹣2n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p、q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．4．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．（1）如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为；（2）由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化．如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为a3的4倍，且a5﹣a3＝3，求a7的值；（3）由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中n8为9个数中的最大数，且满足n1﹣2n6＝2，n82﹣n62＝2448，求p及n9的值．5．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，（1）方程x2﹣x﹣2＝0（填“是”或“不是”）倍根方程；（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则求代数式4m2+5mn+n2值；（3）若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程吗？6．阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程x3+px2+qx+m＝0有整数解c，则将c代入方程得：c3+pc2+qc+m＝0，移项得：m＝﹣c3﹣pc2﹣qc，即有：m＝c×（﹣c2﹣pc﹣q），由于﹣c2﹣pc﹣q与c及m都是整数，所以c是m的因数．上述过程说明：整数系数方程x3+px2+qx+m ＝0的整数解只可能是m的因数．例如：方程x3+4x2+3x﹣2＝0中﹣2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x3+4x2+3x﹣2＝0进行验证得：x＝﹣2是该方程的整数解，﹣1，1，2不是方程的整数解．解决问题：（1）根据上面的学习，请你确定方程x3+x2+5x+7＝0的整数解只可能是哪几个整数？（2）方程x3﹣2x2﹣4x+3＝0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由．7．阅读材料材料1：“上海自来水来自海上”是耳熟能详的回文对联，数学世界里有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：22、131、1991、123321、…，像这样的数我们叫它“回文数”．材料2：如果一个三位数，满足a+b+c＝8，我们就称这个三位数为“吉利数”．（1）请直接写出既是“回文数”又是“吉利数”的所有三位数；（2）三位数①是大于500的“回文数”；②的各位数字之和等于k是一个完全平方数；求这个三位数（请写出必要的推理过程）．8．进位数是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n（n≤10）进制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n﹣1）进行记数，特点是逢n进一，我们可以通过以下方式把它转化为十进制：例如：五进制数（234）5＝2×52+3×5+4＝69，记作（234）5＝69，七进制数（136）7＝1×72+3×7+6＝76，记作（136）7＝76（1）请将以下两个数转化为十进制：（331）5＝，（46）7＝（2）若一个正数可以用七进制表示为（），也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示．9．进制也就是进位制，是人们利用符号进行计数的科学方法．对于任何一种进制X进制，就表示某一位置上的数运算时逢X进一位，如十进制数123＝1×102+2×101+3×100，记作123（10）；七进制123＝1×72+2×71+3×70，记作123（7）．各进制之间可进行转化，如：将七进制转化为十进制：123（7）＝1×72+2×7+3×70＝66，即123（7）＝66（10），将十进制转化为七进制：（因为72＜66＜73，所以做除法从72开始）66÷72＝1…17，17÷71＝2…3，即66（10）＝123（7）（1）根据以上信息，若将八进制转化为十进制：15（8）＝1×81+5×80＝13，即15（8）＝；若将十进制转化为九进制：98÷92＝1…17，17÷91＝1…8，即98（10）＝（9）（10）（2）若将一个十进制两位数转换成九进制和八进制数后，得到一个九进制两位数和一个八进制两位数，首位分别2，3，个位分别为x，y．①若x＝7，则y＝．②请求出满足上述条件的所有十进制两位数．10．请阅读下列材料：问题：已知方程x2+15x﹣1＝0，求一个一元二次方程，是它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程根为y，则y＝2x，所以，把带人已知方程，得，化简得y2+30y﹣4＝0．故所求的方程为y2+30y﹣4＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的换根法求新方程（要求把方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程．是它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为：．（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．11．函数[x]称为高斯函数，它表示不超过x的最大整数，例如[5.3]＝5，[﹣2.4]＝﹣3，[4]＝4．对任意的实数x，x﹣1＜[x]≤x．（1）证明：对于任意实数x，有[x]+[x+]＝[2x]；（2）解方程：[]＝．12．仔细阅读下列材料．“分数均可化为有限小数或无限循环小数”．反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数”例如：＝1÷4＝0.25，1＝1+＝1+0.6＝1.6或1＝＝8÷5＝1.6，＝1÷3＝0.，反之，0.25＝＝，1.6＝1+0.6＝1+＝1或1.6＝＝，那么0.怎么化为呢？解：∵0.×10＝3.＝3+0.∴不妨设0.＝x，则上式变为10x＝3+x，解得x＝即0.＝根据以上材料，回答下列问题．（1）将“分数化为小数”：＝；＝．（2）将“小数化为分数”：0.＝；1.5＝．（3）将小数1.化为分数，需写出推理过程．13．我们知道≈1.414，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为﹣1”．则：（1）﹣3的整数部分为，小数部分则可记为；（2）已知3+的小数部分为a，7﹣的小数部分为b，那么a+b的值是；（3）已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．14．