春九年级数学下册1.4二次函数与一元二次方程的联系课件(新版)湘教版

20
A(0，9 )，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代
1
入，可得y＝－ 9 (x－4)2＋4.
1
将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－ 9
(7－4)2＋
4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能
投中；
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖
二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0又
有怎样的关系？
当x=-1时，y=0，即x2-2x-3=0，
也就是说，x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根；
同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，
也就是说，x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根.
知识归纳
一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图
帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他
能否获得成功？
(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.
因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
课堂小结
二次函数与一元二
次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时
就成了一元二次方程；
ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时
就成了二次函数.
二次函数
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
例题讲授
例1 二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，
则k的取值范围是( D )
A．k<3
B．k<3且k≠0
C．k≤3
D．k≤3且k≠0

x2 6 8 y- x 10 10 5
y x
解：（1）由抛物线的表达式得：
x2 6 8 2.1 - x 10 10 5
即 x2-6x+5=0 解得 x1=1 x2=5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当铅球离地面高度为2.1m时，它离初始位置的水 平距离是1m或5m
（2）由抛物线的表达式得：
x2 6 8 2.5 - x 10 10 5 即 x2-6x+9=0
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－ 4x+3 的值为0，求自变量x的值．
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程 ax2+bx+c=0.
例题学习
分析：一元二次方程 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上 找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
课堂小结
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c 的图象可知 （1）如果抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点，公共点的横 坐标是x0，那么当x =x0时，函数的值是0，因此x = x0 就是 方程 ax2+bx+c=0 的一个根． （2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点， 有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的 三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等 的实数根．
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．
t1=1s t2=3s
15m
15m
（2）解方程 20＝20t－5t 2 t 2－4t＋4=0 t1=t2=2 当球飞行2s时，它的高度为20m．

20m
（4）解方程:
0＝20t－5t2 t2－4t=0
t1=0,t2=4
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发 出，4s时球落回地面．
0ｓ
４ｓ
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解 一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－ 4x+3 的值为0，求自变量x的值．
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程 ax2+bx+c=0.
例题学习
例：求一元二次方程
的根的近似值（精确到0.1）.
分析：一元二次方程
的根就是：抛物线
与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上
有关系 h = 20t－5t 2
考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地需要用多少时间？
分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次
t1=1s
t2=3s
15m
15m
（2）解方程 20＝20t－5t 2 t 2－4t＋4=0 t1=t2=2
当球飞行2s时，它的高度为20m．
t1=2s
20m
（3）解方程 20.5＝20t－5t 2 t 2－4t＋4.1=0
因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解． 球的飞行高度达不到20.5m．

归纳总结
已知二次函数 y=ax +2bx+c (a≠0)的函数值为０，求自变量 x的值，可以看作解一元二次方程 ax +2bx+c=0 (a≠0).
已知二次函数 y=ax +2bx+c (a≠0)的函数值为m，求 自变量x的值，可以看作解一元二次方程 ax 2 +b2x+c=m(或 ax +bx+c-m=0) (a≠0).
6.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x 的方程ax2+bx+c -3 =0根的情况是( D )
A 有两个不相等的实数根 B 有两个异号的实数根 C有两个相等的实数根 D 没有实数根
y
2
O1
x
例: 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根 (精确到0.1)
解: 作y=x2-2x-2的图象(如图),它与x轴的公共点 的横坐标大约是 – 0.7 , 2.7 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7, x2≈-2.7.
有两个交点 有一个交点 没有交点 说明：a≠0
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
没有实数根
y
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
01
x
练一练
下列二次函数的图象与x轴有交点吗？有几个交点？ (1) y=2x 2+x-3; (2) y=-4x 2-4x-1; (3) y=3x 2-2x+3; (4) y=x 2+(2k+1)x-k2 +k; (5) y=2x 2- (4k+1)x+2k2 -1;
h=20t-5t2