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的x，y二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数，c1，c2的积，即c＝c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2＝（a1x+c1y）（a2x+c2y）例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2解：如右图，其中1＝1×1，﹣8＝（﹣4）×2，而﹣2＝1×（﹣4）+1×2∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图1，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图2，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2；而2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2+3×1，3＝1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：6x2﹣7xy+2y2＝x2﹣6xy+8y2﹣5x+14y+6＝（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+4y＝﹣1，求x，y．二、不等式类15．求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②．解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．请你仿照上述方法解决下列问题：（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．（2）求不等式≥0的解集．16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．即：当n为非负整数时，如果n﹣，则＜x＞＝n．反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣，例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4．试解决下列问题：（1）填空：①＜π＞＝（π为圆周率）；②如果＜x﹣1＞＝3，则实数x的取值范围为．（2）①若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则a的取值范围是．②若关于x的方程+x﹣2＝﹣有正整数解，求m的取值范围．（3）求满足＜x+1＞＝x的所有非负整数x的值．17．对于实数x，y我们定义一种新运算L（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．（1）若L（x，y）＝x+3y，则L（2，1）＝，L（，）＝；（2）已知L（1，﹣2）＝﹣1，L（，）＝2．①a＝，b＝；②若正格线性数L（m，m﹣2），求满足50＜L（m，m﹣2）＜100的正格数对有多少个；③若正格线性数L（x，y）＝76，满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗？若有，请找出；若没有，请说明理由．18．阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝，所以数列2，﹣1，3的价值为．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为；（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为，取得价值最小值的数列为（写出一个即可）；（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为．19．阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若x＝123456789×123456786，y＝123456788×123456787，试比较x、y的大小．解：设123456788＝a，那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a ∵x＝y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0∴x＜y看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！问题：（1）x＝98760×98765﹣98761×98764，y＝98761×98764﹣98762×98763，试比较x、y 的大小；（2）计算：1.345×0.345×2.69﹣1.3453﹣1.345×0.3452．三、函数类20．平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．（其中的“+”是四则运算中的加法）例如：如果A（﹣1，3），那么「A」＝|﹣1|+|3|＝4．（1）点M在反比例函数y＝的图象上，且「M」＝4，求点M的坐标；（2）求满足条件「N」＝3的所有点N围成的图形的面积．21．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），（，），…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（m，5）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）一次函数y＝2kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b为常数，a≠0）的图象上有且只有一个“梦之点”A（c，c），令t＝b2+4a，当﹣2＜b＜2时，求t的取值范围．22．新定义：若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“共性二次函数”．（1）请写出两个为“共性二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4nx+2n2+1和y2＝ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“共性二次函数”，求函数y2的表达式．23．阅读材料，解答问题．知识迁移：当a＞0且x＞0时，因为（）2≥0，所以x﹣2+≥0，从而x+（当x＝时取等号），记函数y＝x+（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x＝时，该函数有最小值为2．直接应用：已知函数y1＝x（x＞0）与函数y2＝（x＞0），则当x＝时，y1+y2取得最小值为．变形应用：已知函数y1＝x+2（x＞﹣2）与函数y2＝（x+2）2+9（x＞﹣2），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．实际应用：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y（元），求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？24．