解：设二次y函 x数 2 2x1
作出函数图象 yx22x1的图象可以发现 抛物线与x轴一个交点在-1与0之间,另一个 在2与3之间
通过视察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横 坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数
根为x1 -0.4，x2 2.4还可以用等分计算的方法
确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4.
义务教育教科书（湘教）九年级数学下册
1.4二次函数与一元二次方程的联系
学习目标
• 1、通过探索，理解二次函数与一元二次方程之 间的联系（重点）
• 2、会用二次函数图象求一元二次方程的近似解 （重点）
• 3、通过研究二次函数与一元二次方程的联系体 会数形结合思想的应用
复习
求直线y=2x+4与x轴交点
yx26x9
yx22x2
归纳总结
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
和x轴交点
有两个交点
有一个交点
没有交点
说明：a≠0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个相异的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
y
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别
式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
2 3
∴ 与x轴交点的横坐标为（
2 3
，0）
3 yx 2-2 x 3
解
x2-2 x30
a=1 b=-2 c=3
△=（-2）2-4×1×3<0
此方程无解，所以，抛物线y=x2-2x+3与 x轴没有交点。
4．布置作业

2 x m=0 的解为x1=3,x2=-1.
小结 一元二次方程与二次函数的联系
ax bx c=M
2
y ax bx c(a 0)
2
yM
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种 情况与一元二次方程根的关系：
二次函数 y=ax2+bx+c的 图象和x 2.
问题3:观察二次函数 y x 6x 9 和
2
y x 2x 2 的图象，分别说出一元
2
二次方程 x 6 x 9 0
2
和 x 2 x 2 0 根的情况.
2
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
如下图所示,则b2-4ac的情况如何？
当x=-0.5时，y=0.25>0 ;当x=-0.4时，y=-0.04<0. 结合图象可知，使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间， 即-0.5<x<-0.4. 若精确到0.1，取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根 均满足要求.但当x=-0.4时，y=-0.04，比当x=-0.5时， y=0.25更接近于0，因此选x=-0.4.同理，另一实根 为x=2.4.
一元二次方程 抛物线
x 2 x 1 0 的根就是 2 y x 2 x 1 与x轴的交点的
2
横坐标.因此我们可以先画出这条抛物线，
然后从图像上找出它与x轴的交点的横坐标.
这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解：设二次函数
y x 2x 1
2
2
作出函数
y x 2x 1
2
是说x=-1是一元二次方程 x 2 x 3 0

10 10 5
即
x2 6x 5 0
解得
x1=1，x2 =5.
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始
位置的水平距离是1m或5m.
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始 位置的水平距离是多少？
（2）由抛物线的表达式得
2.5 - x2 6 x 8 10 10 5
即
x2 6x 9 0
问题3观察图象，完成下表
抛物线与x 交点 相 应 的 一 元 二 次 轴交点个数 横坐 方 程 的 根
标
y = x2－x＋1 0个 y = x2－6x＋9 2个重合的点 3
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
1
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点与一元二次方程 ax2+bx+c=0根的关系
一元一次方程x＋2＝0的根为___－__2___. （2）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为( 2，0),
一元一次方程－3x＋6＝0的根为___2____.
问题一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次 方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一 元一次方程kx＋b＝0的根.
三 用二次函数与一元二次方程的关系解决实 际问题
典例精析
例3 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
x2 y-

6
x8
运行，其中x是铅球离初始位置的水平
10 10 5
距离，y是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位 置的水平距离是多少？

3- x 10 10 5
即 x2-6x+14=0
因为△=（-6）2+4x1x14<0所以方程无实数根
所以铅球离地面高度不能达到3m。
从例2可以看出，已知二次函数 y=ax2+bx+c （a 0）某一个函数值y=M求对应的自变量的值时， 需要解一元二次方程ax2+bx+c=M，这样二次函数 与一元二次方程就紧密地联系起来了。
课堂小结
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c 的图象可 知 （1）如果抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点，公共点的 横坐标是x0，那么当x =x0时，函数的值是0，因此x = x0 就是方程 ax2+bx+c=0 的一个根．
（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点， 有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三 种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实 数根．
问题：现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定 的关系呢?
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问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击 出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力， 球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具
通过观察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横
坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数
根为x1 -0.4，x2 2.4还可以用等分计算的方法
确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4.
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