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝﹣2x2+5x﹣3函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y＝﹣2x2+5x﹣3函数可知，a1＝﹣2，b1＝5，c1＝﹣3，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y＝﹣2x2+5x﹣3的“旋转函数”；（2）若函数y1＝x2+x﹣n与y2＝﹣x2﹣mx﹣2互为“旋转函数”，求（m+n）2019的值；（3）已知函数y＝（x﹣2）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝（x﹣2）（x+3）互为“旋转函数”．25．问题背景：若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值．我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为：（x＞0），利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值．提出新问题：若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？分析问题：若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：（x＞0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了．解决问题：借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数（x＞0）的最大（小）值．（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数（x＞0）的图象：（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x＝时，函数（x＞0）有最值（填“大”或“小”），是．（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数（x＞0）的最大值，请你尝试通过配方求函数（x＞0）的最大（小）值，以证明你的猜想．〔提示：当x＞0时，〕26．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）若函数y＝﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（2）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位长度，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？27．在平面直角坐标系xOy中，当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时，则称点P为图形W的“梦之点”．（1）已知⊙O的半径为1．①在点E（1，1），F（﹣，﹣），M（﹣2，﹣2）中，⊙O的“梦之点”为；②若点P位于⊙O内部，且为双曲线y＝（k≠0）的“梦之点”，求k的取值范围．（2）已知点C的坐标为（1，t），⊙C的半径为，若在⊙C上存在“梦之点”P，直接写出t的取值范围．（3）若二次函数y＝ax2﹣ax+1的图象上存在两个“梦之点”A（x1，y1），B（x2，y2），且|x1﹣x2|＝2，求二次函数图象的顶点坐标．28．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”阅读下列两则材料，回答问题材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，如：a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么＝|a±b|，那么如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（2+（）2＝a即m+n＝a，且使即m•n＝b，那么a±2＝（）2+（）2±2＝（2∴＝＝|，双重二次根式得以化简：例如化简：；∵3＝1+2且2＝1×2，∴3+2＝（）2+（）2+2∴＝＝1+材料二：在直角坐标系xoy中，对于点P（x，y）和点Q（x，y′）出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“横负纵变点”例如，点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2）点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）问题：（1）请直接写出点（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为；化简，＝；（2）点M为一次函数y＝﹣x+1图象上的点，M′为点M的横负纵变点，已知N（1，1），若M′N＝，求点M的坐标．（3）已知b为常数且1≤b≤2，点P在函数y＝﹣x2+16（+）（﹣7≤x≤a）的图象上，其“横负纵变点”的纵坐标y′的取值范围是﹣32＜y′≤32，若a 为偶数，求a的值．29．对于三个数a、b、c，M|a，b，c|表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c 这三个数中最小的数，如：M|﹣1，2，3|＝＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1；M|﹣1，2，a|＝＝，min{﹣1，2，a}＝解决下列问题：（1）填空：M|，，|＝；min{﹣3，，﹣π}＝；（2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；（3）若M|2，x+1，2x|＝min{2，x+1，2x}，求x的值；（4）如图，在同一平面直角坐标系中，画出了函数y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x的图象，则min{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最大值为．30．定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如：y＝+1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝的图象，则y＝+1是y与x的“反比例平移函数”．（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面积为8cm2，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y ＝的图象经过B、E两点．①求这个“反比例平移函数”的表达式；②这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请直接写出这个反比例函数的表达式．31．请阅读下述材料，并解答问题例：说明代数式+的几何意义，并求它的最小值．解：在平面直角坐标系中，已知两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）则这两点间的距离公式为：P1P2＝所以原式＝+如图建立直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P 与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段P A与PB的长度之和，它的最小值就是P A+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则P A＝P A′，因此，求P A+PB的最小值，只需求P A′+PB的最小值，由两点之间，线段最短可得，P A′+PB的最小值为线段A′B的长度．为求A′B我们可以构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以A′B＝3，即原式的最小值为3解答问题：（1）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B的距离之和（填写点B的坐标）；（2）代数式+的最小值为．32．“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y＝的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB＝∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设P（a，）、R（b，），求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB＝∠AOB；（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．四、因式分解类33．阅读下列材料1637年笛卡儿（R．Descartes，1596﹣1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为，若一个高于二次的关于x的多项式能被（x﹣a）整除，则其一定可以分解为（x ﹣a）与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为0时，x＝a是关于x的这个方程的一个根．例如：多项式x2+9x﹣10可以分解为（x﹣1）与另外一个整式M的乘积，即x2+9x﹣10＝（x﹣1）M，令x2+9x﹣10＝0时，可知x＝1为该方程的一个根．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：x3+2x2﹣3．观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．令：x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c），而（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+3x+3）．此时，不难发现x＝1是方程x3+2x2﹣3＝0的一个根．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式．（2）若多项式3x4+ax3+bx﹣34含有因式x+1及x﹣2，求a+b的值．（3）若多项式6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y+a可以分解为两个一次因式之积，求a的值将该多项式分解因式．34．阅读理解：若一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“平和数”，例如5是“平和数”，因为5＝22+1，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），我们称（1）请你写一个小于5的“平和数”，并判断34是否为“平和数”．（2）已知S＝x2+9y2+6x﹣6y+k（x，y是整数，k是常数，要使S为“平和数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．（3）如果数m，n都是“平和数”，试说明也是“平和数”．35．阅读下列材料解决问题两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，例如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7＝8+2＝10故37（1）下列说法错误的是A.123和51互为调和数”B.345和513互为“调和数C.2018和8120互为“调和数”D．两位数和互为“调和数”（2）若A、B是两个不等的两位数，A＝，B＝，A和B互为“调和数”，且A与B 之和是B与A之差的3倍，求满足条件的两位数A．36．请阅读以下材料，并解决相应的问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与化归的目的，例如在求解一元四次方程x4﹣2x2+1＝0时，令x2＝t，则原方程可变为t2﹣2t+1＝0，解得t＝1，从而得到原方程的解为x＝±1．村料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列．如图为杨辉三角形：（1）利用换元法解方程：（x2+3x﹣1）2+2（x2+3x﹣1）＝3（2）在杨辉三角形中，按照由上至下、从左到右的顺序观察，设a n是第n行的第2个数（其中n≥4），b n是第n行的第3个数，c n是第（n﹣1）行的第3个数．请利用换元法因式分解：4（b n﹣a n）•c n+137．材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N﹣2）除余1…，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼”数（N取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼”数．材料二：设N，（N﹣1），（N﹣2），…3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼”数可以表示为kn+1，（n为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1．（n为正整数）（1）17“明三礼”数（填“是”或“不是”）；721是“明礼”数；（2）求出最小的三位“明三礼”数；（3）一个“明三礼”数与“明四礼”数的和为32，求出这两个数．38．阅读下列材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；再例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝．（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．39．任意三个正整数a、b、c，若满足a+b2﹣2c＝2，我们称这三个数组成的一组数为和谐数组，记为（a，b，c）．对每一和谐数组，我们用F（a，b，c）表示它的和谐度，规定：F（a，b，c）＝abc．例如：∵6+22﹣2×4＝2，∴（6，2，4）是和谐数组，F（6，2，4）＝6×2×4＝48．（1）（a，b，c）是和谐数组，求和谐度F（a，b，c）的最小值．（2）（a，b，c）是和谐数组，且a，b、c满足3a2﹣8b+c＝0．求和谐度F（a，b，c）的最小值．40．若在一个两位正整数N的个位数与十位数字之间添上数字5，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“至善数”，如34的“至善数”为354；若将一个两位正整数M加5后得到一个新数，我们称这个新数为M的“明德数”，如34的“明德数”为39．（1）26的“至善数”是，“明德数”是．（2）求证：对任意一个两位正整数A，其“至善数”与“明德数”之差能被45整除；（2）若一个两位正整数B的“明德数”的各位数字之和是B的“至善数”各位数字之和的一半，求B的值．。